Morfisme de grupuri

Morfismul de grupuri, noțiunea centrală a acestei lecții de clasa a XII-a, este o funcție între două grupuri care mută o operație într-alta fără să-i schimbe comportamentul, adică verifică $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$ pentru orice două elemente. Cel mai vechi exemplu este și cel mai practic: înainte de calculatoare, inginerii înmulțeau numere mari fără să facă vreo înmulțire, căutând logaritmii celor două numere într-un tabel, adunându-i, apoi citind înapoi rezultatul. Toată metoda stă pe o singură egalitate, $\lg (xy)=\lg x+\lg y$, pe care ai demonstrat-o la proprietățile logaritmilor.

Ideea merită luată în serios, pentru că nu e o coincidență izolată. Determinantul face același lucru cu înmulțirea matricelor, semnul unei permutări face același lucru cu compunerea permutărilor, iar „ora de pe ceas" face același lucru cu adunarea numerelor întregi. În fiecare caz, o funcție transportă structura dintr-un grup în altul. După ce în lecția despre subgrupul generat de un element și grupurile ciclice ai studiat un singur grup din interior, de acum înainte vom compara două grupuri între ele.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești un morfism de grupuri și să scrii corect condiția $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$ pentru două grupuri cu operații diferite.
• Vei ști să verifici, după o rețetă în patru pași, dacă o funcție dată este sau nu morfism.
• Vei ști să demonstrezi că orice morfism duce elementul neutru în elementul neutru.
• Vei ști să demonstrezi că orice morfism duce simetricul unui element în simetricul imaginii lui.
• Vei ști să folosești egalitatea $f(x^k)=f(x{)}^k$, valabilă pentru orice exponent întreg.
• Vei ști să recunoști morfismele remarcabile dintre grupurile studiate și să dai contraexemple pentru funcții care nu sunt morfisme.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un morfism de grupuri?

Așază una lângă alta trei egalități întâlnite în ani diferiți:

$$\lg (xy)=\lg x+\lg y,\det (AB)=\det A\cdot \det B,\mathrm{sgn}(\sigma \circ \tau )=\mathrm{sgn}(\sigma )\cdot \mathrm{sgn}(\tau ).$$

Prima leagă înmulțirea numerelor pozitive de adunarea numerelor reale; a doua leagă înmulțirea matricelor inversabile de înmulțirea numerelor reale nenule; a treia leagă compunerea permutărilor de înmulțirea numerelor $-1$ și $1$. Trei perechi de grupuri diferite, trei funcții diferite, dar același tipar: calculezi întâi și aplici funcția, sau aplici funcția și calculezi după — rezultatul este același.

Morfismul de grupuri este o funcție definită pe un grup, cu valori în alt grup, care păstrează operațiile: compusul a două elemente este dus în compusul imaginilor lor. Cu alte cuvinte, ordinea dintre „calculează" și „aplică funcția" nu contează, iar orice egalitate din primul grup se traduce automat într-o egalitate din al doilea.

Definiție. Fie $(G,\cdot )$ și $(G^{\prime },\ast )$ două grupuri. O funcție $f:G\to G^{\prime }$ se numește morfism de grupuri dacă

$$f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)\text{pentru orice }x,y\in G.$$

Două lămuriri de notație, o dată pentru totdeauna. Întâi, operațiile celor două grupuri sunt, în general, diferite: în stânga egalului se calculează în $G$, în dreapta în $G^{\prime }$. Apoi, elementul neutru al lui $G$ îl notăm $e$, iar pe cel al lui $G^{\prime }$ îl notăm $e^{\prime }$ — primul de aici nu înseamnă „simetric", ci doar „al celui de-al doilea grup". Când ambele grupuri sunt notate multiplicativ, condiția se scrie mai scurt, $f(xy)=f(x)f(y)$, și așa o vei întâlni în majoritatea subiectelor de Bacalaureat M1.

2. Cum verifici că o funcție este morfism de grupuri?

Rețeta are patru pași și nu trebuie scurtată, pentru că fiecare pas prinde câte o greșeală tipică.

1. Scrie cele două grupuri cu operațiile lor. De la ce grup pleacă funcția și în ce grup ajunge? Care este operația în fiecare?
2. Calculează membrul stâng, $f(x\cdot y)$: aplici întâi operația din $G$, apoi funcția.
3. Calculează membrul drept, $f(x)\ast f(y)$: aplici întâi funcția, apoi operația din $G^{\prime }$.
4. Compară cele două expresii pentru $x$ și $y$ oarecare. Egalitatea trebuie să fie o identitate, nu o coincidență pe un exemplu.

Îl aplicăm pe cel mai simplu morfism cu putință. Fie $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, și funcția $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$, $f(k)=\hat{k}$, care asociază fiecărui număr întreg clasa lui de resturi modulo $n$. Grupul de plecare este $(\mathbb{Z},+)$, iar cel de sosire este $({\mathbb{Z}}_n,+)$, grupul aditiv construit la grupul aditiv și grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n. Membrul stâng este $f(k+l)=\widehat{k+l}$, iar membrul drept este $f(k)+f(l)=\hat{k}+\hat{l}$. Cele două coincid, pentru că așa a fost definită adunarea claselor: $\hat{k}+\hat{l}=\widehat{k+l}$. Deci $f$ este morfism de grupuri.

Este exact ceasul: ora afișată de suma a două durate este suma orelor afișate de fiecare durată. Iar faptul că definiția adunării claselor este chiar condiția de morfism arată de ce noțiunea nu e artificială: matematicienii n-au inventat morfismele ca să aibă ce defini, ci le-au observat mai întâi peste tot în jur și abia apoi le-au dat un nume comun.

O observație despre pasul al patrulea, cel mai des sărit. A verifica egalitatea pe o pereche de numere concrete nu dovedește absolut nimic: pot exista funcții care se comportă cuminte pe câteva valori și se strică imediat după. În schimb, un singur exemplu numeric în care egalitatea nu se verifică este suficient ca să respingi funcția. Regula practică e deci asimetrică: pentru a confirma, calculezi cu litere; pentru a infirma, cauți numere.

3. Ce se întâmplă cu elementul neutru?

Definiția cere o singură egalitate, dar din ea decurg imediat două proprietăți pe care le vei folosi la fiecare exercițiu. Prima spune că un morfism nu poate „rata" elementul neutru.

Teoremă. Dacă $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este morfism de grupuri, atunci $f(e)=e^{\prime }$.

Demonstrație. Pornim de la egalitatea evidentă $e\cdot e=e$ din grupul $G$ și îi aplicăm funcția:

$$f(e)=f(e\cdot e)=f(e)\ast f(e).$$

Notăm $u=f(e)\in G^{\prime }$. Am obținut $u=u\ast u$. Cum $G^{\prime }$ este grup, elementul $u$ are un simetric $u^{-1}$; compunem la stânga cu el:

$$u^{-1}\ast u=u^{-1}\ast (u\ast u)⟹e^{\prime }=(u^{-1}\ast u)\ast u=e^{\prime }\ast u=u.$$

Am folosit asociativitatea și definiția elementului neutru din $G^{\prime }$. Deci $u=e^{\prime }$, adică $f(e)=e^{\prime }$. $■$

Același raționament, scris mai scurt, este regula de simplificare demonstrată la reguli de calcul într-un grup: din $u\ast u=e^{\prime }\ast u$ rezultă $u=e^{\prime }$. Merită reținut că demonstrația nu folosește nimic din structura concretă a celor două grupuri — funcționează pentru orice morfism, oricât de exotic.

Proprietatea aceasta este și un instrument de respingere rapidă: dacă o funcție nu duce neutrul în neutru, atunci sigur nu este morfism, și nu mai are rost să verifici identitatea generală.

4. Ce se întâmplă cu simetricul unui element?

A doua proprietate spune că morfismele respectă și „inversarea".

Teoremă. Dacă $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este morfism de grupuri, atunci $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$ pentru orice $x\in G$.

Demonstrație. Pornim de la $x\cdot x^{-1}=e$ și aplicăm funcția:

$$f(x)\ast f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e^{\prime },$$

unde ultima egalitate e teorema de la punctul $3$. Analog, din $x^{-1}\cdot x=e$ obținem $f(x^{-1})\ast f(x)=e^{\prime }$. Așadar elementul $f(x^{-1})$ compus cu $f(x)$ dă elementul neutru, în ambele ordini — adică $f(x^{-1})$ este un simetric al lui $f(x)$. Cum într-un grup simetricul unui element este unic (proprietate demonstrată la lecția $16$, când s-a definit grupul), rezultă $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$. $■$

În grupurile notate aditiv, egalitatea se citește $f(-x)=-f(x)$, iar pentru logaritm devine $\lg \frac{1}{x}=-\lg x$, formulă cunoscută din clasa a X-a. Aceeași proprietate, alt costum.

5. Ce se întâmplă cu puterile unui element?

Cele două teoreme de mai sus se strâng într-una singură, de care vom avea nevoie neapărat în lecțiile următoare.

Teoremă. Dacă $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este morfism de grupuri, atunci $f(x^k)=f(x{)}^k$ pentru orice $x\in G$ și orice $k\in \mathbb{Z}$.

Demonstrație. Demonstrăm mai întâi pentru $k\in \mathbb{N}$, prin metoda inducției matematice. Pentru $k=0$ afirmația spune $f(x^0)=f(x{)}^0$, adică $f(e)=e^{\prime }$, ceea ce este teorema de la punctul $3$. Presupunem egalitatea adevărată pentru un $k$ oarecare și o verificăm pentru $k+1$:

$$f(x^{k+1})=f(x^k\cdot x)=f(x^k)\ast f(x)=f(x{)}^k\ast f(x)=f(x{)}^{k+1}.$$

Am folosit, pe rând, regula puterilor din $G$, definiția morfismului, ipoteza inducției și regula puterilor din $G^{\prime }$. Conform principiului inducției, egalitatea este adevărată pentru orice $k$ natural.

Pentru exponenți negativi scriem $k=-m$ cu $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și folosim punctul $4$:

$$f(x^{-m})=f((x^m{)}^{-1})=(f(x^m){)}^{-1}=(f(x{)}^m{)}^{-1}=f(x{)}^{-m}.■$$

Consecința practică este imediată: un morfism duce puterile în puteri, deci duce subgrupul generat de $x$ în subgrupul generat de $f(x)$. Dacă $x^n=e$, atunci $f(x{)}^n=e^{\prime }$ — imaginea unui element de ordin finit are și ea ordin finit, iar ordinul ei divide ordinul lui $x$. Atenție însă: divide, nu este neapărat egal. Un morfism poate „turti" grupul, ducând un element de ordin mare într-unul de ordin mic, iar cazul extrem este morfismul care duce tot grupul în elementul neutru. Vom relua această observație, cu toate consecințele ei, la lecția despre grupurile care nu sunt izomorfe.

A doua consecință este de ordin practic și merită reținută ca tehnică de calcul: dacă vrei să afli o putere mare într-un grup complicat, caută un morfism spre un grup în care puterile sunt ușor de calculat. Așa se calculează, într-o singură linie, determinantul puterii unei matrice, semnul unei permutări ridicate la o putere mare sau ora afișată de un ceas după câteva mii de ore.

6. O galerie de morfisme între grupurile studiate

Merită să ai la îndemână o listă scurtă, pentru că exercițiile se învârt aproape mereu în jurul ei.

• Înmulțirea cu o constantă: $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=ax$, cu $a$ real fixat. Într-adevăr, $a(x+y)=ax+ay$.
• Determinantul: $\det :(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )\to ({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$. Proprietatea $\det (AB)=\det A\cdot \det B$ o știi de la grupuri de matrice și grupuri de permutări; ea spune tocmai că determinantul e morfism.
• Semnul unei permutări: $\mathrm{sgn}:(S_n,\circ )\to (\{-1,1\},\cdot )$, studiat la inversiuni și semnul unei permutări.
• Clasa de resturi: $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{Z}}_n,+)$, $f(k)=\hat{k}$, morfismul demonstrat la punctul $2$.
• Puterile lui $i$: $f:(\mathbb{Z},+)\to (U_4,\cdot )$, $f(k)=i^k$, pentru că $i^{k+l}=i^k\cdot i^l$.
• Familiile de matrice: $f:(\mathbb{R},+)\to (G,\cdot )$, $f(x)=A(x)$, unde $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$, pentru că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$.
• Exponențiala: $f:(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, $f(x)=e^x$, pentru că $e^{x+y}=e^x{e}^y$. Aici $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural, nu elementul neutru al vreunui grup; e singurul loc din unitate unde litera are celălalt înțeles, iar contextul o spune de fiecare dată.

Privind lista de sus, se observă un tipar util: aproape toate morfismele întâlnite duc o adunare într-o înmulțire sau invers. Motivul e că adunarea și înmulțirea sunt cele două operații pe care le cunoaștem cel mai bine, iar cea mai simplă cale de a înțelege un grup nou este să-l legi de unul dintre ele. Tocmai de aceea, la un exercițiu care cere „arătați că funcția dată este morfism", primul reflex trebuie să fie identificarea perechii de operații, nu calculul.

7. Când o funcție nu este morfism?

Contraexemplele sunt la fel de instructive ca exemplele, pentru că arată cât de strânsă e condiția.

Adunarea unei constante nu e morfism. Fie $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=x+1$. Atunci $f(x+y)=x+y+1$, în timp ce $f(x)+f(y)=x+y+2$. Cele două expresii nu coincid niciodată. Se vede și mai repede cu proprietatea de la punctul $3$: $f(0)=1\ne 0$, deci neutrul nu merge în neutru.

Ridicarea la pătrat depinde de operație. Fie $f(x)=x^2$. Pe grupul $(\mathbb{R},+)$ nu este morfism, pentru că $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$ diferă de $x^2+y^2$ ori de câte ori $xy\ne 0$; de pildă, pentru $x=y=1$ obținem $4\ne 2$. Aceeași formulă este morfism pe grupul $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, fiindcă $(xy{)}^2=x^2{y}^2$. Morala: nu funcția singură decide, ci perechea funcție–operații.

În sfârșit, o proprietate care ne va servi imediat: compunerea a două morfisme este morfism. Dacă $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ și $g:(G^{\prime },\ast )\to (G^{\prime \prime },\perp )$ sunt morfisme, atunci pentru orice $x,y\in G$ avem

$$(g\circ f)(x\cdot y)=g(f(x)\ast f(y))=g(f(x))\perp g(f(y))=(g\circ f)(x)\perp (g\circ f)(y).$$

Rămâne o întrebare firească: ce se întâmplă când un morfism este, în plus, bijectiv? Atunci cele două grupuri sunt, practic, același grup îmbrăcat diferit — iar acesta este subiectul lecției despre izomorfisme de grupuri și compararea tablelor grupurilor finite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un morfism al grupului aditiv al numerelor reale

Arătați că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=3x$, este morfism de grupuri și verificați pe el cele două proprietăți demonstrate.

Rezolvare. Ambele grupuri au aceeași operație, adunarea. Calculăm membrul stâng: $f(x+y)=3(x+y)=3x+3y$. Calculăm membrul drept: $f(x)+f(y)=3x+3y$. Sunt egale pentru orice $x$ și $y$ reali, deci $f$ este morfism.

Verificăm proprietățile: $f(0)=0$, adică neutrul merge în neutru; și $f(-x)=-3x=-f(x)$, adică opusul merge în opus. Observă că raționamentul funcționează identic pentru $f(x)=ax$, cu $a$ real oarecare — inclusiv pentru $a=0$, când funcția constantă nulă este tot morfism, numit uneori morfismul nul.

Exemplul 2 — Determinantul ca morfism

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Verificați pe această pereche că $\det$ este morfism și deduceți $\det (A^{-1})$.

Rezolvare. Avem $\det A=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$ și $\det B=2\cdot 1-1\cdot 1=1$, deci ambele matrice sunt inversabile și aparțin lui $G{L}_2(\mathbb{R})$. Produsul lor este

$$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 10& 7\end{array}\right),$$

cu $\det (AB)=4\cdot 7-3\cdot 10=28-30=-2$. Într-adevăr, $\det (AB)=-2=(-2)\cdot 1=\det A\cdot \det B$.

Pentru $\det (A^{-1})$ folosim proprietatea de la punctul $4$: morfismul duce inversul în invers, deci $\det (A^{-1})=(\det A{)}^{-1}=-\frac{1}{2}$. Nu a fost nevoie să calculăm efectiv matricea inversă.

Exemplul 3 — Semnul permutării ca morfism

Fie $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$. Verificați egalitatea $\mathrm{sgn}(\sigma \circ \tau )=\mathrm{sgn}(\sigma )\mathrm{sgn}(\tau )$.

Rezolvare. Permutarea $\sigma$ are inversiunile $(1,3)$ și $(2,3)$, deci două inversiuni și $\mathrm{sgn}(\sigma )=1$. Permutarea $\tau$ are o singură inversiune, $(1,2)$, deci $\mathrm{sgn}(\tau )=-1$. Compunem, cu regula „întâi cea din dreapta":

$$\sigma \circ \tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right).$$

Aceasta are trei inversiuni, $(1,2)$, $(1,3)$ și $(2,3)$, deci $\mathrm{sgn}(\sigma \circ \tau )=(-1{)}^3=-1$. Pe de altă parte $\mathrm{sgn}(\sigma )\mathrm{sgn}(\tau )=1\cdot (-1)=-1$. Egalitatea se verifică. Observă și că $\mathrm{sgn}(e)=1$, adică neutrul lui $S_3$ merge în neutrul lui $\{-1,1\}$.

Exemplul 4 — Puterile lui $i$ și o putere mare

Arătați că $f:(\mathbb{Z},+)\to (U_4,\cdot )$, $f(k)=i^k$, este morfism și calculați $f(2026)$.

Rezolvare. Membrul stâng: $f(k+l)=i^{k+l}$. Membrul drept: $f(k)\cdot f(l)=i^k\cdot i^l=i^{k+l}$. Egalitatea este chiar regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, deci $f$ este morfism.

Pentru $f(2026)=i^{2026}$ folosim faptul că $\mathrm{ord}(i)=4$: împărțim exponentul la $4$, $2026=4\cdot 506+2$, și obținem

$$i^{2026}=(i^4{)}^{506}\cdot i^2=1^{506}\cdot (-1)=-1.$$

Aceeași reducere se poate citi și așa: morfismul „nu vede" decât clasa lui $2026$ modulo $4$, adică $\hat{2}$.

Exemplul 5 — O familie de matrice

Fie $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$, $x\in \mathbb{R}$, și $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$, despre care se știe că este grup față de înmulțirea matricelor. Arătați că $f:(\mathbb{R},+)\to (G,\cdot )$, $f(x)=A(x)$, este morfism și deduceți $A(x{)}^{-1}$ și $A(x{)}^n$.

Rezolvare. Înmulțim:

$$A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& y\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ 0& 1\end{array}\right)=A(x+y).$$

Deci $f(x+y)=A(x+y)=A(x)\cdot A(y)=f(x)\cdot f(y)$ și $f$ este morfism.

Consecințele se citesc direct din proprietăți. Neutrul lui $(\mathbb{R},+)$ este $0$, deci $f(0)=A(0)=I_2$ este neutrul lui $G$. Opusul lui $x$ merge în inversul lui $A(x)$, deci $A(x{)}^{-1}=A(-x)$. În fine, din $f(x^k)=f(x{)}^k$ scris aditiv la plecare, $f(nx)=f(x{)}^n$, obținem $A(x{)}^n=A(nx)$ pentru orice $n\in \mathbb{Z}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\ast y=x+y-3$. a) Arătați că $(\mathbb{R},\ast )$ este grup comutativ. b) Arătați că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},\ast )$, $f(x)=x+3$, este morfism de grupuri. c) Calculați $\underset{10\text{ factori}}{\underbrace{5\ast 5\ast \cdots \ast 5}}$.

Rezolvare. a) Legea este bine definită pe $\mathbb{R}$. Asociativitatea: $(x\ast y)\ast z=(x+y-3)+z-3=x+y+z-6$, iar $x\ast (y\ast z)=x+(y+z-3)-3=x+y+z-6$; expresiile coincid. Comutativitatea e evidentă, fiindcă adunarea este comutativă. Element neutru: căutăm $e$ cu $x\ast e=x$, adică $x+e-3=x$, de unde $e=3$. Simetricul lui $x$: din $x\ast x^{\prime }=3$ obținem $x+x^{\prime }-3=3$, deci $x^{\prime }=6-x$, număr real pentru orice $x$. Toate cele patru condiții sunt îndeplinite, deci $(\mathbb{R},\ast )$ este grup comutativ.

b) Membrul stâng: $f(x+y)=x+y+3$. Membrul drept: $f(x)\ast f(y)=(x+3)+(y+3)-3=x+y+3$. Sunt egale, deci $f$ este morfism. Verificare rapidă a proprietăților: $f(0)=3=e$, iar $f(-x)=3-x$, care este într-adevăr simetricul lui $f(x)=x+3$, pentru că $6-(x+3)=3-x$.

c) Cum $5=f(2)$, iar morfismul duce multiplii în puteri, avem

$$\underset{10}{\underbrace{5\ast 5\ast \cdots \ast 5}}=\underset{10}{\underbrace{f(2)\ast \cdots \ast f(2)}}=f(10\cdot 2)=f(20)=23.$$

Verificare directă, fără morfism: fiecare compunere cu $5$ adaugă $2$ la rezultat, pornind de la $5$; după încă nouă compuneri obținem $5+9\cdot 2=23$. Acest tip de problemă, cu o lege de compoziție și o funcție care o leagă de o operație cunoscută, este printre cele mai frecvente la Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie mai întâi cele două grupuri cu operațiile lor, apoi calculează separat $f(x\cdot y)$ și $f(x)\ast f(y)$. Dacă bănuiești că funcția nu e morfism, caută întâi un contraexemplu numeric — e mai rapid decât orice calcul general.

1. Arată că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=-x$, este morfism de grupuri.

2. Arată că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=2x+1$, nu este morfism, folosind proprietatea elementului neutru.

3. Verifică dacă $f:({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )\to ({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, $f(x)=x^3$, este morfism de grupuri.

4. Fie $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{Z}}_6,+)$, $f(k)=\hat{k}$. Calculează $f(100)$ și $f(-7)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este morfism de grupuri și $f(x)=e^{\prime }$, atunci $x=e$."

6. Arată că $f:({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, $f(z)=|z|$, este morfism de grupuri.

7. Fie $f:(\mathbb{Z},+)\to (U_6,\cdot )$, $f(k)={\epsilon }_1^k$, unde ${\epsilon }_1=\cos \frac{2\pi }{6}+i\sin \frac{2\pi }{6}$. Arată că este morfism și calculează $f(2027)$.

8. Arată că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=x^3$, nu este morfism, dând un contraexemplu numeric.

9. Fie $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ morfism și $x\in G$ cu $x^5=e$. Arată că $f(x{)}^5=e^{\prime }$.

10. (Problemă aplicată.) Un contor de rotații arată numărul de ture modulo $360$ de grade. Explică de ce funcția care asociază numărului de grade rotite poziția afișată este morfism de la $(\mathbb{Z},+)$ la $({\mathbb{Z}}_{360},+)$.

11. Fie $f:(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, $f(x)=2^x$. Arată că este morfism și calculează $f(-3)$ folosind proprietatea simetricului.

12. Determină toate morfismele $f:(\mathbb{Z},+)\to (\mathbb{Z},+)$ de forma $f(k)=ak$, cu $a\in \mathbb{Z}$, și arată că orice morfism de la $(\mathbb{Z},+)$ la $(\mathbb{Z},+)$ are această formă.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Compunerea a două morfisme de grupuri este tot morfism de grupuri."

14. Fie $A(x)=\left(\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right)$. Arată că $f(x)=A(x)$ este morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la grupul acestor matrice, folosind formulele adunării argumentelor.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=x+y+4$. a) Arată că $(\mathbb{R},\ast )$ este grup comutativ. b) Arată că $f(x)=x-4$ este morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(\mathbb{R},\ast )$. c) Calculează compusul a șapte factori egali cu $-1$.

16. Fie $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ morfism de grupuri. Arată că $f(x^{-2})=(f(x{)}^2{)}^{-1}$ pentru orice $x\in G$.

17. Arată că funcția $f:({\mathbb{Z}}_6,+)\to ({\mathbb{Z}}_6,+)$, $f(\hat{k})=\hat{2}\cdot \hat{k}$, este morfism de grupuri, dar nu este bijectivă.

18. (Provocare.) Fie $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ morfism de grupuri și $H$ un subgrup al lui $G$. Arată că mulțimea $f(H)=\{f(h)\mid h\in H\}$ este subgrup al lui $G^{\prime }$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(x+y)=-(x+y)=-x-y=f(x)+f(y)$, deci $f$ este morfism. Neutrul merge în neutru: $f(0)=0$.

2. Neutrul grupului $(\mathbb{R},+)$ este $0$, iar $f(0)=1\ne 0$. Cum orice morfism duce neutrul în neutru, funcția dată nu poate fi morfism. (Direct: $f(x+y)=2x+2y+1$, iar $f(x)+f(y)=2x+2y+2$.)

3. Da: $f(xy)=(xy{)}^3=x^3{y}^3=f(x)f(y)$, folosind comutativitatea înmulțirii numerelor reale. Este morfism.

4. $100=6\cdot 16+4$, deci $f(100)=\hat{4}$. Pentru $-7$ avem $-7=6\cdot (-2)+5$, deci $f(-7)=\hat{5}$. Verificare cu proprietatea simetricului: $f(7)=\hat{1}$, iar opusul lui $\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_6$ este $\hat{5}$.

5. Fals. Morfismul garantează $f(e)=e^{\prime }$, dar nu și reciproca. Contraexemplu: $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{Z}}_6,+)$, $f(k)=\hat{k}$, are $f(6)=\hat{0}=e^{\prime }$, deși $6\ne 0$. Afirmația devine adevărată doar când $f$ este injectivă.

6. $f(z_1{z}_2)=|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|=f(z_1)f(z_2)$, proprietate a modulului cunoscută din clasa a X-a. Deci modulul este morfism de grupuri.

7. $f(k+l)={\epsilon }_1^{k+l}={\epsilon }_1^k{\epsilon }_1^l=f(k)f(l)$, deci este morfism. Cum $\mathrm{ord}({\epsilon }_1)=6$ și $2027=6\cdot 337+5$, obținem $f(2027)={\epsilon }_1^5={\epsilon }_5$.

8. Pentru $x=y=1$: $f(1+1)=2^3=8$, dar $f(1)+f(1)=1+1=2$. Cum $8\ne 2$, funcția nu este morfism al grupului aditiv.

9. Din teorema de la punctul $5$, $f(x^5)=f(x{)}^5$. Dar $x^5=e$, deci $f(x^5)=f(e)=e^{\prime }$. Prin urmare $f(x{)}^5=e^{\prime }$. (Observă că ordinul lui $f(x)$ divide $5$, fără să fie neapărat egal cu $5$.)

10. Rotirea cu $a$ grade urmată de rotirea cu $b$ grade înseamnă în total $a+b$ grade, iar afișajul arată clasa lui $a+b$ modulo $360$. Cum clasa sumei este suma claselor, funcția $f(a)=\hat{a}$ verifică $f(a+b)=f(a)+f(b)$, deci este morfism.

11. $f(x+y)=2^{x+y}=2^x\cdot 2^y=f(x)f(y)$, deci este morfism. Din proprietatea simetricului, $f(-3)=(f(3){)}^{-1}=\frac{1}{8}$.

12. Fiecare funcție $f(k)=ak$ verifică $f(k+l)=a(k+l)=ak+al$, deci e morfism. Reciproc, fie $f$ un morfism oarecare și $a=f(1)$. Din $f(k)=f(\underset{k}{\underbrace{1+\cdots +1}})=kf(1)=ak$ pentru $k$ natural, iar din $f(-k)=-f(k)$ egalitatea se extinde la întregii negativi; în plus $f(0)=0$. Deci orice morfism are forma $f(k)=ak$.

13. Adevărat, demonstrat la punctul $7$ al lecției: $(g\circ f)(xy)=g(f(x)\ast f(y))=(g\circ f)(x)\perp (g\circ f)(y)$, folosind pe rând că $f$ și $g$ sunt morfisme.

14. $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, pentru că înmulțind matricele apar exact $\cos x\cos y-\sin x\sin y=\cos (x+y)$ și $\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sin (x+y)$. Deci $f(x+y)=f(x)f(y)$ și $f$ este morfism; el arată că rotirea cu $x$ urmată de rotirea cu $y$ este rotirea cu $x+y$.

15. a) Asociativitatea: ambele paranteze dau $x+y+z+8$. Comutativitatea rezultă din cea a adunării. Neutrul: $x+e+4=x$ dă $e=-4$. Simetricul: $x+x^{\prime }+4=-4$ dă $x^{\prime }=-8-x$. Deci $(\mathbb{R},\ast )$ e grup comutativ. b) $f(x+y)=x+y-4$, iar $f(x)\ast f(y)=(x-4)+(y-4)+4=x+y-4$; egale, deci morfism. c) Cum $-1=f(3)$, compusul a șapte factori este $f(7\cdot 3)=f(21)=17$. Verificare: fiecare compunere cu $-1$ adaugă $3$, deci $-1+6\cdot 3=17$.

16. Din teorema puterilor, $f(x^{-2})=f(x{)}^{-2}$. Iar $f(x{)}^{-2}=(f(x{)}^2{)}^{-1}$, pentru că inversul unei puteri este puterea inversului, cu exponentul schimbat de semn. Egalitatea cerută rezultă imediat.

17. $f(\hat{k}+\hat{l})=\hat{2}(\hat{k}+\hat{l})=\hat{2}\hat{k}+\hat{2}\hat{l}=f(\hat{k})+f(\hat{l})$, folosind distributivitatea înmulțirii față de adunare în ${\mathbb{Z}}_6$; deci $f$ este morfism. Nu este bijectivă, pentru că $f(\hat{0})=\hat{0}$ și $f(\hat{3})=\hat{6}=\hat{0}$: două elemente diferite au aceeași imagine.

18. Mulțimea $f(H)$ nu este vidă, pentru că $e$ aparține lui $H$, iar imaginea lui, $e^{\prime }$, aparține atunci lui $f(H)$. Fie $f(h_1)$ și $f(h_2)$ două elemente ale ei; atunci $f(h_1)\ast f(h_2)=f(h_1{h}_2)$, iar $h_1{h}_2\in H$, deci produsul rămâne în $f(H)$. În fine, $(f(h){)}^{-1}=f(h^{-1})$, iar $h^{-1}\in H$, deci și inversul rămâne în $f(H)$. Criteriul de subgrup este verificat.

De reținut

• Un morfism de grupuri $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este o funcție care verifică $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$ pentru orice două elemente ale grupului de plecare.
• Orice morfism de grupuri duce elementul neutru în elementul neutru, adică $f(e)=e^{\prime }$, iar demonstrația pornește de la egalitatea $e\cdot e=e$.
• Orice morfism de grupuri duce simetricul unui element în simetricul imaginii lui, adică $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$, pentru că simetricul într-un grup este unic.
• Pentru orice exponent întreg are loc egalitatea $f(x^k)=f(x{)}^k$, demonstrată prin inducție pentru exponenți naturali și extinsă la cei negativi.
• Morfismele remarcabile de reținut sunt logaritmul, determinantul, semnul permutării, trecerea la clasa de resturi, exponențiala și familiile de matrice cu $A(x)A(y)=A(x+y)$.

Greșeli frecvente

• Verificarea pe un singur exemplu numeric. O coincidență pentru $x=1$ și $y=2$ nu demonstrează nimic; condiția de morfism trebuie verificată pentru $x$ și $y$ oarecare, prin calcul literal. Un exemplu poate doar să infirme, niciodată să confirme.
• Confuzia dintre cele două operații. În $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$, operația din stânga se face în grupul de plecare, cea din dreapta în grupul de sosire. Scrise la fel, ele pot fi complet diferite, ca la logaritm, unde una e înmulțire și cealaltă adunare.
• Presupunerea că $f(e)=e^{\prime }$ face parte din definiție. Este o consecință demonstrată, nu o cerință; la un exercițiu care cere „arătați proprietățile morfismului", ea trebuie dedusă, nu invocată.
• Deducerea injectivității din $f(e)=e^{\prime }$. Faptul că neutrul merge în neutru nu spune nimic despre celelalte elemente; trecerea la clasa de resturi duce infinit de multe numere întregi în aceeași clasă.
• Uitarea că imaginea unei puteri se calculează cu $f(x{)}^k$, nu cu $k\cdot f(x)$. Când grupul de sosire e notat multiplicativ, exponentul rămâne exponent; el devine coeficient doar dacă grupul de sosire e notat aditiv.

Aplică acasă

1. Tabelul logaritmilor. Alege două numere de trei cifre și înmulțește-le pe hârtie. Apoi calculează cu calculatorul $\lg$ pentru fiecare, adună rezultatele și ridică $10$ la puterea obținută. Compară cele două rezultate și explică în două fraze de ce metoda funcționează, folosind cuvântul „morfism".

2. Ceasul de $12$ ore. Alcătuiește un tabel cu $10$ perechi de durate exprimate în ore și verifică, pentru fiecare, că ora afișată de suma duratelor coincide cu suma orelor afișate. Scrie apoi egalitatea generală care exprimă acest fapt.

3. Vânătoarea de contraexemple. Ia funcțiile $f(x)=x+5$, $f(x)=5x$, $f(x)=x^2$, $f(x)=|x|$ și decide, pentru fiecare, dacă este morfism al grupului $(\mathbb{R},+)$, respectiv al grupului $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, acolo unde are sens. Pentru cele care nu sunt, notează contraexemplul numeric.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima noțiune care compară două structuri algebrice, nu una singură. Programa de matematică-informatică o cere la competența XII.CS.5.2, prin activitatea „verificarea faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism de grupuri". Cele două proprietăți demonstrate aici, $f(e)=e^{\prime }$ și $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$, apar în aproape orice barem de la BAC M1 care conține o problemă cu legi de compoziție, iar egalitatea $f(x^k)=f(x{)}^k$ este pasul care transformă un calcul lung într-unul de o linie.

De verificat în caiet: (1) sunt scrise explicit cele două grupuri, cu operațiile lor, înainte de orice calcul; (2) membrul stâng și membrul drept sunt calculate separat și abia apoi comparate; (3) proprietățile sunt deduse, nu presupuse; (4) la contraexemple este dat un calcul numeric concret. Întrebări de control: „Ce înseamnă că o funcție e morfism?"; „De ce duce neutrul în neutru?"; „Dă un exemplu de funcție care nu e morfism"; „Cât este $f(x^3)$ dacă $f$ e morfism?".

Semn că elevul a înțeles: în fața unei legi de compoziție noi, caută singur funcția care o leagă de o operație cunoscută, în loc să reverifice toate axiomele de la zero.

Întrebări frecvente

Ce este un morfism de grupuri? Un morfism de grupuri este o funcție $f:G\to G^{\prime }$ între două grupuri care păstrează operațiile, adică verifică $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$ pentru orice două elemente ale grupului de plecare. Practic, nu contează dacă efectuezi întâi operația și apoi aplici funcția, sau invers: rezultatul e același.

Cum verific dacă o funcție este morfism de grupuri? Scrii cele două grupuri cu operațiile lor, calculezi separat $f(x\cdot y)$ și $f(x)\ast f(y)$ cu litere, nu cu numere, și compari expresiile obținute. Dacă ele coincid pentru orice $x$ și $y$, funcția este morfism; dacă găsești o singură pereche de valori pentru care diferă, nu este.

De ce un morfism duce elementul neutru în elementul neutru? Pentru că din $e\cdot e=e$ rezultă $f(e)=f(e)\ast f(e)$, iar simplificând cu $f(e)$ în grupul de sosire se obține $f(e)=e^{\prime }$. Este o consecință demonstrată a definiției, nu o condiție suplimentară, și se folosește adesea pentru a arăta rapid că o funcție nu este morfism.

Care este formula pentru imaginea unei puteri printr-un morfism? Formula este $f(x^k)=f(x{)}^k$, valabilă pentru orice număr întreg $k$. Se demonstrează prin inducție pentru exponenți naturali, apoi se extinde la cei negativi folosind proprietatea simetricului. Ea permite calcularea unei puteri mari dintr-un grup complicat prin trecerea într-un grup mai simplu.

Ce funcții cunoscute sunt morfisme de grupuri? Cele mai des folosite sunt logaritmul, care duce înmulțirea în adunare, determinantul, care duce înmulțirea matricelor în înmulțirea numerelor, semnul unei permutări, care duce compunerea în înmulțire, trecerea la clasa de resturi modulo $n$ și exponențiala, care duce adunarea în înmulțire.

De ce funcția care adună o constantă nu este morfism? Pentru că nu duce elementul neutru în elementul neutru: dacă $f(x)=x+1$ pe grupul aditiv al numerelor reale, atunci $f(0)=1\ne 0$. Se poate verifica și direct, comparând $f(x+y)=x+y+1$ cu $f(x)+f(y)=x+y+2$; cele două nu coincid niciodată.

Cum apar morfismele în subiectele de Bacalaureat M1? Apar mai ales la Subiectul al II-lea, la problemele cu legi de compoziție: se dă o lege de forma $x\ast y=x+y-a$ sau $x\ast y=xy-ax-ay+b$, se cere verificarea faptului că o funcție anume este morfism, apoi se folosește morfismul pentru calcularea unui compus cu mulți factori.