Nedeterminări: infinit minus infinit, infinit pe infinit: pe scurt

Toate tehnicile sunt aceeași idee: cine domină? Într-o sumă de termeni care cresc nemărginit, unul crește mai repede; îl scoți factor forțat, iar restul tind la $0$ și ies din calcul. Dintre puteri domină exponentul mai mare, dintre exponențiale domină baza mai mare.

Raportul a două polinoame $\frac{P(n)}{Q(n)}$: se împarte la puterea dominantă a numitorului. Grade egale $\Rightarrow$ raportul coeficienților dominanți; numitorul de grad mai mare $\Rightarrow$ limita $0$; numărătorul de grad mai mare $\Rightarrow$ limită infinită, cu semnul dat de raportul coeficienților dominanți.

La radicali, $\sqrt{n^2}$ contează ca $n$ (pentru $n\ge 1$, unde $|n|=n$). La exponențiale se forțează baza cea mai mare; atenție, $5^{n+1}=5\cdot 5^n$.

Pentru $\infty -\infty$: la polinoame, factor forțat cu termenul de grad maxim; la radicali de ordinul doi, amplificare cu conjugata, folosind $\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)=A-B$ (conjugata trebuie să fie nenulă, iar la șiruri e strict pozitivă); la ordinul trei, amplificare cu $a^2+ab+b^2$; la diferențe de fracții, aducere la același numitor. Rezultatul de reținut: $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+an}-n\right)=\frac{a}{2}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2-5n^3}{3n^3+n}$ este:

   • a) $0$
   • b) $-\infty$
   • c) $\frac{5}{3}$
   • d) $-\frac{5}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-\frac{5}{3}$

   Gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $\frac{-5}{3}$. Scris complet, prin împărțire la $n^3$: $\frac{\frac{2}{n^3}-5}{3+\frac{1}{n^2}}\to -\frac{5}{3}$. Semnul minus vine din numărător și este greșeala cea mai frecventă la acest tip de exercițiu.

2. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+10n}-n\right)$ este:

   • a) $5$
   • b) $0$
   • c) $10$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $5$

   Amplificăm cu conjugata $\sqrt{n^2+10n}+n$, strict pozitivă pentru $n\ge 1$: numărătorul devine $\left(n^2+10n\right)-n^2=10n$, deci expresia este $\frac{10n}{n\left(\sqrt{1+\frac{10}{n}}+1\right)}\to \frac{10}{2}=5$. Este cazul particular al formulei $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+an}-n\right)=\frac{a}{2}$, cu $a=10$.

3. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^{n+1}+3}{2^n-1}$ este:

   • a) $1$
   • b) $\frac{1}{2}$
   • c) $2$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $2$

   Se folosește $2^{n+1}=2\cdot 2^n$ și se forțează $2^n$ sus și jos: $\frac{2+\frac{3}{2^n}}{1-\frac{1}{2^n}}\to \frac{2+0}{1-0}=2$, fiindcă ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$. Scrierea $2^{n+1}=2^n+2$ este greșită și strică tot calculul.