Modelare cu sisteme liniare: pe scurt

Partea grea a unei probleme practice nu e calculul, ci traducerea. Drumul are cinci pași: notezi necunoscutele cu unitatea lor („fie $x$ numărul de rafturi", nu „fie $x$ rafturile"); cauți mărimile care se conservă — fiecare resursă consumată integral, fiecare masă totală, fiecare atom, fiecare nod de circuit dă câte o ecuație, iar numărul lor nu se alege, îl dă problema; faci controlul dimensional, adică verifici că toți termenii și membrul drept au aceeași unitate (dacă îți iese „kg = lei", ai greșit o ecuație, nu un calcul); rezolvi cu metoda potrivită; interpretezi în context.

Într-un tablou de consum, pe linii stau resursele, pe coloane produsele. La amestecuri se conservă două lucruri deodată: masa totală și masa fiecărei componente; înmulțirea ecuațiilor cu $10$ sau $100$ scapă de zecimale.

Alegerea metodei: Cramer la sisteme pătratice mici cu numere întregi; Gauss la ordinul $4$, la coeficienți urâți sau la matrice cu multe zerouri; matricea inversă când se schimbă doar coloana $B$; rang și Rouché când ecuațiile nu sunt tot atâtea cât necunoscutele.

Interpretarea celor trei situații: determinat — datele descriu complet situația; incompatibil — datele se contrazic; nedeterminat — informația e insuficientă, iar contextul trebuie să adauge o condiție.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un model practic corect scris duce la un sistem incompatibil. În context, aceasta înseamnă:

   • a) că s-a greșit un calcul la rezolvarea sistemului
   • b) că soluția va ieși negativă
   • c) că sistemul are prea multe necunoscute
   • d) că datele din enunț se contrazic — de regulă o eroare de măsurare sau de transcriere
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) că datele din enunț se contrazic — de regulă o eroare de măsurare sau de transcriere

   Incompatibilitatea este o proprietate a datelor, nu a calculului: două informații cer aceleiași expresii valori diferite. Într-o problemă reală, verdictul trimite înapoi la enunț — o cifră greșit citită de pe un bon, o cântărire imprecisă. Un rezultat negativ este cu totul altceva: acolo sistemul are soluție, dar ea nu are sens în context.

2. Un model practic duce la un sistem compatibil nedeterminat. Aceasta arată că:

   • a) informația din enunț este insuficientă, iar modelul are nevoie de o condiție suplimentară
   • b) problema nu are soluție
   • c) problema are exact două soluții
   • d) s-a scris o ecuație în plus față de câte trebuia
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) informația din enunț este insuficientă, iar modelul are nevoie de o condiție suplimentară

   Nedeterminarea nu e un defect al modelului. La echilibrarea unei reacții chimice, de pildă, sistemul omogen iese simplu nedeterminat tocmai pentru că reacția se poate scrie cu orice multiplu al coeficienților; contextul adaugă condiția „cei mai mici întregi pozitivi", care nu este o ecuație liniară. La fel, într-o problemă de premii, condiția ca numerele să fie naturale reduce infinitatea de soluții la câteva variante.

3. Un atelier face rame și tăvi. O ramă cere $2$ m de lemn și $3$ ore de lucru, o tavă cere $5$ m și $2$ ore, iar consumul a fost exact $64$ m de lemn și $52$ de ore. S-au făcut:

   • a) $8$ rame și $12$ tăvi
   • b) $12$ rame și $8$ tăvi
   • c) $10$ rame și $9$ tăvi
   • d) $12$ rame și $10$ tăvi
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $12$ rame și $8$ tăvi

   Cu $x$ numărul de rame și $y$ numărul de tăvi: $2x+5y=64$ (metri) și $3x+2y=52$ (ore). Controlul dimensional confirmă ambele ecuații. Cu regula lui Cramer, $\Delta =-11$, ${\Delta }_1=-132$, ${\Delta }_2=-88$, deci $x=12$ și $y=8$. Verificare în enunț: $24+40=64$ m și $36+16=52$ de ore; inversarea celor două numere ar da $76$ m, deci nu se potrivește.