Mulțimi mărginite și nemărginite: pe scurt

Analiza matematică începe cu o întrebare despre bariere. Un număr $M$ este majorant al mulțimii nevide $A\subseteq \mathbb{R}$ dacă $x\le M$ pentru orice $x\in A$, iar $m$ este minorant dacă $m\le x$ pentru orice $x\in A$. Majoranții nu sunt unici și nu aparțin obligatoriu mulțimii: pentru $A=(0,1)$, numărul $1$ este majorant, dar $1\notin A$. Mulțimea se numește majorată dacă are un majorant, minorată dacă are un minorant și mărginită dacă le are pe amândouă — echivalent, dacă $A\subseteq [m,M]$ sau, în forma cu modul, dacă există $M>0$ cu $|x|\le M$ pentru orice $x\in A$.

La mulțimile date printr-o fracție, tehnica standard este rescrierea $\frac{an+b}{cn+d}=\frac{a}{c}+\frac{k}{cn+d}$: raportul devine o constantă plus ceva mic, iar încadrarea se citește dintr-o privire.

Nemărginirea nu se demonstrează cu un exemplu, ci cu o rețetă: pentru orice $M$ trebuie să produci un element al mulțimii mai mare decât $M$. Este negația definiției, cu cuantificatorii schimbați între ei. Tot aici se rețin două proprietăți ale lui $\mathbb{R}$: conține numere pe care $\mathbb{Q}$ nu le are (precum $\sqrt{2}$), iar raționalele sunt dense — între oricare două numere reale distincte încap o infinitate de raționale și o infinitate de iraționale, deci pe axă nu există niciodată numărul următor.

Exerciții din această mini-lecție

1. Mulțimea $A=\left\{\frac{5n-2}{n+1}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ este inclusă în intervalul:

   • a) $\left[\frac{5}{2},5\right)$
   • b) $\left[\frac{3}{2},5\right)$
   • c) $\left(\frac{3}{2},5\right]$
   • d) $\left[\frac{3}{2},5\right]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left[\frac{3}{2},5\right)$

   Rescriem $\frac{5n-2}{n+1}=\frac{5(n+1)-7}{n+1}=5-\frac{7}{n+1}$. Din $n\ge 1$ avem $n+1\ge 2$, deci $0<\frac{7}{n+1}\le \frac{7}{2}$ și $5-\frac{7}{2}\le x<5$, adică $\frac{3}{2}\le x<5$. Capătul $\frac{3}{2}$ se atinge la $n=1$ (deci paranteză închisă), iar $5$ nu se atinge niciodată (deci paranteză deschisă).

2. Care dintre următoarele mulțimi nu este mărginită?

   • a) $\left\{\frac{2n}{n+1}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$
   • b) $\{x\in \mathbb{R}\mid x^2\le 5\}$
   • c) $\{(-1{)}^n\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$
   • d) $\left\{\frac{n^2}{n+1}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\left\{\frac{n^2}{n+1}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$

   Din $\frac{n^2}{n+1}>\frac{n^2}{2n}=\frac{n}{2}$ pentru $n\ge 1$, elementele depășesc orice prag $M$ (alegem $n>2M$), deci mulțimea nu este majorată. Celelalte trei sunt mărginite: $0<\frac{2n}{n+1}<2$, apoi $\{x\in \mathbb{R}\mid x^2\le 5\}=\left[-\sqrt{5},\sqrt{5}\right]$, iar a treia are doar elementele $-1$ și $1$.

3. Pentru a demonstra că o mulțime $B$ nu este majorată, trebuie să arăți că:

   • a) pentru orice $M\in \mathbb{R}$ există $x\in B$ cu $x>M$
   • b) există $x\in B$ cu $x>10^{100}$
   • c) există $M\in \mathbb{R}$ astfel încât $x>M$ pentru orice $x\in B$
   • d) $B$ conține elemente oricât de apropiate de $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) pentru orice $M\in \mathbb{R}$ există $x\in B$ cu $x>M$

   „$B$ este majorată” înseamnă „există $M$ astfel încât $x\le M$ pentru orice $x\in B$”; negația schimbă cuantificatorii între ei și strictează inegalitatea. Varianta b) nu spune nimic: și mulțimea $\left[0,10^{200}\right]$ conține un astfel de element, dar este mărginită. Varianta c) este chiar definiția minorării, nu negația majorării.