Limitele șirurilor cu termenul general de tip putere și de tip progresie geometrică

O minge de cauciuc lăsată să cadă de la $2$ metri se ridică, după fiecare atingere a solului, cam la $80\%$ din înălțimea anterioară. După $n$ sărituri, înălțimea ei este $2\cdot (0,8{)}^n$ metri. O colonie de bacterii care se dublează la fiecare oră ajunge, după $n$ ore, la $2^n$ celule. Cele două formule arată la fel — un număr fix ridicat la puterea $n$ — și totuși una se stinge, iar cealaltă explodează. Diferența stă într-un singur lucru: dacă baza este mai mică sau mai mare decât $1$.

Lecția aceasta rezolvă, o dată pentru totdeauna, două familii de șiruri care apar apoi în absolut fiecare exercițiu de analiză: șirurile de tip putere, $(n^a{)}_{n\ge 1}$, și șirurile de tip progresie geometrică, $(q^n{)}_{n\ge 1}$. Le numim șiruri-etalon pentru că, mai târziu, orice limită complicată se va reduce, prin prelucrări, la ele. Vei vedea că răspunsul nu e niciodată „depinde": pentru fiecare valoare a lui $a$ și a lui $q$ există un răspuns precis, iar la $(q^n)$ apare și singurul caz cu adevărat interesant din toată unitatea — cazul în care limita pur și simplu nu există.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a$ pentru orice exponent real $a$, discutând cele trei cazuri: $a>0$, $a=0$ și $a<0$.
• Vei ști să calculezi $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n$ prin discuția completă pe cazuri: $|q|<1$, $q=1$, $q>1$ și $q\le -1$.
• Vei ști să demonstrezi aceste limite pornind direct de la definiția cu vecinătăți, folosind inegalitatea lui Bernoulli ca unealtă de estimare.
• Vei ști să arăți că un șir nu are limită, punând în evidență două subșiruri cu limite diferite.
• Vei ști să deosebești un șir divergent cu limită infinită de un șir fără limită — distincția pe care baremele o cer explicit.
• Vei ști să aplici rezultatele la o progresie geometrică oarecare și să discuți convergența în funcție de un parametru.

Hai să descoperim împreună

1. De ce merită două șiruri tratate separat

Până acum ai calculat limite „din intuiție", verificând apoi cu definiția din lecția Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți. Procedeul e corect, dar lent: nu poți relua un raționament cu vecinătăți la fiecare exercițiu.

Soluția, în analiză, este întotdeauna aceeași: se demonstrează o dată, cu toată rigoarea, un număr mic de rezultate de bază, iar apoi totul se reduce la ele. Cele două șiruri de mai jos sunt exact acest nucleu: $$a_n=n^a,a\in \mathbb{R};b_n=q^n,q\in \mathbb{R}.$$

Primul descrie creșterea polinomială (numărul de perechi dintr-un grup, aria unui pătrat cu latura $n$, timpul de lucru al unui algoritm care compară toate elementele între ele). Al doilea descrie creșterea sau descreșterea geometrică: dobânda compusă, dezintegrarea radioactivă, înjumătățirea unei doze de medicament. Programa le cere pe amândouă, nominal, iar la Bacalaureat M1 nu există variantă care să nu le folosească.

Merită observat de la început un lucru care va reveni în toată unitatea: cele două familii se deosebesc prin locul în care stă rangul. La $n^a$, rangul este baza, iar exponentul rămâne fix; la $q^n$, rangul este exponentul, iar baza rămâne fixă. De aici vine toată diferența de comportament, și tot de aici vine cea mai frecventă confuzie de la clasă: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ și $n^{\frac{1}{2}}$ arată aproape la fel scrise una lângă alta, dar prima coboară spre zero, iar a doua urcă spre infinit. Verifică întotdeauna unde este scris $n$ înainte de a alege tabelul.

2. Șirul $(n^a)$ — enunțul și demonstrația

Reține că, pentru un exponent real oarecare, puterea $n^a$ are sens pentru că baza $n$ este strict pozitivă; funcția putere cu exponent real și monotonia ei le ai din clasa a X-a, de la Graficul funcției putere și monotonia: pentru $a>0$, funcția $x\mapsto x^a$ este strict crescătoare pe $(0,\infty )$, iar pentru $a<0$ este strict descrescătoare.

Teoremă. Fie $a$ un număr real. Atunci $$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a=\{\begin{array}{ll}+\infty ,& a>0\\ 1,& a=0\\ 0,& a<0\end{array}$$

Demonstrație.

Cazul $a>0$. Arătăm că limita este $+\infty$, adică: oricât de mare am alege un prag $M>0$, de la un rang încolo toți termenii îl depășesc. Cum funcția putere de exponent $a$ este strict crescătoare pe $(0,\infty )$, inegalitatea $n^a>M$ este echivalentă cu $n>M^{\frac{1}{a}}$. Alegem deci rangul $N$ ca fiind primul număr natural strict mai mare decât $M^{\frac{1}{a}}$; pentru orice $n\ge N$ avem $n^a>M$, adică toți termenii de la rangul $N$ încolo se află în vecinătatea $(M,+\infty ]$ a lui $+\infty$. Prin definiție, $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a=+\infty$.

Verificare pe cifre: pentru $a=\frac{1}{2}$ și $M=100$, condiția devine $n>100^2=10000$, deci $\sqrt{n}>100$ începând cu $n=10001$; într-adevăr $\sqrt{10000}=100$ exact, iar $\sqrt{10001}>100$. Pentru $a=3$ și $M=10^6$: $n>100$, deci de la $n=101$, fiindcă $100^3=10^6$.

Cazul $a=0$. Șirul este constant: $n^0=1$ pentru orice $n\ge 1$, deci limita este $1$.

Cazul $a<0$. Scriem $n^a=\frac{1}{n^{-a}}$, unde $-a>0$. Toți termenii sunt strict pozitivi, deci $|n^a-0|=n^a$. Fie $\epsilon >0$ oarecare. Inegalitatea $n^a<\epsilon$ se scrie $n^{-a}>\frac{1}{\epsilon }$, adică $n>{\left(\frac{1}{\epsilon }\right)}^{\frac{1}{-a}}$. Luând drept rang $N$ primul natural mai mare decât această valoare, toți termenii de la $N$ încolo se află în intervalul $(-\epsilon ,\epsilon )$, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a=0$. $■$

Verificare pe cifre: pentru $a=-2$ și $\epsilon =10^{-6}$ obținem $n>1000$; într-adevăr $\frac{1}{1000^2}=10^{-6}$ exact, iar $\frac{1}{1001^2}\approx 9,98\cdot 10^{-7}<10^{-6}$.

Cazurile particulare de care te vei lovi zilnic: $$\underset{n\to \infty }{\lim }n=+\infty ,\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2=+\infty ,\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}=+\infty ,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}=0.$$

3. Unealta de estimare: inegalitatea lui Bernoulli

Pentru șirul $(q^n)$ nu mai putem rezolva inegalitatea „direct", pentru că necunoscuta $n$ stă în exponent. Ne trebuie o estimare care să coboare exponentul la nivelul unei expresii de gradul întâi. Exact asta face inegalitatea demonstrată prin inducție în clasa a IX-a, la Inducția matematică: sume, inegalități și divizibilitate:

Inegalitatea lui Bernoulli. Pentru orice număr real $h>-1$ și orice $n \in \mathbb{N}^{}$:* $$(1+h{)}^n\ge 1+nh.$$

Puterea ei stă în simplitate: membrul drept crește cu pași egali, ca o progresie aritmetică, iar noi știm deja să lucrăm cu el. De exemplu, pentru $h=1$ obținem $2^n\ge 1+n$ — o inegalitate pe care o vei folosi de zeci de ori.

4. Șirul $(q^n)$ — cazul $q>1$

Propoziție. Dacă $q>1$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=+\infty$.

Demonstrație. Scriem $q=1+h$, unde $h=q-1>0$. Din inegalitatea lui Bernoulli, $$q^n=(1+h{)}^n\ge 1+nh.$$ Fie acum $M>0$ un prag oarecare. Inegalitatea $1+nh>M$ este echivalentă cu $n>\frac{M-1}{h}$, deci pentru orice rang $n$ mai mare decât acest număr avem, cu atât mai mult, $q^n>M$. Așadar toți termenii, de la un rang încolo, depășesc pragul $M$: limita este $+\infty$. $■$

Verificare pe cifre: pentru $q=2$ (adică $h=1$) și $M=1000$, estimarea lui Bernoulli garantează $q^n>1000$ pentru $n>999$. În realitate $2^9=512$ și $2^{10}=1024$, deci rangul adevărat este $10$. Nu e o contradicție, ci o trăsătură a metodei: Bernoulli dă un rang sigur, nu cel mai mic rang. Pentru demonstrație e suficient ca un rang să existe.

5. Cazurile $q=1$ și $|q|<1$

Cazul $q=1$ este imediat: șirul este constant, $1^n=1$, deci limita este $1$. Este singura valoare a lui $q$ pentru care limita nu e nici $0$, nici infinită.

Propoziție. Dacă $|q|<1$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0$.

Demonstrație. Dacă $q=0$, șirul este constant $0$ și concluzia e clară. Presupunem $q\ne 0$. Atunci $\frac{1}{|q|}>1$, deci putem scrie $\frac{1}{|q|}=1+h$ cu $h>0$. Aplicăm Bernoulli: $$\frac{1}{|q{|}^n}=(1+h{)}^n\ge 1+nh⟹|q^n-0|=|q{|}^n\le \frac{1}{1+nh}.$$ Fie $\epsilon >0$. Condiția $\frac{1}{1+nh}<\epsilon$ înseamnă $1+nh>\frac{1}{\epsilon }$, adică $n>\frac{1}{h}\left(\frac{1}{\epsilon }-1\right)$. De la acest rang încolo, toți termenii se află în intervalul $(-\epsilon ,\epsilon )$, deci limita este $0$. $■$

Observă că demonstrația funcționează și pentru $q$ negativ: am lucrat de la bun început cu $|q|$. Șirul ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$ are termeni care sar de o parte și de alta a lui zero — $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$ — dar distanța lor față de $0$ scade, și doar asta contează.

Verificare pe cifre: pentru $q=\frac{1}{2}$ (deci $h=1$) și $\epsilon =0,001$, Bernoulli garantează rangul $n>999$, iar rangul adevărat este $10$, fiindcă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=0,0009765\dots <0,001$.

6. Cazul $q\le -1$: șirul care nu are limită

Aici apare situația pe care ai întâlnit-o teoretic la lecția Șiruri convergente și șiruri divergente: un șir care nu are limită deloc — nici finită, nici infinită. Unealta este teorema subșirurilor: dacă un șir are limită, atunci orice subșir al lui are aceeași limită. Prin urmare, dacă găsim două subșiruri cu limite diferite, șirul nu poate avea limită.

Cazul $q=-1$. Șirul este $-1,1,-1,1,\dots$. Subșirul termenilor de rang par este constant $1$, deci are limita $1$; subșirul termenilor de rang impar este constant $-1$, deci are limita $-1$. Cele două limite diferă, deci $((-1{)}^n{)}_n$ nu are limită.

Cazul $q<-1$. Fie, de pildă, $q=-2$: termenii sunt $-2,4,-8,16,-32,64,\dots$. Subșirul de rang par este $q^{2k}=(q^2{)}^k$, iar $q^2>1$, deci — conform cazului tratat în paragraful 4 — acest subșir are limita $+\infty$. Subșirul de rang impar este $q^{2k+1}=-|q{|}^{2k+1}$, un șir de numere negative ale căror module cresc nemărginit, deci are limita $-\infty$. Limitele diferă, așadar $(q^n)$ nu are limită.

Formularea corectă, cea cerută în bareme: șirul $((-2{)}^n{)}_n$ este divergent și nu are limită. Formularea greșită, foarte răspândită: „limita este $\pm \infty$" — o astfel de scriere nu înseamnă nimic în $\overline{\mathbb{R}}$.

7. Tabelul canonic și legătura cu progresiile geometrice

Strângem tot ce am demonstrat în tabelul pe care îl vei folosi de aici înainte fără să-l mai redemonstrezi:

Și, alături, tabelul pentru puteri:

Șirul $(q^n)$ este, de fapt, o veche cunoștință: din clasa a IX-a știi de la Progresia geometrică și rația ei că o progresie geometrică cu primul termen $b_1$ și rația $q$ are termenul general $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Scriind $b_n=\frac{b_1}{q}\cdot q^n$, vezi că $(b_n)$ este șirul $(q^n)$ înmulțit cu o constantă.

Consecință. Dacă $(b_n)$ este o progresie geometrică cu rația $q$ și $|q|<1$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0$.

Demonstrație. Dacă $b_1=0$, șirul este constant nul. Altfel, $|b_n-0|=|b_1|\cdot |q{|}^{n-1}$, iar din paragraful 5 știm că $|q{|}^{n-1}$ coboară sub orice prag; aplicăm acolo pragul $\frac{\epsilon }{|b_1|}$ în locul lui $\epsilon$ și obținem $|b_n|<\epsilon$ de la un rang încolo. $■$

Am refăcut estimarea în loc să spunem „limita produsului este produsul limitelor" pentru un motiv de disciplină: regula aceea se demonstrează abia la lecția următoare, Operații cu șiruri convergente, și n-avem voie să o folosim înainte de a o avea.

8. Ce se citește dintr-un tabel de valori

Programa cere explicit ca proprietățile unui șir — monotonia, mărginirea, comportamentul spre infinit — să poată fi recunoscute și dintr-un tabel sau de pe un grafic, nu doar din formulă. Merită să exersezi această citire, pentru că la Bacalaureat M1 enunțul îți dă uneori valorile, nu expresia. Iată aceleași trei regimuri, puse unul lângă altul:

Prima coloană urcă fără oprire, iar pașii de creștere se măresc de la un rând la altul: șirul e strict crescător și nemărginit superior, deci limita nu poate fi finită. A doua coloană scade, rămâne mereu pozitivă și se apropie de zero: șirul e strict descrescător, mărginit între $0$ și $0,6$, deci convergent — iar valoarea spre care se strânge se citește chiar din tabel. A treia coloană sare de o parte și de alta a lui zero, iar salturile se măresc: șirul nu e monoton, nu e mărginit și nu se apropie de nimic; două șiruri de valori diferite, cele din rândurile pare și cele din rândurile impare, pleacă în direcții opuse.

O observație de metodă, cerută și ea de programă: un tabel sau un desen făcut cu un instrument digital te ajută să formulezi o ipoteză despre limită, dar nu ține niciodată loc de demonstrație. Un șir precum $(0,999{)}^n$ pare, în primele o sută de rânduri, că se stabilizează undeva pe la $0,9$ — și totuși limita lui este $0$. Ipoteza citită din tabel se verifică apoi cu tabelele demonstrate mai sus; ordinea inversă, „se vede din tabel, deci așa e", este exact greșeala pe care o vânează baremele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea directă a celor două tabele

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^4$, $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[3]{n}$, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^5}$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^0$.

Rezolvare. Toate patru sunt de tip $n^a$; scriem exponentul și citim tabelul. $$n^4:a=4>0\Rightarrow +\infty ;\sqrt[3]{n}=n^{\frac{1}{3}}:a=\frac{1}{3}>0\Rightarrow +\infty ;$$ $$\frac{1}{n^5}=n^{-5}:a=-5<0\Rightarrow 0;n^0=1\Rightarrow 1.$$ Observă că $\sqrt[3]{n}$ crește foarte încet — $\sqrt[3]{10^6}=100$ — dar crește nemărginit; „încet" nu înseamnă „mărginit".

Exemplul 2 — Discuția după poziția lui $q$ față de $1$

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{3}^n$, $\underset{n\to \infty }{\lim }(0,9{)}^n$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{5}{7}\right)}^n$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n$.

Rezolvare. De fiecare dată prima întrebare este: unde se află $q$ față de $1$ și de $-1$?

• $q=3>1$, deci limita este $+\infty$;
• $q=0,9$, cu $|q|<1$, deci limita este $0$ (chiar dacă scăderea e lentă: $(0,9{)}^{50}\approx 0,0052$);
• $q=\frac{5}{7}$, cu $|q|<1$, deci limita este $0$;
• $q=-\frac{2}{3}$: semnul alternează, dar $\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1$, deci limita este tot $0$.

Exemplul 3 — De la ce rang coboară sub un prag

Determinați cel mai mic rang $n$ pentru care ${\left(\frac{3}{4}\right)}^n<0,01$.

Rezolvare. Logaritmăm în baza $10$; funcția logaritmică fiind strict crescătoare, sensul se păstrează: $$n\lg \frac{3}{4}<\lg 0,01=-2.$$ Cum $\lg \frac{3}{4}<0$, la împărțire sensul se schimbă: $n>\frac{-2}{\lg 0,75}\approx 16,008$. Cel mai mic rang natural este deci $n=17$.

Verificare: ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{16}=\frac{43046721}{4294967296}\approx 0,01002>0,01$, iar ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{17}\approx 0,00752<0,01$. ✓

Exemplul 4 — Un șir care nu are limită

Arătați că șirul $a_n=(-3{)}^n$ nu are limită.

Rezolvare. Aici $q=-3\le -1$, deci suntem în cazul „nu există". Scriem argumentul complet, așa cum se cere în barem:

• subșirul termenilor de rang par: $a_{2k}=(-3{)}^{2k}=9^k$, cu $9>1$, deci $\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{2k}=+\infty$;
• subșirul termenilor de rang impar: $a_{2k+1}=-3\cdot 9^k$, un șir de numere negative ale căror module cresc nemărginit, deci $\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{2k+1}=-\infty$.

Dacă șirul $(a_n)$ ar avea limita $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$, atunci ambele subșiruri ar avea limita $\ell$; cum $+\infty \ne -\infty$, presupunerea cade. Șirul este divergent și nu are limită.

Exemplul 5 — Convergență cu parametru

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care șirul $a_n={\left(\frac{m-1}{3}\right)}^n$ este convergent și precizați limita.

Rezolvare. Notăm $q=\frac{m-1}{3}$. Din tabel, $(q^n)$ este convergent — adică are limită finită — exact în cazurile $|q|<1$ (limita $0$) și $q=1$ (limita $1$). Reunind: $-1<q\le 1$. Așadar $$-1<\frac{m-1}{3}\le 1⟺-3<m-1\le 3⟺-2<m\le 4.$$ Limita este $0$ pentru $m\in (-2,4)$ și $1$ pentru $m=4$.

Control pe valori: pentru $m=4$ rația este $1$ ✓; pentru $m=-2$ rația este $-1$, caz în care șirul nu are limită, deci valoarea $-2$ este corect exclusă. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră progresia geometrică $(b_n{)}_{n\ge 1}$ cu $b_1=6$ și rația $q=\frac{1}{3}$. a) Calculați $b_3$. b) Arătați că $b_n=18\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ pentru orice $n\ge 1$. c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$.

Rezolvare.

a) $b_3=b_1{q}^2=6\cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{3}$.

b) Termenul general al unei progresii geometrice este $b_n=b_1{q}^{n-1}$, deci $$b_n=6\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=6\cdot 3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n=18\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n.$$ Control: pentru $n=3$ formula dă $18\cdot \frac{1}{27}=\frac{2}{3}$ ✓, adică exact valoarea de la punctul a).

c) Rația verifică $\left|\frac{1}{3}\right|<1$, deci, conform consecinței demonstrate în paragraful 7, $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0$. Interpretare: termenii progresiei se apropie oricât de mult de zero — de exemplu $b_{20}=18\cdot 3^{-20}<10^{-8}$.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare limită, scrie mai întâi în ce caz al tabelului te afli — baremele de la Bacalaureat M1 acordă punct separat pentru justificare, nu doar pentru rezultat.

1. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^5$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{\frac{1}{4}}$.

2. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{-\frac{2}{3}}$.

3. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{3}^n$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^n$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }(0,99{)}^n$.

4. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-\frac{3}{5}\right)}^n$ și explică de ce alternanța semnului nu împiedică existența limitei.

5. Arată, cu ajutorul a două subșiruri, că șirul $a_n=(-4{)}^n$ nu are limită.

6. Pentru ce valori ale lui $q$ șirul $(q^n)$ are limita $0$? Dar limita $+\infty$?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $|q|>1$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=+\infty$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un șir divergent nu are limită."

9. De la ce rang termenii șirului ${\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}_{n\ge 1}$ sunt mai mici decât $0,001$?

10. De la ce rang termenii șirului $(n^3{)}_{n\ge 1}$ depășesc $10^6$?

11. (Problemă aplicată.) O minge lăsată de la $2$ metri se ridică, după fiecare săritură, la $80\%$ din înălțimea anterioară, deci $h_n=2\cdot (0,8{)}^n$ metri. Calculează $h_1$, $h_5$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{h}_n$, apoi explică în cuvinte ce înseamnă rezultatul.

12. Fie progresia geometrică cu $b_1=5$ și rația $q=\frac{2}{5}$. Scrie termenul general în forma $c\cdot q^n$ și calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$.

13. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care șirul ${\left({\left(\frac{m+2}{4}\right)}^n\right)}_{n\ge 1}$ este convergent și precizează limita în fiecare caz.

14. Compară vitezele: calculează $\frac{1}{n}$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ pentru $n=10$ și $n=20$. Ambele șiruri au limita $0$ — care coboară mai repede?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră progresia geometrică $(b_n{)}_{n\ge 1}$ cu $b_1=4$ și $b_2=2$. a) Determinați rația. b) Arătați că $b_n=8\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$. c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$.

16. Arată că șirul $(q^n)$ este strict crescător pentru $q>1$ și strict descrescător pentru $0<q<1$.

17. Arată că șirul $(n^a{)}_{n\ge 1}$ cu $a<0$ este strict descrescător și mărginit, precizând marginile.

18. (Provocare.) Arată că șirul $(q^n{)}_{n\ge 1}$ este convergent dacă și numai dacă $q\in (-1,1]$ și precizează limita în fiecare dintre cele două situații.

Răspunsuri și explicații

1. Ambii exponenți sunt pozitivi ($5>0$, $\frac{1}{4}>0$), deci ambele limite sunt $+\infty$. Al doilea șir crește foarte încet: $n^{\frac{1}{4}}=10$ abia pentru $n=10^4$.

2. $\frac{1}{n^3}=n^{-3}$ cu $-3<0$, deci limita este $0$; la fel, $n^{-\frac{2}{3}}$ are exponent negativ, deci limita este $0$.

3. $3>1\Rightarrow +\infty$; $\left|\frac{1}{4}\right|<1\Rightarrow 0$; $|0,99|<1\Rightarrow 0$. Ultimul e o capcană de intuiție: șirul coboară foarte încet ($(0,99{)}^{100}\approx 0,366$), dar coboară până la zero.

4. $\left|-\frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5}<1$, deci limita este $0$. Demonstrația din paragraful 5 lucrează de la început cu $|q|$: contează doar distanța termenilor față de $0$, nu partea lor de care se află.

5. $a_{2k}=16^k\to +\infty$, iar $a_{2k+1}=-4\cdot 16^k\to -\infty$. Dacă șirul ar avea limită, ambele subșiruri ar avea aceeași limită; cum $+\infty \ne -\infty$, șirul nu are limită.

6. Limita este $0$ exact pentru $|q|<1$, adică $q\in (-1,1)$. Limita este $+\infty$ exact pentru $q>1$.

7. Fals. Condiția $|q|>1$ acoperă și cazul $q<-1$, în care șirul nu are limită (de pildă $q=-2$). Afirmația e adevărată doar cu ipoteza suplimentară $q>0$, adică $q>1$.

8. Fals. „Divergent" înseamnă „nu este convergent", adică nu are limită finită. Șirul $(2^n)$ este divergent și are totuși limita $+\infty$. Abia șirurile de tip $((-1{)}^n)$ sunt divergente fără limită.

9. Căutăm cel mai mic $n$ cu ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n<0,001$, adică $2^n>1000$. Cum $2^9=512$ și $2^{10}=1024$, rangul căutat este $n=10$.

10. $n^3>10^6⟺n>100$, fiindcă $100^3=10^6$. Cel mai mic rang este $n=101$.

11. $h_1=1,6$ m; $h_5=2\cdot (0,8{)}^5=2\cdot 0,32768=0,65536$ m. Cum $|0,8|<1$, avem $\underset{n\to \infty }{\lim }{h}_n=0$: înălțimile săriturilor scad sub orice valoare, oricât de mică — mingea „se stinge" pe loc, deși din punct de vedere matematic nu se oprește niciodată.

12. $b_n=5\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^{n-1}=5\cdot \frac{5}{2}\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^n=\frac{25}{2}\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^n$. Cum rația are modulul subunitar, limita este $0$. Control: pentru $n=1$ formula dă $\frac{25}{2}\cdot \frac{2}{5}=5=b_1$ ✓.

13. Notăm $q=\frac{m+2}{4}$. Convergență $⟺-1<q\le 1⟺-4<m+2\le 4⟺-6<m\le 2$. Limita este $0$ pentru $m\in (-6,2)$ și $1$ pentru $m=2$.

14. Pentru $n=10$: $\frac{1}{10}=0,1$, iar ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=0,0009765\dots$ Pentru $n=20$: $0,05$, respectiv aproximativ $9,5\cdot 10^{-7}$. Șirul geometric coboară incomparabil mai repede — o observație care va conta la compararea creșterilor, în lecția Modelarea proceselor de creștere și de descreștere prin șiruri.

15. a) $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. b) $b_n=4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=4\cdot 2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=8\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$; control pentru $n=2$: $8\cdot \frac{1}{4}=2=b_2$ ✓. c) Rația are modulul subunitar, deci limita este $0$.

16. Pentru $q>1$: $q^{n+1}-q^n=q^n(q-1)>0$, ambii factori fiind pozitivi, deci șirul este strict crescător. Pentru $0<q<1$: același calcul dă $q^n(q-1)<0$, fiindcă $q-1<0$, deci șirul este strict descrescător.

17. Fie $a<0$. Din $n<n+1$ și din faptul că funcția putere de exponent negativ este strict descrescătoare pe $(0,\infty )$, rezultă $n^a>(n+1{)}^a$: șirul este strict descrescător. Toți termenii sunt strict pozitivi, deci $0$ este minorant, iar primul termen, $1^a=1$, este cel mai mare: $0<n^a\le 1$. Șirul este mărginit.

18. „$\Leftarrow$": dacă $-1<q<1$, limita este $0$ (paragraful 5); dacă $q=1$, limita este $1$. În ambele cazuri limita e finită, deci șirul e convergent. „$\Rightarrow$": presupunem șirul convergent. Cazul $q>1$ dă limita $+\infty$, deci nu e convergent; cazul $q\le -1$ dă un șir fără limită, deci cu atât mai puțin convergent. Rămâne exact $q\in (-1,1]$, iar limita este $0$ pentru $q\in (-1,1)$ și $1$ pentru $q=1$.

De reținut

• Șirul $(n^a)$: limita este $+\infty$ pentru $a>0$, $1$ pentru $a=0$ și $0$ pentru $a<0$. Cazurile de folosit zilnic: $n\to +\infty$, $\sqrt{n}\to +\infty$, $\frac{1}{n}\to 0$, $\frac{1}{n^2}\to 0$.
• Șirul $(q^n)$, cele patru cazuri: $0$ pentru $|q|<1$; $1$ pentru $q=1$; $+\infty$ pentru $q>1$; nu există limită pentru $q\le -1$.
• Un șir este convergent doar dacă limita e finită. Prin urmare $(q^n)$ este convergent exact pentru $q\in (-1,1]$.
• Inegalitatea lui Bernoulli, $(1+h{)}^n\ge 1+nh$ pentru $h>-1$, este unealta care coboară exponentul la gradul întâi și face posibile ambele demonstrații.
• Ca să arăți că un șir NU are limită, pui în evidență două subșiruri cu limite diferite — metoda standard, cerută ca atare în bareme.

Greșeli frecvente

• Confuzia „divergent" cu „fără limită". Șirul $(3^n)$ este divergent, dar are limita $+\infty$; șirul $((-3{)}^n)$ este divergent și nu are limită. Divergent înseamnă doar „nu are limită finită".
• Scrierea „limita este $\pm \infty$". Pentru $q<-1$ mulți elevi notează $\lim q^n=\pm \infty$. Nu există un asemenea element în $\overline{\mathbb{R}}$: răspunsul corect este „nu există limită", justificat cu două subșiruri.
• Ignorarea semnului bazei. Din $|q|>1$ se trage concluzia $+\infty$, uitând cazul $q$ negativ. Prima întrebare la $(q^n)$ este întotdeauna: unde se află $q$ față de $-1$ și față de $1$?
• Confuzia dintre $q^n$ și $n^a$. În $(q^n)$ variabila stă în exponent, în $(n^a)$ stă în bază. Sunt tabele diferite: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$, dar $n^{\frac{1}{2}}=\sqrt{n}\to +\infty$.
• Credința că un șir care crește încet este mărginit. $\sqrt[3]{n}$ ajunge la $100$ abia pentru $n=10^6$, dar depășește orice prag: limita este $+\infty$, nu o valoare finită.

Aplică acasă

1. Foaia care nu se mai vede. Ia o foaie A4 și taie din ea, de fiecare dată, jumătate din ce a rămas. Notează pe caiet, ca șir, fracțiunea rămasă: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, … După câte tăieturi ajungi sub o miime din foaia inițială? Compară răspunsul cu rangul calculat teoretic ($2^n>1000$, deci $n=10$).

2. Dobânda din extrasul de cont. Caută dobânda anuală a unui depozit bancar (de exemplu $5\%$) și scrie factorul de creștere după $n$ ani: $(1,05{)}^n$. Fiind $q>1$, șirul are limita $+\infty$ — calculează totuși după câți ani suma se dublează, încercând valori, și vei vedea cât de mult diferă „nemărginit" de „repede".

3. Tabel cu trei coloane. Într-un tabel cu coloanele $n$, $n^2$ și $(1,1{)}^n$, completează rândurile pentru $n=1,5,10,20,50,100$. Vezi de la ce rang creșterea geometrică o depășește definitiv pe cea polinomială — o comparație pe care o vei relua riguros la Cazurile de nedeterminare infinit minus infinit și infinit supra infinit.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează cele două șiruri-etalon ale întregii analize de liceu. Ideea centrală, pe care elevul trebuie să o poată formula singur, este că răspunsul nu se memorează ca o listă, ci decurge dintr-o singură estimare — inegalitatea lui Bernoulli — aplicată de două ori: o dată bazei $q$, o dată inversului ei.

Ce verifică lecția: (1) discuția completă pe cazuri la $(q^n)$, cu toate cele patru ramuri, inclusiv $q\le -1$; (2) folosirea corectă a cuvintelor „convergent", „divergent" și „nu are limită"; (3) tehnica celor două subșiruri pentru inexistența limitei; (4) transferul rezultatului la o progresie geometrică oarecare. Întrebări bune de control: „Câte cazuri are discuția lui $q^n$ și care sunt?", „De ce $((-2{)}^n)$ nu are limită, deși termenii cresc în valoare absolută?", „Ce înseamnă exact că un șir e divergent?".

La BAC M1, aceste limite apar în aproape fiecare variantă, cel mai adesea ascunse într-un raport sau într-o sumă de progresie geometrică; punctele se pierd aproape întotdeauna la cazul $q\le -1$ și la formularea „limita este $\pm \infty$". Semne că elevul a înțeles: înainte de a calcula, spune în ce caz se află; și nu confundă viteza mică de creștere cu mărginirea.

Întrebări frecvente

Care este limita șirului $q$ la puterea $n$? Depinde de $q$, în patru cazuri: $0$ dacă $|q|<1$; $1$ dacă $q=1$; $+\infty$ dacă $q>1$; iar dacă $q\le -1$, șirul nu are limită. Este singura discuție din unitate în care apare, ca răspuns corect, inexistența limitei.

De ce șirul $(-1)$ la puterea $n$ nu are limită? Pentru că termenii lui sunt alternativ $-1$ și $1$. Subșirul termenilor de rang par este constant $1$, cel de rang impar este constant $-1$, deci cele două subșiruri au limite diferite. Dacă șirul ar avea limită, orice subșir ar avea aceeași limită — contradicție.

Care este limita lui $n$ la puterea $a$? Este $+\infty$ pentru orice exponent pozitiv, $1$ pentru $a=0$ și $0$ pentru orice exponent negativ. Valorile uzuale: $\lim n=+\infty$, $\lim \sqrt{n}=+\infty$, $\lim \frac{1}{n}=0$.

Ce diferență este între un șir divergent și un șir care nu are limită? Divergent înseamnă „nu are limită finită". Un șir divergent poate totuși avea limita $+\infty$ sau $-\infty$ — de exemplu $(2^n)$. „Nu are limită" este un caz mai tare, în care nu există nicio valoare, nici finită, nici infinită, spre care șirul să tindă; exemplul standard este $((-1{)}^n)$.

Cum se demonstrează că $q$ la puterea $n$ tinde la infinit când $q$ este mai mare decât $1$? Se scrie $q=1+h$ cu $h>0$ și se aplică inegalitatea lui Bernoulli: $q^n\ge 1+nh$. Cum membrul drept depășește orice prag $M$ de îndată ce $n>\frac{M-1}{h}$, cu atât mai mult îl depășește $q^n$ — adică limita este $+\infty$.

Ce se întâmplă cu o progresie geometrică cu rația subunitară? Termenii ei tind la $0$. Scriind $b_n=b_1{q}^{n-1}$, distanța față de zero este $|b_1|\cdot |q{|}^{n-1}$, care coboară sub orice prag atunci când $|q|<1$. Este exact modelul dezintegrării radioactive și al mingii care sare tot mai jos.

De ce inegalitatea lui Bernoulli dă un rang mai mare decât cel adevărat? Pentru că este o estimare, nu o egalitate: ea înlocuiește creșterea rapidă a puterii cu una liniară, mai lentă. Pentru demonstrație e suficient să existe un rang de la care inegalitatea e sigură; cel mai mic rang se află separat, prin logaritmare sau prin încercări.

Ce înseamnă că șirul este convergent doar pentru $q$ între $-1$ și $1$? Înseamnă că limita este finită exact pentru $q\in (-1,1]$: valoarea $0$ pentru $q$ strict între $-1$ și $1$, valoarea $1$ pentru $q=1$. În rest, fie limita este infinită ($q>1$), fie nu există ($q\le -1$) — în ambele situații șirul este divergent.