Limitele șirurilor putere și geometric: pe scurt

Două familii de șiruri se rezolvă o dată pentru totdeauna, iar apoi orice limită complicată se reduce la ele. Deosebirea dintre ele stă în locul unde este scris rangul: la $n^a$ rangul este baza, la $q^n$ este exponentul.

Șirul $\left(n^a\right)$: limita este $+\infty$ pentru $a>0$, $1$ pentru $a=0$ și $0$ pentru $a<0$. De aici $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}=+\infty$, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0$.

Șirul $\left(q^n\right)$, patru cazuri: limita este $0$ pentru $|q|<1$; $1$ pentru $q=1$; $+\infty$ pentru $q>1$; iar pentru $q\le -1$ șirul nu are limită. Atenție la capătul $q=-1$, care intră în ultimul caz. Prin urmare $\left(q^n\right)$ este convergent exact pentru $q\in (-1,1]$.

Unealta demonstrațiilor este inegalitatea lui Bernoulli, $(1+h{)}^n\ge 1+nh$ pentru $h>-1$: ea coboară exponentul la gradul întâi. Ea dă un rang sigur, nu cel mai mic rang. Pentru $q\le -1$ se folosesc două subșiruri cu limite diferite, iar concluzia se scrie „nu are limită”, niciodată „limita este $\pm \infty$”. O progresie geometrică cu $|q|<1$ are, prin aceeași estimare, limita $0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-\frac{3}{4}\right)}^n$ este:

   • a) limita nu există
   • b) $-\infty$
   • c) $-1$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $0$

   Avem $\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}<1$, deci suntem în primul caz al tabelului și limita este $0$. Alternanța semnului nu deranjează: în definiție intervine doar distanța până la $0$, adică ${\left|q\right|}^n$, care coboară sub orice prag.

2. Pentru care dintre valorile de mai jos ale lui $q$ șirul ${\left(q^n\right)}_{n\ge 1}$ nu are limită?

   • a) $q=-\frac{1}{2}$
   • b) $q=1$
   • c) $q=-1$
   • d) $q=\frac{4}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $q=-1$

   Cazul „nu există limită” este $q\le -1$, deci include valoarea $q=-1$: subșirul de rang par este constant $1$, cel de rang impar este constant $-1$, iar limitele diferă. Pentru $q=-\frac{1}{2}$ limita este $0$, pentru $q=1$ este $1$, iar pentru $q=\frac{4}{3}>1$ este $+\infty$.

3. Perechea $\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{\frac{1}{3}},\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right)$ este:

   • a) $(0,0)$
   • b) $(+\infty ,0)$
   • c) $(+\infty ,+\infty )$
   • d) $(0,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $(+\infty ,0)$

   Sunt două tabele diferite. La $n^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{n}$ rangul este baza, iar exponentul $\frac{1}{3}>0$ dă limita $+\infty$ (creșterea e lentă, dar nemărginită: $\sqrt[3]{10^6}=100$). La ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ rangul este exponentul, iar baza subunitară dă limita $0$.