Matricea de rotație și puterile ei

Până acum ai calculat puteri de matrice cu trei unelte: inducția, binomul lui Newton și șirurile recurente. Toate trei pornesc de la numerele din tablou. Lecția de față face altceva: pornește de la ce înseamnă matricea. Există un tip de matrice pentru care $A^n$ se citește dintr-o singură propoziție, fără niciun calcul — pentru că $A$ descrie o rotație, iar a aplica de $n$ ori o rotație de unghi $\theta$ înseamnă, evident, o rotație de unghi $n\theta$.

Ideea aceasta este cea mai economică din tot capitolul: pe o matrice de rotație, $A^{2026}$ se rezolvă în trei rânduri, în timp ce prin inducție ar cere un calcul lung, iar prin binom nu s-ar putea deloc. Ca s-o folosești, ai nevoie de un singur lucru: să recunoști forma.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este matricea de rotație $R(\theta )$ și de ce elementele ei sunt tocmai $\cos \theta$ și $\sin \theta$.
• Vei ști să demonstrezi legea de compunere $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$ și consecința ei, $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$.
• Vei ști să folosești periodicitatea ca să calculezi puteri uriașe, prin împărțire cu rest.
• Vei ști să recunoști matricele de forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ și să le scrii ca rotație cu schimbare de scară.
• Vei ști să legi această lege de formula lui Moivre de la numerele complexe.

Hai să descoperim împreună

1. Punctul de plecare: cercul trigonometric

Ai lucrat în clasa a IX-a cu cercul trigonometric: două axe perpendiculare, un cerc de rază $1$ cu centrul în punctul lor de intersecție, notat $O$, și punctul asociat unui număr real $t$, ale cărui coordonate sunt exact $(\cos t,\sin t)$ — chiar așa au fost definite sinusul și cosinusul.

Păstrăm exact acest cadru și îl folosim pentru toate punctele planului, nu doar pentru cele de pe cerc: orice punct este descris de o pereche de numere $(x,y)$, măsurate pe cele două axe. Perechea o vom scrie de acum ca matrice coloană, $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$, pentru că așa o putem înmulți cu o matrice pătratică de ordin $2$. (Studiul sistematic al planului cu coordonate îl vei face în unitatea „Drepte în planul cartezian", de la lecția 43 înainte; aici avem nevoie doar de atât.)

2. Ce face o rotație cu coordonatele

Rotația de unghi $\theta$ în jurul lui $O$, în sens trigonometric, duce fiecare punct al planului în alt punct. Ne interesează formula care dă noile coordonate.

Începem cu două puncte particulare, pentru care răspunsul se citește pe cerc. Punctul $(1,0)$ este punctul asociat lui $0$; rotit cu $\theta$, devine punctul asociat lui $\theta$, adică $(\cos \theta ,\sin \theta )$. Punctul $(0,1)$ este punctul asociat lui $\frac{\pi }{2}$; rotit cu $\theta$, devine punctul asociat lui $\theta +\frac{\pi }{2}$, adică

$$\left(\cos \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right),\sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)\right)=(-\sin \theta ,\cos \theta ).$$

Un punct oarecare $(x,y)$ se scrie $x\cdot (1,0)+y\cdot (0,1)$, iar rotația păstrează această descompunere: noul punct este $x(\cos \theta ,\sin \theta )+y(-\sin \theta ,\cos \theta )$, adică

$$x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta ,y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta .$$

3. Matricea de rotație

Cele două formule de mai sus sunt exact rezultatul unei înmulțiri de matrice:

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$$

Definiție. Matricea $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ se numește matricea rotației de unghi $\theta$ (în jurul originii, în sens trigonometric).

Semnul minus stă sus-dreapta, nu jos-stânga; inversarea lui dă rotația în sens invers. Câteva valori de reținut:

$$R(0)=I_2,R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),R(\pi )=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2.$$

Ultima e ușor de reținut: o rotație de $180^{\circ }$ duce fiecare punct în simetricul lui față de $O$.

4. Legea de compunere

Teoremă. Pentru orice $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ are loc $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$.

Demonstrație. Înmulțim după regula linie pe coloană:

$$R(\alpha )R(\beta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta & \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{array}\right).$$

Recunoaștem formulele pentru suma a două unghiuri, studiate în clasa a IX-a: $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ și $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$. Prin urmare matricea obținută este chiar $\left(\begin{array}{cc}\cos (\alpha +\beta )& -\sin (\alpha +\beta )\\ \sin (\alpha +\beta )& \cos (\alpha +\beta )\end{array}\right)=R(\alpha +\beta )$. $■$

Două consecințe imediate. Întâi, matricele de rotație comută între ele: $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )=R(\beta +\alpha )=R(\beta )R(\alpha )$ — un caz rar și plăcut, într-un capitol în care necomutativitatea e regula. Apoi, luând $\beta =-\alpha$:

$$R(\theta )R(-\theta )=R(0)=I_2,$$

ceea ce spune, în limbaj geometric, că rotația de unghi $-\theta$ desface rotația de unghi $\theta$. Ce înseamnă exact o astfel de matrice „care desface" vei studia la lecția 23, când vom defini matricele inversabile.

5. Puterea a $n$-a

Consecință. Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și orice $\theta \in \mathbb{R}$,

$$R(\theta {)}^n=R(n\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{array}\right).$$

Demonstrație prin inducție. Pentru $n=1$ egalitatea e evidentă. Presupunem $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$; atunci

$$R(\theta {)}^{n+1}=R(\theta {)}^{n}R(\theta )=R(n\theta )R(\theta )=R(n\theta +\theta )=R((n+1)\theta ),$$

unde am folosit teorema. Conform principiului inducției, formula e adevărată pentru orice $n$ natural nenul. $■$

Aceasta este toată metoda. Rezultatul nu se obține prin calcul, ci prin înțelesul matricei: a roti de $n$ ori cu $\theta$ înseamnă a roti cu $n\theta$.

6. Periodicitate: puteri uriașe, calcule scurte

Cum $\cos$ și $\sin$ sunt periodice de perioadă $2\pi$, avem $R(\theta +2\pi )=R(\theta )$. De aici, dacă $\theta =\frac{2\pi }{p}$ pentru un $p$ natural, atunci $R(\theta {)}^p=R(2\pi )=I_2$: puterile se repetă din $p$ în $p$.

Rezultă o rețetă pentru exponenți mari:

1. află perioada $p$, adică cel mai mic număr natural nenul cu $R(\theta {)}^p=I_2$;
2. împarte exponentul la $p$ cu rest: $n=pq+r$, cu $0\le r<p$;
3. scrie $R(\theta {)}^n=(R(\theta {)}^p{)}^{q}R(\theta {)}^r=I_2^{q}R(\theta {)}^r=R(\theta {)}^r=R(r\theta )$.

De pildă, pentru $\theta =\frac{\pi }{2}$ perioada este $4$ (rotații de $90^{\circ }$: patru duc înapoi la punctul de plecare), iar $2026=4\cdot 506+2$, deci

$$R{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2026}=R{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2=R(\pi )=-I_2.$$

7. Rotație cu schimbare de scară

Rareori primești în enunț chiar $R(\theta )$; primești o matrice cu numere, de forma

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right),a,b\in \mathbb{R},(a,b)\ne (0,0).$$

Notăm $\rho =\sqrt{a^2+b^2}>0$ și scoatem factorul comun: $A=\rho \left(\begin{array}{cc}a/\rho & -b/\rho \\ b/\rho & a/\rho \end{array}\right)$. Cum ${\left(\frac{a}{\rho }\right)}^2+{\left(\frac{b}{\rho }\right)}^2=1$, punctul de coordonate $\left(\frac{a}{\rho },\frac{b}{\rho }\right)$ se află pe cercul trigonometric, deci există un unic $\theta \in [0,2\pi )$ cu $\cos \theta =\frac{a}{\rho }$ și $\sin \theta =\frac{b}{\rho }$. Prin urmare $A=\rho R(\theta )$ și, scoțând scalarul din produs,

$$A^n={\rho }^{n}R(n\theta )={\rho }^n\left(\begin{array}{cc}\cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{array}\right).$$

Exemplu. $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$: aici $a=b=1$, deci $\rho =\sqrt{2}$, $\cos \theta =\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\theta =\frac{\pi }{4}$. Atunci $A^n=(\sqrt{2}{)}^{n}R\left(\frac{n\pi }{4}\right)$, iar pentru $n=8$: $A^8=16R(2\pi )=16I_2$. Verificare pe drumul lung: $A^2=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$, $A^4=-4I_2$, deci $A^8=16I_2$.

8. Aceeași lege, la numerele complexe

Compară forma matricei cu forma trigonometrică a unui număr complex: $A=\rho R(\theta )$ corespunde lui $z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$, iar regula $A^n={\rho }^{n}R(n\theta )$ este cuvânt cu cuvânt formula lui Moivre, pe care ai studiat-o în clasa a X-a: $z^n={\rho }^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$.

Nu e o coincidență: matricele de forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ se adună și se înmulțesc exact după aceleași reguli ca numerele complexe $a+bi$. Poți verifica singur pe câteva exemple. Observația nu se cere la Bacalaureat M1, dar îți dă un control gratuit: dacă știi puterea numărului complex, știi și puterea matricei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ciclul de patru

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Calculați $A^n$ pentru $n\in \{1,2,3,4\}$ și apoi $A^{2026}$.

Rezolvare. $A=R\left(\frac{\pi }{2}\right)$, deci $A^n=R\left(\frac{n\pi }{2}\right)$:

$$A^1=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),A^2=-I_2,A^3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),A^4=I_2.$$

Perioada este $4$. Din $2026=4\cdot 506+2$ rezultă $A^{2026}=A^2=-I_2$. Puterile lui $A$ iau, deci, doar patru valori, oricât de mare ar fi exponentul.

Exemplul 2 — Perioadă șase

Calculați $R{\left(\frac{\pi }{3}\right)}^{2026}$.

Rezolvare. Cum $6\cdot \frac{\pi }{3}=2\pi$, perioada este $6$. Împărțim: $2026=6\cdot 337+4$, deci

$$R{\left(\frac{\pi }{3}\right)}^{2026}=R\left(\frac{4\pi }{3}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{4\pi }{3}& -\sin \frac{4\pi }{3}\\ \sin \frac{4\pi }{3}& \cos \frac{4\pi }{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right).$$

Am folosit $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cadranul al treilea).

Exemplul 3 — Rotație cu scară, unghi din cadranul al doilea

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$. Determinați $A^4$ și $A^8$.

Rezolvare. Matricea are forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ cu $a=-1$, $b=1$, deci $\rho =\sqrt{2}$, $\cos \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$: unghiul este în cadranul al doilea, $\theta =\frac{3\pi }{4}$. Atunci

$$A^4=(\sqrt{2}{)}^{4}R(3\pi )=4R(\pi )=-4I_2,A^8=(A^4{)}^2=16I_2.$$

Am folosit $R(3\pi )=R(\pi +2\pi )=R(\pi )=-I_2$. Verificare: $A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$, iar pătratul acestei matrice este $-4I_2$.

Exemplul 4 — Cu radicali în enunț

Fie $B=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -1\\ 1& \sqrt{3}\end{array}\right)$. Calculați $B^6$ și $B^{12}$.

Rezolvare. $a=\sqrt{3}$, $b=1$, deci $\rho =\sqrt{3+1}=2$, $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta =\frac{1}{2}$, adică $\theta =\frac{\pi }{6}$ și $B=2R\left(\frac{\pi }{6}\right)$. Rezultă

$$B^6=2^{6}R(\pi )=-64I_2,B^{12}=2^{12}R(2\pi )=4096I_2.$$

Reține că perioada rotației (aici $12$) și cea a matricei $B$ nu coincid: factorul $\rho =2$ crește la fiecare pas, deci $B^{12}\ne I_2$ — doar direcțiile se repetă, nu și mărimile.

Exemplul 5 — O ecuație cu matrice de rotație

Determinați $\theta \in [0,2\pi )$ pentru care $R(\theta {)}^3=I_2$.

Rezolvare. Din $R(\theta {)}^3=R(3\theta )$, condiția devine $R(3\theta )=R(0)$, adică $\cos 3\theta =1$ și $\sin 3\theta =0$, deci $3\theta =2k\pi$ cu $k\in \mathbb{Z}$, adică $\theta =\frac{2k\pi }{3}$. Din condiția $\theta \in [0,2\pi )$ rămân trei soluții:

$$\theta \in \left\{0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right\}.$$

Geometric: singurele rotații care, aplicate de trei ori, readuc planul în poziția inițială sunt cele cu $0^{\circ }$, $120^{\circ }$ și $240^{\circ }$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$. a) Calculați $A^2$ și arătați că $A^8=16I_2$. b) Calculați $A^{2026}$.

Rezolvare. a) $A^2=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$. Scriem $A=\sqrt{2}R\left(\frac{\pi }{4}\right)$ (paragraful 7), deci $A^8=(\sqrt{2}{)}^{8}R(2\pi )=16I_2$. Se poate și fără rotații: $A^4=(A^2{)}^2=-4I_2$, deci $A^8=16I_2$.

b) Împărțim exponentul la $8$: $2026=8\cdot 253+2$. Prin urmare

$$A^{2026}=(A^8{)}^{253}{A}^2=(16I_2{)}^{253}{A}^2=16^{253}{A}^2=2^{1012}\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2^{1013}\\ 2^{1013}& 0\end{array}\right).$$

Control pe cealaltă cale: $A^{2026}=(\sqrt{2}{)}^{2026}R\left(\frac{2026\pi }{4}\right)=2^{1013}R\left(\frac{\pi }{2}\right)$, pentru că $2026=8\cdot 253+2$ dă același rest — și $2^{1013}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ este exact matricea de mai sus.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi forma $A=\rho R(\theta )$ (cu $\rho$ și $\theta$ determinate explicit), apoi folosește $A^n={\rho }^{n}R(n\theta )$ și reduce unghiul modulo $2\pi$.

1. Scrie matricea $R\left(\frac{\pi }{2}\right)$ și calculează $R{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^3$.

2. Arată, prin calcul direct, că $R(\theta )R(-\theta )=I_2$ pentru orice $\theta$.

3. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, calculează $A^{2025}$.

4. Determină $R(\pi {)}^n$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ are loc $R(\alpha )R(\beta )=R(\beta )R(\alpha )$."

6. Fie $D=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 3& 3\end{array}\right)$. Calculează $D^2$, $D^4$ și $D^8$.

7. Calculează $R{\left(\frac{2\pi }{3}\right)}^{100}$.

8. Determină $\rho$ și $\theta$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$ și calculează $A^4$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ și $a^2+b^2=1$, atunci există $\theta$ cu $A=R(\theta )$."

10. (Problemă aplicată.) Elicea unui ventilator are trei pale așezate la unghiuri egale. La fiecare pornire scurtă, elicea se rotește cu $\frac{2\pi }{3}$. După câte porniri arată elicea exact ca la început? Scrie răspunsul folosind puterile unei matrice de rotație.

11. Determină cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pentru care $R{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^n=I_2$.

12. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)$, calculează $A^{2026}$.

13. Arată că $S=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$ verifică $S^2=I_2$ și explică de ce $S$ nu este o matrice de rotație.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$. a) Arătați că $A=2R\left(\frac{\pi }{3}\right)$. b) Calculați $A^6$. c) Calculați $A^{2025}$.

15. Determină toate valorile $\theta \in [0,2\pi )$ pentru care $R(\theta {)}^4=I_2$.

16. Calculează $R(\theta )+R(-\theta )$ și exprimă rezultatul cu ajutorul lui $I_2$.

17. Explică, în două-trei fraze, de ce elementele matricei $R(\theta {)}^n$ rămân în intervalul $[-1,1]$, oricât de mare ar fi $n$, spre deosebire de ce se întâmplă la $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.

18. (Provocare.) Fie $p\ge 2$ un număr natural și $\theta =\frac{2\pi }{p}$. Arată că $I_2+R(\theta )+R(\theta {)}^2+\cdots +R(\theta {)}^{p-1}=O_2$.

Răspunsuri și explicații

1. $R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, iar $R{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^3=R\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, pentru că $\cos \frac{3\pi }{2}=0$ și $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$.

2. Cum $\cos (-\theta )=\cos \theta$ și $\sin (-\theta )=-\sin \theta$, produsul este $\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & 0\\ 0& {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \end{array}\right)=I_2$, prin formula fundamentală a trigonometriei. Se obține și direct din teoremă: $R(\theta )R(-\theta )=R(0)=I_2$.

3. $A=R\left(\frac{\pi }{2}\right)$, cu perioada $4$. Din $2025=4\cdot 506+1$ rezultă $A^{2025}=A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

4. $R(\pi {)}^n=R(n\pi )=\left(\begin{array}{cc}\cos n\pi & -\sin n\pi \\ \sin n\pi & \cos n\pi \end{array}\right)=(-1{)}^n{I}_2$, pentru că $\sin n\pi =0$ și $\cos n\pi =(-1{)}^n$. Altfel spus: $R(\pi )=-I_2$, deci $R(\pi {)}^n=(-1{)}^n{I}_2$.

5. Adevărat. Din teoremă, $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$ și $R(\beta )R(\alpha )=R(\beta +\alpha )$, iar adunarea numerelor reale este comutativă. Matricele de rotație formează, deci, o familie în care înmulțirea este comutativă — o excepție notabilă de la regula generală.

6. $a=b=3$, deci $\rho =3\sqrt{2}$ și $\theta =\frac{\pi }{4}$: $D=3\sqrt{2}R\left(\frac{\pi }{4}\right)$. Atunci $D^2=18R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -18\\ 18& 0\end{array}\right)$, $D^4=324R(\pi )=-324I_2$ și $D^8=324^{2}R(2\pi )=104976I_2$.

7. Perioada este $3$, pentru că $3\cdot \frac{2\pi }{3}=2\pi$. Din $100=3\cdot 33+1$ rezultă $R{\left(\frac{2\pi }{3}\right)}^{100}=R\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$.

8. Aici $a=0$ și $-b=2$, deci $b=-2$; atunci $\rho =2$, $\cos \theta =0$, $\sin \theta =-1$, adică $\theta =\frac{3\pi }{2}$. Rezultă $A^4=2^{4}R(6\pi )=16I_2$. Verificare directă: $A^2=-4I_2$, deci $A^4=16I_2$.

9. Adevărat. Condiția $a^2+b^2=1$ spune exact că punctul $(a,b)$ se află pe cercul trigonometric, deci există $\theta \in [0,2\pi )$ cu $a=\cos \theta$ și $b=\sin \theta$; înlocuind, $A$ devine $R(\theta )$. Dacă $a^2+b^2={\rho }^2\ne 1$, matricea este $\rho R(\theta )$, adică o rotație urmată de o schimbare de scară.

10. Rotația cu $\frac{2\pi }{3}$ are matricea $R\left(\frac{2\pi }{3}\right)$, iar după $n$ porniri poziția este dată de $R{\left(\frac{2\pi }{3}\right)}^n=R\left(\frac{2n\pi }{3}\right)$. Aceasta este $I_2$ pentru prima dată la $n=3$: după trei porniri elicea revine exact în poziția inițială. (De fapt, ochiul nu distinge nici după o singură pornire, pentru că palele sunt identice — dar poziția fizică a fiecărei pale revine abia la $n=3$.)

11. $R{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^n=R\left(\frac{n\pi }{6}\right)=I_2$ cere $\frac{n\pi }{6}=2k\pi$, adică $n=12k$. Cel mai mic $n$ natural nenul este $n=12$.

12. $A=R\left(\frac{\pi }{4}\right)$, cu perioada $8$. Din $2026=8\cdot 253+2$ rezultă $A^{2026}=R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

13. $S^2=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & \cos \theta \sin \theta -\sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta -\cos \theta \sin \theta & {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \end{array}\right)=I_2$. Matricea nu are forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$: elementele de pe diagonală sunt opuse, iar cele din afara ei egale. Geometric, $S$ este o simetrie față de o dreaptă care trece prin $O$, iar o simetrie aplicată de două ori readuce fiecare punct în locul lui — de aici $S^2=I_2$.

14. a) $2R\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)=A$. b) $A^6=2^{6}R(2\pi )=64I_2$. c) Din $2025=6\cdot 337+3$ obținem $A^{2025}=(A^6{)}^{337}{A}^3$; cum $A^3=2^{3}R(\pi )=-8I_2$ și $(A^6{)}^{337}=64^{337}=2^{2022}$, rezultă $A^{2025}=-2^{2025}{I}_2$.

15. $R(\theta {)}^4=R(4\theta )=I_2$ cere $4\theta =2k\pi$, deci $\theta =\frac{k\pi }{2}$. În $[0,2\pi )$ rămân patru soluții: $\theta \in \left\{0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}\right\}$.

16. Adunând element cu element, termenii cu $\sin$ se anulează, iar cei cu $\cos$ se dublează: $R(\theta )+R(-\theta )=\left(\begin{array}{cc}2\cos \theta & 0\\ 0& 2\cos \theta \end{array}\right)=2\cos \theta \cdot I_2$. Pentru $\theta =\frac{\pi }{2}$ se obține $O_2$, ceea ce se verifică imediat.

17. Pentru că $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$, iar elementele oricărei matrice de rotație sunt $\pm \cos$ și $\pm \sin$ ale unui unghi — valori mereu cuprinse între $-1$ și $1$. Puterea nu „umflă" nimic: ea doar rotește mai mult. La $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, în schimb, elementele conțin $2^n$ și cresc nemărginit, pentru că acolo matricea nu doar rotește, ci și mărește.

18. Notăm $c=\sum _{k=0}^{p-1}\cos k\theta$ și $s=\sum _{k=0}^{p-1}\sin k\theta$; suma cerută este $S=\left(\begin{array}{cc}c& -s\\ s& c\end{array}\right)$. Înmulțind cu $R(\theta )$, fiecare termen urcă cu o poziție, iar ultimul devine $R(p\theta )=R(2\pi )=I_2$, adică exact primul termen — deci $R(\theta )S=S$. Scriind prima coloană a acestei egalități:

$$c\cos \theta -s\sin \theta =c,c\sin \theta +s\cos \theta =s.$$

Înmulțim prima relație cu $\cos \theta -1$, a doua cu $\sin \theta$ și le adunăm; folosind formula fundamentală obținem $[(\cos \theta -1{)}^2+{\sin }^2\theta ]c=0$, adică $(2-2\cos \theta )c=0$. Cum $p\ge 2$, unghiul $\theta =\frac{2\pi }{p}$ nu este multiplu de $2\pi$, deci $\cos \theta \ne 1$ și rezultă $c=0$; analog $s=0$. Prin urmare $S=O_2$. Geometric: punctele corespunzătoare sunt vârfurile unui poligon regulat cu centrul în $O$.

De reținut

• Matricea de rotație: $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$, cu minusul sus-dreapta.
• Legea de compunere: $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$, demonstrată cu formulele pentru suma a două unghiuri. Consecință: $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$, iar matricele de rotație comută între ele.
• Periodicitate: dacă $\theta =\frac{2\pi }{p}$, atunci $R(\theta {)}^p=I_2$; pentru exponenți mari, împarte cu rest la $p$ și păstrează restul.
• Forma generală: $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=\rho R(\theta )$, cu $\rho =\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos \theta =\frac{a}{\rho }$, $\sin \theta =\frac{b}{\rho }$; atunci $A^n={\rho }^{n}R(n\theta )$.
• Puntea cu numerele complexe: regula este aceeași cu formula lui Moivre pentru $z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$.

Greșeli frecvente

• Semnul minus pus greșit. $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ este rotația de unghi $-\theta$, nu $\theta$. Verifică pe $\theta =\frac{\pi }{2}$: matricea corectă duce punctul $(1,0)$ în $(0,1)$.
• Uitarea factorului ${\rho }^n$. Din $A=\rho R(\theta )$ rezultă $A^n={\rho }^{n}R(n\theta )$, nu $R(n\theta )$. La $B=2R\left(\frac{\pi }{6}\right)$, $B^{12}$ este $4096I_2$, nu $I_2$.
• Confuzia dintre perioada rotației și perioada matricei. $R(\theta )$ se repetă din $p$ în $p$; $\rho R(\theta )$ nu se repetă niciodată dacă $\rho \ne 1$ — se repetă doar direcția.
• Restul greșit la împărțire. Pentru $2026$ și perioada $8$: $2026=8\cdot 253+2$, deci restul este $2$, nu $6$. Refă împărțirea, e locul unde se pierde tot exercițiul.
• Aplicarea metodei unde forma nu se potrivește. $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$ nu este matrice de rotație, ci de simetrie; $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$ nu se aplică.

Aplică acasă

1. Ceasul ca matrice. Acul secundarelor se rotește cu $6^{\circ }$ pe secundă. Scrie matricea corespunzătoare și află după câte secunde revine în poziția inițială, folosind periodicitatea.

2. Verificarea rotației pe hârtie milimetrică. Desenează două axe, marchează punctul $(3,1)$ și calculează imaginea lui prin $R\left(\frac{\pi }{2}\right)$. Verifică pe desen: distanța până la origine trebuie să rămână aceeași.

3. Poligonul din puteri. Ia $\theta =\frac{2\pi }{5}$, aplică $R(\theta )$ de cinci ori punctului $(1,0)$ și marchează toate imaginile obținute. Vei vedea vârfurile unui pentagon regulat — o ilustrare a exercițiului 18.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie seria metodelor elementare de ridicare la putere, cu singura care nu presupune niciun calcul repetitiv: recunoașterea unei structuri geometrice. Valoarea ei pedagogică e dublă — arată că o matrice poate „însemna" ceva și leagă algebra de trigonometria studiată în clasa a IX-a.

De verificat în caiet: (1) forma $A=\rho R(\theta )$ e scrisă explicit, cu $\rho$ și $\theta$ determinate, nu ghicite; (2) semnul minus este sus-dreapta; (3) împărțirea cu rest a exponentului este făcută corect; (4) factorul ${\rho }^n$ nu e uitat. Întrebări de control: „Ce înseamnă geometric $R(\theta {)}^n$?"; „Cum afli unghiul dintr-o matrice cu numere?"; „De ce comută două matrice de rotație?"; „Care e perioada lui $R(\pi /6)$?".

La BAC M1, tipul acesta de exercițiu apare des sub forma „calculați $A^{2026}$" pentru o matrice cu $\sqrt{3}$, $\pm 1$ sau $\pm 2$ în tablou — exact forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$. Semn că elevul a înțeles: recunoaște forma dintr-o privire și calculează $\rho$ înainte de orice altceva.

Întrebări frecvente

Ce este matricea de rotație? Este matricea $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$, care, înmulțită cu coloana coordonatelor unui punct, dă coordonatele punctului rotit cu unghiul $\theta$ în jurul originii, în sens trigonometric.

De ce $R(\theta )$ la puterea $n$ este $R(n\theta )$? Pentru că a aplica de $n$ ori o rotație de unghi $\theta$ înseamnă a roti cu $n\theta$. Algebric, rezultă prin inducție din legea $R(\alpha )R(\beta )=R(\alpha +\beta )$, care se demonstrează cu formulele pentru suma a două unghiuri.

Cum calculez $A^{2026}$ pentru o matrice de rotație? Afli perioada $p$, adică cel mai mic număr cu $R(\theta {)}^p=I_2$, împarți $2026$ la $p$ cu rest și păstrezi restul: $R(\theta {)}^{2026}=R(\theta {)}^r$. Dacă matricea are forma $\rho R(\theta )$, înmulțești rezultatul cu ${\rho }^{2026}$.

Cum recunosc o matrice de rotație într-un enunț? După forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$: pe diagonala principală același număr, iar în afara ei două numere opuse, cu minusul sus. Calculezi apoi $\rho =\sqrt{a^2+b^2}$ și afli $\theta$ din $\cos \theta =\frac{a}{\rho }$, $\sin \theta =\frac{b}{\rho }$.

Ce legătură are cu formula lui Moivre? Matricea $\rho R(\theta )$ se comportă exact ca numărul complex $\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$, iar regula $A^n={\rho }^{n}R(n\theta )$ este formula lui Moivre scrisă cu matrice. Poți folosi una ca verificare pentru cealaltă.

Se poate calcula $A^n$ altfel, dacă nu observ rotația? Da, prin inducție sau prin șiruri recurente, dar calculul e mult mai lung, iar pentru exponenți de ordinul miilor devine nepractic. De aceea recunoașterea formei este primul lucru de verificat la orice matrice de ordin $2$ cu elemente opuse în afara diagonalei.