Mărginirea unui șir: pe scurt

Șirul $(a_n)$ este mărginit superior dacă există $M\in \mathbb{R}$ cu $a_n\le M$ pentru orice $n$, mărginit inferior dacă există $m$ cu $m\le a_n$, și mărginit dacă le are pe amândouă: $m\le a_n\le M$. Forma echivalentă, cu o singură constantă, este $|a_n|\le M$ pentru orice $n$, cu $M>0$ — adică toți termenii încap în banda $[-M,M]$.

Ordinea cuantificatorilor este toată lecția: constanta se fixează înaintea rangului. Un „majorant” în care apare litera $n$ nu demonstrează nimic, pentru că afirmația „pentru orice $n$ există $M$ cu $a_n\le M$” e adevărată la orice șir.

Trei metode: prelucrarea termenului general (la fracții, scoaterea părții întregi, ca în $\frac{2n+1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1}$), majorarea grosieră (înlocuiești o expresie cu una mai mare, dar simplă, de pildă $\frac{n}{n^2+1}<\frac{1}{n}\le 1$) și **inducția**, la șirurile date prin recurență. Nemărginirea superioară se arată negând definiția: pentru orice prag $M$ trebuie găsit un rang cu $a_n>M$.

Monotonia scurtează munca: un șir crescător este minorat de $a_1$, unul descrescător este majorat de $a_1$. Atenție, mărginirea nu înseamnă tendință — șirul $(-1{)}^n$ este mărginit și nu se stabilizează nicăieri.

Exerciții din această mini-lecție

1. Șirul $a_n=\frac{3n+7}{n+2}$, $n\ge 1$, verifică:

   • a) $3<a_n\le \frac{10}{3}$
   • b) $0<a_n<3$
   • c) $3\le a_n\le \frac{10}{3}$
   • d) $\frac{10}{3}<a_n<4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $3<a_n\le \frac{10}{3}$

   Rescriem $a_n=\frac{3(n+2)+1}{n+2}=3+\frac{1}{n+2}$. Din $n\ge 1$ rezultă $0<\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{3}$, deci $3<a_n\le \frac{10}{3}$. Marginea superioară $\frac{10}{3}$ este atinsă (la $n=1$), iar marginea inferioară $3$ nu este atinsă niciodată — de aceea inegalitatea din stânga este strictă.

2. Afirmația „șirul $(a_n)$ nu este mărginit superior” înseamnă că:

   • a) șirul este strict crescător
   • b) există un rang $n$ cu $a_n>10^6$
   • c) pentru orice $M\in \mathbb{R}$ există un rang $n$ cu $a_n>M$
   • d) există $M\in \mathbb{R}$ astfel încât $a_n>M$ pentru orice $n$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) pentru orice $M\in \mathbb{R}$ există un rang $n$ cu $a_n>M$

   Negarea definiției schimbă cuantificatorii între ei: din „există $M$ astfel încât pentru orice $n$…” se ajunge la „pentru orice $M$ există un $n$…”. Varianta b) este prea slabă (un singur prag depășit nu spune nimic), iar d) este o afirmație despre minorare. Creșterea nu implică nemărginirea: $a_n=1-\frac{1}{n}$ crește și rămâne sub $1$.

3. Care dintre următoarele șiruri este mărginit?

   • a) $a_n=n-\frac{1}{n}$
   • b) $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{3n}{n+2}$
   • c) $a_n=n^2-4n$
   • d) $a_n=2^n$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{3n}{n+2}$

   Semnul alternant nu schimbă modulul: $|a_n|=\frac{3n}{n+2}<\frac{3n}{n}=3$, deci $-3<a_n<3$ pentru orice $n$. Celelalte trei sunt nemărginite superior: $n-\frac{1}{n}>n-1$, $n^2-4n=(n-2{)}^2-4$ și $2^n>n$ depășesc orice prag. Observă că șirul mărginit de aici nu este monoton — cele două proprietăți sunt independente.