Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare

Ai la dispoziție, până acum, două instrumente puternice pentru sisteme: formulele lui Cramer, care dau soluția dintr-o formulă, și perechea Kronecker-Capelli – Rouché, care decide compatibilitatea. Amândouă au însă un preț: Cramer cere ca sistemul să fie pătratic și cu determinant nenul, iar la un sistem $4\times 4$ înseamnă cinci determinanți de ordin $4$; criteriile de compatibilitate cer un rang, adică o vânătoare de minori, urmată de o rezolvare separată.

Metoda pe care o înveți acum face totul într-o singură trecere: fără niciun determinant, pentru orice număr de ecuații și de necunoscute, spunându-ți pe drum dacă sistemul e incompatibil, determinat sau nedeterminat. Ideea ei o folosești instinctiv din gimnaziu — elimini o necunoscută adunând ecuații — dar aici e organizată riguros, cu fiecare pas justificat. Poartă numele lui Carl Friedrich Gauss, deși procedeul apare, sub altă formă, în tratate chinezești vechi de peste două mii de ani.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă sisteme echivalente și de ce toată metoda se sprijină pe această noțiune.
• Vei ști cele trei transformări elementare pe linii, cu notațiile lor exacte, și vei ști să demonstrezi că nu schimbă mulțimea soluțiilor.
• Vei ști să aduci matricea extinsă $\overline{A}$ la formă eșalonată și să identifici pivoții.
• Vei ști să citești din forma eșalonată dacă sistemul este incompatibil, compatibil determinat sau compatibil nedeterminat.
• Vei ști să faci substituția inversă și să scrii mulțimea soluțiilor cu parametri, când e cazul.
• Vei ști să alegi între Gauss și Cramer în funcție de sistemul din față.

Hai să descoperim împreună

1. Ce faci când elimini o necunoscută. Sisteme echivalente

Ia sistemul

$$\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\ 2x-y+3z=6\\ x+y+z=4\end{array}$$

Instinctul spune: „scad de două ori prima ecuație din a doua, ca să dispară $x$" — rezultă $-5y+5z=0$; apoi „scad prima din a treia" — rezultă $-y+2z=1$. Am rămas cu un sistem mai mic, cu două ecuații și două necunoscute.

Ce am făcut, riguros? Am înlocuit sistemul cu altul, sperând că are aceleași soluții. Toată metoda lui Gauss este exact acest lucru, repetat sistematic — iar partea matematică serioasă este demonstrația că înlocuirea e legitimă.

Definiție. Două sisteme de ecuații liniare cu aceleași necunoscute se numesc echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții.

Atenție la ce nu cere definiția: sistemele echivalente nu trebuie să aibă același număr de ecuații și nici aceiași coeficienți, ci doar să fie satisfăcute de aceleași $n$-uple. Scopul metodei este să înlocuim sistemul dat cu unul echivalent, atât de simplu încât soluțiile să se citească aproape direct.

2. Cele trei transformări elementare pe linii

Transformările pe care le vom folosi sunt exact cele trei folosite și la calculul rangului prin transformări elementare. Ele se notează astfel, și numai astfel:

Teoremă. Aplicând ecuațiilor unui sistem liniar oricare dintre cele trei transformări elementare, se obține un sistem echivalent cu cel inițial.

Demonstrație. Fie $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ un $n$-uplu oarecare de numere. Analizăm cele trei cazuri.

(T1) $L_i\leftrightarrow L_j$. Sistemul nou are exact aceleași ecuații, scrise în altă ordine. Un $n$-uplu este soluție dacă și numai dacă verifică toate ecuațiile, iar „toate" nu depinde de ordinea în care le scriem. Mulțimile de soluții coincid.

(T2) $L_i\leftarrow \alpha L_i$, cu $\alpha \ne 0$. Toate ecuațiile în afară de a $i$-a rămân neschimbate, deci e destul să comparăm ecuația $i$ veche cu cea nouă. Dacă $(s_1,\dots ,s_n)$ verifică ecuația veche, $a_{i1}{s}_1+\cdots +a_{in}{s}_n=b_i$, atunci înmulțind egalitatea cu $\alpha$ obținem $\alpha a_{i1}{s}_1+\cdots +\alpha a_{in}{s}_n=\alpha b_i$, adică ecuația nouă. Reciproc, dacă verifică ecuația nouă, înmulțim egalitatea cu $\frac{1}{\alpha }$ — număr care există tocmai pentru că $\alpha \ne 0$ — și regăsim ecuația veche. Deci cele două ecuații au aceleași soluții, iar sistemele sunt echivalente.

⚠️ Condiția $\alpha \ne 0$ nu este un moft. Pentru $\alpha =0$, ecuația $i$ devine $0=0$, adevărată pentru orice $n$-uplu; sistemul nou ar avea, în general, mai multe soluții decât cel vechi, deci nu ar mai fi echivalent cu el. Reversibilitatea este exact ceea ce se pierde.

(T3) $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$. Din nou, doar ecuația $i$ se schimbă; ecuația $j$ rămâne pe loc, neatinsă. Dacă $(s_1,\dots ,s_n)$ verifică ecuațiile $i$ și $j$ ale sistemului vechi, adunând a doua egalitate înmulțită cu $\alpha$ la prima obținem

$$(a_{i1}+\alpha a_{j1})s_1+\cdots +(a_{in}+\alpha a_{jn})s_n=b_i+\alpha b_j,$$

adică exact ecuația nouă. Reciproc, dacă $(s_1,\dots ,s_n)$ verifică ecuația nouă $i$ și ecuația $j$ (care nu s-a modificat), aplicăm transformarea $L_i\leftarrow L_i-\alpha L_j$ — tot una de tipul (T3) — și regăsim ecuația veche. Deci sistemele sunt echivalente. $■$

⚠️ Condiția $i\ne j$ este la fel de importantă. Dacă am permite $i=j$, „transformarea" ar fi $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_i=(1+\alpha )L_i$, adică una de tipul (T2), iar pentru $\alpha =-1$ ea ar înlocui ecuația $i$ cu $0=0$ — exact ce am interzis mai sus. Nu aduna niciodată o linie la ea însăși.

Consecință practică. Putem aplica oricâte transformări elementare, una după alta: la fiecare pas sistemul rămâne echivalent cu cel de dinaintea lui, deci — prin tranzitivitate — cu cel inițial. Prin urmare, soluțiile găsite la final sunt exact soluțiile sistemului de la început, iar verificarea se face întotdeauna în forma inițială.

3. Lucrăm doar cu numerele: matricea extinsă

Într-un sistem, literele $x$, $y$, $z$ nu poartă informație — ele doar marchează coloana. Toată informația stă în matricea extinsă $\overline{A}$, obținută din matricea sistemului $A$ prin adăugarea, la dreapta, a coloanei termenilor liberi. Pentru sistemul de la punctul 1:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& -1& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right),\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 2& -1& 3& 6\\ 1& 1& 1& 4\end{array}\right).$$

Nu se desenează nicio bară care să despartă ultima coloană, dar tu trebuie s-o citești mereu ca fiind „de cealaltă parte a egalului". O transformare elementară pe liniile lui $\overline{A}$ este, cuvânt cu cuvânt, aceeași transformare aplicată ecuațiilor sistemului — de aceea putem uita literele cât timp lucrăm.

4. Forma eșalonată și pivoții

Definiție. O matrice este în formă eșalonată dacă:

• eventualele linii formate numai din zerouri se află la sfârșit, sub toate celelalte;
• pentru fiecare linie nenulă, primul element nenul de la stânga — numit pivot — se află strict mai la dreapta decât pivotul liniei de deasupra.

Forma se numește așa pentru că zerourile de sub pivoți desenează o scară. Iată o matrice în formă eșalonată, cu pivoții $1$, $1$ și $-7$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& -2& -4\\ 0& 0& -7& -21\end{array}\right).$$

Sistemul corespunzător este „în trepte": ultima ecuație are cele mai puține necunoscute, penultima una în plus și așa mai departe. De aceea se rezolvă de jos în sus, într-un procedeu numit substituție inversă.

Legătura cu rangul. Într-o matrice eșalonată, numărul de pivoți este egal cu rangul — iar transformările elementare nu schimbă rangul. Așadar, aducând $\overline{A}$ la formă eșalonată, obții pe gratis atât $\mathrm{rang}A$ (pivoții din primele $n$ coloane), cât și $\mathrm{rang}\overline{A}$ (toți pivoții).

5. Algoritmul lui Gauss

Pasul 1 — coborârea (eliminarea). Parcurgi coloanele de la stânga la dreapta. Pentru coloana curentă aduci, dacă e nevoie printr-o schimbare $L_i\leftrightarrow L_j$, o linie cu element nenul pe acea coloană; elementul devine pivot. Apoi, cu transformări $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, faci zero tot ce e sub pivot și treci la coloana și la linia următoare.

Pasul 2 — citirea. Când matricea e eșalonată, compari numărul de pivoți din partea de coeficienți cu numărul total de pivoți și decizi natura sistemului (punctul 6).

Pasul 3 — substituția inversă. Dacă sistemul e compatibil, rescrii ecuațiile din matricea eșalonată și le rezolvi de jos în sus.

Aplicăm pe sistemul de la punctul 1.

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 2& -1& 3& 6\\ 1& 1& 1& 4\end{array}\right)$$

Pivotul primei coloane este $1$, pe prima linie. Facem zero sub el:

$$\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& -5& 5& 0\\ 1& 1& 1& 4\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& -5& 5& 0\\ 0& -1& 2& 1\end{array}\right)$$

Ca să lucrăm mai comod, împărțim linia a doua la $-5$ (transformare de tip T2, cu $\alpha =-\frac{1}{5}\ne 0$):

$$\stackrel{L_2\leftarrow -\frac{1}{5}{L}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 2& 1\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3+L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$$

Matricea este eșalonată, cu trei pivoți ($1$, $1$, $1$) în primele trei coloane. Rescriem sistemul echivalent:

$$\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\ y-z=0\\ z=1\end{array}$$

Substituția inversă: din ultima ecuație $z=1$; înlocuind în a doua, $y=z=1$; înlocuind în prima, $x=3-2\cdot 1+1=2$. Deci $S=\{(2,1,1)\}$.

Verificarea, în sistemul inițial (nu în cel eșalonat): $2+2-1=3$ ✓, $4-1+3=6$ ✓, $2+1+1=4$ ✓.

6. Ce citim din forma eșalonată: cele trei situații

Fie $r_A$ numărul de pivoți aflați în primele $n$ coloane (coloanele coeficienților) și $r_{\overline{A}}$ numărul total de pivoți. Atunci:

Primul rând merită tradus în cuvinte: linia $00\dots 0c$ corespunde ecuației $0=c$ cu $c\ne 0$ — egalitate falsă, pe care niciun $n$-uplu nu o poate verifica; sistemul echivalent nu are soluții, deci nici cel inițial.

O linie complet nulă e cu totul altceva: ea corespunde ecuației $0=0$, adevărată mereu, și înseamnă doar că una dintre ecuațiile inițiale era o consecință a celorlalte.

Observă și că regăsim, fără să fi calculat niciun minor, exact criteriul lui Kronecker-Capelli: sistemul e compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$.

7. Aceeași matrice, două destine

Nimic nu arată mai bine rolul coloanei termenilor liberi decât două sisteme cu aceeași matrice $A$ și termeni liberi diferiți:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x+y+3z=3\\ 3x+2y+4z=5\end{array}\text{și}\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x+y+3z=3\\ 3x+2y+4z=6\end{array}$$

Pentru primul:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 2& 1& 3& 3\\ 3& 2& 4& 5\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& -1& 1& -1\\ 3& 2& 4& 5\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& -1& 1& -1\\ 0& -1& 1& -1\end{array}\right)$$

$$\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& -1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Doi pivoți, ambii în zona coeficienților: $r_A=r_{\overline{A}}=2<3=n$, deci compatibil nedeterminat, cu o necunoscută secundară. Cu $z=\alpha$: din linia a doua $y=1+\alpha$, din prima $x=2-y-z=1-2\alpha$, deci

$$S=\{(1-2\alpha ,1+\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în cele trei ecuații inițiale: $(1-2\alpha )+(1+\alpha )+\alpha =2$ ✓; $2(1-2\alpha )+(1+\alpha )+3\alpha =3$ ✓; $3(1-2\alpha )+2(1+\alpha )+4\alpha =5$ ✓.

La al doilea sistem, exact aceleași transformări dau:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 2& 1& 3& 3\\ 3& 2& 4& 6\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& -1& 1& -1\\ 0& -1& 1& 0\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& -1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Ultima linie spune $0=1$: sistem incompatibil, cu $r_A=2$ și $r_{\overline{A}}=3$. O singură cifră schimbată în coloana termenilor liberi a mutat sistemul dintr-o categorie în alta — iar metoda a sesizat-o singură.

8. Gauss sau Cramer?

Ambele metode sunt corecte; alegerea ține de sistemul din față.

Regula practică: dacă nu ești sigur că sistemul e de tip Cramer, pornește cu Gauss. Metoda nu se blochează niciodată și îți spune ea în ce caz ești.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem determinat, cu schimbare de linii

Rezolvați prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{array}$.

Rezolvare. Scriem matricea extinsă și eliminăm sub primul pivot:

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& -1& 1& 3\\ 1& 2& -1& 2\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& -3& -1& -9\\ 1& 2& -1& 2\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& -3& -1& -9\\ 0& 1& -2& -4\end{array}\right)$$

Ca al doilea pivot preferăm un $1$, deci schimbăm liniile:

$$\stackrel{L_2\leftrightarrow L_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& -2& -4\\ 0& -3& -1& -9\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3+3L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& -2& -4\\ 0& 0& -7& -21\end{array}\right)$$

Trei pivoți în zona coeficienților, deci sistem compatibil determinat. Substituție inversă: $-7z=-21\Rightarrow z=3$; $y-2\cdot 3=-4\Rightarrow y=2$; $x+2+3=6\Rightarrow x=1$. Deci $S=\{(1,2,3)\}$.

Verificare în sistemul inițial: $1+2+3=6$ ✓, $2-2+3=3$ ✓, $1+4-3=2$ ✓.

Exemplul 2 — Un sistem compatibil nedeterminat

Rezolvați prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+2z=4\\ 2x+3y+z=5\\ 3x+4y+3z=9\end{array}$.

Rezolvare.

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 4\\ 2& 3& 1& 5\\ 3& 4& 3& 9\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 4\\ 0& 1& -3& -3\\ 3& 4& 3& 9\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 4\\ 0& 1& -3& -3\\ 0& 1& -3& -3\end{array}\right)$$

$$\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 4\\ 0& 1& -3& -3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Doi pivoți, ambii în zona coeficienților, deci $r_A=r_{\overline{A}}=2<3$: sistem compatibil nedeterminat, cu o necunoscută secundară. Ultima linie fiind complet nulă, a treia ecuație era o consecință a primelor două (într-adevăr, ea este suma lor).

Luăm $z=\alpha$. Din linia a doua: $y-3\alpha =-3$, deci $y=3\alpha -3$. Din prima: $x=4-y-2z=4-3\alpha +3-2\alpha =7-5\alpha$. Prin urmare

$$S=\{(7-5\alpha ,3\alpha -3,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare în toate cele trei ecuații inițiale: $(7-5\alpha )+(3\alpha -3)+2\alpha =4$ ✓; $2(7-5\alpha )+3(3\alpha -3)+\alpha =14-10\alpha +9\alpha -9+\alpha =5$ ✓; $3(7-5\alpha )+4(3\alpha -3)+3\alpha =21-15\alpha +12\alpha -12+3\alpha =9$ ✓.

Exemplul 3 — Un sistem incompatibil

Studiați compatibilitatea sistemului $\{\begin{array}{l}x-y+z=1\\ 2x+y-z=3\\ x+5y-5z=2\end{array}$ prin metoda lui Gauss.

Rezolvare.

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 2& 1& -1& 3\\ 1& 5& -5& 2\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 0& 3& -3& 1\\ 1& 5& -5& 2\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 0& 3& -3& 1\\ 0& 6& -6& 1\end{array}\right)$$

$$\stackrel{L_3\leftarrow L_3-2L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 0& 3& -3& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$

Ultima linie corespunde ecuației $0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=-1$, adică $0=-1$, egalitate falsă. Sistemul este incompatibil, $S=\varnothing$. Cu limbajul rangurilor: $\mathrm{rang}A=2$, dar $\mathrm{rang}\overline{A}=3$, deci Kronecker-Capelli nu e îndeplinită.

Exemplul 4 — Un sistem cu patru ecuații și patru necunoscute

Rezolvați prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z+t=5\\ 2x+3y+4z+t=7\\ x+4t=13\\ 3x+5y+6z=7\end{array}$.

Rezolvare. Grijă la coloane: în a treia ecuație lipsesc $y$ și $z$, iar în a patra lipsește $t$ — în matrice, locurile lor se completează cu $0$.

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 5\\ 2& 3& 4& 1& 7\\ 1& 0& 0& 4& 13\\ 3& 5& 6& 0& 7\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-L_1,L_4\leftarrow L_4-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 5\\ 0& 1& 2& -1& -3\\ 0& -1& -1& 3& 8\\ 0& 2& 3& -3& -8\end{array}\right)$$

$$\stackrel{L_3\leftarrow L_3+L_2,L_4\leftarrow L_4-2L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 5\\ 0& 1& 2& -1& -3\\ 0& 0& 1& 2& 5\\ 0& 0& -1& -1& -2\end{array}\right)\stackrel{L_4\leftarrow L_4+L_3}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 5\\ 0& 1& 2& -1& -3\\ 0& 0& 1& 2& 5\\ 0& 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$$

Patru pivoți, deci sistem compatibil determinat. Substituție inversă: $t=3$; $z+2\cdot 3=5\Rightarrow z=-1$; $y+2(-1)-3=-3\Rightarrow y=2$; $x+2-1+3=5\Rightarrow x=1$. Deci $S=\{(1,2,-1,3)\}$.

Verificare în sistemul inițial: $1+2-1+3=5$ ✓; $2+6-4+3=7$ ✓; $1+12=13$ ✓; $3+10-6=7$ ✓. Merită comparat efortul: prin Cramer ar fi trebuit calculați cinci determinanți de ordin $4$.

Exemplul 5 — Un sistem omogen rezolvat cu Gauss

Rezolvați prin metoda lui Gauss sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+2y-z=0\\ 2x-y+3z=0\\ 3x+y+2z=0\end{array}$.

Rezolvare. Fiind sistem omogen, știm de la început că e compatibil; rămâne de aflat dacă are și soluții nebanale.

$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 2& -1& 3& 0\\ 3& 1& 2& 0\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 0& -5& 5& 0\\ 0& -5& 5& 0\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 0& -5& 5& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Doi pivoți, deci $\mathrm{rang}A=2<3=n$: sistemul are și soluții nebanale. Cu $z=\alpha$, linia a doua dă $-5y+5\alpha =0$, deci $y=\alpha$; prima dă $x=-2y+z=-2\alpha +\alpha =-\alpha$. Prin urmare

$$S=\{(-\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Observă ce se întâmplă la un sistem omogen: coloana termenilor liberi rămâne nulă după orice transformare elementară, deci ultima coloană nu poate produce niciodată un pivot. Iată încă un argument pentru care un sistem omogen nu poate fi incompatibil.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y+z=4\\ 2x+5y+3z=11\\ 3x+8y+6z=21\end{array}$.

a) Scrieți matricea $A$ a sistemului și matricea extinsă $\overline{A}$. b) Rezolvați sistemul prin metoda lui Gauss. c) Verificați soluția obținută în toate ecuațiile sistemului.

Rezolvare. a) Matricea sistemului și matricea extinsă sunt

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 5& 3\\ 3& 8& 6\end{array}\right),\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 2& 5& 3& 11\\ 3& 8& 6& 21\end{array}\right).$$

b) Eliminăm sub primul pivot, apoi sub al doilea:

$$\overline{A}\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& 1& 3\\ 0& 2& 3& 9\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-2L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& 1& 1& 3\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$$

Trei pivoți: sistem compatibil determinat. Substituție inversă: $z=3$; $y+3=3\Rightarrow y=0$; $x+0+3=4\Rightarrow x=1$. Deci $S=\{(1,0,3)\}$.

c) În ecuațiile inițiale: $1+0+3=4$ ✓; $2+0+9=11$ ✓; $3+0+18=21$ ✓.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi matricea extinsă și notează fiecare transformare deasupra săgeții. La final, verifică soluția în sistemul inițial, nu în cel eșalonat.

1. Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 3x-y=1\end{array}$.

2. Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x+2y+3z=6\\ x+3y+6z=10\end{array}$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Înmulțind o linie a matricei extinse cu $0$ obținem un sistem echivalent cu cel dat."

4. Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ 2x+y-z=3\\ 3x+2y=6\end{array}$ și precizează gradul lui de nedeterminare.

5. Arată, prin metoda lui Gauss, că sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y-z=1\\ 2x+3y+z=4\\ 3x+5y=6\end{array}$ este incompatibil.

6. Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 2x+y-z=0\\ x+5y-5z=0\end{array}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Metoda lui Gauss se poate aplica numai sistemelor pentru care $\det A\ne 0$."

8. (Problemă aplicată.) O cofetărie folosește într-o zi trei ingrediente, în cantitățile $x$, $y$ și $z$, exprimate în kilograme. Se știe că: în total s-au consumat $100$ de kilograme; costul total, la prețurile de $2$, $3$ și $5$ lei pe kilogram, a fost de $290$ de lei; iar energia consumată la prelucrare, în unități de $1$, $2$ și $3$ pe kilogram, a însumat $170$ de unități. Află cele trei cantități, prin metoda lui Gauss.

9. Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z+t=10\\ x+2y+z+t=12\\ x+y+2z+t=13\\ x+y+z+2t=14\end{array}$.

10. Matricea extinsă a unui sistem cu $4$ necunoscute a ajuns, după eliminare, la forma eșalonată cu pivoții pe coloanele $1$, $2$ și $4$, iar ultima linie este complet nulă. Precizează $\mathrm{rang}A$, $\mathrm{rang}\overline{A}$, natura sistemului și numărul necunoscutelor secundare.

11. Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y+z=4\\ 2x-y+3z=3\end{array}$.

12. Un elev, ca să obțină un zero pe linia a doua, a scris pasul $L_2\leftarrow L_2-L_2$. Explică de ce pasul este greșit și ce transformare elementară ar fi trebuit folosită.

13. Explică, în trei-patru fraze, de ce în transformarea $L_i\leftarrow \alpha L_i$ se cere obligatoriu $\alpha \ne 0$. Dă un exemplu de sistem în care $\alpha =0$ ar duce la un rezultat fals.

14. Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x-y=1\\ 3x=3\\ x-2y=-1\end{array}$, care are patru ecuații și două necunoscute.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x+3y+z=5\\ x+2y+2z=3\end{array}$. a) Scrie matricea extinsă a sistemului. b) Rezolvă sistemul prin metoda lui Gauss. c) Verifică soluția în toate ecuațiile.

16. Rezolvă sistemul de la exercițiul $2$ și prin formulele lui Cramer, apoi compară numărul de operații cu cel cerut de metoda lui Gauss.

17. Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}y+2z=5\\ x+2y+z=5\\ 2x+y+z=5\end{array}$, având grijă la primul pivot.

18. (Provocare.) Arată că schimbarea a două linii, $L_1\leftrightarrow L_2$, se poate obține folosind numai transformări de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ și $L_i\leftarrow \alpha L_i$. (Indicație: pornește cu $L_1\leftarrow L_1+L_2$ și urmărește ce devin cele două linii, notate $a$ și $b$.)

Răspunsuri și explicații

1. $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 3& -1& 1\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 0& -7& -14\end{array}\right)$. Din a doua linie, $-7y=-14$, deci $y=2$; din prima, $x=5-4=1$. $S=\{(1,2)\}$. Verificare: $1+4=5$ ✓, $3-2=1$ ✓.

2. După $L_2\leftarrow L_2-L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$ se obține $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 2& 5& 7\end{array}\right)$, apoi $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ dă $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$. Substituție inversă: $z=1$, $y=3-2=1$, $x=3-1-1=1$. $S=\{(1,1,1)\}$; verificarea în cele trei ecuații: $3$ ✓, $1+2+3=6$ ✓, $1+3+6=10$ ✓.

3. Fals. Ecuația înmulțită cu $0$ devine $0=0$, adevărată pentru orice $n$-uplu, deci sistemul nou poate avea soluții pe care cel inițial nu le are. Pasul nu este reversibil: din $0=0$ nu se poate reveni la ecuația de plecare. Tocmai de aceea transformarea $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cere $\alpha \ne 0$.

4. $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 2& 1& -1& 3\\ 3& 2& 0& 6\end{array}\right)\to$ (prin $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$) $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 0& -1& -3& -3\\ 0& -1& -3& -3\end{array}\right)\to$ (prin $L_3\leftarrow L_3-L_2$) o ultimă linie nulă. Doi pivoți, $r_A=r_{\overline{A}}=2<3$: compatibil nedeterminat, grad de nedeterminare $1$. Cu $z=\alpha$: $-y-3\alpha =-3$, deci $y=3-3\alpha$, iar $x=3-y-z=2\alpha$. $S=\{(2\alpha ,3-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Verificare în ecuația a doua: $4\alpha +3-3\alpha -\alpha =3$ ✓; în a treia: $6\alpha +6-6\alpha =6$ ✓.

5. $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 2& 3& 1& 4\\ 3& 5& 0& 6\end{array}\right)\to$ (prin $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 0& -1& 3& 2\\ 0& -1& 3& 3\end{array}\right)\to$ (prin $L_3\leftarrow L_3-L_2$) $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 0& -1& 3& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$. Ultima linie dă $0=1$, fals, deci sistemul este incompatibil, $S=\varnothing$.

6. După $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$ se obține $\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ 0& 3& -3& 0\\ 0& 6& -6& 0\end{array}\right)$, iar $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ anulează ultima linie. Cu $z=\alpha$: $3y-3\alpha =0$, deci $y=\alpha$, iar $x=y-z=0$. $S=\{(0,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Observă că o soluție nebanală poate avea componente nule — nebanal înseamnă „nu toate zero".

7. Fals. Metoda lui Gauss se aplică oricărui sistem liniar, indiferent de numărul de ecuații și de necunoscute și indiferent de valoarea determinantului. Tocmai aceasta este forța ei: când $\det A=0$ sau când matricea nici măcar nu e pătratică, Cramer nu se poate aplica, iar Gauss decide singur natura sistemului.

8. Sistemul este $\{\begin{array}{l}x+y+z=100\\ 2x+3y+5z=290\\ x+2y+3z=170\end{array}$. După $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$: $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 100\\ 0& 1& 3& 90\\ 0& 1& 2& 70\end{array}\right)$; apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ dă ultima linie $(0,0,-1,-20)$. Deci $z=20$, $y=90-60=30$, $x=100-30-20=50$: cele trei cantități sunt $50$, $30$ și $20$ de kilograme. Verificare: $2\cdot 50+3\cdot 30+5\cdot 20=290$ ✓ și $50+60+60=170$ ✓.

9. Scăzând prima linie din fiecare dintre celelalte trei ($L_2\leftarrow L_2-L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$) obținem direct forma eșalonată $\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 10\\ 0& 1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& 4\end{array}\right)$. Deci $y=2$, $z=3$, $t=4$ și $x=10-2-3-4=1$: $S=\{(1,2,3,4)\}$. Verificare în ecuația a treia: $1+2+6+4=13$ ✓.

10. Trei pivoți în total, toți în zona coeficienților (coloanele $1$, $2$ și $4$ sunt coloane de necunoscute), deci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3$. Sistemul este compatibil, iar $r=3<4=n$, deci compatibil nedeterminat, cu $4-3=1$ necunoscută secundară — cea corespunzătoare coloanei $3$, singura fără pivot.

11. $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 2& -1& 3& 3\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 4\\ 0& -5& 1& -5\end{array}\right)$. Doi pivoți, trei necunoscute: compatibil nedeterminat, cu o necunoscută secundară. Ca să evităm numitorii, luăm $z=5\alpha$: din a doua linie $-5y+5\alpha =-5$, deci $y=1+\alpha$; din prima, $x=4-2(1+\alpha )-5\alpha =2-7\alpha$. $S=\{(2-7\alpha ,1+\alpha ,5\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Verificare în ecuația a doua: $2(2-7\alpha )-(1+\alpha )+15\alpha =4-14\alpha -1-\alpha +15\alpha =3$ ✓.

12. Pasul este de forma $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i=j$ și $\alpha =-1$, adică o linie adunată la ea însăși. Nu este o transformare elementară: rezultatul este linia nulă, iar ecuația corespunzătoare devine $0=0$, adevărată pentru orice $n$-uplu. Sistemul obținut nu mai este echivalent cu cel dat, pentru că pasul nu se poate inversa. Ca să obții zerouri pe linia a doua trebuie să folosești o altă linie: $L_2\leftarrow L_2+\alpha L_1$, cu $\alpha$ ales convenabil.

13. Transformările elementare trebuie să fie reversibile, altfel sistemul obținut nu mai e echivalent cu cel inițial. Pentru $L_i\leftarrow \alpha L_i$, transformarea inversă este $L_i\leftarrow \frac{1}{\alpha }{L}_i$, iar ea are sens exact când $\alpha \ne 0$. Exemplu: sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=3\end{array}$ are soluția unică $(2,-1)$; înmulțind a doua ecuație cu $0$ am obține $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 0=0\end{array}$, care are o infinitate de soluții — un rezultat fals.

14. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 3& 0& 3\\ 1& -2& -1\end{array}\right)\to$ (prin $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-3L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$) $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& -3& -3\\ 0& -3& -3\\ 0& -3& -3\end{array}\right)$, apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ și $L_4\leftarrow L_4-L_2$ anulează ultimele două linii. Doi pivoți, două necunoscute: compatibil determinat. Din $-3y=-3$ rezultă $y=1$, iar $x=2-1=1$. $S=\{(1,1)\}$; verificare în toate cele patru ecuații: $2$ ✓, $1$ ✓, $3$ ✓, $-1$ ✓. Un sistem cu mai multe ecuații decât necunoscute poate fi perfect compatibil, dacă ecuațiile „în plus" sunt consecințe ale celorlalte.

15. a) $\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 2& 3& 1& 5\\ 1& 2& 2& 3\end{array}\right)$. b) Prin $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$ obținem $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 1& 1& 1\end{array}\right)$, apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ dă ultima linie $(0,0,2,0)$. Deci $z=0$, $y=1$, $x=2-1-0=1$: $S=\{(1,1,0)\}$. c) $1+1+0=2$ ✓, $2+3+0=5$ ✓, $1+2+0=3$ ✓.

16. $\det A=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 6\end{array}\right|=12+3+3-(2+9+6)=18-17=1$, iar ${\Delta }_1={\Delta }_2={\Delta }_3=1$ (fiecare se calculează înlocuind câte o coloană cu $(3,6,10)$), deci $x=y=z=1$ — același rezultat. Prin Cramer ai calculat patru determinanți de ordin $3$, adică patru aplicări ale regulii lui Sarrus; prin Gauss ai făcut trei transformări elementare și trei substituții. Diferența crește rapid cu ordinul: la $4\times 4$, Cramer cere cinci determinanți de ordin $4$.

17. Primul element al primei coloane este $0$, deci pivotul se aduce printr-o schimbare de linii: $\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 5\\ 1& 2& 1& 5\\ 2& 1& 1& 5\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftrightarrow L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 5\\ 0& 1& 2& 5\\ 2& 1& 1& 5\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 5\\ 0& 1& 2& 5\\ 0& -3& -1& -5\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3+3L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 5\\ 0& 1& 2& 5\\ 0& 0& 5& 10\end{array}\right)$. Deci $z=2$, $y=5-4=1$, $x=5-2-2=1$: $S=\{(1,1,2)\}$. Verificare: $1+4=5$ ✓, $1+2+2=5$ ✓, $2+1+2=5$ ✓.

18. Notăm liniile inițiale $a$ și $b$. Aplicăm, pe rând: $L_1\leftarrow L_1+L_2$, care dă liniile $(a+b,b)$; apoi $L_2\leftarrow L_2-L_1$, care dă $(a+b,b-(a+b))=(a+b,-a)$; apoi din nou $L_1\leftarrow L_1+L_2$, care dă $(a+b-a,-a)=(b,-a)$; în sfârșit $L_2\leftarrow (-1)L_2$, care dă $(b,a)$ — exact liniile schimbate între ele. Concluzia teoretică: schimbarea de linii nu aduce nimic nou din punct de vedere logic, ci doar comoditate în calcul.

De reținut

• Două sisteme sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții. Metoda lui Gauss înlocuiește sistemul dat cu unul echivalent, dar mai simplu.
• Cele trei transformări elementare — $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cu $\alpha \ne 0$, $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i\ne j$ — păstrează mulțimea soluțiilor, pentru că fiecare dintre ele este reversibilă.
• Forma eșalonată: liniile nule la sfârșit, iar pivotul fiecărei linii strict mai la dreapta decât cel de deasupra. Numărul de pivoți este egal cu rangul.
• Citirea rezultatului: o linie $00\dots 0c$ cu $c\ne 0$ înseamnă incompatibil; altfel, $r=n$ înseamnă determinat, iar $r<n$ înseamnă nedeterminat, cu $n-r$ necunoscute secundare.
• Soluția se verifică întotdeauna în sistemul inițial, în toate ecuațiile, inclusiv în cele care au dispărut pe drum.

Greșeli frecvente

• Uitarea coloanei termenilor liberi. Transformarea se aplică liniei întregi din $\overline{A}$, ultima coloană inclusă. Dacă operezi doar pe coeficienți, sistemul obținut nu mai are nicio legătură cu cel inițial.
• Coeficienții lipsă necompletați cu $0$. Dacă o ecuație nu conține o necunoscută, în matrice trebuie scris $0$ pe locul ei. O coloană decalată strică tot calculul.
• Confuzia dintre linia nulă și linia $00\dots 0c$. Prima înseamnă „o ecuație era de prisos" (sistem posibil compatibil); a doua înseamnă „$0=c$", deci incompatibil. Sunt situații complet diferite.
• Adunarea unei linii la ea însăși sau înmulțirea cu $0$. Ambele distrug echivalența. Transformările au condițiile $i\ne j$, respectiv $\alpha \ne 0$, tocmai ca să rămână reversibile.
• Verificarea în forma eșalonată. Soluția trebuie înlocuită în sistemul de la început. Verificarea în forma finală nu detectează greșelile de calcul făcute pe parcurs, pentru că le repetă.

Aplică acasă

1. Rețeta cu trei necunoscute. Ia trei rețete de prăjituri care folosesc aceleași trei ingrediente și scrie, pentru fiecare, cât din fiecare ingredient intră. Dacă știi totalul consumat din fiecare ingredient într-o zi, poți afla câte prăjituri de fiecare fel s-au făcut — rezolvă sistemul $3\times 3$ obținut prin metoda lui Gauss.

2. Fabrica de sisteme incompatibile. Pornește de la un sistem $3\times 3$ compatibil nedeterminat pe care îl ai deja rezolvat și schimbă doar ultimul termen liber. Aplică aceleași transformări ca înainte și urmărește cum apare linia $000c$. Repetă cu alte valori: vei vedea că există exact o valoare pentru care sistemul rămâne compatibil.

3. Gauss în foaia de calcul. Pune matricea extinsă a unui sistem $3\times 3$ într-o foaie de calcul și scrie, pe rândurile de dedesubt, formulele pentru $L_2-\alpha L_1$ și $L_3-\beta L_1$. Schimbând numerele din matricea de sus, vei vedea cum se schimbă forma eșalonată — și vei prinde de câte ori apare linia de zerouri.

Pentru părinți și profesori

Lecția are un centru de greutate neobișnuit: nu tehnica de calcul, ci justificarea ei. Programa cere explicit ca la metoda lui Gauss „să fie evidențiat modul sistematic în care pot fi aplicate operațiile elementare pe linii, justificându-se fiecare pas în mod riguros". De aceea demonstrația echivalenței, cu accentul pe reversibilitate și pe cele două condiții ($\alpha \ne 0$, $i\ne j$), nu este un ornament — ea e răspunsul la întrebarea „de ce am voie să fac asta?".

De verificat în caiet: (1) fiecare pas are transformarea scrisă deasupra săgeții, nu „se fac calculele"; (2) coloana termenilor liberi este transformată împreună cu restul liniei; (3) coeficienții lipsă au fost completați cu $0$; (4) verificarea finală se face în sistemul inițial. Întrebări de control: „Ce înseamnă sisteme echivalente?"; „De ce nu ai voie să înmulțești o linie cu $0$?"; „Ce citești dintr-o linie de forma $0005$?"; „Câte necunoscute secundare are un sistem cu $4$ necunoscute și rang $2$?".

La BAC M1 metoda apare atât ca cerință directă („rezolvați sistemul folosind metoda lui Gauss"), cât și, mai des, ca instrument liber ales la cerințe de tipul „rezolvați sistemul" sau „determinați soluțiile". Este metoda pe care o recomandăm elevului ori de câte ori sistemul nu e evident de tip Cramer. Semn că a înțeles: se uită întâi la forma matricei, alege pivoții ca să evite fracțiile și știe să spună, privind forma eșalonată, ce fel de sistem are în față — înainte de a calcula vreo necunoscută.

Întrebări frecvente

Ce este metoda lui Gauss? Este o metodă de rezolvare a sistemelor liniare care aduce matricea extinsă la formă eșalonată prin transformări elementare pe linii, după care soluțiile se obțin prin substituție inversă, de jos în sus.

Care sunt transformările elementare pe linii? Sunt trei: schimbarea a două linii, $L_i\leftrightarrow L_j$; înmulțirea unei linii cu un scalar nenul, $L_i\leftarrow \alpha L_i$; adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un scalar, $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$.

De ce transformările elementare nu schimbă soluțiile sistemului? Pentru că fiecare dintre ele este reversibilă: există o transformare de același tip care readuce sistemul la forma dinainte. Prin urmare, orice soluție a sistemului nou este soluție a celui vechi și invers, deci cele două sisteme sunt echivalente.

Cum îmi dau seama, din forma eșalonată, că sistemul e incompatibil? Apare o linie în care toți coeficienții sunt $0$, dar termenul liber este nenul. Ea corespunde ecuației $0=c$ cu $c\ne 0$, care nu poate fi verificată de niciun set de valori.

Ce fac dacă primul element al primei coloane este $0$? Schimbi liniile între ele, cu transformarea $L_1\leftrightarrow L_i$, aducând sus o linie cu element nenul pe prima coloană. Dacă toată coloana e nulă, treci la coloana următoare: acea necunoscută va fi secundară.

Metoda lui Gauss sau formulele lui Cramer? Cramer e comod la sisteme pătratice mici, cu determinant nenul. Gauss se aplică oricărui sistem, decide singur compatibilitatea și devine clar mai rapid de la ordinul $4$ în sus. Când nu ești sigur ce fel de sistem ai, pornește cu Gauss.

Ce înseamnă pivot? Este primul element nenul, de la stânga, al unei linii din forma eșalonată. Numărul pivoților este egal cu rangul matricei, iar necunoscutele ale căror coloane nu conțin pivot sunt cele secundare.

Cum apare metoda lui Gauss la Bacalaureat M1? Uneori cerută pe nume — „rezolvați sistemul prin metoda lui Gauss" —, alteori ca metodă la alegere pentru „rezolvați sistemul". Apare și în subpuncte de tipul „studiați compatibilitatea", unde forma eșalonată dă răspunsul direct.