Metoda lui Gauss: pe scurt

Metoda lui Gauss rezolvă orice sistem liniar într-o singură trecere, fără niciun determinant, și spune pe drum dacă sistemul e incompatibil, determinat sau nedeterminat.

Temelia ei este noțiunea de sisteme echivalente — sisteme cu exact aceeași mulțime de soluții — și teorema că cele trei transformări elementare pe linii dau sisteme echivalente: $L_i\leftrightarrow L_j$; $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cu $\alpha \ne 0$; $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i\ne j$. Ambele condiții sunt esențiale: pentru $\alpha =0$, sau pentru $i=j$ cu $\alpha =-1$, ecuația ar deveni $0=0$ și sistemul nu ar mai fi echivalent.

Se lucrează pe matricea extinsă $\overline{A}$, fără nicio bară despărțitoare, dar citind ultima coloană ca fiind „de cealaltă parte a egalului". Coborârea aduce $\overline{A}$ la formă eșalonată: liniile nule la sfârșit, fiecare pivot strict la dreapta celui de deasupra.

Citirea: o linie de forma $00\dots 0c$ cu $c\ne 0$ înseamnă $0=c$, deci sistem incompatibil; altfel, dacă pivoții din zona coeficienților sunt $n$ la număr, sistemul e determinat, iar dacă sunt $r<n$, e nedeterminat, cu $n-r$ necunoscute secundare. Urmează substituția inversă, de jos în sus, iar verificarea se face în sistemul inițial.

Exerciții din această mini-lecție

1. În forma eșalonată a matricei extinse a unui sistem apare linia $\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 5\end{array}\right)$. Sistemul este:

   • a) compatibil determinat
   • b) compatibil nedeterminat
   • c) incompatibil
   • d) omogen
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) incompatibil

   Linia corespunde ecuației $0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=5$, adică $0=5$ — o egalitate falsă, pe care niciun triplet nu o poate verifica. Sistemul echivalent nu are soluții, deci nici cel inițial. Atenție la deosebire: o linie complet nulă înseamnă $0=0$, adevărată mereu, și arată doar că o ecuație era consecința celorlalte.

2. Forma eșalonată a matricei extinse a unui sistem cu $3$ necunoscute este $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 4\\ 0& 1& 3& 5\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$. Sistemul este:

   • a) compatibil simplu nedeterminat
   • b) compatibil determinat
   • c) incompatibil
   • d) compatibil dublu nedeterminat
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) compatibil simplu nedeterminat

   Nu apare nicio linie de forma $000c$ cu $c\ne 0$, deci sistemul e compatibil. Pivoții din zona coeficienților sunt doi, ambii în primele trei coloane, deci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2<3=n$: sistem nedeterminat, cu $n-r=1$ necunoscută secundară, adică simplu nedeterminat.

3. De ce transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ se aplică numai cu $i\ne j$?

   • a) pentru că altfel s-ar schimba ordinea ecuațiilor
   • b) pentru că altfel determinantul și-ar schimba semnul
   • c) pentru că pivotul nu ar mai fi primul element nenul al liniei
   • d) pentru că, la $i=j$ și $\alpha =-1$, ecuația ar deveni $0=0$, iar sistemul nu ar mai fi echivalent
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) pentru că, la $i=j$ și $\alpha =-1$, ecuația ar deveni $0=0$, iar sistemul nu ar mai fi echivalent

   Pentru $i=j$, „transformarea" ar fi $L_i\leftarrow (1+\alpha )L_i$, adică de al doilea tip, iar pentru $\alpha =-1$ factorul devine $0$ — ecuația se pierde, sistemul nou are, în general, mai multe soluții și transformarea nu mai e reversibilă. Aceeași este și rațiunea condiției $\alpha \ne 0$ la $L_i\leftarrow \alpha L_i$.