Gauss: inversa și ecuațiile matriceale: pe scurt

Metoda adjunctei cere $10$ determinanți la ordinul $3$ și $17$ la ordinul $4$. Metoda lui Gauss face aceeași treabă fără niciun determinant, pornind de la o observație: egalitatea $AX=I_n$, citită pe coloane, se desface în $n$ sisteme liniare, $A{X}_k=e_k$, toate cu aceeași matrice $A$. Cum transformările elementare se aleg privind numai partea de coeficienți, cele $n$ sisteme se rezolvă deodată.

Se scrie tabloul dublu: un singur tablou cu $n$ linii și $2n$ coloane, format din $A$ și, imediat la dreapta, $I_n$, fără nicio bară despărțitoare — împărțirea în primele $n$ coloane și ultimele $n$ se descrie în cuvinte. Se aplică transformări pe linii până când în stânga apare $I_n$; atunci în dreapta stă $A^{-1}$. Verificarea obligatorie: $A\cdot A^{-1}=I_n$.

Metoda se oprește singură când matricea nu e inversabilă: dacă în jumătatea stângă apare o linie numai de zerouri, ea nu mai poate deveni linie a lui $I_n$, deci $\mathrm{rang}A<n$ și $\det A=0$.

Același tablou, cu $B$ în locul lui $I_n$, rezolvă ecuația $AX=B$ fără a calcula $A^{-1}$. Pentru $XA=B$ se transpune: din ${}^t(XA)={}^{t}A\cdot {}^{t}X$, ecuația devine ${}^{t}A\cdot {}^{t}X={}^{t}B$.

Exerciții din această mini-lecție

1. La calculul inversei prin metoda lui Gauss, tabloul de lucru este:

   • a) un singur tablou cu $n$ linii și $2n$ coloane, format din $A$ și, la dreapta, $I_n$, fără bară despărțitoare
   • b) matricea extinsă $\overline{A}$ a unui sistem
   • c) un tablou format din $A$ și, la dreapta, coloana termenilor liberi
   • d) două tablouri separate, $A$ și $I_n$, transformate independent
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) un singur tablou cu $n$ linii și $2n$ coloane, format din $A$ și, la dreapta, $I_n$, fără bară despărțitoare

   Tabloul rămâne o singură matrice de tip $n\times 2n$, iar transformările se aplică pe linii întregi; împărțirea în „primele $n$ coloane" și „ultimele $n$ coloane" este doar un ajutor de citire, descris în cuvinte. Notația $\overline{A}$ rămâne rezervată matricei extinse a unui sistem, cu coloana termenilor liberi — altceva decât tabloul dublu. Transformate independent, cele două jumătăți nu ar mai reprezenta același pachet de sisteme.

2. În timpul transformărilor, jumătatea stângă a tabloului dublu capătă o linie formată numai din zerouri. Atunci:

   • a) se schimbă două linii între ele și calculul continuă
   • b) inversa este chiar matricea rămasă în jumătatea dreaptă
   • c) matricea nu este inversabilă, deci $\det A=0$
   • d) tabloul a fost scris greșit de la început
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) matricea nu este inversabilă, deci $\det A=0$

   Nicio transformare nu mai poate crea un $1$ pe acea linie: înmulțirea cu un scalar lasă zerourile pe loc, iar adunarea altei linii ar strica zerourile deja obținute în coloanele dinainte. Jumătatea stângă nu poate deveni $I_n$, care are pe fiecare linie un $1$. De fond: o linie nulă înseamnă $\mathrm{rang}A<n$, adică $\det A=0$.

3. Ecuația matriceală $XA=B$ se aduce la forma deja cunoscută:

   • a) înmulțind ambii membri la stânga cu $A^{-1}$
   • b) transpunând: din ${}^t(XA)={}^{t}A\cdot {}^{t}X$ rezultă ${}^{t}A\cdot {}^{t}X={}^{t}B$
   • c) împărțind ambii membri la matricea $A$
   • d) schimbând între ele liniile matricei $B$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) transpunând: din ${}^t(XA)={}^{t}A\cdot {}^{t}X$ rezultă ${}^{t}A\cdot {}^{t}X={}^{t}B$

   Necunoscuta stă în stânga, iar transformările elementare pe linii acționează tot la stânga, deci tabloul obișnuit nu se aplică direct. Transpunerea mută necunoscuta în dreapta, se rezolvă ecuația obținută și se transpune înapoi rezultatul. Înmulțirea la stânga cu $A^{-1}$ ar da $A^{-1}XA$, unde nimic nu se simplifică; iar împărțirea matricelor nu există.