Mărginirea unui șir

Într-o cameră cu termostat, temperatura măsurată din oră în oră formează un șir de numere: $21, 4$ ; $22, 1$ ; $20, 8$ ; $22, 3$ și așa mai departe. Nu poți prezice termenul următor, dar poți spune ceva sigur despre toți termenii, prezenți și viitori: niciunul nu va coborî sub $20$ și niciunul nu va urca peste $23$ . Aparatul nu garantează o valoare anume, ci o bandă din care șirul nu iese niciodată.

Exact aceasta este noțiunea pe care o construim acum. Un șir se poate comporta oricât de dezordonat — poate urca, coborî, oscila — și totuși să rămână prins între două numere fixe; sau, dimpotrivă, poate să depășească orice prag îți imaginezi. Distincția pare modestă, dar este una dintre cele două cărămizi (cealaltă este monotonia, de la lecția Șiruri de numere reale: moduri de definire și monotonie) din care se construiește, câteva lecții mai încolo, întreaga teorie a limitelor.

Ce vei învăța

Vei ști să definești riguros un șir mărginit superior, mărginit inferior și mărginit, folosind mulțimea termenilor și noțiunile de majorant și minorant.
Vei ști să folosești forma cu modul: $(a_{n})$ este mărginit dacă și numai dacă există $M > 0$ cu $∣ a_{n} ∣ \leq M$ pentru orice $n$ — și de ce este esențial ca $M$ să nu depindă de $n$ .
Vei ști să demonstrezi mărginirea prin prelucrarea termenului general, prin majorare grosieră și, la șirurile date prin recurență, prin inducție matematică.
Vei ști să arăți că un șir nu este mărginit, scriind corect negația definiției.
Vei ști să legi mărginirea de monotonie: la un șir monoton rămâne de verificat un singur capăt al benzii.
Vei ști să citești mărginirea de pe graficul unui șir și să deosebești marginile mulțimii termenilor de simplii majoranți.

Hai să descoperim împreună

1. Mulțimea termenilor unui șir

Un șir de numere reale este o funcție $a : N^{*} \to R$ , notată $(a_{n})_{n \geq 1}$ ; asta ai văzut la Șiruri: termen, rang, formula termenului general. Nou este pasul următor: privim mulțimea valorilor pe care le ia șirul, $A = {a_{n} ∣ n \in N^{*}} = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots} \subseteq R .$

Odată ce avem o mulțime de numere reale, avem la dispoziție tot vocabularul din lecția Mulțimea numerelor reale. Mulțimi mărginite și nemărginite: majorant, minorant, mulțime majorată, minorată, mărginită. Definițiile de mai jos nu sunt, de fapt, definiții noi — sunt aceleași, citite pe mulțimea $A$ .

Definiție. Fie $(a_{n})_{n \geq 1}$ un șir de numere reale.

$(a_{n})$ se numește mărginit superior (sau majorat) dacă există $M \in R$ astfel încât $a_{n} \leq M$ pentru orice $n \in N^{*}$ . Numărul $M$ se numește majorant al șirului.
$(a_{n})$ se numește mărginit inferior (sau minorat) dacă există $m \in R$ astfel încât $m \leq a_{n}$ pentru orice $n \in N^{*}$ . Numărul $m$ se numește minorant.
$(a_{n})$ se numește mărginit dacă este și majorat, și minorat, adică dacă există $m, M \in R$ cu $m \leq a_{n} \leq M pentru orice n \in N^{*} .$

Citește cu voce tare cuantificatorii, în ordinea în care sunt scriși: există un număr $M$ , fixat o dată pentru totdeauna, care merge pentru orice rang $n$ . Ordinea lor este toată lecția. Dacă răstorni ordinea și spui „pentru orice rang $n$ există un număr $M$ cu $a_{n} \leq M$ ", afirmația devine adevărată la absolut orice șir — e de ajuns să iei $M = a_{n}$ — deci nu mai deosebește nimic de nimic. Puterea definiției stă exact în faptul că o singură constantă trebuie să facă față tuturor rangurilor deodată.

Încă o observație de vocabular, care ajută la exerciții: mulțimea $A$ poate fi infinită (ca la $a_{n} = \frac{1}{n}$ , unde toți termenii sunt diferiți) sau finită (ca la $a_{n} = (- 1)^{n}$ , unde $A = {- 1, 1}$ ). Un șir are întotdeauna o infinitate de termeni, dar nu neapărat o infinitate de valori — iar mărginirea privește valorile.

2. Forma cu modul — o singură constantă în loc de două

În practică e mai comod să lucrezi cu o singură constantă. Traducerea se face prin modul.

Teoremă. Șirul $(a_{n})$ este mărginit dacă și numai dacă există $M > 0$ astfel încât $∣ a_{n} ∣ \leq M pentru orice n \in N^{*} .$

Demonstrație. „ $\Leftarrow$ ": dacă $∣ a_{n} ∣ \leq M$ , atunci $- M \leq a_{n} \leq M$ , deci șirul este minorat de $- M$ și majorat de $M$ .

„ $\Rightarrow$ ": presupunem $m \leq a_{n} \leq M$ pentru orice $n$ și luăm $K = max {∣ m ∣, ∣ M ∣}$ . Atunci $- K \leq m \leq a_{n} \leq M \leq K$ , deci $∣ a_{n} ∣ \leq K$ pentru orice $n$ . Dacă din întâmplare $K = 0$ , șirul este constant nul și putem lua $M = 1$ . $■$

Geometric, $∣ a_{n} ∣ \leq M$ înseamnă că toți termenii se află în intervalul $[- M, M]$ , adică la distanță cel mult $M$ de origine. Banda este simetrică; de aceea forma cu modul este mai slabă ca informație (pierdem asimetria lui $m$ și $M$ ), dar mai comodă în calcule.

Toți termenii încap între m = −1 și M = 3,5

3. Cum arată nemărginirea

Ca să arăți că un șir nu este mărginit superior, negi definiția, iar negația schimbă cuantificatorii între ei:

Definiție (negată). $(a_{n})$ nu este mărginit superior dacă pentru orice $M \in R$ există un rang $n_{M} \in N^{*}$ astfel încât $a_{n_{M}} > M$ .

Cu alte cuvinte: oricât de sus ai pune ștacheta, șirul o depășește măcar o dată. Observă că nu se cere ca șirul să o depășească de la un rang încolo — e de ajuns un singur termen deasupra fiecărui prag.

Exemplu. Șirul $a_{n} = 3 n - 2$ nu este mărginit superior: dat $M$ , alegem un rang $n > \frac{M + 2}{3}$ (posibil, pentru că $N^{*}$ nu este majorată în $R$ — proprietatea lui Arhimede) și obținem $a_{n} > M$ . Concret, pentru $M = 1 0^{6}$ primul rang care depășește pragul este $n = 333335$ , cu $a_{333335} = 1000003$ .

Exemplu. Șirul $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot n$ , adică $- 1, 2, - 3, 4, - 5, \dots$ , nu este mărginit nici superior, nici inferior: termenii de rang par urcă peste orice prag, cei de rang impar coboară sub orice prag.

Exemplul acesta lămurește și o confuzie de limbaj. Un șir este nemărginit dacă îi lipsește măcar unul dintre cele două capete ale benzii: fie nu are majorant, fie nu are minorant, fie nu are niciunul. Ca să demonstrezi că un șir este nemărginit, este suficient, deci, să spargi un singur capăt — nu trebuie să le spargi pe amândouă. Și, invers, ca să demonstrezi că un șir este mărginit, ai de arătat două lucruri, nu unul.

4. Prima metodă: prelucrarea termenului general

Cea mai des folosită tehnică este să rescrii termenul general până când mărginirea devine vizibilă. Tiparul obișnuit la fracții: împarte și scoate partea întreagă.

Fie $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 1}$ . Scriem numărătorul cu ajutorul numitorului: $2 n + 1 = 2 (n + 1) - 1$ , deci $a_{n} = \frac{2 ( n + 1 ) - 1}{n + 1} = 2 - \frac{1}{n + 1} .$ Acum totul se citește dintr-o privire. Pentru orice $n \geq 1$ avem $0 < \frac{1}{n + 1} \leq \frac{1}{2}$ , prin urmare $\frac{3}{2} \leq a_{n} < 2 pentru orice n \in N^{*} .$ Șirul este mărginit, cu minorantul $\frac{3}{2}$ (atins la $n = 1$ ) și majorantul $2$ (niciodată atins).

Merită subliniat: am obținut două informații diferite. Una este că $\frac{3}{2}$ și $2$ încadrează șirul; cealaltă, mai fină, este că $\frac{3}{2}$ este chiar cea mai mare valoare de jos care încadrează, iar $2$ cea mai mică de sus. Prima ține de mărginire, a doua de marginile mulțimii termenilor (secțiunea 8).

5. A doua metodă: majorarea grosieră

Nu ești obligat să găsești cea mai bună margine. Definiția cere un majorant, nu majorantul optim — iar o majorare brutală este adesea suficientă și mult mai rapidă.

Fie $a_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1}$ . În loc să căutăm maximul, observăm că $n^{2} + 1 > n^{2}$ , deci $0 < a_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1} < \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n} \leq 1.$ Gata: șirul este mărginit, cu $0 < a_{n} \leq 1$ . (Marginea exactă este $\frac{1}{2}$ , atinsă la $n = 1$ , dar nu aveam nevoie de ea.)

Același truc funcționează ori de câte ori apare o funcție deja mărginită. De pildă, $b_{n} = \frac{cos n}{n}$ verifică $∣ cos n ∣ \leq 1$ , de unde $∣ b_{n} ∣ \leq \frac{1}{n} \leq 1 pentru orice n \geq 1.$

Observație utilă. Dacă $a_{n} \leq M$ doar de la un rang $n_{0}$ încolo, șirul este totuși mărginit superior: primii $n_{0} - 1$ termeni sunt în număr finit, deci au un cel mai mare element, iar $M^{'} = max {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n_{0} - 1}, M}$ majorează tot șirul. Un număr finit de termeni nu poate strica mărginirea — idee la care vom reveni.

6. A treia metodă: inducția, pentru șiruri date prin recurență

Când șirul e definit prin recurență, nu ai o formulă a termenului general pe care s-o prelucrezi. Atunci demonstrezi încadrarea cu metoda inducției matematice: arăți că proprietatea „ $a_{n}$ este în bandă" se transmite de la un termen la următorul.

Exemplu. Fie $a_{1} = 1$ și $a_{n + 1} = 2 + a_{n}$ pentru orice $n \geq 1$ . Arătăm că $1 \leq a_{n} < 2$ pentru orice $n$ .

Verificarea: $a_{1} = 1$ , deci $1 \leq a_{1} < 2$ . ✓

Pasul: presupunem $1 \leq a_{n} < 2$ . Atunci $3 \leq 2 + a_{n} < 4$ , iar funcția radical este crescătoare, deci $3 \leq a_{n + 1} < 2$ . Cum $3 > 1$ , avem în particular $1 \leq a_{n + 1} < 2$ , adică exact proprietatea cerută pentru rangul următor. $■$

Reține tiparul: majorantul $2$ nu a fost ghicit la întâmplare — el este numărul care se reproduce prin recurență, adică soluția ecuației $x = 2 + x$ . Când vei relua șirurile recurente la lecția Șiruri definite prin recurență: studiul convergenței, vei vedea că acest număr este și răspunsul final al problemei.

7. Monotonia scurtează munca

Dacă știi deja că șirul este monoton, jumătate din treabă e făcută.

Propoziție. Un șir crescător este mărginit inferior de primul său termen: $a_{1} \leq a_{n}$ pentru orice $n$ . Un șir descrescător este mărginit superior de primul său termen.

Demonstrație (pentru șiruri crescătoare). Prin inducție: $a_{1} \leq a_{1}$ ; iar dacă $a_{1} \leq a_{n}$ , atunci $a_{1} \leq a_{n} \leq a_{n + 1}$ . $■$

Consecința practică: la un șir crescător rămâne de verificat doar existența unui majorant, iar la unul descrescător doar existența unui minorant. Șirul din secțiunea 6 este crescător (se poate demonstra tot prin inducție), deci minorarea prin $1$ era garantată; efortul real era majorantul $2$ .

Această pereche „monoton + mărginit" nu este o coincidență de exercițiu: ea este exact ipoteza teoremei lui Weierstrass, pe care o vei întâlni la lecția Teorema lui Weierstrass: monotonie, mărginire, convergență. Deocamdată reține doar că cele două proprietăți sunt, împreună, foarte puternice.

8. Marginile mulțimii termenilor și lectura grafică

Mulțimea $A$ a termenilor unui șir mărginit are, conform lecției Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți, o margine superioară $sup A$ și o margine inferioară $in f A$ . Ele pot fi atinse sau nu:

Șirul	$in f$	atins?	$sup$	atins?
$a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$	$0$	da, la $n = 1$	$1$	nu
$a_{n} = 2 - \frac{1}{n + 1}$	$\frac{3}{2}$	da, la $n = 1$	$2$	nu
$a_{n} = (- 1)^{n}$	$- 1$	da	$1$	da

Pe grafic, un șir se desenează ca o mulțime de puncte izolate $(n, a_{n})$ — nu ca o curbă continuă, pentru că între rangurile $3$ și $4$ nu există nimic. Șirul este mărginit exact atunci când toate aceste puncte încap într-o bandă orizontală de lățime finită.

Aceeași informație se poate citi și dintr-un tabel de valori, dar cu o precauție. Dacă vezi în tabel primii cincisprezece termeni ai unui șir și toți stau între $2$ și $3$ , ai dreptul să bănuiești mărginirea și să propui banda $[2, 3]$ — atât. Un tabel arată un număr finit de termeni, iar definiția vorbește despre toți. Lectura grafică și cea numerică sunt unelte de explorare excelente: ele îți dau ipoteza. Demonstrația vine după, prin una dintre cele trei metode de mai sus.

Mărginit: punctele încap într-o bandă. Nemărginit: nu

Un avertisment care anticipează lecția următoare: mărginirea nu spune nimic despre „apropierea" de o valoare. Șirul $(- 1)^{n}$ este perfect mărginit și totuși sare la nesfârșit între $- 1$ și $1$ , fără să se stabilizeze nicăieri. Ce înseamnă exact „se apropie de" vei afla la Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Încadrare prin prelucrarea termenului general

Arătați că șirul $a_{n} = \frac{3 n + 5}{n + 2}$ , $n \geq 1$ , este mărginit și precizați o încadrare.

Rezolvare. Scriem numărătorul cu ajutorul numitorului: $3 n + 5 = 3 (n + 2) - 1$ , deci $a_{n} = 3 - \frac{1}{n + 2} .$ Pentru $n \geq 1$ avem $0 < \frac{1}{n + 2} \leq \frac{1}{3}$ , prin urmare $3 - \frac{1}{3} \leq a_{n} < 3$ , adică $\frac{8}{3} \leq a_{n} < 3 pentru orice n \in N^{*} .$ Șirul este mărginit. Verificare: $a_{1} = \frac{8}{3}$ ✓ (minorantul este atins), $a_{2} = \frac{11}{4} = 2, 75 < 3$ ✓.

Exemplul 2 — Majorare grosieră

Arătați că șirul $a_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1}$ este mărginit.

Rezolvare. Toți termenii sunt strict pozitivi, deci $0$ este minorant. Pentru majorant nu căutăm valoarea optimă, ci una comodă: din $n^{2} + 1 > n^{2}$ rezultă $0 < a_{n} < \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n} \leq 1.$ Deci $0 < a_{n} \leq 1$ și șirul este mărginit. (Cine vrea marginea exactă observă că $a_{1} = \frac{1}{2}$ și că șirul este descrescător, deci $sup A = \frac{1}{2}$ , atins.)

Exemplul 3 — Mărginit doar într-o parte

Studiați mărginirea șirului $a_{n} = n^{2} - 10 n$ .

Rezolvare. Expresia $x^{2} - 10 x$ este valoarea unei funcții de gradul al doilea cu vârful în $x = 5$ , unde ia valoarea $- 25$ . Cum $a_{n} = (n - 5)^{2} - 25 \geq - 25$ pentru orice $n$ , șirul este mărginit inferior de $- 25$ , iar valoarea $- 25$ este chiar atinsă, la $n = 5$ .

Superior, șirul nu este mărginit: pentru orice $M > 0$ , alegând $n > M + 10$ obținem $a_{n} = n (n - 10) > M$ . Verificare numerică: $a_{4} = - 24$ , $a_{5} = - 25$ , $a_{6} = - 24$ , iar $a_{1 0^{6}} = 999990000000$ . Concluzie: mărginit inferior, nemărginit superior, deci nemărginit.

Exemplul 4 — Un șir oscilant, dar mărginit

Arătați că șirul $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{2 n}{n + 3}$ este mărginit.

Rezolvare. Semnul alternant nu influențează modulul: $∣ a_{n} ∣ = \frac{2 n}{n + 3} < \frac{2 n}{n} = 2.$ Deci $∣ a_{n} ∣ < 2$ pentru orice $n$ , adică $- 2 < a_{n} < 2$ : șirul este mărginit. Verificare: $a_{1} = - \frac{1}{2}$ , $a_{2} = \frac{4}{5}$ , $a_{3} = - 1$ . Observă că șirul nu este monoton — mărginirea nu cere monotonie.

Exemplul 5 — Mărginire prin inducție la un șir recurent

Fie $a_{1} = 3$ și $a_{n + 1} = \frac{a _{n} + 6}{2}$ . Arătați că $3 \leq a_{n} < 6$ pentru orice $n \geq 1$ .

Rezolvare. Verificarea: $a_{1} = 3$ , deci $3 \leq a_{1} < 6$ . ✓

Pasul: presupunem $3 \leq a_{n} < 6$ . Adunând $6$ : $9 \leq a_{n} + 6 < 12$ ; împărțind la $2$ : $\frac{9}{2} \leq a_{n + 1} < 6.$ Cum $\frac{9}{2} > 3$ , avem în particular $3 \leq a_{n + 1} < 6$ , ceea ce încheie inducția. $■$

Verificare: $a_{2} = \frac{9}{2} = 4, 5$ , $a_{3} = \frac{21}{4} = 5, 25$ — ambele în bandă, iar șirul urcă spre $6$ fără să-l atingă. Numărul $6$ este, din nou, soluția ecuației $x = \frac{x + 6}{2}$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu $a_{n} = \frac{2 n + 3}{n + 1}$ . a) Calculați $a_{1}$ , $a_{2}$ și $a_{3}$ . b) Arătați că $a_{n} = 2 + \frac{1}{n + 1}$ pentru orice $n \geq 1$ . c) Demonstrați că șirul este mărginit și precizați cel mai mic majorant și cel mai mare minorant.

Rezolvare.

a) $a_{1} = \frac{5}{2}$ , $a_{2} = \frac{7}{3}$ , $a_{3} = \frac{9}{4}$ .

b) $2 n + 3 = 2 (n + 1) + 1$ , deci $a_{n} = \frac{2 ( n + 1 ) + 1}{n + 1} = 2 + \frac{1}{n + 1}$ .

c) Pentru orice $n \geq 1$ avem $0 < \frac{1}{n + 1} \leq \frac{1}{2}$ , deci $2 < a_{n} \leq \frac{5}{2} .$ Șirul este mărginit. Valoarea $\frac{5}{2}$ este atinsă (la $n = 1$ ), deci $sup A = \frac{5}{2}$ este cel mai mic majorant. Numărul $2$ nu este atins niciodată, dar niciun număr mai mare decât $2$ nu mai poate minora șirul, pentru că $\frac{1}{n + 1}$ devine oricât de mic; așadar $in f A = 2$ . Verificare: $\frac{5}{2} = 2, 5$ , $\frac{7}{3} \approx 2, 333$ , $\frac{9}{4} = 2, 25$ — valorile coboară spre $2$ . ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie explicit constanta găsită și verifică faptul că ea nu depinde de $n$ — acesta e pasul pentru care se acordă punctele la Bacalaureat M1.

1. Arată că șirul $a_{n} = 5 - \frac{1}{n}$ este mărginit și dă o încadrare cu numere concrete.

2. Arată că șirul $a_{n} = \frac{4 n - 1}{n}$ este mărginit, scriind mai întâi termenul general sub forma $4 - \frac{1}{n}$ .

3. Studiază mărginirea șirului $a_{n} = n^{2} + 3$ : este mărginit inferior? Dar superior?

4. Ce valori ia șirul $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot 3$ ? Este mărginit? Justifică folosind forma cu modul.

5. Arată că $\frac{1}{5} \leq \frac{n}{n + 4} < 1$ pentru orice $n \geq 1$ .

6. Arată că șirul $a_{n} = \frac{sin n}{n + 1}$ este mărginit, folosind $∣ sin n ∣ \leq 1$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice șir crescător este nemărginit superior."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un șir este mărginit, atunci mulțimea termenilor lui are un număr finit de elemente."

9. Studiază mărginirea șirului $a_{n} = 2 n - 15$ și precizează cel mai mare minorant.

10. Arată că șirul $a_{n} = \frac{n ^{2} + 2}{n ^{2} + 1}$ verifică $1 < a_{n} \leq \frac{3}{2}$ .

11. Arată că șirul $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{n}{2 n + 1}$ este mărginit, cu $∣ a_{n} ∣ < \frac{1}{2}$ .

12. Arată că șirul $a_{n} = 3 n - 2$ nu este mărginit superior și găsește primul rang de la care termenii depășesc $1 0^{6}$ .

13. (Problemă aplicată.) Un pacient ia zilnic o doză de $10$ mg dintr-un medicament. În $24$ de ore, organismul elimină jumătate din cantitatea existentă. Notând cu $q_{n}$ cantitatea din organism imediat după doza a $n$ -a, avem $q_{1} = 10$ și $q_{n + 1} = \frac{q _{n}}{2} + 10$ . Arată prin inducție că $10 \leq q_{n} < 20$ pentru orice $n$ și explică ce înseamnă medical numărul $20$ .

14. Fie $a_{1} = 2$ și $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ . Arată prin inducție că $2 \leq a_{n} < 3$ pentru orice $n \geq 1$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $a_{n} = \frac{5 n + 2}{n + 3}$ . a) Calculați $a_{1}$ și $a_{2}$ . b) Arătați că $a_{n} = 5 - \frac{13}{n + 3}$ . c) Demonstrați că $\frac{7}{4} \leq a_{n} < 5$ pentru orice $n \geq 1$ .

16. Arată că șirul $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot n$ nu este mărginit nici superior, nici inferior.

17. Pentru șirul $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ , determină $in f A$ și $sup A$ și precizează care dintre ele este atins.

18. (Provocare.) Fie $H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ . Grupând termenii ca $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$ , apoi $\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} > \frac{1}{2}$ și așa mai departe, arată că $H_{2^{k}} \geq 1 + \frac{k}{2}$ pentru orice $k \in N$ și deduce că șirul $(H_{n})$ nu este mărginit superior.

Răspunsuri și explicații

1. Din $0 < \frac{1}{n} \leq 1$ rezultă $4 \leq a_{n} < 5$ . Minorantul $4$ este atins la $n = 1$ , majorantul $5$ nu este atins niciodată.

2. $\frac{4 n - 1}{n} = 4 - \frac{1}{n}$ , iar $0 < \frac{1}{n} \leq 1$ dă $3 \leq a_{n} < 4$ . Șirul este mărginit.

3. Mărginit inferior: $n^{2} + 3 \geq 4$ pentru orice $n \geq 1$ , cu egalitate la $n = 1$ . Nemărginit superior: pentru orice $M$ , alegând $n > M$ obținem $a_{n} > M$ (de exemplu $a_{1000} = 1000003 > 1 0^{6}$ ). Deci șirul este nemărginit.

4. Șirul ia doar valorile $- 3$ (rang impar) și $3$ (rang par). Este mărginit, pentru că $∣ a_{n} ∣ = 3$ pentru orice $n$ , deci putem lua $M = 3$ . Mulțimea termenilor are doar două elemente.

5. $\frac{n}{n + 4} < 1$ pentru că $n < n + 4$ . Pentru minorare, șirul este crescător, deci $a_{n} \geq a_{1} = \frac{1}{5}$ . (Direct: $\frac{n}{n + 4} \geq \frac{1}{5} ⟺ 5 n \geq n + 4 ⟺ n \geq 1$ .)

6. $∣ a_{n} ∣ = \frac{∣ sin n ∣}{n + 1} \leq \frac{1}{n + 1} \leq \frac{1}{2}$ pentru orice $n \geq 1$ . Deci $M = \frac{1}{2}$ funcționează și șirul este mărginit.

7. Fals. Contraexemplu: $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ este strict crescător și totuși $a_{n} < 1$ pentru orice $n$ . Creșterea nu obligă la depășirea oricărui prag; ea garantează doar minorarea prin primul termen.

8. Fals. Șirul $a_{n} = \frac{1}{n}$ este mărginit ( $0 < a_{n} \leq 1$ ), dar termenii lui sunt doi câte doi diferiți, deci mulțimea $A$ este infinită. Mărginirea este o proprietate de „încadrare", nu de „număr de valori".

9. $2 n - 15 \geq 2 - 15 = - 13$ , cu egalitate la $n = 1$ , deci cel mai mare minorant este $- 13$ (atins). Superior este nemărginit: pentru $n > \frac{M + 15}{2}$ avem $a_{n} > M$ .

10. $\frac{n ^{2} + 2}{n ^{2} + 1} = 1 + \frac{1}{n ^{2} + 1}$ . Cum $0 < \frac{1}{n ^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$ pentru $n \geq 1$ , rezultă $1 < a_{n} \leq \frac{3}{2}$ , cu maximul atins la $n = 1$ .

11. $∣ a_{n} ∣ = \frac{n}{2 n + 1} < \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2}$ . Deci $- \frac{1}{2} < a_{n} < \frac{1}{2}$ pentru orice $n$ .

12. Fie $M$ arbitrar. Din $3 n - 2 > M$ rezultă $n > \frac{M + 2}{3}$ , iar un astfel de rang natural există întotdeauna. Pentru $M = 1 0^{6}$ : $n > 333334$ , deci primul rang este $n = 333335$ , cu $a_{333335} = 1000003$ .

13. Verificarea: $q_{1} = 10$ , deci $10 \leq q_{1} < 20$ . Pasul: dacă $10 \leq q_{n} < 20$ , atunci $5 \leq \frac{q _{n}}{2} < 10$ , deci $15 \leq q_{n + 1} < 20$ , iar în particular $10 \leq q_{n + 1} < 20$ . Numerele concrete: $q_{2} = 15$ , $q_{3} = 17, 5$ . Medical, $20$ mg este pragul de siguranță pe care tratamentul nu îl atinge niciodată, oricât de mult ar dura — cantitatea din organism se stabilizează dedesubt.

14. Verificarea: $a_{1} = 2 \in [2, 3)$ . Pasul: din $2 \leq a_{n} < 3$ rezultă $6 \leq 3 a_{n} < 9$ , deci $6 \leq a_{n + 1} < 3$ ; cum $6 > 2$ , avem $2 \leq a_{n + 1} < 3$ . Numeric: $a_{2} = 6 \approx 2, 449$ , $a_{3} \approx 2, 711$ .

15. a) $a_{1} = \frac{7}{4}$ , $a_{2} = \frac{12}{5}$ . b) $5 n + 2 = 5 (n + 3) - 13$ , deci $a_{n} = 5 - \frac{13}{n + 3}$ . c) Pentru $n \geq 1$ avem $0 < \frac{13}{n + 3} \leq \frac{13}{4}$ , deci $5 - \frac{13}{4} \leq a_{n} < 5$ , adică $\frac{7}{4} \leq a_{n} < 5$ .

16. Fie $M > 0$ . Alegând un rang par $n > M$ , avem $a_{n} = n > M$ : șirul nu este mărginit superior. Alegând un rang impar $n > M$ , avem $a_{n} = - n < - M$ : nu este mărginit nici inferior. Pe primii $2001$ de termeni, cea mai mare valoare este $2000$ , iar cea mai mică, $- 2001$ .

17. $in f A = 0$ , atins la $n = 1$ (unde $a_{1} = 0$ ). $sup A = 1$ , neatins: toți termenii sunt strict mai mici decât $1$ , dar niciun număr mai mic decât $1$ nu mai majorează șirul, pentru că $\frac{1}{n}$ devine oricât de mic.

18. Grupăm termenii de la $\frac{1}{2 ^{j} + 1}$ până la $\frac{1}{2 ^{j + 1}}$ : sunt $2^{j}$ termeni, fiecare cel puțin $\frac{1}{2 ^{j + 1}}$ , deci suma grupei este cel puțin $\frac{2 ^{j}}{2 ^{j + 1}} = \frac{1}{2}$ . Adunând grupele pentru $j = 0, 1, \dots, k - 1$ și termenul $1$ , obținem $H_{2^{k}} \geq 1 + \frac{k}{2}$ . Cum $\frac{k}{2}$ depășește orice prag, șirul nu este mărginit superior. Verificare numerică: $H_{16} \approx 3, 381$ , $H_{1024} \approx 7, 509$ , $H_{16384} \approx 10, 281$ — creștere lentă, dar fără plafon.

De reținut

$(a_{n})$ este mărginit dacă există $m, M \in R$ cu $m \leq a_{n} \leq M$ pentru orice $n$ ; echivalent, dacă există $M > 0$ cu $∣ a_{n} ∣ \leq M$ pentru orice $n$ .
Constanta trebuie fixată înaintea rangului: un „majorant" care depinde de $n$ nu demonstrează nimic.
Nemărginit superior înseamnă: pentru orice prag $M$ există măcar un rang $n$ cu $a_{n} > M$ . Ca să negi mărginirea, negi cuantificatorii, nu enunțul în cuvinte.
Trei metode de lucru: prelucrarea termenului general (scoaterea părții întregi la fracții), majorarea grosieră (înlocuiești o expresie cu una mai mare, dar simplă), inducția (la șiruri recurente).
Un șir crescător este automat mărginit inferior de $a_{1}$ , iar unul descrescător, mărginit superior de $a_{1}$ : rămâne un singur capăt de demonstrat.

Greșeli frecvente

Alegi o margine care depinde de $n$ . „Cum $a_{n} = n \leq n$ , șirul este mărginit" este fals: $M$ trebuie să fie un număr fixat, același pentru toate rangurile. Testul rapid: dacă în constanta ta apare litera $n$ , nu e constantă.
Verifici doar primii termeni. Din tabelul cu $a_{1}, \dots, a_{10}$ nu rezultă nicio mărginire; e nevoie de o inegalitate demonstrată pentru orice $n$ . Primii termeni servesc doar la ghicirea benzii.
Confunzi „mărginit" cu „mărginit superior". Un șir mărginit inferior, dar nemărginit superior (ca $n^{2} - 10 n$ ), este nemărginit. Cuvântul „mărginit", fără precizare, cere ambele capete.
Confunzi majorantul cu marginea superioară. Orice număr $\geq sup A$ este majorant; $sup A$ este cel mai mic dintre ei. Pentru a demonstra mărginirea, orice majorant e bun; pentru a răspunde la „care este cel mai mic majorant", nu.
Crezi că mărginit înseamnă că șirul „se apropie" de ceva. Șirul $(- 1)^{n}$ este mărginit și nu se stabilizează nicăieri. Mărginirea este o condiție de încadrare, nu de tendință.

Aplică acasă

Termostatul din camera ta. Notează temperatura la aceeași oră, timp de zece zile. Ai obținut primii zece termeni ai unui șir. Găsește o bandă $[m, M]$ care i-a cuprins pe toți și explică de ce, deși pentru datele tale banda funcționează, ea nu demonstrează matematic mărginirea șirului tuturor măsurătorilor viitoare.
Fabrica de încadrări. Scrie cinci fracții de forma $\frac{an + b}{c n + d}$ cu numere la alegere și adu fiecare la forma „constantă plus rest", ca în secțiunea 4. Notează pentru fiecare încadrarea obținută și verifică-ți rezultatul calculând $a_{1}$ și $a_{100}$ la calculator.
Soldul unui abonament. Un serviciu îți reține lunar $30%$ din creditul rămas și îți adaugă apoi $50$ de lei. Pornind de la $100$ de lei, scrie relația de recurență, calculează primii cinci termeni și încearcă să ghicești, apoi să demonstrezi prin inducție, o bandă în care rămâne creditul.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima dintre cele două proprietăți „de structură" ale unui șir. Ea pare simplă, dar conține prima dificultate reală de logică din analiza matematică: ordinea cuantificatorilor. Elevul trebuie să înțeleagă că „există $M$ astfel încât pentru orice $n$ …" este cu totul altceva decât „pentru orice $n$ există $M$ …" — a doua afirmație este adevărată pentru orice șir și, deci, nu spune nimic.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a definiției, cu constantă independentă de rang; (2) tehnica de prelucrare a fracțiilor, adică scoaterea părții întregi; (3) negarea definiției pentru a proba nemărginirea; (4) demonstrația prin inducție la șiruri recurente; (5) distincția dintre un majorant oarecare și marginea superioară. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că $M$ nu depinde de $n$ ?", „Dă un șir mărginit care nu e monoton", „De ce $n^{2} - 10 n$ nu e mărginit, deși are un cel mai mic termen?".

La BAC M1, mărginirea apare aproape întotdeauna în subiectul al doilea, în tandem cu monotonia, ca pas premergător aplicării teoremei lui Weierstrass, sau ca cerință de sine stătătoare de tipul „arătați că $a_{n} \in [m, M]$ pentru orice $n$ ". Baremele acordă punctaj separat pentru inegalitatea scrisă corect și pentru justificarea ei. Semne că elevul a înțeles: găsește singur forma „constantă plus rest" la fracții și nu confundă niciodată un șir nemărginit superior cu unul crescător.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un șir este mărginit? Înseamnă că există două numere reale fixate, $m$ și $M$ , astfel încât toți termenii șirului să se afle între ele: $m \leq a_{n} \leq M$ pentru orice rang $n$ . Echivalent, există un număr $M > 0$ cu $∣ a_{n} ∣ \leq M$ pentru orice $n$ , adică toți termenii încap în intervalul $[- M, M]$ .

Cum demonstrez concret că un șir este mărginit? Ai trei metode. La fracții, prelucrezi termenul general și scoți partea întreagă (de exemplu $\frac{2 n + 1}{n + 1} = 2 - \frac{1}{n + 1}$ ), apoi citești încadrarea. La expresii complicate, faci o majorare grosieră, înlocuind o parte cu ceva mai mare, dar simplu. La șiruri date prin recurență, demonstrezi încadrarea prin inducție matematică.

Care e diferența dintre mărginit și mărginit superior? „Mărginit superior" cere doar un plafon: $a_{n} \leq M$ . „Mărginit" cere și plafon, și podea. Un șir ca $a_{n} = n^{2} - 10 n$ are podea ( $- 25$ ), dar nu are plafon, deci este mărginit inferior și, în același timp, nemărginit.

Un șir mărginit trebuie să fie monoton? Nu. Șirul $(- 1)^{n}$ este mărginit și oscilează la nesfârșit, iar $(- 1)^{n} \cdot \frac{2 n}{n + 3}$ este mărginit fără să fie nici crescător, nici descrescător. Reciproc, un șir monoton nu e neapărat mărginit: $a_{n} = 3 n - 2$ crește peste orice prag.

Cum arăt că un șir NU este mărginit? Negi definiția: arăți că pentru orice prag $M$ există măcar un rang $n$ cu $a_{n} > M$ (pentru nemărginirea superioară). În practică rezolvi inegalitatea $a_{n} > M$ în raport cu $n$ și arăți că are soluții naturale, folosind faptul că mulțimea numerelor naturale nu este majorată.

Ce legătură are mărginirea cu limita unui șir? Împreună cu monotonia, mărginirea va deveni ipoteza unui rezultat major al capitolului — teorema lui Weierstrass, pe care o vei studia câteva lecții mai încolo. Deocamdată reține doar sensul corect al lucrurilor: mărginirea singură nu asigură nimic despre tendință, cum se vede din $(- 1)^{n}$ .

Ce înseamnă că marginea superioară nu este atinsă? Înseamnă că $sup A$ nu apare printre termenii șirului, deși niciun număr mai mic nu îl mai poate înlocui. Pentru $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ , marginea superioară este $1$ , dar niciun termen nu este egal cu $1$ : termenii urcă spre $1$ oricât de aproape, fără să ajungă acolo.

De ce se cere ca $M$ să nu depindă de $n$ ? Pentru că altfel afirmația devine goală: pentru fiecare rang $n$ putem lua $M_{n} = a_{n}$ și „inegalitatea" $a_{n} \leq M_{n}$ e adevărată la orice șir, inclusiv la unul care crește la nesfârșit. Puterea definiției stă exact în faptul că o singură constantă trebuie să funcționeze pentru toate rangurile simultan.