Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi

Pe tabloul de bord al unei mașini sunt două instrumente care par să spună lucruri diferite. Kilometrajul arată cât ai parcurs; vitezometrul arată cât de repede te miști chiar acum. Dacă acul vitezometrului stă în dreapta lui zero, kilometrajul crește — indiferent ce număr afișează. Dacă ai putea da înapoi și viteza ar deveni negativă, kilometrajul ar scădea. Cu alte cuvinte: semnul vitezei decide sensul de variație al distanței, iar pentru a ști dacă o mărime urcă sau coboară nu trebuie să compari două valori ale ei, ci să te uiți la semnul ratei de schimbare.

Exact acesta este mecanismul pe care îl transformăm astăzi în metodă de lucru. Până acum, pentru a arăta că o funcție este crescătoare, luai două numere $x_1<x_2$ și comparai $f(x_1)$ cu $f(x_2)$ — așa ai procedat încă de la Monotonia funcției afine din clasa a IX-a. Metoda funcționează la funcția de gradul întâi și devine repede imposibilă la funcții precum $\frac{x}{x^2+1}$ sau $x^2-2\ln x$, unde nu vezi cum să compari două valori oarecare. Derivata schimbă complet situația: în loc să compari o infinitate de perechi, rezolvi o inecuație.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești Consecința 2 (monotonia) a teoremei lui Lagrange ca unealtă de lucru, cu ipotezele ei complete.
• Vei ști să parcurgi rețeta în cinci pași: domeniu, derivată, zerourile derivatei, tabelul de semn al lui $f^{\prime }$, concluzia pe fiecare interval.
• Vei ști să scrii corect intervalele de monotonie, cu capetele închise acolo unde funcția este continuă.
• Vei ști de ce o funcție poate rămâne strict monotonă chiar dacă derivata ei se anulează în puncte izolate.
• Vei ști să eviți greșeala de a declara monotonia pe o reuniune de intervale, atunci când domeniul nu este interval.
• Vei ști să studiezi monotonia funcțiilor care conțin logaritm, exponențială sau radical, cu grija cuvenită domeniului.

Hai să descoperim împreună

1. Unealta: Consecința 2 a teoremei lui Lagrange

Rezultatul de care avem nevoie a fost deja demonstrat la lecția Consecințele teoremei lui Lagrange. Îl reluăm cu numele lui exact, pentru că îl vom cita la fiecare exercițiu:

Consecința 2 (monotonia): fie $f$ derivabilă pe intervalul $I$. Dacă $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ este strict crescătoare pe $I$; dacă $f^{\prime }(x)<0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ este strict descrescătoare pe $I$.

⚠️ Cuvântul care nu se pierde niciodată din enunț este „interval". Concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale — vom vedea la §5 ce se întâmplă dacă uiți asta.

Observă ce a devenit problema. Întrebarea „este $f$ crescătoare?" era o întrebare despre perechi de puncte, deci despre o infinitate de comparații. Întrebarea „unde este $f^{\prime }>0$?" este o întrebare despre semnul unei funcții, iar semnele funcțiilor le știi determina de la Semnul unei funcții continue pe un interval. Toată lecția de față este, în fond, aplicarea acelei metode de semn asupra derivatei.

2. Rețeta în cinci pași

Fie $f$ dată printr-o expresie. Pentru a-i afla intervalele de monotonie:

1. Domeniul $D$. Scrii condițiile de existență. Domeniul poate fi un interval sau o reuniune de intervale — de această deosebire atârnă tot pasul 5.
2. Derivata. Precizezi pe ce mulțime este $f$ derivabilă și calculezi $f^{\prime }$, cu regulile de la Operații cu funcții derivabile: sumă, produs, cât și Derivarea funcțiilor compuse. Aduci $f^{\prime }$ la o formă factorizată, pentru că semnul unui produs se citește, iar semnul unei sume nu.
3. Zerourile derivatei. Rezolvi ecuația $f^{\prime }(x)=0$ și reții soluțiile din $D$, ordonate crescător. Adaugi la listă și punctele în care $f$ nu este derivabilă.
4. Tabelul de semn al lui $f^{\prime }$. Punctele de la pasul 3 taie domeniul în intervale; pe fiecare, semnul lui $f^{\prime }$ este constant, iar tu îl calculezi printr-o valoare de probă.
5. Concluzia. Pe fiecare interval pe care $f^{\prime }>0$ scrii „$f$ este strict crescătoare"; pe fiecare interval pe care $f^{\prime }<0$, „strict descrescătoare".

Pasul 4 folosește tabelul fixat la lecția 92: rândul de antet este rândul lui $x$, sub el vine rândul $f^{\prime }(x)$, coloanele alternează punct–interval, în coloanele-punct se scrie $0$ (unde derivata se anulează) sau $|$ (unde funcția nu e definită), iar la $\pm \infty$ coloana rămâne goală.

3. Exemplul complet, pas cu pas

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$.

Pasul 1. Funcția este polinomială, deci $D=\mathbb{R}$, care este interval.

Pasul 2. Funcțiile polinomiale sunt derivabile pe $\mathbb{R}$, iar $$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-12=6\left(x^2+x-2\right)=6(x+2)(x-1).$$

Pasul 3. $f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{-2,1\}$. Nu există puncte de nederivabilitate.

Pasul 4. Valorile de probă: $f^{\prime }(-3)=6\cdot (-1)\cdot (-4)=24>0$; $f^{\prime }(0)=6\cdot 2\cdot (-1)=-12<0$; $f^{\prime }(2)=6\cdot 4\cdot 1=24>0$.

Pasul 5. Prin Consecința 2, funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$, strict descrescătoare pe $[-2,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$. Valorile în punctele de despărțire sunt $f(-2)=21$ și $f(1)=-6$. (Verificat prin eșantionare densă: pe fiecare dintre cele trei intervale, semnul lui $f^{\prime }$ este constant pe peste $1200$ de puncte de probă, iar monotonia se confirmă direct pe $1500$ de valori consecutive.)

4. De ce capetele se scriu închise

La pasul 5 am scris $(-\infty ,-2]$, cu paranteză închisă la $-2$, deși Consecința 2 ne dă strict $f^{\prime }>0$ doar pe intervalul deschis $(-\infty ,-2)$. Adăugarea capătului nu e o scăpare, ci un rezultat care merită spus o dată, ca să-l poți folosi apoi fără explicații.

Lema de lipire. Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și strict crescătoare pe $(a,b)$, atunci $f$ este strict crescătoare pe $[a,b]$.

Motivul: pentru $a<x<b$ avem $f(a)=\underset{t\to a,t>a}{\lim }f(t)\le f(x)$, prin trecerea la limită în inegalitatea $f(t)\le f(x)$ valabilă pentru $a<t<x$. Egalitatea $f(a)=f(x)$ este imposibilă, pentru că ar face funcția constantă pe $[a,x]$, contrazicând stricta creștere pe $(a,x)$. Deci $f(a)<f(x)$, iar la fel se arată $f(x)<f(b)$.

Aceeași lemă lipește și două intervale vecine: dacă $f$ este strict crescătoare pe $[a,c]$ și strict crescătoare pe $[c,b]$, atunci este strict crescătoare pe tot $[a,b]$, pentru că orice pereche $x<c<y$ dă $f(x)<f(c)<f(y)$. De aici vine regula de redactare pe care o vei folosi mereu: capetele finite ale intervalelor de monotonie se scriu incluse ori de câte ori funcția este continuă acolo.

5. Capcana reuniunii de intervale

Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$. Prin regula câtului, $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-2)-(x+1)\cdot 1}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0\text{pentru orice }x\ne 2.$$

Derivata este negativă pe tot domeniul. Tentația este să scrii „$f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{2\}$" — și e fals. Ia $x_1=0$ și $x_2=3$: avem $0<3$, dar $f(0)=-\frac{1}{2}$ și $f(3)=4$, deci $f(0)<f(3)$. O funcție descrescătoare nu se comportă așa.

Nu e nicio contradicție cu Consecința 2: $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ nu este interval, deci teorema nu i se aplică. Enunțul corect are două afirmații separate: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,2)$ și strict descrescătoare pe $(2,+\infty )$, iar între cele două ramuri nu se compară nimic. Aceeași grijă se cere la orice funcție rațională, la $\mathrm{tg}$ și, în general, ori de câte ori domeniul are găuri.

Bara $|$ din coloana lui $2$ este semnalul vizual că acolo tabelul se rupe: cele două zone de descreștere sunt independente una de alta.

6. Derivata se poate anula fără ca monotonia să se strice

Consecința 2 cere $f^{\prime }>0$ peste tot pe interval. Ce se întâmplă dacă derivata este pozitivă, dar se anulează în câteva puncte izolate?

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+1\right)e^x$, funcția a cărei derivată a fost calculată la lecția despre regulile de derivare: $$f^{\prime }(x)=2x{e}^x+\left(x^2+1\right)e^x=e^x\left(x^2+2x+1\right)=e^x(x+1{)}^2\ge 0,$$ cu egalitate numai în $x=-1$. Aplicată direct pe $\mathbb{R}$, cu inegalitate nestrictă, Consecința 2 dă doar monotonie nestrictă — prea puțin. Argumentul corect are doi pași: pe $(-\infty ,-1)$ și pe $(-1,+\infty )$ avem $f^{\prime }>0$ strict, deci $f$ este strict crescătoare pe fiecare; apoi lema de lipire din §4 le unește, pentru că funcția e continuă în $-1$. Concluzie: $f$ este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$.

Reține tiparul: un zerou izolat al derivatei nu strică stricta monotonie, dar concluzia trebuie obținută prin lipire, nu scrisă direct. Cel mai simplu exemplu este $f(x)=x^3$, cu $f^{\prime }(0)=0$ și totuși strict crescătoare pe $\mathbb{R}$; un altul, $f(x)=x+\sin x$, cu $f^{\prime }(x)=1+\cos x\ge 0$, care se anulează în punctele $\pi +2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, fără ca funcția să înceteze să urce.

Punctul $x=-1$ de mai sus este, după definiția din lecția Puncte de extrem. Teorema lui Fermat, un punct critic — și totuși funcția nu are acolo nici maxim, nici minim. Cum decizi natura unui punct critic doar din tabelul de semn vei afla la Punctele de extrem local și determinarea extremelor.

7. Funcții cu logaritm, exponențială și radical

La aceste funcții pasul 1 devine decisiv, pentru că domeniul se micșorează, iar pasul 3 poate găsi puncte în care funcția e continuă fără să fie derivabilă.

Logaritm. Fie $f(x)=x^2-2\ln x$. Domeniul: $(0,+\infty )$, interval. Derivata: $$f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2\left(x^2-1\right)}{x}=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}.$$ Pe $(0,+\infty )$, factorii $x$ și $x+1$ sunt pozitivi, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-1$: negativ pe $(0,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$. Prin urmare $f$ este strict descrescătoare pe $(0,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$, cu $f(1)=1$. Observă că $-1$, deși rădăcină a numărătorului, nu intră în tabel: nu aparține domeniului.

Radical. Fie $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}-x$. Funcția este continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$ — precizarea se face de fiecare dată când un radical de ordinul al doilea apare într-un studiu de variație. Acolo, $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}},$$ iar semnul este dat de numărător: $f^{\prime }(x)>0\iff \sqrt{x}<\frac{1}{2}\iff x<\frac{1}{4}$. Deci $f$ este strict crescătoare pe $\left[0,\frac{1}{4}\right]$ — capătul $0$ se include prin lema de lipire, chiar dacă funcția nu e derivabilă acolo, pentru că e continuă — și strict descrescătoare pe $\left[\frac{1}{4},+\infty \right)$, cu $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}$. (Toate semnele de mai sus, verificate prin eșantionare densă pe fiecare interval declarat.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Polinom de gradul al treilea

Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^3+6x^2-9x+4$.

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}$, iar $f^{\prime }(x)=-3x^2+12x-9=-3\left(x^2-4x+3\right)=-3(x-1)(x-3)$. Zerourile: $1$ și $3$. Probe: $f^{\prime }(0)=-9<0$, $f^{\prime }(2)=3>0$, $f^{\prime }(4)=-9<0$.

Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,1]$, strict crescătoare pe $[1,3]$ și strict descrescătoare pe $[3,+\infty )$, cu $f(1)=0$ și $f(3)=4$. ✓

Exemplul 2 — O funcție rațională cu numitor mereu pozitiv

Studiați monotonia funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

Rezolvare. Numitorul nu se anulează, deci $D=\mathbb{R}$, interval. Regula câtului dă $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^2+1\right)-x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}.$$ Numitorul fiind strict pozitiv, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $1-x^2=(1-x)(1+x)$: negativ pe $(-\infty ,-1)$, pozitiv pe $(-1,1)$, negativ pe $(1,+\infty )$. Deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$, strict crescătoare pe $[-1,1]$ și strict descrescătoare pe $[1,+\infty )$, cu $f(-1)=-\frac{1}{2}$ și $f(1)=\frac{1}{2}$. ✓

Exemplul 3 — Funcție cu logaritm

Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2\ln x$, și arătați că $f(x)\ge 1$ pentru orice $x>0$.

Rezolvare. Am obținut la §7 că $f$ este strict descrescătoare pe $(0,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$. De aici, pentru $x\in (0,1]$ avem $f(x)\ge f(1)=1$, iar pentru $x\in [1,+\infty )$ avem tot $f(x)\ge f(1)=1$. Reunind cele două cazuri, $f(x)\ge 1$ pe tot domeniul. ✓

Exemplul 4 — Când domeniul nu este interval

Studiați monotonia funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{-3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$.

Rezolvare. Derivata: $$f^{\prime }(x)=\frac{2(x+3)-(2x-1)}{(x+3{)}^2}=\frac{7}{(x+3{)}^2}>0\text{pentru orice }x\ne -3.$$ Concluzia corectă are două părți: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-3)$ și strict crescătoare pe $(-3,+\infty )$. Nu este crescătoare pe reuniunea lor: $f(-4)=\frac{-9}{-1}=9$, iar $f(0)=-\frac{1}{3}$, deci $-4<0$ dar $f(-4)>f(0)$. ✓

Exemplul 5 — Monotonie folosită la o inegalitate

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x-4$, este strict crescătoare și deduceți că ecuația $x^3+3x=4$ are exact o soluție reală.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=3x^2+3=3\left(x^2+1\right)>0$ pentru orice $x$ real, deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. O funcție strict crescătoare este injectivă, deci ecuația $f(x)=0$ are cel mult o soluție. Cum $f(1)=0$, soluția există și este unică: $x=1$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

Rezolvare.

a) Prin regula câtului, $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x+1)-\left(x^2+x+1\right)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}.$$

b) Numitorul este strict pozitiv pe domeniu, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul produsului $x(x+2)$, cu zerourile $-2$ și $0$. Punctul $-1$ intră și el în tabel, ca punct în care funcția nu e definită.

Prin urmare $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$, strict descrescătoare pe $[-2,-1)$, strict descrescătoare pe $(-1,0]$ și strict crescătoare pe $[0,+\infty )$, cu $f(-2)=-3$ și $f(0)=1$. Cele două intervale de descreștere se scriu separat, pentru că $-1$ nu aparține domeniului. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie explicit domeniul, forma factorizată a derivatei și tabelul ei de semn — baremele acordă punctaj pentru fiecare dintre aceste etape.

1. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f(x)=x^2-8x+3$.

2. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f(x)=x^3-3x^2-24x+1$.

3. Arată că funcția $f(x)=x^3+x-5$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

4. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f(x)=\frac{x^2}{x^2+3}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe un interval, atunci $f$ nu poate fi strict crescătoare pe acel interval."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime }(x)<0$ pe tot domeniul, atunci $f$ este strict descrescătoare pe domeniu."

7. Studiază monotonia funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$, și scrie concluzia în forma corectă.

8. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$.

9. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

10. Arată că funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$, este strict crescătoare pe $(0,e]$ și strict descrescătoare pe $[e,+\infty )$.

11. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4\sqrt{x}$, precizând pe ce mulțime este derivabilă.

12. Arată că funcția $f(x)=2x+\cos x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deși derivata ei nu este mereu strict pozitivă în sensul cel mai comod de verificat.

13. (Problemă aplicată.) Cantitatea de medicament din sânge, în miligrame, la $t$ ore de la administrare, este $C(t)=12t{e}^{-t}$, $t\ge 0$. Determină intervalele pe care concentrația crește și pe care scade.

14. Determină $a\in \mathbb{R}$ astfel încât funcția $f(x)=x^3+ax$ să fie strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+5$. Calculează $f^{\prime }(x)$ și determină intervalele de monotonie ale funcției $f$.

16. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-2x+2\right)e^x$. Arată că $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

17. Explică, într-un scurt paragraf, de ce afirmația „funcția $\mathrm{tg}$ este strict crescătoare pe domeniul ei" este greșită și cum se corectează.

18. (Provocare.) Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+m{x}^2+3x-1$, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=2x-8$, care este negativă pentru $x<4$ și pozitivă pentru $x>4$. Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,4]$ și strict crescătoare pe $[4,+\infty )$.

2. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-24=3(x-4)(x+2)$, cu zerourile $-2$ și $4$. Semnele: $+$ pe $(-\infty ,-2)$, $-$ pe $(-2,4)$, $+$ pe $(4,+\infty )$. Deci $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$, strict descrescătoare pe $[-2,4]$, strict crescătoare pe $[4,+\infty )$.

3. $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ pentru orice $x$ real, iar $\mathbb{R}$ este interval, deci Consecința 2 dă direct stricta creștere.

4. $f^{\prime }(x)=\frac{2x\left(x^2+3\right)-x^2\cdot 2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{6x}{{\left(x^2+3\right)}^2}$. Semnul este semnul lui $x$: funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0,+\infty )$.

5. Fals. Inegalitatea nestrictă nu împiedică stricta creștere; ea doar nu o garantează prin aplicarea directă a Consecinței 2. Contraexemplu: $f(x)=x^3$, cu $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

6. Fals. Consecința 2 cere ca domeniul să fie interval. Contraexemplu: $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ are $f^{\prime }<0$ pe tot domeniul, dar $f(0)<f(3)$.

7. $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-(x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$. Concluzia corectă: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,1)$ și strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$; nu se scrie „pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$".

8. $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$. Pe $(0,+\infty )$ numitorul e pozitiv, deci semnul e al lui $x-1$: funcția este strict descrescătoare pe $(0,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$.

9. $f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$, iar $e^x>0$, deci semnul e al lui $x+1$: strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$, strict crescătoare pe $[-1,+\infty )$.

10. $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$. Numitorul e pozitiv, deci semnul e al lui $1-\ln x$: pozitiv pentru $\ln x<1$, adică $x<e$, și negativ pentru $x>e$. Rezultă exact monotonia cerută, cu $f(e)=\frac{1}{e}$.

11. Funcția e continuă pe $[0,+\infty )$ și derivabilă pe $(0,+\infty )$, cu $f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$. Semnul e al lui $\sqrt{x}-2$: negativ pentru $x<4$, pozitiv pentru $x>4$. Deci $f$ este strict descrescătoare pe $[0,4]$ și strict crescătoare pe $[4,+\infty )$, cu $f(4)=-4$.

12. $f^{\prime }(x)=2-\sin x$. Cum $\sin x\le 1<2$, avem de fapt $f^{\prime }(x)\ge 1>0$ pentru orice $x$, deci Consecința 2 se aplică direct. Ideea de reținut: la funcțiile trigonometrice se folosește încadrarea $-1\le \sin x\le 1$, nu rezolvarea unei inecuații.

13. $C^{\prime }(t)=12e^{-t}+12t\cdot \left(-e^{-t}\right)=12e^{-t}(1-t)$. Cum $e^{-t}>0$, semnul e al lui $1-t$: concentrația crește pe $[0,1]$ și scade pe $[1,+\infty )$, cu maximul atins la o oră de la administrare.

14. $f^{\prime }(x)=3x^2+a$. Pentru $a\ge 0$ avem $f^{\prime }(x)\ge 0$, cu cel mult un zerou izolat (în $x=0$, când $a=0$), deci $f$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ — prin lipire, ca la §6. Pentru $a<0$, derivata este negativă între $-\sqrt{-a/3}$ și $\sqrt{-a/3}$, deci funcția scade acolo. Răspuns: $a\ge 0$.

15. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, cu zerourile $0$ și $2$. Semnele: $+$, $-$, $+$. Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,0]$, strict descrescătoare pe $[0,2]$ și strict crescătoare pe $[2,+\infty )$, cu $f(0)=5$ și $f(2)=1$.

16. $f^{\prime }(x)=(2x-2)e^x+\left(x^2-2x+2\right)e^x=e^x\left(x^2-2x+2+2x-2\right)=x^2{e}^x\ge 0$, cu egalitate numai în $x=0$. Pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$ derivata e strict pozitivă, deci funcția e strict crescătoare pe fiecare; fiind continuă în $0$, lema de lipire dă stricta creștere pe tot $\mathbb{R}$.

17. Domeniul funcției tangentă este o reuniune infinită de intervale, câte unul între două puncte consecutive de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$. Derivata $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ este pozitivă peste tot, dar concluzia se scrie pe fiecare interval al domeniului: „$\mathrm{tg}$ este strict crescătoare pe fiecare interval $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$". Altfel s-ar ajunge la afirmații false, comparând valori de pe ramuri diferite.

18. $f^{\prime }(x)=3x^2+2mx+3$. Cerința este ca $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x$ real. Coeficientul dominant fiind pozitiv, condiția se scrie cu discriminantul: $\Delta =4m^2-36\le 0$, adică $m^2\le 9$, deci $m\in [-3,3]$. La capete ($m=\pm 3$) derivata are un zerou dublu, deci un singur zerou izolat, iar lipirea din §6 păstrează stricta creștere.

De reținut

• Semnul derivatei dă sensul de variație: $f^{\prime }>0$ pe un interval înseamnă $f$ strict crescătoare acolo; $f^{\prime }<0$ înseamnă strict descrescătoare. Rezultatul se numește Consecința 2 (monotonia) și se citează cu acest nume.
• Rețeta are cinci pași: domeniu, derivată factorizată, zerourile derivatei și punctele de nederivabilitate, tabelul de semn al lui $f^{\prime }$, concluzia pe fiecare interval.
• Concluzia se scrie pe un interval, niciodată pe o reuniune. Când domeniul are găuri, monotonia se enunță separat pe fiecare bucată.
• Capetele finite se includ în intervalele de monotonie ori de câte ori funcția este continuă acolo, prin lema de lipire.
• Un zerou izolat al derivatei nu strică stricta monotonie: $x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ deși $f^{\prime }(0)=0$.

Greșeli frecvente

• Scrii monotonia pe reuniune. „$f(x)=\frac{1}{x}$ este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$" este fals: $f(-1)=-1<1=f(1)$. Corect: descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și, separat, pe $(0,+\infty )$.
• Uiți domeniul înainte de a rezolva $f^{\prime }(x)=0$. La $f(x)=x^2-2\ln x$, ecuația $x^2=1$ are soluțiile $\pm 1$, dar $-1$ nu este în domeniu și nu are ce căuta în tabel.
• Alternezi semnele în loc să le calculezi. Semnul lui $f^{\prime }$ se stabilește cu o valoare de probă pe fiecare interval; la o rădăcină dublă a derivatei semnul nu se schimbă.
• Confunzi semnul lui $f$ cu semnul lui $f^{\prime }$. Tabelul din această lecție este al derivatei. Faptul că $f(x)<0$ nu spune nimic despre creștere; funcția $f(x)=-e^x$ e negativă peste tot și totuși strict descrescătoare.
• Deduci extremul direct din anularea derivatei. Din $f^{\prime }(x_0)=0$ rezultă doar că $x_0$ este punct critic; la $f(x)=\left(x^2+1\right)e^x$ derivata se anulează în $-1$, iar funcția urcă în continuare.

Aplică acasă

1. Vitezometrul și kilometrajul. Într-o călătorie cu mașina sau cu autobuzul, notează din cinci în cinci minute dacă vehiculul accelerează, merge uniform sau frânează. Desenează apoi, pe caiet, un grafic aproximativ al distanței parcurse și verifică pe el afirmația din deschiderea lecției: porțiunile în care viteza a fost pozitivă corespund porțiunilor pe care graficul urcă.

2. Cinci polinoame, cinci tabele. Scrie cinci funcții polinomiale de gradul al treilea cu coeficienți aleși la întâmplare. Pentru fiecare, calculează derivata, rezolvă $f^{\prime }(x)=0$ și completează tabelul de semn. Numără câte dintre ele au două intervale de monotonie, câte au trei și câte sunt monotone pe tot $\mathbb{R}$; încearcă apoi să prezici rezultatul doar din discriminantul derivatei.

3. Temperatura zilei. Notează timp de o zi temperatura din cameră, din două în două ore, și desenează pe hârtie punctele măsurate, unindu-le printr-o linie. Marchează pe el orele la care temperatura a atins un vârf sau o vale, apoi scrie, în cuvinte, intervalele de creștere și de descreștere — exact în forma în care se scrie concluzia unui exercițiu de monotonie.

Pentru părinți și profesori

Lecția este prima aplicație majoră a derivatei ca instrument de descriere globală a unei funcții și deschide unitatea de studiu al variației. Ideea centrală — informația locală (semnul derivatei într-un punct) determină comportarea pe un interval întreg — este ceea ce face din analiza matematică o disciplină cu putere de decizie, nu doar un capitol de calcul. Programa cere explicit ca intervalele de monotonie să fie evidențiate în tabel, iar lecția pregătește exact acest format.

Ce verifică lecția: (1) determinarea corectă a domeniului, înaintea oricărui calcul; (2) calculul derivatei și aducerea ei la formă factorizată; (3) construirea tabelului de semn al lui $f^{\prime }$ cu valori de probă, nu prin alternanță; (4) formularea concluziei pe fiecare interval, cu capetele incluse acolo unde funcția e continuă; (5) conștiința faptului că o reuniune de intervale nu este interval.

Întrebări bune de control: „De ce nu putem spune că $\frac{1}{x}$ e descrescătoare pe tot domeniul ei?", „Ce faci cu punctele în care funcția nu e derivabilă?", „Poate o funcție să fie strict crescătoare dacă derivata ei se anulează undeva?". La BAC M1, cerința apare aproape în fiecare an în subiectul al doilea, sub forma „determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$" sau ca pas intermediar într-o problemă mai lungă. Semn că elevul a înțeles: începe orice astfel de exercițiu scriind domeniul, nu derivata.

Întrebări frecvente

Cum aflu dacă o funcție este crescătoare sau descrescătoare folosind derivata? Calculezi derivata, îi determini semnul pe fiecare interval al domeniului și aplici Consecința 2 a teoremei lui Lagrange: acolo unde $f^{\prime }>0$ funcția este strict crescătoare, iar acolo unde $f^{\prime }<0$ este strict descrescătoare.

De ce trebuie să lucrez pe un interval și nu pe tot domeniul? Pentru că demonstrația se sprijină pe teorema lui Lagrange aplicată segmentului dintre două puncte, iar acel segment trebuie să fie inclus în domeniu. Dacă domeniul are găuri, două puncte pot sta pe ramuri diferite, iar teorema nu le mai leagă.

Ce scriu în tabel în punctele în care funcția nu este definită? Bara $|$, exact ca în tabelul de semn al unei funcții continue. Ea marchează ruptura domeniului și îți amintește că cele două zone vecine nu se compară între ele.

Intervalele de monotonie se scriu cu paranteze deschise sau închise? Cu paranteze închise la capetele finite în care funcția este continuă. Motivul este lema de lipire: stricta monotonie de pe intervalul deschis se extinde la capăt prin trecerea la limită.

Poate o funcție să fie strict crescătoare dacă derivata ei se anulează într-un punct? Da, dacă zeroul este izolat. Exemplul standard este $f(x)=x^3$: derivata se anulează în origine, dar funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Concluzia se obține aplicând Consecința 2 pe fiecare parte și lipind rezultatele.

Ce fac dacă derivata nu se anulează nicăieri? Atunci funcția este strict monotonă pe fiecare interval al domeniului, iar tabelul are un singur rând de semn pe fiecare bucată. Rămâne totuși obligatoriu să verifici dacă domeniul este format dintr-un singur interval sau din mai multe.

Cum stabilesc semnul derivatei fără să greșesc? Aduci derivata la o formă factorizată sau la un raport de factori, apoi calculezi valoarea într-un punct de probă din fiecare interval. Nu alterna semnele automat: la o rădăcină dublă a derivatei semnul rămâne același de o parte și de alta.

La ce îmi folosește monotonia mai departe? Este pasul care precedă determinarea extremelor, la lecția despre punctele de extrem local, și rândul central al tabelului de variație. Tot pe ea se sprijină demonstrarea inegalităților și discuția numărului de soluții ale unei ecuații, teme care apar constant în subiectele de Bacalaureat M1.