Matricea de rotație și puterile ei: pe scurt

Pe cercul trigonometric, punctul asociat lui $t$ are coordonatele $(\cos t,\sin t)$. Rotația de unghi $\theta$ în jurul originii duce punctul $(1,0)$ în $(\cos \theta ,\sin \theta )$ și punctul $(0,1)$ în $(-\sin \theta ,\cos \theta )$, de unde noile coordonate ale unui punct oarecare: $x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta$ și $y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$. Scrise matriceal, ele dau matricea de rotație $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$, cu minusul sus-dreapta.

Formulele pentru suma a două unghiuri dau legea de compunere $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$, din care decurg două lucruri: matricele de rotație comută între ele — o excepție plăcută într-un capitol unde necomutativitatea e regula — și, prin inducție, $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$. Rezultatul nu se obține prin calcul, ci din înțelesul matricei: a roti de $n$ ori cu $\theta$ înseamnă a roti cu $n\theta$. Cum $R(\theta +2\pi )=R(\theta )$, pentru $\theta =\frac{2\pi }{p}$ puterile se repetă din $p$ în $p$; de pildă $R{\left(\frac{2\pi }{3}\right)}^3=R(2\pi )=I_2$. La exponenți mari împarți cu rest la $p$ și păstrezi restul.

Rareori primești chiar $R(\theta )$: de obicei primești $A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$. Atunci $\rho =\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos \theta =\frac{a}{\rho }$, $\sin \theta =\frac{b}{\rho }$ și $A^n={\rho }^{n}R(n\theta )$ — factorul ${\rho }^n$ nu se uită. Este formula lui Moivre, scrisă cu matrice.

Exerciții din această mini-lecție

1. Matricea rotației de unghi $\theta$ în jurul originii, în sens trigonometric, este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}\sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

   Semnul minus stă sus-dreapta. Verificarea rapidă se face pe $\theta =\frac{\pi }{2}$: matricea corectă devine $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ și duce punctul $(1,0)$ în $(0,1)$, adică rotește în sens trigonometric. Varianta b) este $R(-\theta )$, iar prima nici nu este matrice de rotație, ci una de simetrie.

2. Cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $R{\left(\frac{2\pi }{5}\right)}^n=I_2$ este:

   • a) $5$
   • b) $10$
   • c) $2$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $5$

   Din $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$, condiția devine $\frac{2n\pi }{5}=2k\pi$, adică $n=5k$ cu $k$ întreg. Cel mai mic număr natural nenul este $n=5$. Geometric: cinci rotații de câte $72^{\circ }$ acoperă exact un tur complet.

3. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& 2\end{array}\right)$. Scrisă sub forma $A=\rho R(\theta )$, ea are:

   • a) $\rho =2$, $\theta =\frac{\pi }{4}$
   • b) $\rho =2\sqrt{2}$, $\theta =\frac{\pi }{4}$
   • c) $\rho =4$, $\theta =\frac{\pi }{4}$
   • d) $\rho =2\sqrt{2}$, $\theta =\frac{\pi }{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\rho =2\sqrt{2}$, $\theta =\frac{\pi }{4}$

   Matricea are forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ cu $a=b=2$, deci $\rho =\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$. Atunci $\cos \theta =\sin \theta =\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, adică $\theta =\frac{\pi }{4}$. Varianta $\rho =4$ apare când se uită radicalul, iar $\rho =2$ când se ia doar $a$.