Monotonia din semnul derivatei: pe scurt

Semnul derivatei întâi decide sensul în care se mișcă o funcție. Unealta poartă un nume care se citează la fiecare exercițiu: Consecința 2 (monotonia) a teoremei lui Lagrange — dacă $f^{\prime }(x)>0$ pe un interval $I$, atunci $f$ este strict crescătoare pe $I$; dacă $f^{\prime }(x)<0$ pe $I$, este strict descrescătoare.

Rețeta are cinci pași, mereu aceiași: domeniul $D$; derivata adusă la formă factorizată; zerourile lui $f^{\prime }$, la care se adaugă punctele unde derivata lipsește; semnul lui $f^{\prime }$ pe fiecare bucată, așezat în tabel; verdictul, scris interval cu interval. Semnul pe fiecare interval se obține cu o valoare de probă, nu prin alternanță automată — la o rădăcină dublă a derivatei semnul rămâne neschimbat.

Cuvântul „interval" din enunț nu se pierde niciodată. Pentru $f(x)=\frac{1}{x}$ derivata este negativă pe tot domeniul, și totuși $f(-1)=-1<1=f(1)$: mulțimea ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval, așa că verdictul se dă separat pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$.

Capetele finite se trec incluse în intervalele de monotonie oriunde funcția este continuă: stricta monotonie de pe intervalul deschis se prelungește la capăt prin trecere la limită.

Un zerou izolat al derivatei nu strică stricta creștere: $f(x)=x^3$ urcă pe tot $\mathbb{R}$ deși $f^{\prime }(0)=0$. Concluzia se obține aplicând Consecința 2 de o parte și de alta, apoi lipind cele două bucăți.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$. Pe care dintre mulțimi este $f$ strict descrescătoare?

   • a) $(-\infty ,1]$
   • b) $[1,3]$
   • c) $[3,+\infty )$
   • d) $\mathbb{R}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $[1,3]$

   $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, cu zerourile $1$ și $3$. Probele $f^{\prime }(0)=9>0$, $f^{\prime }(2)=-3<0$, $f^{\prime }(4)=9>0$ arată că derivata este negativă doar între rădăcini, deci $f$ scade strict pe $[1,3]$ și crește pe celelalte două intervale.

2. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2}{x-3}$. Care afirmație este corectă?

   • a) $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{3\}$
   • b) $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,3)$ și pe $(3,+\infty )$
   • c) $f$ nu este monotonă pe niciun interval
   • d) $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,3)$ și, separat, pe $(3,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,3)$ și, separat, pe $(3,+\infty )$

   Regula câtului dă $f^{\prime }(x)=\frac{(x-3)-(x+2)}{(x-3{)}^2}=\frac{-5}{(x-3{)}^2}<0$, deci descreștere. Domeniul însă nu este interval, iar concluzia nu se poate scrie pe reuniune: $f(0)=-\frac{2}{3}$, $f(4)=6$, deci $0<4$ dar $f(0)<f(4)$. Verdictul se dă pe fiecare ramură în parte.

3. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x^2+3x-1$. Atunci:

   • a) $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$
   • b) $f$ are un punct de maxim local în $x=-1$
   • c) $f$ este strict descrescătoare pe $[-1,+\infty )$
   • d) $f$ este constantă pe o vecinătate a lui $-1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$

   $f^{\prime }(x)=3x^2+6x+3=3(x+1{)}^2\ge 0$, cu egalitate numai în $x=-1$. Derivata este strict pozitivă pe $(-\infty ,-1)$ și pe $(-1,+\infty )$, deci $f$ crește strict pe fiecare; fiind continuă în $-1$, cele două bucăți se lipesc și creșterea ține pe tot $\mathbb{R}$. Un zerou izolat al derivatei nu produce extrem.