Modelarea situațiilor practice cu sisteme de ecuații liniare

Toate uneltele capitolului sunt gata: regula lui Cramer, matricea inversă, rangul, Kronecker-Capelli, Rouché și metoda lui Gauss. Rămâne partea cea mai grea în practică: traducerea unei situații reale într-un sistem.

Un cofetar care își împarte făina între trei rețete, un metalurgist care topește trei lingouri, un electrician care caută curenții dintr-un circuit, un chimist care echilibrează o reacție — toți rezolvă, fără să spună asta, același obiect matematic. Lecția te învață drumul complet: de la text la sistem, de la sistem la soluție, de la soluție înapoi la realitate.

Ce vei învăța

• Vei ști să notezi necunoscutele cu unitatea lor de măsură, să scrii câte o ecuație pentru fiecare mărime conservată și să faci controlul dimensional: cele două părți ale unei ecuații trebuie să aibă aceeași unitate.
• Vei ști să modelezi probleme de resurse, de amestec, de echilibru fizic și de echilibru chimic.
• Vei ști să alegi metoda de rezolvare după dimensiunea, structura și conținutul numeric al sistemului.
• Vei ști să interpretezi soluția în context: ce înseamnă un sistem incompatibil, unul nedeterminat, o soluție negativă sau una fracționară.

Hai să descoperim împreună

1. De la text la sistem: cei cinci pași

Pasul 1 — notezi necunoscutele, cu unitatea lor. Nu „fie $x$ rafturile", ci „fie $x$ numărul de rafturi"; unitatea scrisă alături (bucăți, kg, lei, amperi) e cea care te salvează la pasul următor.

Pasul 2 — cauți mărimile care se conservă. Fiecare resursă consumată integral, fiecare masă totală, fiecare atom, fiecare nod de circuit dă o ecuație. Numărul de ecuații nu se alege: îl dă problema.

Pasul 3 — controlul dimensional. Toți termenii unei ecuații și membrul drept trebuie să aibă aceeași unitate. Înmulțind $\left[\frac{\text{kg}}{\text{buc}}\right]$ cu $[\text{buc}]$ obții $[\text{kg}]$ — corect; dacă îți iese „kg $=$ lei", ai greșit o ecuație, nu un calcul.

Pasul 4 — rezolvi, cu metoda potrivită (secțiunea $6$). Pasul 5 — interpretezi. Numerele trebuie să aibă sens: cantitățile sunt nenegative, numărul de obiecte e întreg, iar un curent negativ înseamnă doar că sensul ales pe desen era invers.

Exemplu-fanion. Un atelier face rafturi și mese: un raft cere $3$ m² de placaj și $2$ ore de manoperă, o masă cere $5$ m² și $6$ ore, iar consumul e exact $71$ m² și $66$ de ore. Cu $x$ = numărul de rafturi și $y$ = numărul de mese: $$\{\begin{array}{ll}3x+5y=71& ({\text{m}}^2)\\ 2x+6y=66& (\text{ore})\end{array}$$ Controlul dimensional: $\left[\frac{{\text{m}}^2}{\text{buc}}\right]\cdot [\text{buc}]=[{\text{m}}^2]$ ✓. Sistemul e de tip Cramer, cu $\Delta =8$, ${\Delta }_1=96$, ${\Delta }_2=56$, deci $x=12$ rafturi și $y=7$ mese — întregi și pozitive, deci răspunsul are sens.

2. Probleme de resurse

Sunt cele mai frecvente: mai multe produse, mai multe materii prime, fiecare consumată integral. O cofetărie face trei sortimente de prăjituri, socotite pe tăvi. O tavă din sortimentul $A$ cere $2$ kg de făină, $1$ kg de zahăr și $1$ kg de unt; una din $B$ cere $1$, $2$ și $1$ kg; una din $C$ cere $3$, $1$ și $2$ kg. Se folosesc integral $34$ kg de făină, $21$ kg de zahăr și $23$ kg de unt. Cu $x$, $y$, $z$ numerele de tăvi din $A$, $B$, $C$, fiecare materie primă dă câte o ecuație: $$\{\begin{array}{ll}2x+y+3z=34& (\text{kg fa˘ina˘})\\ x+2y+z=21& (\text{kg zaha˘r})\\ x+y+2z=23& (\text{kg unt})\end{array}$$

Atenție la citirea tabloului: pe linii stau resursele, pe coloane produsele — coloana lui $x$ e rețeta sortimentului $A$, linia întâi e consumul de făină. Determinantul, cu regula lui Sarrus: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=8+1+3-(6+2+2)=2\ne 0,$$ deci sistemul e de tip Cramer. Se obțin ${\Delta }_1=8$, ${\Delta }_2=10$, ${\Delta }_3=14$, adică $x=4$, $y=5$, $z=7$ tăvi.

Verificarea în context, obligatorie: $2\cdot 4+5+3\cdot 7=34$ kg făină ✓, $4+2\cdot 5+7=21$ kg zahăr ✓, $4+5+2\cdot 7=23$ kg unt ✓. Toate sunt întregi pozitivi — un răspuns de tipul $4,5$ tăvi ar fi arătat că datele nu sunt consistente cu realitatea.

3. Probleme de amestec

Aici se conservă două lucruri deodată: masa totală și masa fiecărei componente. Un metalurgist are trei lingouri: $L_1$ cu $70\%$ cupru, $20\%$ zinc și $10\%$ staniu; $L_2$ cu $40\%$, $50\%$ și $10\%$; $L_3$ cu $10\%$, $30\%$ și $60\%$. Vrea $100$ kg de aliaj cu $43$ kg de cupru și $32$ kg de zinc. Cu $x$, $y$, $z$ masele (kg) luate din fiecare, scriem întâi ecuațiile așa cum vin din enunț: $$\{\begin{array}{l}x+y+z=100\\ 0,7x+0,4y+0,1z=43\\ 0,2x+0,5y+0,3z=32\end{array}$$

Controlul dimensional: procentul e un număr fără unitate, deci $[\text{kg}]$ înmulțit cu el rămâne $[\text{kg}]$ ✓. Un pas care merită făcut întotdeauna: înmulțim ultimele două ecuații cu $10$, ca să scăpăm de zecimale: $$\{\begin{array}{l}x+y+z=100\\ 7x+4y+z=430\\ 2x+5y+3z=320\end{array}$$ Determinantul este $\Delta =15$, iar ${\Delta }_1=600$, ${\Delta }_2=450$, ${\Delta }_3=450$, deci $x=40$ kg, $y=30$ kg, $z=30$ kg.

Verificarea pe componenta care nu a intrat în sistem e cel mai bun control: staniul dă $0,1\cdot 40+0,1\cdot 30+0,6\cdot 30=25$ kg, iar $43+32+25=100$ kg, exact masa totală.

4. Echilibru în fizică

Curenții se află din două tipuri de ecuații: în fiecare nod, suma curenților care intră egalează suma celor care ies; pe fiecare buclă, suma tensiunilor $R\cdot I$ egalează tensiunea sursei. Un generator de $12$ V alimentează, printr-un rezistor de $2\Omega$, doi rezistori în paralel, de $6\Omega$ și $3\Omega$. Cu $I_1$ curentul din ramura principală și $I_2$, $I_3$ curenții din ramurile paralele: $$\{\begin{array}{ll}{I}_1-I_2-I_3=0& (\text{nodul, A})\\ 2I_1+6I_2=12& (\text{bucla 1, V})\\ 2I_1+3I_3=12& (\text{bucla 2, V})\end{array}$$

Controlul dimensional al ecuațiilor de buclă: $[\Omega ]\cdot [\text{A}]=[\text{V}]$ ✓, iar prima ecuație are toți termenii în amperi ✓. Se obțin $\Delta =36$, ${\Delta }_1=108$, ${\Delta }_2=36$, ${\Delta }_3=72$, adică $I_1=3$ A, $I_2=1$ A, $I_3=2$ A.

Interpretarea fizică e controlul: $I_1=I_2+I_3$ ✓, iar ramurile paralele au aceeași tensiune, $6\cdot 1=6$ V și $3\cdot 2=6$ V ✓. Curentul mai mare trece prin rezistorul mai mic — exact ce așteptam.

5. Când soluția nu este unică: echilibrarea unei reacții chimice

Vrem să echilibrăm arderea propanului, $a{\mathrm{C}}_3{\mathrm{H}}_8+b{\mathrm{O}}_2\to c\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+d{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$. Fiecare element chimic dă o ecuație, fiindcă atomii nu se pierd și nu se creează: carbonul dă $3a=c$, hidrogenul $8a=2d$, oxigenul $2b=2c+d$. În formă standard, ele dau un sistem omogen cu trei ecuații și patru necunoscute: $$\{\begin{array}{l}3a-c=0\\ 8a-2d=0\\ 2b-2c-d=0\end{array}$$ Fiind omogen, e compatibil; are $\mathrm{rang}A=3$ și $n=4$, deci $n-r=1$: simplu nedeterminat. Luând $a=\alpha$ obținem $c=3\alpha$, $d=4\alpha$ și $2b=10\alpha$, adică $b=5\alpha$: $$S=\{(\alpha ,5\alpha ,3\alpha ,4\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Nedeterminarea nu e un defect al modelului, ci o proprietate a realității: reacția se poate scrie cu orice multiplu al coeficienților. Contextul adaugă două condiții care nu se pot scrie ca ecuații liniare — coeficienții să fie întregi pozitivi și cât mai mici — deci alegem $\alpha =1$: $${\mathrm{C}}_3{\mathrm{H}}_8+5{\mathrm{O}}_2⟶3\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+4{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}.$$ Control pe atomi: $3$ carbon, $8$ hidrogen, $10=6+4$ oxigen ✓.

6. Cum alegi metoda și cum interpretezi rezultatul

Programa cere explicit capacitatea de a selecta metoda adecvată după dimensiune, structură și conținut numeric:

În plus: matricea cu multe zerouri (cum e cea a unei rețele) cere Gauss, fiindcă zerourile scutesc pași; matricea plină, dar mică, cere Cramer.

Interpretarea celor trei situații. Compatibil determinat: datele determină complet situația. Incompatibil: datele se contrazic — în practică, o eroare de măsurare sau de transcriere, nu de calcul. Compatibil nedeterminat: informația e insuficientă, modelul e corect, dar mai trebuie o condiție — ca la reacția chimică, unde ea a fost „cei mai mici întregi pozitivi".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două tipuri de bilete

La un spectacol s-au vândut $90$ de bilete, unele la $15$ lei, celelalte la $25$ de lei, iar încasarea a fost de $1750$ de lei. Câte bilete de fiecare fel s-au vândut?

Rezolvare. Fie $x$ numărul biletelor de $15$ lei și $y$ al celor de $25$; prima ecuație numără bilete, a doua adună lei: $$\{\begin{array}{ll}x+y=90& (\text{bilete})\\ 15x+25y=1750& (\text{lei})\end{array}$$ $\Delta =10$, ${\Delta }_1=500$, ${\Delta }_2=400$, deci $x=50$, $y=40$. Verificare: $90$ bilete și $750+1000=1750$ lei ✓.

Exemplul 2 — Amestec de două soluții

Se amestecă o soluție cu $20\%$ sare și una cu $50\%$ sare, obținând $30$ kg de soluție cu $40\%$ sare. Ce masă s-a luat din fiecare?

Rezolvare. Fie $x$ și $y$ masele (kg); se conservă masa totală și masa de sare, iar $40\%$ din $30$ kg înseamnă $12$ kg de sare: $$\{\begin{array}{l}x+y=30\\ 0,2x+0,5y=12\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x+y=30\\ 2x+5y=120\end{array}$$ $\Delta =3$, ${\Delta }_1=30$, ${\Delta }_2=60$, deci $x=10$ kg și $y=20$ kg. Verificare: $0,2\cdot 10+0,5\cdot 20=12$ kg de sare ✓. Se ia mai mult din soluția de $50\%$ — firesc, fiindcă $40\%$ e mai aproape de $50\%$ decât de $20\%$.

Exemplul 3 — Bancnote

Un aparat conține $24$ de bancnote, de $10$, $50$ și $100$ de lei, în valoare totală de $1100$ de lei. Bancnotele de $10$ lei sunt cu $4$ mai multe decât cele de $100$. Câte sunt din fiecare?

Rezolvare. Fie $x$, $y$, $z$ numerele de bancnote de $10$, $50$ și $100$ de lei: $$\{\begin{array}{ll}x+y+z=24& (\text{bancnote})\\ 10x+50y+100z=1100& (\text{lei})\\ x-z=4& (\text{bancnote})\end{array}$$ Aici $\Delta =10$, ${\Delta }_1=100$, ${\Delta }_2=80$, ${\Delta }_3=60$, deci $x=10$, $y=8$, $z=6$ — întregi pozitivi, deci admisibili. Verificare: $24$ bancnote, $100+400+600=1100$ lei, $10-6=4$ ✓.

Exemplul 4 — Un model cu parametru: circuitul cu rezistență reglabilă

În circuitul din secțiunea $4$, rezistorul de $3\Omega$ se înlocuiește cu unul reglabil, de rezistență $R>0$. Arătați că sistemul are întotdeauna soluție unică și calculați curenții în funcție de $R$.

Rezolvare. Sistemul devine $I_1-I_2-I_3=0$, $2I_1+6I_2=12$, $2I_1+R{I}_3=12$, cu $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& 6& 0\\ 2& 0& R\end{array}\right|=6R+2R+12=8R+12.$$ Cum $R>0$, avem $\Delta >0$ pentru orice rezistență: sistemul e mereu de tip Cramer — corespondentul matematic al faptului că un circuit are o singură distribuție de curenți. Din ${\Delta }_1=12R+72$, ${\Delta }_2=12R$, ${\Delta }_3=72$: $$I_1=\frac{3R+18}{2R+3},I_2=\frac{3R}{2R+3},I_3=\frac{18}{2R+3}.$$

Pentru $R=3$ regăsim $(3,1,2)$, iar pentru $R=12$ obținem $I_1=2$ A, $I_2=\frac{4}{3}$ A, $I_3=\frac{2}{3}$ A: crescând rezistența, curentul prin ramura ei scade, iar cel prin ramura de $6\Omega$ crește — exact comportamentul așteptat.

Exemplul 5 — Echilibrarea unei reacții cu doi reactanți

Echilibrați reacția $\mathrm{Fe}+{\mathrm{O}}_2⟶\mathrm{F}{\mathrm{e}}_2{\mathrm{O}}_3$.

Rezolvare. Cu $a\mathrm{Fe}+b{\mathrm{O}}_2\to c\mathrm{F}{\mathrm{e}}_2{\mathrm{O}}_3$, fierul dă $a=2c$, iar oxigenul $2b=3c$, adică sistemul omogen $a-2c=0$, $2b-3c=0$. El are $\mathrm{rang}A=2$ (minorul din coloanele lui $a$ și $b$ este $2\ne 0$) și $n=3$ necunoscute, deci $n-r=1$: simplu nedeterminat. Cu $c=2\alpha$ obținem $a=4\alpha$, $b=3\alpha$, deci $S=\{(4\alpha ,3\alpha ,2\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$; cei mai mici întregi pozitivi se obțin pentru $\alpha =1$: $$4\mathrm{Fe}+3{\mathrm{O}}_2⟶2\mathrm{F}{\mathrm{e}}_2{\mathrm{O}}_3.$$ Control: $4$ atomi de fier de fiecare parte, $6$ atomi de oxigen de fiecare parte ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Un depozit primește $100$ de colete de trei tipuri. Un colet de tipul întâi cântărește $3$ kg, unul de tipul al doilea $4$ kg, unul de tipul al treilea $6$ kg, iar masa totală este de $410$ kg. Numărul de puncte de control cerute este $2$, $1$, respectiv $3$ pe colet, în total $190$. a) Scrieți forma matriceală $AX=B$ a sistemului asociat. b) Arătați că sistemul este de tip Cramer. c) Determinați numărul de colete de fiecare tip.

Rezolvare. a) Cu $x$, $y$, $z$ numerele de colete, sistemul $x+y+z=100$, $3x+4y+6z=410$, $2x+y+3z=190$ se scrie $AX=B$ cu $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 4& 6\\ 2& 1& 3\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}100\\ 410\\ 190\end{array}\right).$$

b) $\Delta =\det A=12+12+3-(8+6+9)=4\ne 0$, deci sistemul e de tip Cramer. c) ${\Delta }_1=160$, ${\Delta }_2=140$, ${\Delta }_3=100$, deci $x=40$, $y=35$, $z=25$ colete. Verificare: $40+35+25=100$; $120+140+150=410$ kg; $80+35+75=190$ puncte ✓.

Să exersăm

La fiecare problemă, scrie întâi ce reprezintă necunoscutele și în ce unitate, iar la final verifică soluția în enunț, nu doar în sistem.

1. Un club vinde $40$ de abonamente, unele la $20$ de lei, celelalte la $35$ de lei, și încasează $1100$ de lei. Câte sunt de fiecare fel?

2. Se amestecă trei sorturi de cafea, de $30$, $45$ și $60$ de lei kilogramul, obținând $12$ kg în valoare de $585$ de lei, din primele două sorturi luându-se cantități egale. Ce masă s-a luat din fiecare?

3. O firmă trimite $50$ de cutii de trei tipuri; masele lor sunt $2$, $3$ și $5$ kg (total $165$ kg), iar volumele $1$, $2$ și $3$ dm³ (total $100$ dm³). Câte sunt de fiecare tip?

4. Într-un circuit, $I_1=I_2+I_3$, $2I_1+8I_2=18$ și $2I_1+2I_3=18$. Determină cei trei curenți, în amperi.

5. Echilibrează reacția ${\mathrm{C}}_2{\mathrm{H}}_6+{\mathrm{O}}_2⟶\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$.

6. Trei ateliere produc împreună $20$ de piese; timpul de lucru e $2$, $3$ și $1$ ore pe piesă (total $39$ de ore), iar costul $3$, $1$ și $2$ lei pe piesă (total $41$ de lei). Câte piese face fiecare?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un model care duce la sistemul $3x+2y=26$, $6x+4y=50$ înseamnă că am greșit calculele."

8. Fluxurile $x$, $y$, $z$ dintr-o intersecție satisfac $x+y=50$ și $y+z=40$ (mașini pe minut). Scrie mulțimea soluțiilor și spune între ce valori poate varia $z$ dacă toate fluxurile sunt nenegative.

9. Un tată are de trei ori vârsta fiului și e cu $24$ de ani mai în vârstă. Scrie sistemul și află cele două vârste.

10. Explică de ce ecuația „$2$ kg $\cdot x+3$ lei $\cdot y=100$ kg" nu poate fi corectă, oricare ar fi numerele.

11. Trei mărimi satisfac $2x=3y$ și $5y=4z$. Scrie mulțimea soluțiilor sistemului omogen și cei mai mici întregi pozitivi care îl verifică.

12. (Problemă aplicată.) Se amestecă $60$ kg din două sorturi de cafea, primul de $8$ lei kilogramul, al doilea de $p$ lei, iar valoarea totală este de $660$ de lei. Discută după $p$ și spune pentru ce prețuri problema are sens.

13. Rezolvă sistemul $x+y+z+t=10$, $y+z+t=9$, $z+t=7$, $t=4$ și explică de ce aici metoda lui Gauss e vizibil mai ieftină decât regula lui Cramer.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă modelul unei probleme practice duce la un sistem compatibil nedeterminat, înseamnă că problema este greșit formulată."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $x+y+z=90$, $2x+3y+4z=250$, $4x+5y+7z=450$. a) Calculați determinantul matricei sistemului. b) Arătați că sistemul este de tip Cramer. c) Rezolvați sistemul.

16. Se amestecă o soluție cu $15\%$ sare și una cu $40\%$ sare, obținând $25$ kg de soluție cu $30\%$ sare. Ce masă s-a luat din fiecare?

17. Prețurile $p$ și $q$ a două produse satisfac $3p-q=40$ și $-p+2q=30$ (în lei). Află prețurile de echilibru.

18. (Provocare.) Pe un inel cu patru sensuri, fluxurile $x_1,x_2,x_3,x_4$ (mașini pe minut) satisfac $x_1+x_2=120$, $-x_2+x_3=-40$, $-x_3+x_4=-30$. Arată că sistemul e simplu nedeterminat, scrie mulțimea soluțiilor și determină intervalul în care poate varia $x_4$ dacă toate fluxurile sunt nenegative.

Răspunsuri și explicații

1. $x+y=40$ (abonamente), $20x+35y=1100$ (lei); $\Delta =15$, ${\Delta }_1={\Delta }_2=300$, deci $x=y=20$. Verificare: $400+700=1100$ lei ✓.

2. Cu $x$, $y$, $z$ masele în kg: $x+y+z=12$, $30x+45y+60z=585$, $x-y=0$; $\Delta =45$ și soluția e $x=3$, $y=3$, $z=6$ kg. Verificare: $90+135+360=585$ lei ✓.

3. $x+y+z=50$, $2x+3y+5z=165$ (kg), $x+2y+3z=100$ (dm³); $\Delta =-1$ și soluția e $x=15$, $y=20$, $z=15$ cutii. Verificare: $30+60+75=165$ kg, $15+40+45=100$ dm³ ✓.

4. $\Delta =36$, ${\Delta }_1=180$, ${\Delta }_2=36$, ${\Delta }_3=144$, deci $I_1=5$ A, $I_2=1$ A, $I_3=4$ A; control: $5=1+4$ și $8\cdot 1=2\cdot 4$ ✓.

5. Cu $a{\mathrm{C}}_2{\mathrm{H}}_6+b{\mathrm{O}}_2\to c\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+d{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$: carbonul dă $2a=c$, hidrogenul $6a=2d$, oxigenul $2b=2c+d$. Sistemul omogen are rangul $3$ și patru necunoscute, deci $S=\{(2\alpha ,7\alpha ,4\alpha ,6\alpha )\}$, iar cei mai mici întregi pozitivi dau $2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{H}}_6+7{\mathrm{O}}_2\to 4\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+6{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$ ($4$ carbon, $12$ hidrogen, $14$ oxigen de fiecare parte ✓).

6. $2x+3y+z=39$ (ore), $x+y+z=20$ (piese), $3x+y+2z=41$ (lei); $\Delta =3$ și soluția e $x=7$, $y=6$, $z=7$ piese. Verificare: $14+18+7=39$ ore, $21+6+14=41$ lei ✓.

7. Fals. A doua ecuație e prima înmulțită cu $2$ la coeficienți, dar $2\cdot 26=52\ne 50$: $\mathrm{rang}A=1\ne 2=\mathrm{rang}\overline{A}$, deci sistemul e incompatibil. Calculele sunt corecte; datele nu se potrivesc — una dintre măsurători e greșită.

8. $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$ și $n=3$, deci sistemul e simplu nedeterminat: cu $z=\alpha$, $y=40-\alpha$ și $x=10+\alpha$, adică $S=\{(10+\alpha ,40-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$. Condițiile $x,y,z\ge 0$ dau $z\in [0,40]$.

9. Cu $x$ vârsta tatălui și $y$ a fiului: $x-3y=0$, $x-y=24$; $\Delta =2$, ${\Delta }_1=72$, ${\Delta }_2=24$, deci $x=36$ și $y=12$ ani ✓.

10. Pentru că membrul stâng adună kilograme cu lei, iar mărimi de unități diferite nu se adună. Controlul dimensional respinge ecuația înainte de orice calcul: eroarea e în model, nu în numere.

11. Sistemul omogen $2x-3y=0$, $5y-4z=0$ are rangul $2$ și trei necunoscute, deci e simplu nedeterminat: $S=\{(30\alpha ,20\alpha ,25\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$; cei mai mici întregi pozitivi, obținuți simplificând prin $5$, sunt $(6,4,5)$, care verifică $2\cdot 6=3\cdot 4$ și $5\cdot 4=4\cdot 5$ ✓.

12. $x+y=60$ (kg), $8x+py=660$ (lei), cu $\Delta =p-8$ și ${\Delta }_2=180$. Pentru $p=8$ sistemul e incompatibil (valoarea ar fi $480$ de lei); pentru $p\ne 8$, $y=\frac{180}{p-8}$ și $x=60-y$. Problema are sens când $0<y<60$, adică $p>11$ lei; de pildă, $p=17$ dă $x=40$ kg, $y=20$ kg.

13. Din ultima ecuație $t=4$, apoi $z=3$, $y=2$ și $x=1$. Sistemul e deja în formă eșalonată, deci substituția inversă cere doar câteva scăderi, pe când regula lui Cramer ar cere cinci determinanți de ordinul al patrulea: structura sistemului, nu doar dimensiunea lui, decide metoda.

14. Fals. Nedeterminarea înseamnă că informația nu ajunge pentru un singur răspuns — fie lipsește o măsurătoare, fie realitatea chiar admite o infinitate de variante, ca la echilibrarea unei reacții sau la fluxurile dintr-o rețea. Modelul e corect; se adaugă o condiție suplimentară.

15. a) $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ 4& 5& 7\end{array}\right|=47-46=1$. b) Sistemul e pătratic cu $\Delta \ne 0$, deci de tip Cramer. c) ${\Delta }_1=40$, ${\Delta }_2=30$, ${\Delta }_3=20$, deci $x=40$, $y=30$, $z=20$. Verificare: $80+90+80=250$, $160+150+140=450$ ✓.

16. $x+y=25$ și $0,15x+0,4y=7,5$, adică $15x+40y=750$; $\Delta =25$, ${\Delta }_1=250$, ${\Delta }_2=375$, deci $x=10$ kg, $y=15$ kg. Verificare: $1,5+6=7,5$ kg de sare, adică $30\%$ din $25$ kg ✓.

17. $\Delta =6-1=5$, ${\Delta }_1=110$, ${\Delta }_2=130$, deci $p=22$ lei și $q=26$ lei. Verificare: $66-26=40$, $-22+52=30$ ✓.

18. Matricea are trei linii și patru coloane, iar minorul din coloanele lui $x_1$, $x_2$, $x_3$ este $-1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=3=\mathrm{rang}\overline{A}$: sistemul e compatibil, cu $n-r=1$, adică simplu nedeterminat. Cu $x_4=\alpha$: $x_3=30+\alpha$, $x_2=70+\alpha$, $x_1=50-\alpha$, deci $$S=\{(50-\alpha ,70+\alpha ,30+\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ Nenegativitatea cere $\alpha \ge 0$ și $50-\alpha \ge 0$, deci $x_4\in [0,50]$ mașini pe minut.

De reținut

• Necunoscutele se notează cu unitatea lor de măsură, iar fiecare mărime conservată (resursă, masă, atom, curent într-un nod) dă câte o ecuație.
• Controlul dimensional e primul filtru: dacă cele două părți ale unei ecuații nu au aceeași unitate, modelul e greșit, nu calculul.
• Metoda se alege după dimensiune, structură și numere: Cramer la sisteme mici și pline, Gauss la cele mari, eșalonate sau cu coeficienți urâți, rang plus Rouché când ecuațiile nu sunt tot atâtea cât necunoscutele.
• Sistem incompatibil = datele se contrazic; nedeterminat = informația e insuficientă. Niciuna dintre situații nu e, în sine, o greșeală de calcul.
• Soluția se verifică în enunț, nu doar în sistem: cantitățile nenegative, numerele de obiecte întregi, componentele amestecului însumând totalul.

Greșeli frecvente

• Necunoscute fără unitate. „Fie $x$ cafeaua" nu spune dacă e vorba de kilograme, de lei sau de saci; multe modele greșite pornesc de aici.
• Confuzia dintre linii și coloane. La problemele de resurse, pe linii stau resursele și pe coloane produsele. Transpunerea din greșeală dă alt sistem, care adesea are chiar soluție — dar una falsă.
• Uitarea unei ecuații de conservare. La un amestec cu trei componente ai trei ecuații posibile plus cea a masei totale; alegerea a doar două lasă sistemul nedeterminat fără motiv.
• Zecimalele lăsate în sistem. Înmulțește ecuațiile cu $10$ sau cu $100$ înainte de a calcula determinanți.
• Soluție acceptată fără interpretare. Un rezultat de $-3$ kilograme sau de $4,5$ colete nu e un răspuns: înseamnă că datele nu sunt compatibile cu realitatea, iar asta trebuie spus explicit.

Aplică acasă

1. Rețetele din bucătărie. Alege trei prăjituri din caietul familiei și trei ingrediente comune; scrie sistemul consumului, alege un stoc și rezolvă-l, verificând dacă rezultatul iese în numere întregi.

2. Factura de energie. Dacă în casă sunt două aparate cu puteri diferite și cunoști consumul total pe două zile cu durate diferite de funcționare, scrie sistemul cu două necunoscute (orele fiecărui aparat) și rezolvă-l.

3. Reacțiile din manualul de chimie. Ia trei reacții neechilibrate și echilibrează-le cu sisteme omogene, nu prin încercări; compară numărul de pași cu metoda din manual.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide capitolul de sisteme și verifică exact competența cerută de programă la finalul unității: modelarea. Partea de calcul e deja cunoscută; se antrenează traducerea unui text în ecuații, controlul dimensional, alegerea metodei și interpretarea rezultatului.

De verificat în caiet: (1) necunoscutele sunt definite cu unitatea de măsură; (2) fiecare ecuație are o justificare scrisă („kg de făină", „nodul circuitului"); (3) metoda aleasă e motivată într-o propoziție; (4) soluția e verificată în enunț. Întrebări de control: „Ce reprezintă coloana a doua a matricei?"; „Ce unitate are membrul drept?"; „Ce faci dacă îți iese o cantitate negativă?".

La BAC M1 problemele apar de obicei sub formă abstractă, dar cerințele sunt aceleași: forma matriceală $AX=B$, verificarea că sistemul e de tip Cramer și rezolvarea.

Întrebări frecvente

Cum transform o problemă practică într-un sistem de ecuații liniare? Notezi necunoscutele împreună cu unitatea lor de măsură, apoi scrii câte o ecuație pentru fiecare mărime care se conservă: o resursă consumată integral, masa totală a unui amestec, atomii unui element, curenții dintr-un nod.

La ce folosește controlul dimensional? Verifică dacă modelul are sens înainte de orice calcul: toți termenii unei ecuații și membrul drept trebuie să aibă aceeași unitate. O ecuație care ar aduna kilograme cu lei e greșită indiferent de numere.

Când folosesc regula lui Cramer și când metoda lui Gauss? Cramer la sisteme pătratice mici, cu coeficienți întregi și determinant nenul, fiindcă dă direct fiecare necunoscută. Gauss la sisteme de ordinul al patrulea, la cele eșalonate sau cu multe zerouri și la coeficienți fracționari, fiindcă are mult mai puține operații.

Ce înseamnă, într-o problemă reală, un sistem incompatibil? Că datele se contrazic: o măsurătoare, un preț sau o cantitate din enunț e greșită. Nu înseamnă că ai greșit calculul — concluzia corectă e chiar aceasta, situația descrisă nu poate exista.

De ce echilibrarea unei reacții chimice dă un sistem nedeterminat? Pentru că orice multiplu al unui set de coeficienți echilibrează la fel de bine reacția. Sistemul, omogen și cu mai multe necunoscute decât ecuații independente, are o infinitate de soluții; condiția „cei mai mici întregi pozitivi" alege una singură.

Ce fac dacă îmi iese o soluție negativă sau fracționară? O interpretezi: un curent negativ înseamnă doar că sensul ales pe desen era invers, deci rezultatul e valabil, dar o masă negativă sau un număr fracționar de obiecte arată că datele nu sunt compatibile cu realitatea — iar asta trebuie scris explicit.