Matrice inversabilă: criteriul determinantului: pe scurt

Definiție. $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ este inversabilă dacă există $B$ cu $A\cdot B=B\cdot A=I_n$; atunci $B$ se numește inversa lui $A$ și se notează $A^{-1}$. Se cer ambele produse, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă, și doar matricele pătratice pot fi inversabile.

Inversa, dacă există, este unică: dacă $B$ și $C$ ar fi amândouă inverse, atunci $B=B\cdot I_n=B\cdot (A\cdot C)=(B\cdot A)\cdot C=I_n\cdot C=C$. Abia de aceea notația $A^{-1}$ are sens.

Criteriul determinantului. $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det A\ne 0$. Implicația directă se demonstrează într-un rând: din $A\cdot A^{-1}=I_n$ rezultă $\det A\cdot \det \left(A^{-1}\right)=1$, deci niciunul dintre factori nu poate fi nul — și obții gratis $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}$.

Vocabularul se fixează acum: matrice cu $\det A\ne 0$ se numește nesingulară, cu $\det A=0$ se numește singulară. La ordinul $2$, dacă $ad-bc\ne 0$, inversa se obține schimbând între ele elementele de pe diagonala principală, schimbând semnul celorlalte două și împărțind la determinant.

Proprietăți: $(A^{-1}{)}^{-1}=A$; $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$, cu ordinea inversată; $({}^{t}A{)}^{-1}={}^t(A^{-1})$.

Nu există „împărțire de matrice": spui „înmulțim cu inversa" și precizezi de care parte. Iar dacă primești o relație algebrică, scrii $A\cdot (\dots )=I_n$ și citești inversa din paranteză.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru ce valori reale ale lui $m$ matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 3\\ 3& m+8\end{array}\right)$ nu este inversabilă?

   • a) $m\in \{-1,9\}$
   • b) $m\in \mathbb{R}\setminus \{-9,1\}$
   • c) $m\in \{-3,3\}$
   • d) $m\in \{-9,1\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $m\in \{-9,1\}$

   $\det A(m)=m(m+8)-9=m^2+8m-9=(m+9)(m-1)$, iar matricea nu este inversabilă exact când determinantul se anulează: $m=-9$ sau $m=1$. Varianta b) este mulțimea valorilor pentru care matricea este inversabilă — confuzia cea mai frecventă la acest tip de cerință; citește de două ori dacă enunțul spune „este” sau „nu este”.

2. Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=-4$ și $\det B=2$. Cât este $\det ((A\cdot B{)}^{-1})$?

   • a) $-8$
   • b) $-\frac{1}{8}$
   • c) $\frac{1}{8}$
   • d) $8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-\frac{1}{8}$

   Întâi $\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B=-4\cdot 2=-8\ne 0$, deci produsul este inversabil. Apoi $\det ((A\cdot B{)}^{-1})=\frac{1}{\det (A\cdot B)}=-\frac{1}{8}$. Varianta a) oprește raționamentul la primul pas, uitând inversa.

3. Matricea $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ verifică $A^2-4A+2I_2=O_2$. Care este $A^{-1}$?

   • a) $A^{-1}=2I_2-\frac{1}{2}A$
   • b) $A^{-1}=4I_2-A$
   • c) $A^{-1}=\frac{1}{2}A-2I_2$
   • d) $A^{-1}=A-4I_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $A^{-1}=2I_2-\frac{1}{2}A$

   Izolăm $I_2$: din $A^2-4A=-2I_2$ obținem $A\cdot (4I_2-A)=2I_2$, deci $A\cdot \frac{4I_2-A}{2}=I_2$. Cum $A$ comută cu $I_2$ și cu ea însăși, produsul în cealaltă ordine dă tot $I_2$, prin urmare $A^{-1}=2I_2-\frac{1}{2}A$. Control pe $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, care verifică relația: $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$, exact cât dă formula.