Morfisme de grupuri: pe scurt

O funcție $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este morfism de grupuri dacă $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$ pentru orice $x,y\in G$ — adică nu contează dacă efectuezi întâi operația și apoi aplici funcția, sau invers. Cele două operații sunt, în general, diferite: în stânga se calculează în $G$, în dreapta în $G^{\prime }$, al cărui element neutru se notează $e^{\prime }$ (primul nu înseamnă simetric, ci „al celui de-al doilea grup”). Verificarea are patru pași: scrii cele două grupuri cu operațiile lor, calculezi separat cei doi membri cu litere și îi compari pentru $x$ și $y$ oarecare; un exemplu numeric poate doar să infirme, niciodată să confirme.

Trei proprietăți se demonstrează din definiție: $f(e)=e^{\prime }$ (pornind de la $e\cdot e=e$ și simplificând), $f\left(x^{-1}\right)=f(x{)}^{-1}$ (din unicitatea simetricului) și $f\left(x^k\right)=f(x{)}^k$ pentru orice $k\in \mathbb{Z}$ (prin inducție). Ultima este unealta de calcul a lecției: un morfism duce puterile în puteri, deci ordinul lui $f(x)$ divide ordinul lui $x$. Morfismele de reținut sunt logaritmul, determinantul, semnul unei permutări, trecerea la clasa de resturi $f(k)=\hat{k}$, $f(k)=i^k$, familiile de matrice cu $A(x)A(y)=A(x+y)$ și exponențiala. Contraexemple: $f(x)=x+1$ pe $(\mathbb{R},+)$, care nu duce neutrul în neutru, și ridicarea la pătrat, morfism pe $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, dar nu pe $(\mathbb{R},+)$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele funcții nu este morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(\mathbb{R},+)$?

   • a) $f(x)=5x$
   • b) $f(x)=-x$
   • c) $f(x)=x+3$
   • d) $f(x)=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $f(x)=x+3$

   Un morfism duce elementul neutru în elementul neutru, iar aici $f(0)=3\ne 0$, deci funcția nu poate fi morfism. Se vede și direct: $f(x+y)=x+y+3$, în timp ce $f(x)+f(y)=x+y+6$. Funcțiile $f(x)=5x$ și $f(x)=-x$ verifică $f(x+y)=f(x)+f(y)$ prin distributivitate, iar funcția constantă nulă este morfismul care duce tot grupul în neutru.

2. Fie $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$ cu $\det A=-2$. Atunci $\det \left(A^7\right)$ este:

   • a) $-128$
   • b) $128$
   • c) $-14$
   • d) $-2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-128$

   Determinantul este morfism de la $\left(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot \right)$ la $\left({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot \right)$, deci $\det \left(A^k\right)=(\det A{)}^k$. Rezultă $\det \left(A^7\right)=(-2{)}^7=-128$. Varianta $128$ pierde semnul (exponentul este impar), varianta $-14$ înmulțește exponentul cu determinantul în loc să ridice la putere, iar $-2$ ignoră exponentul.

3. Funcția $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{Z}}_{20},+)$, $f(k)=\hat{k}$, este:

   • a) morfism injectiv
   • b) morfism surjectiv, dar nu injectiv
   • c) morfism bijectiv
   • d) nu este morfism
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) morfism surjectiv, dar nu injectiv

   Este morfism, pentru că adunarea claselor a fost definită tocmai prin $\hat{k}+\hat{l}=\widehat{k+l}$. Este surjectivă, fiindcă orice clasă are un reprezentant întreg. Nu este însă injectivă: $f(0)=f(20)=\hat{0}$, iar o infinitate de întregi ajung în aceeași clasă. Faptul că $f(e)=e^{\prime }$ nu spune nimic despre injectivitate.