Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului

Un laborator amestecă două soluții. Din $x$ mililitri de soluție acidă și $y$ mililitri de soluție bazică se obțin, printr-o rețetă fixă, $u=2x+y$ mililitri din primul produs și $v=3x+2y$ mililitri din al doilea. Rețeta încape într-o matrice: cu $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$, coloana rezultatelor este $A$ înmulțită cu coloana ingredientelor. Întrebarea zilnică a laborantului este însă cea inversă: știu cât am obținut, cât trebuie să pun?

Aceeași întrebare apare peste tot unde o matrice transformă date: la cifrarea unui mesaj (cum îl descifrezi?), la o rotație în plan (cum te întorci de unde ai plecat?), la un model economic (ce producție dă cererea observată?). Peste tot căutăm o matrice care desface ceea ce a făcut $A$, adică una care, înmulțită cu $A$, dă matricea unitate. Lecția răspunde la două întrebări: ce înseamnă exact o astfel de matrice și cum recunoști dintr-o privire dacă ea există. Vestea bună: răspunsul e un singur număr, determinantul.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția matricei inversabile și să verifici, prin cele două produse, că o matrice dată este inversa alteia.
• Vei ști să demonstrezi că inversa, dacă există, este unică, și de aceea are dreptul la notația $A^{-1}$.
• Vei ști criteriul determinantului: o matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul.
• Vei ști să folosești cuvintele nesingulară și singulară și să decizi inversabilitatea fără să calculezi inversa.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici proprietățile $(A^{-1}{)}^{-1}=A$, $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$, $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$.
• Vei ști să discuți inversabilitatea unei matrice care depinde de un parametru și să citești inversa dintr-o relație algebrică dată.

Hai să descoperim împreună

1. Ce ar însemna „să dai înapoi" o înmulțire cu o matrice

Revenim la laborator. Rețeta transformă coloana ingredientelor $X$ în coloana rezultatelor $Y=A\cdot X$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$. Ca să mergem înapoi ne-ar trebui o matrice $B$ cu $B\cdot Y=X$ pentru orice $X$. Dar $B\cdot Y=(B\cdot A)\cdot X$, prin asociativitatea din Proprietățile înmulțirii matricelor, deci e suficient ca $B\cdot A=I_2$.

Există o astfel de matrice? Să încercăm $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$:

$$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3& 2-2\\ -6+6& -3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2.$$

Calculul în cealaltă ordine dă, la fel, $A\cdot B=I_2$. Laborantul are răspunsul: pentru $u=7$ și $v=11$ mililitri obținuți, ingredientele au fost $x=2\cdot 7-11=3$ și $y=-3\cdot 7+2\cdot 11=1$. Verificare: $2\cdot 3+1=7$ și $3\cdot 3+2\cdot 1=11$. ✓

2. Definiția

Definiție. Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Spunem că $A$ este inversabilă dacă există o matrice $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ astfel încât

$$A\cdot B=B\cdot A=I_n.$$

Matricea $B$ se numește inversa lui $A$ și se notează $A^{-1}$.

Trei precizări obligatorii, fiecare dintre ele fiind o sursă de greșeli:

• Numai matricele pătratice pot fi inversabile. Dacă $A$ are $m$ linii și $n$ coloane cu $m\ne n$, cele două produse au ordine diferite și nu pot fi amândouă egale cu aceeași matrice unitate.
• Se cer ambele produse. Înmulțirea matricelor nu e comutativă, deci $A\cdot B=I_n$ și $B\cdot A=I_n$ sunt, în principiu, condiții diferite. Se poate arăta că la matrice pătratice una o atrage pe cealaltă; noi le verificăm pe amândouă, pentru că așa cere baremul.
• Nu există „împărțire de matrice". Nu scrie niciodată $\frac{B}{A}$: spui „înmulțim cu inversa lui $A$" și precizezi de care parte, fiindcă $A^{-1}\cdot B$ și $B\cdot A^{-1}$ diferă.

3. Inversa este unică

Teoremă. Dacă $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ este inversabilă, atunci inversa ei este unică.

Demonstrație. Presupunem că $B$ și $C$ sunt amândouă inverse ale lui $A$, adică $A\cdot B=B\cdot A=I_n$ și $A\cdot C=C\cdot A=I_n$. Pornim de la $B$ și folosim, pe rând, proprietatea matricei unitate și asociativitatea:

$$B=B\cdot I_n=B\cdot (A\cdot C)=(B\cdot A)\cdot C=I_n\cdot C=C.$$

Deci $B=C$: nu pot exista două inverse diferite. $■$

Abia acum notația $A^{-1}$ are sens: ea denumește un singur obiect. Demonstrația folosește o dată fiecare ipoteză — pe $C$ ca inversă la dreapta, pe $B$ ca inversă la stânga — și e exact genul de raționament scurt cerut la Bacalaureat M1.

4. Criteriul determinantului

Teoremă (criteriul determinantului). Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Atunci $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det A\ne 0$.

Demonstrația implicației directe. Presupunem că $A$ este inversabilă, deci există $A^{-1}$ cu $A\cdot A^{-1}=I_n$. Aplicăm determinantul și folosim formula demonstrată în Determinantul produsului a două matrice:

$$\det (A\cdot A^{-1})=\det A\cdot \det (A^{-1})=\det I_n=1.$$

Un produs de două numere este egal cu $1$, deci niciunul dintre factori nu poate fi nul: $\det A\ne 0$. Ba mai mult, am obținut gratis o formulă utilă: $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$.

Demonstrația implicației inverse, pentru $n=2$. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ cu $\det A=ad-bc\ne 0$. Construim explicit candidatul

$$B=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

și verificăm prin calcul direct:

$$A\cdot B=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}ad-bc& -ab+ab\\ cd-cd& -bc+ad\end{array}\right)=I_2.$$

Calculul lui $B\cdot A$ dă, la fel, $I_2$. Deci pentru matricele de ordin $2$ criteriul este complet demonstrat, iar formula obținută merită reținută pe de rost: se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală, se schimbă semnul celor de pe cealaltă diagonală și se împarte totul la determinant.

Cazul general. Pentru $n$ oarecare, construcția inversei se face cu complemenții algebrici, adunați într-o matrice numită adjunctă — subiectul lecției următoare, Calculul inversei cu matricea adjunctă, unde formula $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$ încheie demonstrația pentru orice ordin. Implicația directă, cea cu care spui „nu are inversă", e însă deja demonstrată integral.

5. Nesingulară, singulară — și decizia rapidă

Vocabularul se fixează acum și se folosește în tot capitolul:

• o matrice pătratică cu $\det A\ne 0$ se numește nesingulară (echivalent: inversabilă);
• o matrice pătratică cu $\det A=0$ se numește singulară (echivalent: neinversabilă).

Puterea criteriului stă în faptul că răspunde la o întrebare despre existența unui obiect complicat printr-un singur număr. Două decizii luate fără niciun calcul de inversă:

$$\det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=4-4=0\Rightarrow \text{singulara˘};\det \left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& 4\\ 0& 5& -2\end{array}\right)=-54\ne 0\Rightarrow \text{inversabila˘}.$$

Al doilea determinant s-a calculat cu regula lui Sarrus în Determinantul de ordinul al treilea: decizia costă șase produse.

6. Proprietățile inversei

Toate se demonstrează la fel: se arată că matricea propusă, înmulțită cu cea dată, dă $I_n$ în ambele ordini, iar unicitatea inversei încheie argumentul.

(a) $(A^{-1}{)}^{-1}=A$, pentru că relația $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$, citită invers, spune chiar că $A$ este inversa lui $A^{-1}$.

(b) $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$ pentru $A$, $B$ inversabile:

$$(A\cdot B)\cdot (B^{-1}\cdot A^{-1})=A\cdot (B\cdot B^{-1})\cdot A^{-1}=A\cdot A^{-1}=I_n,$$

iar calculul simetric dă tot $I_n$. Ordinea se inversează — ca la dezbrăcat: dacă ai pus întâi cămașa și apoi haina, scoți întâi haina.

Că ordinea contează cu adevărat se vede pe numere: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ avem $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -5& 3\end{array}\right)$, în timp ce $A^{-1}\cdot B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -8& 5\end{array}\right)$ — cu totul altceva.

(c) $({}^{t}A{)}^{-1}={}^t(A^{-1})$. Se transpune relația $A\cdot A^{-1}=I_n$; cum transpusa unui produs este produsul transpuselor în ordine inversată, obținem ${}^t(A^{-1})\cdot {}^{t}A=I_n$.

(d) $(\alpha A{)}^{-1}=\frac{1}{\alpha }{A}^{-1}$ pentru $\alpha \ne 0$, iar (e) $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$ a fost demonstrată mai sus.

7. Inversa citită dintr-o relație algebrică

Uneori nu primești matricea, ci o relație pe care o satisface. Metoda e mereu aceeași: izolează $I_n$ scriind $A\cdot (\dots )=I_n$ și citește inversa din paranteză.

Cazul $A^2=I_n$. Atunci $A$ este propria ei inversă, $A^{-1}=A$. Exemplu: $A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -2\end{array}\right)$ dă $A^2=\left(\begin{array}{cc}4-3& -6+6\\ 2-2& -3+4\end{array}\right)=I_2$, iar $\det A=-4+3=-1\ne 0$, ceea ce confirmă criteriul.

Cazul $A^3=I_n$. Din $A\cdot A^2=I_n$ rezultă $A^{-1}=A^2$. Matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$, care mută liniile ciclic, verifică $A^3=I_3$.

Cazul unei relații de gradul al doilea. Fie $A$ cu $A^2-5A+6I_2=O_2$. Scriem $A^2-5A=-6I_2$, adică $A\cdot (A-5I_2)=-6I_2$, deci $A\cdot \frac{5I_2-A}{6}=I_2$ și, prin urmare, $A^{-1}=\frac{1}{6}(5I_2-A)$. Pe $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ relația se verifică, iar $\frac{1}{6}(5I_2-A)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)$ este într-adevăr $A^{-1}$ ✓.

Reversul medaliei. Dacă $A^2=O_n$, atunci $A$ nu e inversabilă: din $(\det A{)}^2=\det O_n=0$ rezultă $\det A=0$. Exemplu: $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$.

8. Matrice care depind de un parametru

Aici criteriul își arată adevărata valoare: transformă o întrebare despre matrice într-o ecuație obișnuită.

Fie $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 2\\ 3& m-1\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$. Calculăm

$$\det A(m)=m(m-1)-6=m^2-m-6=(m-3)(m+2).$$

Matricea este inversabilă exact când $(m-3)(m+2)\ne 0$, adică pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,3\}$; este singulară doar pentru $m=3$ și $m=-2$.

Rețeta are trei pași: calculezi $\det A(m)$, rezolvi ecuația $\det A(m)=0$ și răspunzi cu „toate valorile în afară de soluțiile găsite". Discuția continuă, pe matrice de ordin mai mare, în Inversa unei matrice de ordin 4. Matrice cu parametru.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea prin definiție

Arătați că matricea $B=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$ este inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. Calculăm ambele produse:

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}6-5& -15+15\\ 2-2& -5+6\end{array}\right)=I_2,B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}6-5& 10-10\\ -3+3& -5+6\end{array}\right)=I_2.$$

Ambele produse dau $I_2$, deci $B=A^{-1}$. (Control: $\det A=1\ne 0$, deci inversa chiar trebuia să existe.)

Exemplul 2 — Decizie numai cu determinantul

Stabiliți care dintre matricele următoare sunt inversabile: $A=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 2& 3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$.

Rezolvare. $\det A=12-12=0$, deci $A$ este singulară. Pentru $B$, cu regula lui Sarrus, $\det B=40-39=1\ne 0$, deci $B$ este inversabilă.

Pentru $C$: $\det C=45+84+96-(105+48+72)=0$, deci $C$ este singulară.

Exemplul 3 — Matrice cu parametru

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care matricea $A=\left(\begin{array}{cc}m& 4\\ 1& m\end{array}\right)$ este inversabilă.

Rezolvare. $\det A=m^2-4=(m-2)(m+2)$. Condiția $\det A\ne 0$ dă $m\ne 2$ și $m\ne -2$, deci $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

Verificare pe valori: $m=0$ dă $\det A=-4\ne 0$ (inversabilă), $m=2$ dă $\det A=0$ (singulară). ✓

Exemplul 4 — Inversa unui produs

Se știe că $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$ și $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$. Calculați $(A\cdot B{)}^{-1}$.

Rezolvare. Folosim proprietatea $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$, cu ordinea inversată:

$$(A\cdot B{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4+3& -2-2\\ -2-3& 1+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -5& 3\end{array}\right).$$

Dacă am fi înmulțit în ordinea greșită am fi obținut $\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -8& 5\end{array}\right)$ — un rezultat fals, deși toate calculele ar fi fost corecte.

Exemplul 5 — Inversa dintr-o relație dată

Matricea $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ verifică $A^2-3A+I_2=O_2$. Arătați că $A$ este inversabilă și determinați $A^{-1}$ în funcție de $A$.

Rezolvare. Rescriem relația izolând $I_2$: $3A-A^2=I_2$, adică $A\cdot (3I_2-A)=I_2$. La fel, $(3I_2-A)\cdot A=I_2$, pentru că $A$ comută cu $I_2$ și cu ea însăși. Prin urmare $A$ este inversabilă și

$$A^{-1}=3I_2-A.$$

Control: $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ are $A^2=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$, deci relația se verifică, iar $3I_2-A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ este într-adevăr $A^{-1}$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$ și matricea $C(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A$. b) Arătați că $B=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$ este inversa matricei $A$. c) Determinați valorile lui $m$ pentru care $C(m)$ este inversabilă.

Rezolvare. a) $\det A=2\cdot 3-1\cdot 5=6-5=1$.

b) $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6-5& -2+2\\ 15-15& -5+6\end{array}\right)=I_2$ și, analog, $B\cdot A=I_2$. Din definiție, $B=A^{-1}$.

c) $\det C(m)=3m-5$. Condiția de inversabilitate este $3m-5\ne 0$, deci $m\ne \frac{5}{3}$, adică $m\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{5}{3}\right\}$.

Să exersăm

Înainte de orice: la fiecare matrice pătratică întâlnită, primul gest este calculul determinantului. El decide dacă mai are rost să cauți inversa.

1. Arată că $B=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$ este inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$, calculând ambele produse.

2. Stabilește dacă matricea $\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 2& 3\end{array}\right)$ este inversabilă.

3. Stabilește dacă matricea $\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& 4\\ 0& 5& -2\end{array}\right)$ este inversabilă.

4. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cc}m& 4\\ 1& m\end{array}\right)$ este inversabilă.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\det A=0$, atunci $A$ are inversă, dar cu elemente fracționare."

6. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$, calculează $\det A$ și apoi $\det (A^{-1})$, fără să determini efectiv inversa.

7. Se știe că $\det A=5$, unde $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Calculează $\det (A^{-1})$ și $\det (A\cdot A^{-1})$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice matrice inversabile $A$ și $B$ de același ordin are loc $(A\cdot B{)}^{-1}=A^{-1}\cdot B^{-1}$."

9. Arată că $A=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 2& -3\end{array}\right)$ verifică $A^2=I_2$ și scrie $A^{-1}$.

10. Matricea $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ verifică $A^3=I_3$. Arată că $A$ este inversabilă și exprimă $A^{-1}$ cu ajutorul lui $A$.

11. (Problemă aplicată.) Un magazin codifică perechile de prețuri $(x,y)$ prin regula $u=3x+5y$, $v=x+2y$. Scrie matricea codificării, arată că este inversabilă și decodifică perechea $(u,v)=(11,4)$.

12. Arată că matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$ verifică $A^2=O_2$ și deduce, folosind determinantul, că $A$ nu este inversabilă.

13. Fie $A$ inversabilă și $B$ de același ordin, cu $A\cdot B=O_n$. Arată că $B=O_n$.

14. Stabilește dacă matricea $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$ este inversabilă.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$. b) Arată că $B=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$ este inversa lui $A$. c) Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& m\end{array}\right)$ nu este inversabilă.

16. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$, verifică pe calcule egalitatea $({}^{t}A{)}^{-1}={}^t(A^{-1})$.

17. Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=2$ și $\det B=-3$. Arată că $A\cdot B$ este inversabilă și calculează $\det ((A\cdot B{)}^{-1})$.

18. (Provocare.) Matricea $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ verifică $A^2=4A-4I_2$. Arată că $A$ este inversabilă și determină $A^{-1}$ în funcție de $A$. Verifică rezultatul pe matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}6-5& -15+15\\ 2-2& -5+6\end{array}\right)=I_2$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}6-5& 10-10\\ -3+3& -5+6\end{array}\right)=I_2$. Ambele fiind $I_2$, $B=A^{-1}$. (Control: $\det A=1$.)

2. $\det =4\cdot 3-6\cdot 2=0$, deci matricea este singulară, nu are inversă.

3. Cu regula lui Sarrus, $\det =-12-42=-54\ne 0$, deci matricea este inversabilă.

4. $\det =m^2-4$; condiția $m^2-4\ne 0$ dă $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

5. Fals. Dacă $\det A=0$ și ar exista $B$ cu $A\cdot B=I_n$, atunci $\det A\cdot \det B=1$, adică $0=1$ — imposibil. Elementele fracționare nu au nicio legătură cu problema.

6. $\det A=4-6=-2\ne 0$, deci $A$ este inversabilă, iar $\det (A^{-1})=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$.

7. $\det (A^{-1})=\frac{1}{5}$, iar $\det (A\cdot A^{-1})=\det I_3=1$.

8. Fals. Formula corectă este $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$, cu ordinea inversată; contraexemplul numeric este cel din lecție.

9. $A^2=\left(\begin{array}{cc}9-8& -12+12\\ 6-6& -8+9\end{array}\right)=I_2$. Din $A\cdot A=I_2$ rezultă direct că $A$ este inversabilă și $A^{-1}=A=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 2& -3\end{array}\right)$. (Control: $\det A=-9+8=-1\ne 0$.)

10. Din $A\cdot A^2=A^2\cdot A=I_3$ rezultă, prin definiție, că $A$ e inversabilă și $A^{-1}=A^2$. (Control: $(\det A{)}^3=1$, deci $\det A\ne 0$.)

11. $M=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$, cu $\det M=1\ne 0$, deci $M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$. Decodificarea: $x=2\cdot 11-5\cdot 4=2$, $y=-11+12=1$; verificare: $3\cdot 2+5=11$ și $2+2=4$ ✓.

12. $A^2=O_2$, deci $(\det A{)}^2=\det O_2=0$ și $\det A=0$: matricea nu e inversabilă. (Direct: $\det A=-1+1=0$.)

13. Înmulțim egalitatea $A\cdot B=O_n$ la stânga cu $A^{-1}$: $A^{-1}\cdot (A\cdot B)=A^{-1}\cdot O_n$, adică $(A^{-1}\cdot A)\cdot B=O_n$, deci $I_n\cdot B=O_n$ și $B=O_n$. Partea cu care înmulțim contează: aici trebuie neapărat la stânga.

14. $\det =1\cdot 1\cdot 0+2\cdot 4\cdot 5+3\cdot 0\cdot 6-(3\cdot 1\cdot 5+1\cdot 4\cdot 6+2\cdot 0\cdot 0)=40-39=1\ne 0$, deci matricea este inversabilă.

15. a) $\det A=4-3=1$. b) $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4-3& -6+6\\ 2-2& -3+4\end{array}\right)=I_2$ și $B\cdot A=I_2$, deci $B=A^{-1}$. c) $\det \left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& m\end{array}\right)=2m-3$; matricea nu este inversabilă exact când $2m-3=0$, adică $m=\frac{3}{2}$.

16. ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$ are determinantul $1$, deci $({}^{t}A{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$ — exact transpusa lui $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$ ✓.

17. $\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B=2\cdot (-3)=-6\ne 0$, deci $A\cdot B$ este inversabilă, iar $\det ((A\cdot B{)}^{-1})=-\frac{1}{6}$.

18. Din $A^2=4A-4I_2$ obținem $A\cdot (4I_2-A)=4I_2$, deci $A\cdot \frac{4I_2-A}{4}=I_2$; cum $A$ comută cu $4I_2-A$, produsul în cealaltă ordine dă tot $I_2$, prin urmare $A^{-1}=I_2-\frac{1}{4}A$. Pe exemplu, $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ are $A^2=\left(\begin{array}{cc}8& -4\\ 4& 0\end{array}\right)=4A-4I_2$ ✓, iar $I_2-\frac{1}{4}A=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4}& \frac{3}{4}\end{array}\right)$ este inversa lui $A$ (control: $\det A=4$).

De reținut

• Definiția: $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ este inversabilă dacă există $B$ cu $A\cdot B=B\cdot A=I_n$; atunci $B$ este unică și se notează $A^{-1}$. Doar matricele pătratice pot fi inversabile.
• Criteriul determinantului: $A$ inversabilă $⟺\det A\ne 0$. Matrice cu $\det A\ne 0$ se numește nesingulară, cu $\det A=0$ se numește singulară.
• Formula pentru ordinul $2$: dacă $\det A=ad-bc\ne 0$, atunci inversa se obține schimbând între ele elementele de pe diagonala principală, schimbând semnul celorlalte două și împărțind la determinant.
• Proprietăți: $(A^{-1}{)}^{-1}=A$; $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$ (ordinea se inversează); $({}^{t}A{)}^{-1}={}^t(A^{-1})$; $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$.
• Din relații algebrice: dacă reușești să scrii $A\cdot (\dots )=I_n$, atunci paranteza este $A^{-1}$; în particular $A^2=I_n\Rightarrow A^{-1}=A$ și $A^3=I_n\Rightarrow A^{-1}=A^2$.

Greșeli frecvente

• „Verific un singur produs și gata." Definiția cere $A\cdot B=I_n$ și $B\cdot A=I_n$, iar baremul cere ambele calcule scrise; le faci, sunt scurte.
• Inversarea ordinii la produs. $(A\cdot B{)}^{-1}$ nu este $A^{-1}\cdot B^{-1}$, ci $B^{-1}\cdot A^{-1}$. Greșeala nu se vede în calcule, doar în rezultat — de aceea e periculoasă.
• „Împărțirea" la o matrice. Scrierea $\frac{B}{A}$ nu are sens. Se spune „înmulțim cu $A^{-1}$" și se precizează partea: $A^{-1}\cdot B$ sau $B\cdot A^{-1}$ sunt, în general, matrice diferite.
• Confuzia dintre $\det A=0$ și $A=O_n$. O matrice poate avea determinantul nul fără niciun element nul, ca $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$; determinantul nul înseamnă doar că inversa nu există.
• Concluzii pripite din $A\cdot B=O_n$. Din $A\cdot B=O_n$ nu rezultă că una dintre matrice e nulă; rezultă $B=O_n$ doar dacă $A$ este inversabilă, înmulțind la stânga cu $A^{-1}$.

Aplică acasă

1. Cifrul cu matrice. Alege o matrice de ordin $2$ cu elemente întregi și determinantul $1$, de exemplu $\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$. Codifică numele tău transformând literele în numere grupate câte două și vezi dacă un coleg poate reface mesajul. Observă de ce determinantul $1$ face ca inversa să aibă tot elemente întregi.

2. Vânătoarea de matrice singulare. Scrie zece matrice de ordin $2$ cu elemente de la $1$ la $4$ și calculează-le determinanții. Câte sunt singulare și ce au în comun liniile lor?

3. Rețeta bucătăriei. Ia o rețetă cu două ingrediente din care ies două preparate și scrie matricea consumurilor. Verifică dacă, știind câte preparate ai obținut, poți reface cantitățile de ingrediente — adică dacă matricea e inversabilă.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima noțiune „de existență" din capitolul de matrice: până acum totul se calcula, de aici înainte trebuie întâi decis dacă obiectul căutat există. Criteriul determinantului reduce această întrebare grea la un calcul deja stăpânit.

De verificat în caiet: definiția scrisă cu ambele produse; demonstrația unicității, cu lanțul $B=B{I}_n=B(AC)=(BA)C=C$; implicația directă a criteriului, cu pasul $\det A\cdot \det (A^{-1})=1$; discuția de parametru făcută prin ecuația $\det A(m)=0$. Întrebări de control: „Poate fi inversabilă o matrice cu $3$ linii și $4$ coloane?"; „Cât este $\det (A^{-1})$ dacă $\det A=7$?"; „De ce ordinea se inversează la $(A\cdot B{)}^{-1}$?".

La BAC M1 tema apare în două forme: „determinați valorile lui $m$ pentru care matricea este inversabilă" și „arătați că $B$ este inversa lui $A$" — ambele rezolvabile cu ce e în lecția aceasta. Semn că elevul a înțeles: la orice matrice pătratică din enunț calculează întâi determinantul, fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Când este o matrice inversabilă? O matrice pătratică $A$ este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de zero. Dacă $\det A\ne 0$, inversa există și este unică; dacă $\det A=0$, nu există nicio matrice $B$ cu $A\cdot B=I_n$.

Ce înseamnă matrice singulară și matrice nesingulară? Nesingulară înseamnă cu determinantul nenul, deci inversabilă; singulară înseamnă cu determinantul nul, deci fără inversă.

Poate o matrice dreptunghiulară să aibă inversă? Nu: definiția cere ca ambele produse să fie egale cu aceeași matrice unitate, ceea ce e posibil numai pentru matricele pătratice.

De ce inversa unei matrice este unică? Pentru că dacă $B$ și $C$ ar fi amândouă inverse ale lui $A$, atunci $B=B\cdot I_n=B\cdot (A\cdot C)=(B\cdot A)\cdot C=I_n\cdot C=C$. Argumentul folosește doar asociativitatea și proprietatea matricei unitate.

Cum se calculează inversa unei matrice de ordinul al doilea? Se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală, se schimbă semnul celorlalte două și se împarte totul la determinant: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ cu $ad-bc\ne 0$, inversa este $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Care este formula pentru inversa unui produs de matrice? $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$: ordinea factorilor se inversează, pentru că înmulțirea matricelor nu e comutativă.

Cum determin valorile parametrului pentru care o matrice este inversabilă? Calculezi determinantul ca expresie în parametru, rezolvi ecuația „determinant egal cu zero" și răspunzi cu toate valorile în afara soluțiilor găsite: pentru $\det A(m)=(m-3)(m+2)$, răspunsul este $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,3\}$.

Cum aflu inversa dacă mi se dă o relație de forma $A^2-3A+I_2=O_2$? Rescrii relația astfel încât să obții $A\cdot (\dots )=I_2$; paranteza este atunci chiar $A^{-1}$. În exemplul dat, din $3A-A^2=I_2$ rezultă $A\cdot (3I_2-A)=I_2$, deci $A^{-1}=3I_2-A$.