Mulțimea numerelor reale. Mulțimi mărginite și nemărginite

Un senzor montat pe un pod măsoară, din secundă în secundă, cât se lasă tablierul sub greutatea mașinilor. După o lună, inginerul are milioane de valori. El nu se uită la fiecare: se uită la o singură întrebare — există o valoare pe care măsurătorile nu au depășit-o niciodată? Dacă da, podul e în siguranță; dacă nu, e nevoie de intervenție. Inginerul nu caută valoarea cea mai mare înregistrată, ci o barieră de care mulțimea valorilor nu trece.

Cu această întrebare începe analiza matematică, iar cu ea începe și capitolul pe care îl deschizi acum. În algebră ai calculat cu numere reale; de aici încolo vei studia cum se așază numerele reale unele față de altele: cine mărginește pe cine, cât de dens umplu ele axa, unde se îngrămădesc. Sunt noțiunile pe care se sprijină tot ce urmează în clasa a XI-a — limite de șiruri, limite de funcții, continuitate, derivate. Merită construite temeinic, pentru că nicio lecție de mai târziu nu le mai reia de la zero.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce numerele raționale nu ajung și ce anume adaugă mulțimea $\mathbb{R}$ față de $\mathbb{Q}$.
• Vei ști să folosești relația de ordine pe $\mathbb{R}$ și proprietățile ei de compatibilitate cu adunarea și cu înmulțirea.
• Vei ști să enunți și să folosești densitatea lui $\mathbb{Q}$ în $\mathbb{R}$: între oricare două numere reale distincte se află un număr rațional (și un număr irațional).
• Vei ști să recunoști un majorant și un minorant al unei mulțimi și să decizi dacă o mulțime este majorată, minorată sau mărginită.
• Vei ști să demonstrezi mărginirea folosind caracterizarea cu modul: $A$ este mărginită dacă și numai dacă există $M>0$ cu $|x|\le M$ pentru orice $x\in A$.
• Vei ști să demonstrezi că o mulțime este nemărginită, negând corect definiția.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ajung numerele raționale

Ai construit, an de an, un lanț de mulțimi de numere, fiecare apărută pentru că cea dinainte era prea săracă: $$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}.$$ $\mathbb{Z}$ a apărut pentru că $3-5$ nu avea răspuns în $\mathbb{N}$; $\mathbb{Q}$, pentru că $2x=3$ nu avea răspuns în $\mathbb{Z}$. Ce lipsă a mai rămas după $\mathbb{Q}$?

Răspunsul îl dă o problemă de geometrie: diagonala pătratului cu latura $1$. Din teorema lui Pitagora, lungimea ei $d$ verifică $d^2=2$. Un astfel de număr nu este rațional — ai demonstrat asta prin metoda reducerii la absurd: dacă $d=\frac{p}{q}$ cu fracția ireductibilă, atunci $p^2=2q^2$, deci $p$ e par, $p=2k$, deci $4k^2=2q^2$, adică $q^2=2k^2$ și $q$ e par — contradicție cu ireductibilitatea.

Așadar $\mathbb{Q}$ are găuri: pe axă există un punct la distanța $d$ de origine, dar niciun număr rațional nu îl numește. Mulțimea $\mathbb{R}$ este exact mulțimea care astupă toate aceste găuri. Numerele din $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ se numesc iraționale: $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{5}$, $\pi$, ${\log }_{2}3$.

Din punctul de vedere al analizei, proprietatea decisivă a lui $\mathbb{R}$ nu e „conține radicali", ci completitudinea: orice mulțime nevidă și majorată de numere reale are o cea mai mică barieră superioară, tot număr real. O vei enunța riguros în lecția Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți; aici pregătim vocabularul de care ai nevoie ca să o poți formula.

2. Axa reală și relația de ordine

Pe $\mathbb{R}$ avem o relație de ordine $\le$ cu trei proprietăți pe care le folosești automat, dar merită numite:

• totală (trihotomie): pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ are loc exact una dintre $x<y$, $x=y$, $x>y$;
• tranzitivă: din $x<y$ și $y<z$ rezultă $x<z$;
• compatibilă cu operațiile: din $x<y$ rezultă $x+z<y+z$ pentru orice $z$; din $x<y$ și $c>0$ rezultă $cx<cy$, iar din $x<y$ și $c<0$ rezultă $cx>cy$.

Ultima linie conține regula care produce cele mai multe greșeli la inecuații: înmulțirea cu un număr negativ schimbă sensul inegalității. La fel, trecerea la invers: din $0<x<y$ rezultă $\frac{1}{x}>\frac{1}{y}$.

Reprezentarea geometrică a lui $\mathbb{R}$ este axa reală: o dreaptă pe care am fixat originea $O$ (numărul $0$), sensul pozitiv și unitatea de măsură. Fiecărui număr real îi corespunde exact un punct și reciproc — o corespondență fără găuri și fără dubluri. Distanța dintre punctele de abscise $x$ și $y$ este $|x-y|$, unde modulul e cel studiat la funcția modul.

3. Densitatea lui $\mathbb{Q}$ în $\mathbb{R}$

Iată o proprietate care schimbă felul în care privești axa.

Teoremă (densitatea lui $\mathbb{Q}$ în $\mathbb{R}$). Între oricare două numere reale distincte se află cel puțin un număr rațional: dacă $a<b$, atunci există $r\in \mathbb{Q}$ cu $a<r<b$.

Demonstrație. Cum $b-a>0$, putem alege un număr natural $n$ cu $\frac{1}{n}<b-a$ (numerele naturale nu sunt majorate, deci există $n$ mai mare decât $\frac{1}{b-a}$). Luăm apoi $k=\lfloor na\rfloor +1$, unde $\lfloor \cdot \rfloor$ este partea întreagă. Din definiția părții întregi, $na<k\le na+1$, deci $$a<\frac{k}{n}\le a+\frac{1}{n}<a+(b-a)=b.$$ Numărul $r=\frac{k}{n}$ este rațional și satisface $a<r<b$. $■$

Exemplu numeric. Între $a=\frac{1}{3}$ și $b=\frac{1}{2}$: diferența e $\frac{1}{6}$, iar $n=8$ merge, fiindcă $\frac{1}{8}<\frac{1}{6}$. Atunci $k=\lfloor \frac{8}{3}\rfloor +1=2+1=3$, deci $r=\frac{3}{8}$. Într-adevăr, $\frac{1}{3}<\frac{3}{8}<\frac{1}{2}$.

Aceeași proprietate o au și numerele iraționale: dacă $a<b$, atunci $a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}$ este irațional și se află strict între $a$ și $b$. Așadar și $\mathbb{Q}$, și $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ sunt dense în $\mathbb{R}$: în orice bucată de axă, oricât de scurtă, se înghesuie o infinitate de raționale și o infinitate de iraționale.

Consecința de reținut: pe axa reală nu există „numărul următor". La numere naturale, după $7$ vine $8$; la numere reale, între $7$ și orice candidat la titlul de „următorul" încape încă o infinitate de numere. De aceea, la analiză, nu se vorbește niciodată despre „valoarea imediat următoare", ci despre apropiere oricât de mare — ideea din care se va naște limita.

4. Intervalele, cărămizile mulțimilor de numere reale

Cele mai simple submulțimi ale lui $\mathbb{R}$ sunt intervalele. Le grupăm după cum au sau nu capete finite:

Atenție la un amănunt de scriere: la capătul $\pm \infty$ paranteza este întotdeauna rotundă, pentru că $+\infty$ nu este un număr real și nu poate aparține unei mulțimi de numere reale. Simbolurile $-\infty$ și $+\infty$ primesc statut de „puncte" abia în lecția următoare, pe dreapta reală încheiată.

5. Majorant și minorant

Definiție. Fie $A\subseteq \mathbb{R}$ o mulțime nevidă.

• Un număr $M\in \mathbb{R}$ se numește majorant al lui $A$ dacă $x\le M$ pentru orice $x\in A$.
• Un număr $m\in \mathbb{R}$ se numește minorant al lui $A$ dacă $m\le x$ pentru orice $x\in A$.

Două observații care se rețin din prima:

1. Un majorant nu e obligatoriu în mulțime. Pentru $A=(0,1)$, numărul $1$ este majorant, dar $1\notin A$. Iar pentru $A=[0,1]$, majorantul $1$ este chiar în mulțime.
2. Majoranții nu sunt unici. Dacă $M$ e majorant, atunci și $M+1$, și $M+100$ sunt majoranți. Mulțimea majoranților lui $(0,1)$ este $[1,+\infty )$ — interesant este cel mai mic dintre ei, dar acela e subiectul lecției următoare.

Exemplu. Pentru $A=\left\{\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \right\}$: numărul $1$ este majorant (și aparține mulțimii), iar $0$ este minorant (și nu aparține mulțimii, fiindcă $\frac{1}{n}>0$ pentru orice $n$). Sunt majoranți și $2$, și $17$; sunt minoranți și $-5$, și $-0,001$.

6. Mulțimi majorate, minorate, mărginite

Definiție. O mulțime nevidă $A\subseteq \mathbb{R}$ se numește:

• majorată (mărginită superior) dacă are cel puțin un majorant;
• minorată (mărginită inferior) dacă are cel puțin un minorant;
• mărginită dacă este și majorată, și minorată;
• nemărginită dacă nu este mărginită.

Scris cu cuantificatori, „$A$ este mărginită" înseamnă $$\exists m,M\in \mathbb{R}\text{astfel ıˆncaˆt}m\le x\le M\text{pentru orice}x\in A,$$ adică $A\subseteq [m,M]$: o mulțime este mărginită exact atunci când încape într-un interval închis și mărginit. Este imaginea de care merită să te ții minte — restul sunt rescrieri ale ei.

Noțiunea nu e chiar nouă: la mărginire, convexitate și concavitate ai citit mărginirea unei funcții de pe grafic. Legătura e directă: o funcție $f$ este mărginită exact atunci când mulțimea valorilor ei, $\mathrm{Im}f$, este o mulțime mărginită de numere reale. Aici tratăm mulțimea de numere singură, fără graficul care o produce.

7. Caracterizarea mărginirii cu modul

În practică, condiția cu doi parametri $m$ și $M$ se înlocuiește cu una singură.

Propoziție. Mulțimea nevidă $A\subseteq \mathbb{R}$ este mărginită dacă și numai dacă există $M>0$ astfel încât $|x|\le M$ pentru orice $x\in A$.

Demonstrație. „$\Leftarrow$": din $|x|\le M$ rezultă $-M\le x\le M$, deci $-M$ e minorant și $M$ e majorant; $A$ e mărginită.

„$\Rightarrow$": dacă $m\le x\le M_0$ pentru orice $x\in A$, luăm $M=\max \{|m|,|M_0|\}$, număr strict pozitiv dacă mulțimea nu se reduce la $\{0\}$ (caz în care orice $M>0$ merge). Atunci $x\le M_0\le M$ și $x\ge m\ge -M$, deci $-M\le x\le M$, adică $|x|\le M$. $■$

Geometric, $|x|\le M$ înseamnă „$x$ se află la distanță cel mult $M$ de origine". Deci: o mulțime e mărginită exact când toate elementele ei stau într-un segment centrat în $0$.

Exemplu. $A=\left\{\frac{3n-1}{n+2}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. Scriem termenul general altfel: $$\frac{3n-1}{n+2}=\frac{3(n+2)-7}{n+2}=3-\frac{7}{n+2}.$$ Cum $n\ge 1$, avem $0<\frac{7}{n+2}\le \frac{7}{3}$, deci $3-\frac{7}{3}\le x<3$, adică $\frac{2}{3}\le x<3$. Prin urmare $|x|<3$ pentru orice $x\in A$: mulțimea e mărginită. Verificarea pe primii termeni: $\frac{2}{3},\frac{5}{4},\frac{8}{5},\frac{11}{6},2,\dots$ — toți în $\left[\frac{2}{3},3\right)$.

Rescrierea $\frac{an+b}{cn+d}=\frac{a}{c}+\frac{\text{constanta˘}}{cn+d}$ este tehnica standard a acestui capitol: transformă un raport într-o constantă plus ceva mic. O vei folosi la mărginire, la monotonie și, mai târziu, la limite.

8. Cum demonstrezi că o mulțime este nemărginită

Aici se greșește cel mai des, pentru că trebuie negată corect o propoziție cu cuantificatori — exact operația exersată la negarea propozițiilor cu cuantificatori.

„$A$ este majorată" se scrie: $\exists M\in \mathbb{R}$ astfel încât $\forall x\in A$, $x\le M$.

Negația ei, adică „$A$ nu este majorată", este: $$\forall M\in \mathbb{R},\exists x\in A\text{astfel ıˆncaˆt}x>M.$$

Tradus în limbaj de lucru: oricât de sus ai pune bariera, mulțimea o depășește. Deci demonstrația de nemărginire nu se face arătând un exemplu de element mare, ci arătând o rețetă care, pentru orice $M$ dat, produce un element mai mare decât $M$.

Exemplu. $A=\left\{n^2|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ nu e majorată: fie $M\in \mathbb{R}$ oarecare; alegem $n$ un număr natural mai mare decât $|M|+1$; atunci $n^2\ge n>M$. Rețeta funcționează pentru orice $M$, deci mulțimea e nemărginită superior. (Este minorată, de exemplu de $0$.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Majoranți, minoranți, mărginire

Se consideră $A = \left{ \dfrac{1}{n} \ \middle|\ n \in \mathbb{N}^{} \right}$.Ar\breve{a}tațic\breve{a}$A$ este mărginită și dați câte doi majoranți și doi minoranți.*

Rezolvare. Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ avem $n\ge 1$, deci $0<\frac{1}{n}\le 1$. Prin urmare $1$ este majorant, iar $0$ este minorant; mulțimea e și majorată, și minorată, deci mărginită, cu $A\subseteq [0,1]$.

Alți majoranți: $2$, $10$. Alți minoranți: $-1$, $-\frac{1}{2}$. Observă că majorantul $1$ aparține mulțimii (se obține pentru $n=1$), pe când minorantul $0$ nu aparține: $\frac{1}{n}$ nu se anulează niciodată.

Exemplul 2 — Mărginirea unei mulțimi de tip raport

Arătați că $B = \left{ \dfrac{2n+1}{n+3} \ \middle|\ n \in \mathbb{N}^{} \right}$ este mărginită și găsiți un interval care o conține.*

Rezolvare. Rescriem termenul general: $$\frac{2n+1}{n+3}=\frac{2(n+3)-5}{n+3}=2-\frac{5}{n+3}.$$ Din $n\ge 1$ rezultă $n+3\ge 4$, deci $0<\frac{5}{n+3}\le \frac{5}{4}$. Atunci $$2-\frac{5}{4}\le \frac{2n+1}{n+3}<2,\text{adica˘}\frac{3}{4}\le \frac{2n+1}{n+3}<2.$$ Deci $B\subseteq \left[\frac{3}{4},2\right)$ și $|x|<2$ pentru orice $x\in B$: mulțimea e mărginită. Verificare: primii termeni sunt $\frac{3}{4},\frac{5}{5}=1,\frac{7}{6},\frac{9}{7}$ — toți în intervalul găsit.

Exemplul 3 — O mulțime nemărginită în ambele sensuri

Arătați că $C = \left{ (-1)^n \cdot n \ \middle|\ n \in \mathbb{N}^{} \right}$ nu este nici majorată, nici minorată.*

Rezolvare. Elementele lui $C$ sunt $-1,2,-3,4,-5,\dots$

Nu e majorată: fie $M\in \mathbb{R}$; alegem $n$ par, mai mare decât $|M|+1$. Atunci $(-1{)}^{n}n=n>M$.

Nu e minorată: fie $m\in \mathbb{R}$; alegem $n$ impar, mai mare decât $|m|+1$. Atunci $(-1{)}^{n}n=-n<m$.

Deci $C$ este nemărginită. Reține procedeul: la mulțimile cu $(-1{)}^n$ se lucrează separat pe rangurile pare și pe cele impare.

Exemplul 4 — Mulțime dată printr-o condiție

Determinați dacă mulțimile $D=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2\le 3\}$ și $E=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2>4\}$ sunt mărginite.

Rezolvare. Inecuația $x^2\le 3$ se scrie $|x|\le \sqrt{3}$, deci $D=\left[-\sqrt{3},\sqrt{3}\right]$: mulțime mărginită, cu majorantul $\sqrt{3}$ și minorantul $-\sqrt{3}$.

Inecuația $x^2>4$ se scrie $|x|>2$, deci $E=(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$: mulțime nemărginită în ambele sensuri. Pentru orice $M$, numărul $|M|+3$ aparține lui $E$ și e mai mare decât $M$.

Exemplul 5 — O mulțime mărginită de numere raționale, fără majorant rațional minim

Se consideră $F=\{x\in \mathbb{Q}\mid x>0,x^2<2\}$. Arătați că $F$ este mărginită.

Rezolvare. Din $x>0$ rezultă că $0$ este minorant. Pentru majorant: dacă $x\in F$, atunci $x^2<2<\frac{9}{4}$, deci $x<\frac{3}{2}$ (funcția de ridicare la pătrat păstrează ordinea pe numere pozitive). Așadar $F\subseteq \left[0,\frac{3}{2}\right)$: mulțime mărginită.

Merită observat ce se întâmplă dacă încerci să găsești cel mai mic majorant rațional: $\frac{3}{2}$ merge, $\frac{7}{5}=1,4$ nu (fiindcă $1,96<2$, deci $1,4$ e chiar în mulțime), $\frac{141}{100}$ merge, $\frac{1414}{1000}$ nu… Șirul de încercări se apropie de $\sqrt{2}$, care nu e rațional. Acesta e chipul concret al „găurii" din $\mathbb{Q}$ despre care vorbeam în secțiunea $1$ — și motivul pentru care completitudinea lui $\mathbb{R}$ este o proprietate, nu o evidență.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $G = \left{ \dfrac{n+1}{n+2} \ \middle|\ n \in \mathbb{N}^{} \right}$.* a) Calculați primele trei elemente ale mulțimii $G$. b) Arătați că $\frac{2}{3}\le x<1$ pentru orice $x\in G$. c) Arătați că $1$ este majorant al lui $G$, dar niciun număr $M<1$ nu este majorant al lui $G$.

Rezolvare.

a) Pentru $n=1,2,3$ obținem $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$.

b) Rescriem: $\frac{n+1}{n+2}=\frac{(n+2)-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$. Din $n\ge 1$ rezultă $n+2\ge 3$, deci $0<\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{3}$. Scăzând din $1$: $$1-\frac{1}{3}\le 1-\frac{1}{n+2}<1,\text{adica˘}\frac{2}{3}\le x<1.$$

c) Din punctul b), $x<1$ pentru orice $x\in G$, deci $1$ este majorant.

Fie acum $M<1$. Notăm $\epsilon =1-M>0$ și căutăm un element al lui $G$ mai mare decât $M$, adică un $n$ cu $1-\frac{1}{n+2}>1-\epsilon$, adică $\frac{1}{n+2}<\epsilon$, adică $n+2>\frac{1}{\epsilon }$. Un asemenea $n$ natural există întotdeauna, deci $M$ nu este majorant. Prin urmare $1$ este cel mai mic majorant al lui $G$ — noțiune pe care lecția următoare o va numi margine superioară. Verificare pentru $M=0,99$: $\epsilon =0,01$, deci $n+2>100$; pentru $n=99$ obținem $\frac{100}{101}>0,99$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare mulțime dată prin formulă, rescrie mai întâi termenul general sub forma „constantă plus ceva mic" — e pasul care face restul aproape automat.

1. Scrie trei majoranți și trei minoranți pentru mulțimea $A=(-2,7]$. Care dintre ei aparțin mulțimii?

2. Decide dacă mulțimea $B=\{-3,0,1,4,9\}$ este mărginită și indică un $M>0$ cu $|x|\le M$ pentru orice $x\in B$.

3. Arată că mulțimea $\mathbb{N}$ este minorată, dar nu este majorată.

4. Determină un interval mărginit care conține mulțimea $C=\left\{\frac{2}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$.

5. Rescrie $\frac{3n-1}{n+2}$ sub forma $3-\frac{a}{n+2}$ și determină constanta $a$.

6. Arată că mulțimea $D=\left\{\frac{3n-1}{n+2}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ este mărginită și găsește un interval care o conține.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o mulțime are un majorant, atunci acel majorant aparține mulțimii."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O mulțime finită de numere reale este întotdeauna mărginită."

9. Determină mulțimea $E=\{x\in \mathbb{R}\mid |x-1|\le 4\}$ și decide dacă este mărginită.

10. Arată că mulțimea $F=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2\ge 9\}$ nu este mărginită.

11. Găsește un număr rațional situat strict între $\frac{2}{7}$ și $\frac{3}{10}$, folosind construcția din demonstrația densității.

12. Arată că mulțimea $G=\left\{2+\frac{(-1{)}^n}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ este mărginită, tratând separat rangurile pare și impare.

13. (Problemă aplicată.) Un termostat menține temperatura unei sere între $18$ și $26$ de grade Celsius, iar senzorul înregistrează o valoare pe minut. Scrie mulțimea valorilor posibile ca interval, spune dacă este mărginită și explică ce înseamnă, în context, un majorant.

14. Arată că mulțimea $H=\left\{n-\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ este minorată, dar nu este majorată.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left\{\frac{4n+3}{n+1}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. Arătați că $\frac{7}{2}\le x<4$ pentru orice $x\in A$ și deduceți că $A$ este mărginită.

16. Arată că mulțimea numerelor iraționale nu este mărginită.

17. Fie $A$ și $B$ două mulțimi mărginite. Arată că $A\cup B$ este mărginită. Rămâne concluzia valabilă pentru o reuniune de o infinitate de mulțimi mărginite? Dă un exemplu.

18. (Provocare.) Arată că mulțimea $\left\{\frac{m}{n}|m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },m<n\right\}$ este mărginită, dar conține elemente oricât de apropiate de $1$ și oricât de apropiate de $0$.

Răspunsuri și explicații

1. Majoranți: $7$, $8$, $100$ (orice număr $\ge 7$). Minoranți: $-2$, $-3$, $-10$ (orice număr $\le -2$). Dintre aceștia, doar $7$ aparține mulțimii; $-2$ nu aparține, fiindcă intervalul e deschis la stânga.

2. Mulțimea e finită, deci mărginită: $-3\le x\le 9$ pentru orice element. Cel mai mic $M$ care merge în forma cu modul este $M=9$, fiindcă $|-3|=3\le 9$.

3. $0$ este minorant, fiindcă $n\ge 0$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$. Nu e majorată: pentru orice $M\in \mathbb{R}$, numărul natural $n=\lfloor |M|\rfloor +1$ satisface $n>M$.

4. Din $n\ge 1$ rezultă $0<\frac{2}{n}\le 2$, deci $C\subseteq (0,2]$, mulțime mărginită. Majorantul $2$ aparține lui $C$; minorantul $0$ nu.

5. $\frac{3n-1}{n+2}=\frac{3(n+2)-7}{n+2}=3-\frac{7}{n+2}$, deci $a=7$.

6. Din $n\ge 1$ rezultă $n+2\ge 3$, deci $0<\frac{7}{n+2}\le \frac{7}{3}$ și $\frac{2}{3}\le 3-\frac{7}{n+2}<3$. Așadar $D\subseteq \left[\frac{2}{3},3\right)$: mărginită. Primii termeni: $\frac{2}{3},\frac{5}{4},\frac{8}{5},\frac{11}{6},2$.

7. Fals. Pentru $A=(0,1)$, numărul $1$ este majorant și $1\notin A$. Majorantul e o barieră exterioară; poate să aparțină mulțimii (ca $1$ pentru $[0,1]$), dar nu e obligatoriu.

8. Adevărat. O mulțime finită nevidă are un element cel mai mare și unul cel mai mic (le găsești comparând, pas cu pas, un număr finit de valori), iar acestea sunt majorant, respectiv minorant.

9. $|x-1|\le 4$ înseamnă $-4\le x-1\le 4$, deci $E=[-3,5]$: mărginită, cu $|x|\le 5$ pentru orice $x\in E$.

10. $x^2\ge 9$ înseamnă $|x|\ge 3$, deci $F=(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$. Pentru orice $M\in \mathbb{R}$, numărul $|M|+3$ este în $F$ și e mai mare decât $M$: mulțimea nu e majorată. Analog, $-|M|-3$ arată că nu e minorată.

11. Diferența este $\frac{3}{10}-\frac{2}{7}=\frac{21-20}{70}=\frac{1}{70}$. Alegem $n=100$ (căci $\frac{1}{100}<\frac{1}{70}$) și $k=\lfloor 100\cdot \frac{2}{7}\rfloor +1=28+1=29$. Numărul căutat este $\frac{29}{100}$: într-adevăr, $29\cdot 7=203>200=2\cdot 100$ dă $\frac{29}{100}>\frac{2}{7}$, iar $\frac{29}{100}<\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$.

12. Pentru $n$ par: $2+\frac{1}{n}\le 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$. Pentru $n$ impar: $2-\frac{1}{n}\ge 2-1=1$ (minimul se atinge la $n=1$). Deci $1\le x\le \frac{5}{2}$ pentru orice $x\in G$: mulțime mărginită, $|x|\le \frac{5}{2}$.

13. Mulțimea valorilor este inclusă în $[18,26]$, deci este mărginită. Un majorant, de pildă $26$, înseamnă în context o garanție tehnică: temperatura nu a depășit niciodată această valoare. Orice număr mai mare, de exemplu $30$, e tot majorant — dar o garanție mai slabă, pentru că spune mai puțin.

14. Din $n\ge 1$ rezultă $\frac{1}{n}\le 1$, deci $n-\frac{1}{n}\ge 1-1=0$: mulțimea e minorată de $0$. Nu e majorată: pentru $M$ dat, alegem $n$ natural mai mare decât $|M|+1$; atunci $n-\frac{1}{n}>n-1\ge |M|\ge M$.

15. $\frac{4n+3}{n+1}=\frac{4(n+1)-1}{n+1}=4-\frac{1}{n+1}$. Din $n\ge 1$ rezultă $n+1\ge 2$, deci $0<\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{2}$ și $4-\frac{1}{2}\le x<4$, adică $\frac{7}{2}\le x<4$. Mulțimea e majorată de $4$ și minorată de $\frac{7}{2}$, deci mărginită. Verificare: primii termeni sunt $\frac{7}{2},\frac{11}{3},\frac{15}{4}$.

16. Folosim familia $n\sqrt{2}$, cu $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: fiecare dintre aceste numere este irațional (dacă $n\sqrt{2}$ ar fi rațional, împărțind la $n$ am obține că $\sqrt{2}$ e rațional, fals). Fie acum $M\in \mathbb{R}$; alegând $n$ natural mai mare decât $|M|$, avem $n\sqrt{2}>n>M$, deci mulțimea iraționalelor nu este majorată. Analog, numerele $-n\sqrt{2}$ arată că nu este nici minorată.

17. Dacă $A\subseteq [m_1,M_1]$ și $B\subseteq [m_2,M_2]$, atunci $A\cup B\subseteq [\min \{m_1,m_2\},\max \{M_1,M_2\}]$: reuniunea a două mulțimi mărginite e mărginită (și, prin inducție, a oricărui număr finit). Pentru o infinitate, concluzia cade: fiecare $A_n=[0,n]$ e mărginită, dar reuniunea tuturor este $[0,+\infty )$, nemărginită.

18. Din $0<m<n$ rezultă $0<\frac{m}{n}<1$, deci mulțimea e inclusă în $(0,1)$: mărginită. Elemente oricât de apropiate de $1$: $\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}$, care se apropie de $1$ pe măsură ce $n$ crește. Elemente oricât de apropiate de $0$: $\frac{1}{n}$. Nici $0$, nici $1$ nu aparțin mulțimii — un exemplu foarte bun de mulțime mărginită fără cel mai mare și fără cel mai mic element.

De reținut

• $\mathbb{R}$ astupă găurile lui $\mathbb{Q}$. Numere ca $\sqrt{2}$ sau $\pi$ nu sunt raționale, iar proprietatea care deosebește cu adevărat $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ este completitudinea, enunțată în lecția următoare.
• Densitatea: între oricare două numere reale distincte se află o infinitate de raționale și o infinitate de iraționale. Consecință: pe axa reală nu există „numărul următor".
• Majorant = barieră superioară ($x\le M$ pentru orice $x\in A$); minorant = barieră inferioară. Nu sunt unici și nu aparțin obligatoriu mulțimii.
• Mărginită $=$ majorată și minorată $⟺$ $A\subseteq [m,M]$ $⟺$ există $M>0$ cu $|x|\le M$ pentru orice $x\in A$.
• Nemărginirea se demonstrează cu o rețetă, nu cu un exemplu: pentru orice $M$ trebuie să produci un element al mulțimii mai mare decât $M$.

Greșeli frecvente

• Confunzi majorantul cu cel mai mare element. Pentru $(0,1)$, numărul $1$ e majorant, dar mulțimea nu are cel mai mare element: orice $x\in (0,1)$ este depășit de $\frac{x+1}{2}$, tot din mulțime. „Cel mai mic majorant" este subiectul lecției următoare.
• Demonstrezi nemărginirea arătând un element mare. „Mulțimea conține $10^{100}$, deci e nemărginită" nu e o demonstrație: și $[0,10^{200}]$ conține $10^{100}$, dar e mărginită. Trebuie o rețetă care funcționează pentru orice $M$.
• Uiți că mărginirea cere ambele capete. $\mathbb{N}$ este minorată, dar nu mărginită; $(-\infty ,3]$ este majorată, dar nu mărginită. „Mărginită" înseamnă și majorată, și minorată.
• Scrii $[a,+\infty ]$. Simbolul $+\infty$ nu e număr real, deci nu poate fi capăt închis al unui interval de numere reale: se scrie $[a,+\infty )$.
• Negi greșit definiția. Negația lui „există $M$ cu $x\le M$ pentru orice $x$" nu este „există $M$ cu $x>M$ pentru orice $x$", ci „pentru orice $M$ există $x$ cu $x>M$". Cuantificatorii își schimbă rolul, iar inegalitatea se strictează.

Aplică acasă

1. Zoom pe axă. Desenează un segment de $10$ cm între $0$ și $1$. Marchează $\frac{1}{2}$, apoi $\frac{1}{3}$, apoi $\frac{2}{5}$, apoi $\frac{3}{8}$. Alege apoi două dintre ele, oricât de apropiate, și găsește un rațional între ele cu rețeta din secțiunea $3$. Repetă de trei ori: vei simți, cu creionul, ce înseamnă densitate.

2. Mărginit sau nu, în bucătărie. Notează timp de o zi: temperatura frigiderului, numărul de pași făcuți până la ora curentă, soldul unui cont de economii. Pentru fiecare, spune dacă mulțimea valorilor posibile este mărginită, minorată, majorată — și indică o barieră concretă, cu justificare.

3. Vânătoare de contraexemple. Găsește o mulțime mărginită fără cel mai mare element, una cu cel mai mare element dar fără cel mai mic, și una nemărginită superior, dar minorată. Compară-le cu răspunsurile de la exercițiile $17$ și $18$, apoi verifică-ți intuiția în lecția Mărginirea unui șir.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul de analiză matematică și are un rol de fundație: nu produce, singură, calcule spectaculoase, dar fără vocabularul ei (majorant, minorant, mărginit, densitate) nicio lecție ulterioară despre limite nu poate fi formulată corect.

Ce verifică lecția: (1) folosirea corectă a relației de ordine și a inegalităților; (2) recunoașterea unui majorant, respectiv minorant, și distincția față de „cel mai mare element"; (3) tehnica de rescriere a unui raport sub forma „constantă minus ceva mic", care se folosește apoi la fiecare lecție a capitolului; (4) demonstrarea nemărginirii prin negarea corectă a definiției. Întrebări bune de control: „Dă-mi doi majoranți diferiți pentru mulțimea asta", „De ce nu putem spune care e numărul de după $0,5$?", „Ce trebuie arătat ca să demonstrezi că o mulțime nu e majorată?".

La BAC M1, noțiunile apar aproape întotdeauna împreună cu șirurile: subiectele cer mărginirea unui șir ca pas către convergență, iar rezolvarea începe exact cu încadrarea din această lecție. Semne că elevul a înțeles: rescrie spontan un raport ca $\frac{a}{c}+\frac{k}{cn+d}$ și nu confundă „bariera" cu „valoarea maximă".

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o mulțime de numere reale este mărginită? Înseamnă că are și o barieră superioară, și una inferioară: există numerele $m$ și $M$ astfel încât $m\le x\le M$ pentru orice element $x$ al mulțimii. Echivalent, mulțimea încape într-un interval închis $[m,M]$ sau, în forma cu modul, există $M>0$ cu $|x|\le M$ pentru orice element.

Care e diferența dintre majorant și cel mai mare element al unei mulțimi? Majorantul este orice număr care nu e depășit de niciun element al mulțimii; el poate fi în afara mulțimii și nu e unic. Cel mai mare element trebuie să fie în mulțime. Intervalul $(0,1)$ are majoranți ($1$, $2$, $10$), dar nu are cel mai mare element.

Ce spune densitatea numerelor raționale în mulțimea numerelor reale? Spune că între oricare două numere reale distincte există cel puțin un număr rațional — și, prin repetare, o infinitate. Aceeași proprietate o au și iraționalele. Practic, oricât de mult ai mări axa reală, vezi în orice bucată și raționale, și iraționale.

De ce se spune că mulțimea numerelor raționale are „găuri"? Pentru că există lungimi care nu pot fi scrise ca fracții: diagonala pătratului de latură $1$ are lungimea $\sqrt{2}$, număr irațional. Mulțimea $\{x\in \mathbb{Q}\mid x>0,x^2<2\}$ e mărginită, dar nu are cel mai mic majorant rațional — locul lui e ocupat de $\sqrt{2}$, care lipsește din $\mathbb{Q}$.

Cum demonstrez că o mulțime este nemărginită? Nu arătând un element mare, ci dând o rețetă: pentru orice număr $M$ propus ca barieră, construiești un element al mulțimii mai mare decât $M$ (sau mai mic, dacă demonstrezi că nu e minorată). Rețeta trebuie să funcționeze pentru orice $M$, nu doar pentru câteva valori.

Cum arăt repede că o mulțime de forma $\left\{\frac{an+b}{cn+d}\right\}$ este mărginită? Rescrii termenul general ca $\frac{a}{c}+\frac{k}{cn+d}$, făcând împărțirea. Fracția rămasă este mică și are semn constant, deci încadrarea se citește imediat: obții un capăt din valoarea la $n=1$ și celălalt din $\frac{a}{c}$.

De ce nu se scrie niciodată $[3,+\infty ]$? Pentru că $+\infty$ nu este număr real, deci nu poate fi element al unei mulțimi de numere reale. Se scrie $[3,+\infty )$. Simbolurile $-\infty$ și $+\infty$ capătă statut de puncte abia pe dreapta reală încheiată, în lecția următoare.

Această lecție se cere la examen? Da, dar rareori singură. La Bacalaureat M1 mărginirea apare ca pas într-o problemă de șiruri: se cere încadrarea $m\le a_n\le M$, care apoi se combină cu monotonia. Tehnica de încadrare exersată aici este exact cea cerută în barem.