Cazurile de nedeterminare infinit minus infinit și infinit supra infinit

Lecția Șiruri cu limită infinită. Operații s-a încheiat cu o listă de șapte scrieri care nu spun nimic: cele șapte cazuri de nedeterminare. Ele nu sunt un obstacol, ci o invitație la prelucrare. Programa de mate-info formulează asta foarte precis: în eliminarea nedeterminărilor accentul cade „pe dezvoltarea creativității elevilor în prelucrarea expresiilor, în vederea obținerii unor operații cu limite care au sens". Cu alte cuvinte: nu limita e greu de calculat, ci forma în care ți-a fost dată expresia; sarcina ta e să o rescrii într-o formă în care tabelul operațiilor devine aplicabil.

Astăzi te ocupi de primele două cazuri, cele mai frecvente la Bacalaureat M1: $\frac{\infty }{\infty }$ și $\infty -\infty$. Vei vedea că, în ciuda aparențelor, nu ai de învățat zece trucuri, ci o singură idee — cine domină? — declinată în patru tehnici: scoaterea forțată a termenului dominant, împărțirea la el, amplificarea cu conjugata și aducerea la același numitor. La final vei avea un arbore de decizie care îți spune, în trei secunde, care dintre ele se aplică.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici termenul dominant al unei expresii — puterea cea mai mare, radicalul cel mai greu, exponențiala cu baza cea mai mare — și să-l scoți forțat factor.
• Vei ști să calculezi limita raportului a două polinoame în $n$, cu discuția completă pe cele trei cazuri de grade.
• Vei ști să tratezi rapoartele care conțin radicali, fără să pierzi condiția $\sqrt{n^2}=n$ valabilă pentru $n\ge 1$.
• Vei ști să calculezi limite de rapoarte de exponențiale, forțând baza cea mai mare.
• Vei ști să elimini nedeterminarea $\infty -\infty$ prin amplificare cu conjugata, inclusiv cu conjugata de ordinul al treilea.
• Vei ști să alegi tehnica potrivită, după un arbore de decizie pe care îl poți reface din memorie.

Hai să descoperim împreună

1. Ideea unică: cine domină?

Toate tehnicile din această lecție sunt aceeași idee îmbrăcată diferit. Într-o sumă de termeni care cresc nemărginit, unul crește mai repede decât ceilalți; îl scoatem factor, iar restul devin șiruri care tind la $0$ și dispar din discuție.

Ce înseamnă, riguros, „a domina"? Spunem că șirul $\left(u_n\right)$ domină șirul $\left(v_n\right)$ dacă raportul $\frac{v_n}{u_n}$ tinde la $0$ — adică dacă, oricât de mult ar crește amândouă, al doilea devine neglijabil față de primul. Cu această definiție, ierarhia de care ai nevoie se citește direct din lecția Limitele șirurilor de tip putere și de tip progresie geometrică:

• dintre două puteri $n^a$ și $n^b$ cu $a>b>0$, prima domină, pentru că $\frac{n^b}{n^a}=n^{b-a}\to 0$, exponentul $b-a$ fiind negativ;
• dintre două exponențiale $p^n$ și $q^n$ cu $p>q>1$, prima domină, pentru că $\frac{q^n}{p^n}={\left(\frac{q}{p}\right)}^n\to 0$, rația $\frac{q}{p}$ fiind subunitară;
• orice exponențială cu baza supraunitară domină orice putere — un fapt pe care îl poți verifica pe cifre imediat (la $n=40$, $2^n$ depășește $n^2$ de peste șase sute de milioane de ori), dar a cărui demonstrație cere criteriul din lecția Criteriul majorării și consecințele lui; până acolo îl folosim doar ca reper intuitiv, niciodată ca pas de rezolvare.

Reține și consecința practică a definiției: dacă $u_n$ domină $v_n$, atunci suma $u_n+v_n$ se scrie $u_n\left(1+\frac{v_n}{u_n}\right)$, iar paranteza tinde la $1$. Aici este toată lecția, într-un rând: suma se comportă ca termenul dominant.

Un exemplu de încălzire, ca să vezi mecanismul gol: $$3n^2-7n+4=n^2\left(3-\frac{7}{n}+\frac{4}{n^2}\right)\to +\infty \cdot 3=+\infty .$$ Paranteza tinde la $3$, factorul forțat la $+\infty$, iar produsul cade sub regula $a\cdot \infty$ cu $a=3\ne 0$ — deci am transformat un $\infty -\infty$ într-o operație permisă. Observă că nu am „aproximat" nimic și nu am renunțat la niciun termen: egalitatea scrisă este exactă pentru orice $n$, iar trecerea la limită s-a făcut abia la final, pe o expresie care are voie să treacă.

2. Nedeterminarea $\frac{\infty }{\infty }$: raportul a două polinoame

Aceasta e forma numărul unu la Bacalaureat M1. Fie $$P(n)=a_p{n}^p+\cdots +a_0,Q(n)=b_q{n}^q+\cdots +b_0,a_p\ne 0,b_q\ne 0.$$ Împărțim numărătorul și numitorul la $n^q$, puterea dominantă a numitorului: $$\frac{P(n)}{Q(n)}=\frac{n^p\left(a_p+\frac{a_{p-1}}{n}+\dots \right)}{n^q\left(b_q+\frac{b_{q-1}}{n}+\dots \right)}=n^{p-q}\cdot \frac{a_p+\frac{a_{p-1}}{n}+\dots }{b_q+\frac{b_{q-1}}{n}+\dots }.$$ A doua fracție tinde la $\frac{a_p}{b_q}$, prin operațiile cu șiruri convergente din lecția Operații cu șiruri convergente. Rămâne factorul $n^{p-q}$, a cărui limită o știi. De aici teorema, pe care merită să o reții ca atare:

Reține formularea în cuvinte, e mai ușor de ținut minte decât literele: compari gradele; dacă sunt egale, răspunsul e raportul coeficienților dominanți; dacă „câștigă" numitorul, limita e $0$; dacă „câștigă" numărătorul, limita e infinită, cu semnul dat de coeficienții dominanți.

Atenție la un detaliu de metodă care se depunctează des: se împarte la puterea dominantă a numitorului, nu a numărătorului. Motivul e simplu — numitorul trebuie să ajungă la o limită finită și nenulă, ca să poți aplica regula câtului pentru șiruri convergente; dacă numitorul ar tinde la $0$ sau la infinit, ai rămâne tot într-o nedeterminare.

Iată câte un exemplu din fiecare dintre cele trei cazuri, ca să vezi tiparul complet:

Grade egale. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-4n^2}{n^2+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n^2}-4}{1+\frac{1}{n}}=\frac{-4}{1}=-4$. Control numeric: pentru $n=1000$ raportul este $\approx -3,996$. ✓

Numitorul mai tare. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n+7}{n^2-3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{2}{n}+\frac{7}{n^2}}{1-\frac{3}{n^2}}=\frac{0}{1}=0$. Numărătorul „se stinge" pentru că fiecare termen al lui a fost împărțit la o putere mai mare decât gradul său.

Numărătorul mai tare. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^3+1}{4n^2+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \frac{1+\frac{1}{n^3}}{4+\frac{1}{n}}=+\infty \cdot \frac{1}{4}=+\infty$. Aici factorul $n^{p-q}=n$ a rămas afară și el este cel care dictează rezultatul; fracția rămasă a devenit un simplu coeficient.

3. Rapoarte cu radicali

Regula nu se schimbă, doar contabilitatea gradelor: $\sqrt{n^2}$ contează ca $n$, $\sqrt{n}$ contează ca $n^{1/2}$, $\sqrt[3]{n^3}$ contează ca $n$. Termenul dominant se scoate de sub radical, cu grijă la o subtilitate care se depunctează: $$\sqrt{9n^2+2n}=\sqrt{n^2\left(9+\frac{2}{n}\right)}=|n|\cdot \sqrt{9+\frac{2}{n}}=n\sqrt{9+\frac{2}{n}},$$ ultima egalitate fiind valabilă pentru că lucrăm cu ranguri naturale, deci $n\ge 1>0$ și $|n|=n$. La șiruri scăpăm ușor; reține însă că egalitatea $\sqrt{x^2}=|x|$ rămâne cea corectă în general.

De aici: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{9n^2+2n}}{3n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\sqrt{9+\frac{2}{n}}}{n\left(3+\frac{1}{n}\right)}=\frac{\sqrt{9}}{3}=1.$$

Pasul de la $\sqrt{9+\frac{2}{n}}$ la $\sqrt{9}$ merită o vorbă: el spune că putem „intra cu limita" sub radical. La nivelul acestui capitol îl acceptăm ca pe o consecință firească a operațiilor cu șiruri convergente, verificabilă pe cifre — pentru $n=10^6$, $\sqrt{9+2\cdot 10^{-6}}=3,00000033\dots$ — iar justificarea completă vine odată cu limitele funcțiilor uzuale.

Un al doilea exemplu, în care radicalul stă la numitor și schimbă cu totul contabilitatea: la $\frac{n+1}{\sqrt{n}}$ numărătorul are gradul $1$, iar numitorul gradul $\frac{1}{2}$. Forțăm $\sqrt{n}$ jos și $n$ sus: $$\frac{n+1}{\sqrt{n}}=\frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)⟶+\infty ,$$ folosind $\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$. Gradul mai mare e sus, deci limita e infinită — exact concluzia pe care o dă și teorema din secțiunea $2$, cu grade fracționare.

4. Rapoarte de exponențiale

Aici dominația se citește după bază, nu după exponent. Se forțează exponențiala cu baza cea mai mare, la numărător și la numitor: $$\frac{2^n+3^n}{3^n+1}=\frac{3^n\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^n+1\right)}{3^n\left(1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right)}=\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+1}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}⟶\frac{0+1}{1+0}=1.$$ Cheia: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$ și ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$, pentru că rațiile sunt subunitare.

O capcană de scriere: $5^{n+1}=5\cdot 5^n$, nu ${\left(5^n\right)}^1$ și nici $5^n+5$. Cu descompunerea corectă, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5^{n+1}+2}{5^n-3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5+\frac{2}{5^n}}{1-\frac{3}{5^n}}=5$.

Convergența este aici spectaculos de rapidă, spre deosebire de cazul polinomial: deja pentru $n=10$ raportul diferă de $5$ cu mai puțin de două milionimi, pentru că $\frac{1}{5^{10}}$ este de ordinul $10^{-7}$. Ține minte contrastul — la rapoartele de polinoame eroarea scade ca $\frac{1}{n}$, deci încet, iar la cele de exponențiale scade geometric.

Există și expresii care amestecă puteri și exponențiale, de pildă $\frac{2^n+n^5}{2^n+1}$. Forțând $2^n$ peste tot se ajunge la $\frac{1+\frac{n^5}{2^n}}{1+\frac{1}{2^n}}$, deci totul s-ar reduce la limita lui $\frac{n^5}{2^n}$ — adică exact la ierarhia anunțată în secțiunea $1$, după care orice exponențială cu baza supraunitară domină orice putere. Demonstrația acelei ierarhii cere un criteriu care se predă abia în lecția Criteriul majorării și consecințele lui, așa că nu rezolvăm aici astfel de limite; le vei relua imediat după lecția aceea. Deocamdată reține doar structura problemei și controlul pe cifre, care e edificator: la $n=100$, $\frac{n^5}{2^n}$ este de ordinul $10^{-20}$.

5. Nedeterminarea $\infty -\infty$: factorul forțat

Prima tehnică e cea din secțiunea $1$, aplicată direct. Când toți termenii sunt puteri ale lui $n$, scoți puterea cea mai mare: $$n^3-5n^2=n^3\left(1-\frac{5}{n}\right)⟶+\infty \cdot 1=+\infty ;2n-n^2=n^2\left(\frac{2}{n}-1\right)⟶+\infty \cdot (-1)=-\infty .$$ Observă cum semnul rezultatului iese din paranteză, nu din intuiție: în al doilea caz paranteza tinde la $-1$, deci produsul la $-\infty$.

De aici regula generală pentru orice expresie polinomială: dacă $P(n)=a_p{n}^p+\cdots +a_0$ cu $a_p\ne 0$, atunci $$\underset{n\to \infty }{\lim }P(n)=+\infty \text{ daca˘ }{a}_p>0,\underset{n\to \infty }{\lim }P(n)=-\infty \text{ daca˘ }{a}_p<0.$$ Cu alte cuvinte: limita unui polinom la infinit este dată exclusiv de termenul de grad maxim, restul fiind figuranți. Demonstrația e o singură linie — se scoate $n^p$ factor forțat, paranteza tinde la $a_p$ — dar concluzia îți scutește jumătate din calculele de examen.

⚠️ Capcana de metodă a acestei secțiuni. Este tentant să scrii „$\lim \left(2n-n^2\right)=\lim 2n-\lim n^2=\infty -\infty$" și să te oprești acolo. Regula „limita diferenței este diferența limitelor" din lecția Operații cu șiruri convergente are o ipoteză pe care aici nu o poți verifica: ea cere ca cele două limite să existe și ca diferența lor să aibă sens în $\overline{\mathbb{R}}$. Când operația nu are sens, regula pur și simplu nu se aplică — de aceea trebuie mai întâi rescrisă expresia și abia apoi trecut la limită, o singură dată, la final.

6. Nedeterminarea $\infty -\infty$: amplificarea cu conjugata

Când în diferență apar radicali, factorul forțat nu mai ajunge: din $\sqrt{n^2+6n}-n$ nu poți scoate nimic care să simplifice. Instrumentul potrivit este expresia conjugată, pe care ai folosit-o la raționalizarea numitorilor în lecția Radicali: proprietăți și expresii conjugate. Identitatea de bază: $$\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)=A-B.$$

Amplificând cu conjugata, diferența de radicali se transformă într-o fracție în care nedeterminarea dispare: $$\sqrt{n^2+6n}-n=\frac{\left(\sqrt{n^2+6n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+6n}+n\right)}{\sqrt{n^2+6n}+n}=\frac{\left(n^2+6n\right)-n^2}{\sqrt{n^2+6n}+n}=\frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}.$$

Verificarea identității, înainte de trecerea la limită: pentru $n=1,2,3,5,7$, expresia $\left(n^2+6n\right)-n^2$ dă respectiv $6,12,18,30,42$, adică exact $6n$. ✓ Numărătorul nu are termeni ascunși.

Acum limita e un raport de tip $\frac{\infty }{\infty }$, tratat cu tehnica din secțiunea $3$: $$\frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}=\frac{6n}{n\left(\sqrt{1+\frac{6}{n}}+1\right)}=\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{n}}+1}⟶\frac{6}{1+1}=3.$$ Control numeric: pentru $n=10^4$, $\sqrt{n^2+6n}-n\approx 2,99955$. ✓

De ce avem voie să amplificăm? Pentru că expresia cu care înmulțim și împărțim, $\sqrt{n^2+6n}+n$, este strict pozitivă pentru orice $n\ge 1$ — deci nenulă. Este singura condiție care se cere, dar ea trebuie spusă: amplificarea cu o expresie care s-ar putea anula nu e o transformare echivalentă. La șiruri verificarea e de obicei imediată (sumă de termeni pozitivi), însă obișnuiește-te să o scrii, pentru că baremele de la Bacalaureat M1 o cer.

Aceeași manevră funcționează pentru două radicale: $\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}$ se amplifică cu $\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}$, numărătorul devine $\left(n^2+n\right)-\left(n^2-n\right)=2n$, iar limita este $\frac{2}{1+1}=1$.

Merită să reții rezultatul general care iese din acest calcul, pentru că apare foarte des ca prim pas al unei probleme mai lungi: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+an}-n\right)=\frac{a}{2},a\in \mathbb{R}.$$ Demonstrația e cea de mai sus, cu $a$ în loc de $6$: numărătorul devine $an$, numitorul $n\left(\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1\right)$, iar raportul tinde la $\frac{a}{2}$. Nu memora formula în locul metodei — memoreaz-o după ce ai făcut metoda de câteva ori, ca instrument de verificare rapidă a propriului rezultat.

⚠️ Când conjugata nu e necesară. Dacă diferența de radicali nu e o nedeterminare, nu o amplifica: $n-\sqrt{n}$ are termenul dominant $n$, deci se rezolvă prin factor forțat, $n\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\to +\infty$.

7. Conjugata de ordinul al treilea

Pentru radicalii de ordinul $3$ identitatea potrivită este $$\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3,$$ deci amplificarea se face cu trinomul $a^2+ab+b^2$, unde $a=\sqrt[3]{\dots }$ și $b$ este celălalt termen. Pentru $\sqrt[3]{n^3+6n^2}-n$, cu $a=\sqrt[3]{n^3+6n^2}$ și $b=n$: $$\sqrt[3]{n^3+6n^2}-n=\frac{\left(n^3+6n^2\right)-n^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{6n^2}{\sqrt[3]{{\left(n^3+6n^2\right)}^2}+n\sqrt[3]{n^3+6n^2}+n^2}.$$ Numitorul are trei termeni, fiecare de „grad" $2$, deci se scoate $n^2$ factor forțat și limita este $\frac{6}{1+1+1}=2$. Control numeric: pentru $n=10^5$ valoarea este $\approx 1,99996$. ✓

Două observații de care ai nevoie ca să nu greșești transferul de la ordinul $2$ la ordinul $3$. Prima: identitatea folosită nu mai este o diferență de pătrate, ci una de cuburi, deci amplificatorul are trei termeni, nu doi — o greșeală des întâlnită este să se amplifice tot cu $a+b$, ceea ce nu elimină radicalul. A doua: trinomul $a^2+ab+b^2$ este strict pozitiv aici (toți termenii sunt pozitivi pentru $n\ge 1$), deci amplificarea este legitimă, la fel ca în secțiunea precedentă.

Verificarea identității, ca de obicei înainte de trecerea la limită: pe perechile $(a,b)=(3,2),(5,1),(7,4),(9,5),(11,6)$, produsul $(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ dă $19,124,279,604,1115$, adică exact $a^3-b^3$. ✓

8. Aducerea la același numitor și arborele de decizie

A treia față a lui $\infty -\infty$ apare la diferențe de fracții. Aici nu ai nevoie de nicio idee nouă: aduni fracțiile și obții un raport de polinoame. $$\frac{n^2}{n+1}-\frac{n^2}{n+2}=\frac{n^2(n+2)-n^2(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2}{n^2+3n+2}⟶1.$$ Observă cum, la numărător, termenii de grad $3$ s-au anulat reciproc — și tocmai acesta este mecanismul oricărei nedeterminări $\infty -\infty$ cu rezultat finit: părțile dominante se sting una pe alta, iar ce rămâne decide răspunsul. Când ele nu se sting, rezultatul e infinit, ca la $n^3-5n^2$.

Același tipar se vede și când unul dintre termeni nu e fracție: la $\frac{n^2+1}{n+2}-n$ scrii $n=\frac{n(n+2)}{n+2}$ și aduni; termenii în $n^2$ dispar, rămâne $\frac{1-2n}{n+2}$, un raport de grade egale.

Iată arborele complet, de reținut ca atare:

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Raport de polinoame de grade egale

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2-n+2}{2n^2+5}$.

Rezolvare. Tipul este $\frac{\infty }{\infty }$. Gradele sunt egale ($p=q=2$), deci limita este raportul coeficienților dominanți. Cu calculul complet, prin împărțire la $n^2$: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2-n+2}{2n^2+5}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{2+\frac{5}{n^2}}=\frac{3}{2}.$$ Control numeric: pentru $n=10^4$ raportul este $\approx 1,49995$. ✓

Exemplul 2 — Raport cu radical

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{4n^2+1}+n}{2n-3}$.

Rezolvare. Scoatem $n$ de sub radical și îl forțăm factor peste tot: $$\frac{\sqrt{4n^2+1}+n}{2n-3}=\frac{n\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}+n}{n\left(2-\frac{3}{n}\right)}=\frac{\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}+1}{2-\frac{3}{n}}⟶\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}.$$ Control numeric: pentru $n=10^5$ valoarea este $\approx 1,500022$. ✓

Exemplul 3 — Raport de exponențiale

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3^n+4^n}{4^n+2}$.

Rezolvare. Baza dominantă este $4$; o forțăm factor sus și jos: $$\frac{3^n+4^n}{4^n+2}=\frac{4^n\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^n+1\right)}{4^n\left(1+\frac{2}{4^n}\right)}=\frac{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+1}{1+2{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}⟶\frac{0+1}{1+0}=1.$$

Exemplul 4 — Diferență cu radical: conjugata

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{4n^2+3n}-2n\right)$.

Rezolvare. Tipul este $\infty -\infty$; amplificăm cu conjugata $\sqrt{4n^2+3n}+2n$. Numărătorul devine $\left(4n^2+3n\right)-4n^2=3n$ — verificat pe valorile $n=1,2,3,5,7$, unde dă $3,6,9,15,21$. ✓ Deci $$\sqrt{4n^2+3n}-2n=\frac{3n}{\sqrt{4n^2+3n}+2n}=\frac{3n}{n\left(\sqrt{4+\frac{3}{n}}+2\right)}⟶\frac{3}{2+2}=\frac{3}{4}.$$

Exemplul 5 — Diferență de fracții

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n^2+1}{n+2}-n\right)$.

Rezolvare. Ambii termeni tind la $+\infty$, deci este $\infty -\infty$. Aducem la același numitor: $$\frac{n^2+1}{n+2}-n=\frac{n^2+1-n(n+2)}{n+2}=\frac{n^2+1-n^2-2n}{n+2}=\frac{1-2n}{n+2}.$$ Am ajuns la un raport de polinoame de grade egale, deci limita este $\frac{-2}{1}=-2$. Control numeric: pentru $n=10^4$ valoarea este $\approx -1,9995$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, $a_n=\sqrt{n^2+4n}-n$. a) Arătați că $a_n=\frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}$ pentru orice $n\ge 1$. b) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$. c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3a_n+1}{a_n+4}$.

Rezolvare.

a) Amplificăm cu conjugata, care este strict pozitivă pentru $n\ge 1$, deci amplificarea e legitimă: $$a_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+4n}+n\right)}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\frac{\left(n^2+4n\right)-n^2}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}.$$

b) Forțăm $n$ factor la numitor: $\sqrt{n^2+4n}+n=n\left(\sqrt{1+\frac{4}{n}}+1\right)$, deci $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+1}=\frac{4}{1+1}=2.$$

c) Șirul $(a_n)$ este convergent, cu limita $2$, iar numitorul $a_n+4$ tinde la $6\ne 0$; prin operațiile cu șiruri convergente, $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3a_n+1}{a_n+4}=\frac{3\cdot 2+1}{2+4}=\frac{7}{6}.$$ Control numeric: pentru $n=10^4$, $a_n\approx 1,9998$ și raportul $\approx 1,16661$, adică $\approx \frac{7}{6}$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi tipul nedeterminării, apoi tehnica aleasă din arborele de decizie și abia la final calculul — este exact structura pe care baremele o punctează pe pași.

1. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n^2+3n}{2n^2-1}$.

2. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+4}{n^3+2}$.

3. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^3-n}{3n^2+5}$.

4. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-4n^2}{n^2+n}$.

5. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{16n^2+n}}{4n+3}$.

6. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n^4-7n^3\right)$.

7. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(5n-n^2\right)$.

8. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+8n}-n\right)$.

9. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2+n}\right)$.

10. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n-\sqrt{n^2-6n}\right)$.

11. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3^n+4^n}{4^n+2}$.

12. (Problemă aplicată.) O colonie de bacterii are, după $n$ ore, $2^{n+2}+1$ indivizi, iar o a doua colonie are $2^n-5$ indivizi. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^{n+2}+1}{2^n-5}$ și explică, în context, ce înseamnă valoarea obținută pentru raportul dintre cele două populații.

13. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n^2}{n+3}-\frac{n^2}{n+5}\right)$.

14. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n^2+5}{n+1}-n\right)$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)=0$."

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice nedeterminare $\infty -\infty$ care conține un radical are rezultat finit."

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $a_n=\sqrt{n^2+6n}-n$, $n\ge 1$. Arătați că $a_n=\frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}$, calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ și apoi $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n+3}{2a_n}$.

18. (Provocare.) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n^3+6n^2}-n\right)$, folosind conjugata de ordinul al treilea.

Răspunsuri și explicații

1. Tip $\frac{\infty }{\infty }$, grade egale ($2$ și $2$): limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{5}{2}$. Scris complet, prin împărțire la $n^2$: $\frac{5+\frac{3}{n}}{2-\frac{1}{n^2}}\to \frac{5}{2}$.

2. Gradul numitorului ($3$) e mai mare decât al numărătorului ($1$), deci limita este $0$. Prin împărțire la $n^3$: $\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{4}{n^3}}{1+\frac{2}{n^3}}\to 0$.

3. Gradul numărătorului ($3$) îl depășește pe al numitorului ($2$), iar raportul coeficienților dominanți este $\frac{2}{3}>0$, deci limita este $+\infty$. Scris complet: $\frac{2n^3-n}{3n^2+5}=n\cdot \frac{2-\frac{1}{n^2}}{3+\frac{5}{n^2}}\to +\infty \cdot \frac{2}{3}$.

4. Grade egale; coeficienții dominanți sunt $-4$ și $1$, deci limita este $-4$. Semnul minus vine din numărător și nu trebuie pierdut: e greșeala numărul unu la acest tip de exercițiu.

5. $\sqrt{16n^2+n}=n\sqrt{16+\frac{1}{n}}$ (pentru $n\ge 1$, unde $|n|=n$), iar $4n+3=n\left(4+\frac{3}{n}\right)$; după simplificarea cu $n$, raportul tinde la $\frac{\sqrt{16}}{4}=1$.

6. Tip $\infty -\infty$; factor forțat cu termenul de grad maxim: $n^4\left(1-\frac{7}{n}\right)\to +\infty \cdot 1=+\infty$. Coeficientul dominant fiind pozitiv, se putea răspunde direct, din regula polinomială.

7. Tot $\infty -\infty$: $n^2\left(\frac{5}{n}-1\right)\to +\infty \cdot (-1)=-\infty$. Aici coeficientul dominant este $-1$, deci limita e $-\infty$ — atenție, termenul de grad maxim este $-n^2$, nu $5n$.

8. Conjugata: numărătorul devine $\left(n^2+8n\right)-n^2=8n$, deci expresia este $\frac{8n}{\sqrt{n^2+8n}+n}=\frac{8}{\sqrt{1+\frac{8}{n}}+1}\to \frac{8}{2}=4$.

9. Conjugata pentru doi radicali: numărătorul devine $\left(n^2+5n\right)-\left(n^2+n\right)=4n$, deci limita este $\frac{4}{1+1}=2$.

10. Numărătorul după amplificare: $n^2-\left(n^2-6n\right)=6n$; limita este $\frac{6}{1+1}=3$.

11. Baza dominantă e $4$: $\frac{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+1}{1+2{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}\to 1$.

12. $2^{n+2}=4\cdot 2^n$, deci raportul este $\frac{4+\frac{1}{2^n}}{1-\frac{5}{2^n}}\to 4$. În context: deși amândouă coloniile cresc nemărginit, raportul lor se stabilizează — prima ajunge să fie, pe termen lung, de exact patru ori mai numeroasă decât a doua. Aceasta este informația utilă biologic, pe care nici una dintre cele două limite luate separat nu o dă.

13. Aducere la același numitor: $\frac{n^2(n+5)-n^2(n+3)}{(n+3)(n+5)}=\frac{2n^2}{n^2+8n+15}\to 2$.

14. $\frac{n^2+5-n(n+1)}{n+1}=\frac{5-n}{n+1}\to -1$ (grade egale, coeficienți dominanți $-1$ și $1$).

15. Adevărat. Amplificând cu conjugata: $\sqrt{n^2+1}-n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}$, un raport cu numărător constant și numitor care tinde la $+\infty$, deci limita este $0$.

16. Fals. Contraexemplu: $n-\sqrt{n}$ este de tip $\infty -\infty$, conține un radical, dar $n\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\to +\infty$. Rezultatul finit apare doar când termenii dominanți se anulează reciproc, ca la $\sqrt{n^2+6n}-n$.

17. Amplificarea cu conjugata dă numărătorul $\left(n^2+6n\right)-n^2=6n$, deci $a_n=\frac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}$. Forțând $n$ la numitor, $a_n=\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{n}}+1}\to \frac{6}{2}=3$. Atunci, prin operații cu șiruri convergente (numitorul tinde la $6\ne 0$), $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n+3}{2a_n}=\frac{3+3}{2\cdot 3}=1$.

18. Cu $a=\sqrt[3]{n^3+6n^2}$ și $b=n$, amplificăm cu $a^2+ab+b^2$ și folosim $(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$. Numărătorul devine $\left(n^3+6n^2\right)-n^3=6n^2$, iar la numitor toți cei trei termeni sunt de „grad" $2$; scoțând $n^2$ factor forțat, fiecare paranteză tinde la $1$, deci limita este $\frac{6}{3}=2$.

De reținut

• Toate tehnicile sunt aceeași idee: identifici termenul dominant și îl scoți factor forțat; ce rămâne tinde la $0$ și iese din calcul.
• Raportul a două polinoame: grade egale $\Rightarrow$ raportul coeficienților dominanți; numitorul de grad mai mare $\Rightarrow$ limita $0$; numărătorul de grad mai mare $\Rightarrow$ limită infinită, cu semnul raportului coeficienților dominanți.
• La radicali, $\sqrt{n^2}$ contează ca $n$ (pentru $n\ge 1$), iar la exponențiale domină baza cea mai mare, nu exponentul.
• Conjugata transformă o diferență de radicali într-o fracție: $\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)=A-B$; pentru ordinul $3$, amplifici cu $a^2+ab+b^2$.
• Diferențele de fracții nu cer nimic nou: le aduci la același numitor și recazi pe raportul de polinoame.

Greșeli frecvente

• Împărțiți la puterea greșită. La $\frac{P(n)}{Q(n)}$ se împarte la puterea dominantă a numitorului. Împărțind la altceva, ajungi la o formă la fel de nedeterminată ca cea de la care ai plecat.
• „Simplifici" radicalul cu termenul liber: $\sqrt{n^2+6n}=n+\sqrt{6n}$ este fals. Radicalul unei sume nu este suma radicalilor; de aceea există conjugata.
• Amplifici cu conjugata acolo unde nu e nedeterminare. La $n-\sqrt{n}$ conjugata complică inutil; termenii nu sunt de același ordin, deci factorul forțat rezolvă imediat.
• Uiți că $5^{n+1}=5\cdot 5^n$. Scrierea $5^n+5^1$ este greșită și strică tot calculul la rapoartele de exponențiale.
• Anunți rezultatul fără semn. La $p>q$ limita este infinită, dar semnul vine din raportul coeficienților dominanți: $\frac{-2n^3+n}{5n^2+1}\to -\infty$, nu $+\infty$.

Aplică acasă

1. Trei coloane, un singur tabel. Pe o pagină de caiet, fă trei coloane: „ce văd", „ce tehnică", „exemplu propriu". Completează cele șapte rânduri din arborele de decizie cu exemple inventate de tine, diferite de cele din lecție. Îl vei folosi la fiecare temă din capitol.

2. Cursa dintre creșteri. Într-un tabelar sau pe hârtie, calculează pentru $n=5,10,20,40$ valorile lui $n^2$, $2^n$ și $n!$. Vezi în cifre ce înseamnă „domină": care rubrică o depășește pe cealaltă și de la ce rang.

3. Verificarea prin conjugată. Alege trei numere naturale mici $k$ și calculează cu calculatorul, pentru $n=1000$, valorile lui $\sqrt{n^2+kn}-n$. Compară-le cu $\frac{k}{2}$ și explică, în două rânduri, de ce apropierea e atât de bună.

Pentru părinți și profesori

Lecția este primul „atelier de tehnici" din capitolul de limite și are un obiectiv metodologic explicit în programă: dezvoltarea creativității în prelucrarea expresiilor. Elevul nu trebuie să memoreze rezultate, ci să dobândească reflexul de a rescrie expresia până când tabelul operațiilor devine aplicabil. Cea mai bună dovadă că a înțeles nu este un răspuns corect, ci propoziția rostită înaintea calculului: „aici domină $n^3$" sau „aici trebuie conjugata".

Ce verifică lecția: (1) clasificarea corectă a tipului de nedeterminare înainte de orice calcul; (2) aplicarea teoremei despre raportul a două polinoame, inclusiv discuția de semn când numărătorul are grad mai mare; (3) mânuirea corectă a conjugatei, cu verificarea numărătorului obținut; (4) contabilitatea gradelor la radicali și dominația după bază la exponențiale. Întrebări bune de control: „De ce împarți la $n^2$ și nu la $n^3$?"; „Cu ce amplifici la $\sqrt{n^2+5n}-n$ și de ce ai voie?"; „Dă-mi un $\infty -\infty$ cu radical care nu are limită finită".

La BAC M1, aceste două cazuri apar în aproape fiecare subiect cu limite de șiruri, foarte des exact în formatul din Exemplul 6: un punct pe rescrierea cu conjugata, un punct pe limită, un punct pe o expresie construită cu șirul obținut. Semne că elevul a înțeles: nu mai calculează limite polinomiale termen cu termen, ci se uită direct la gradul maxim, și nu mai amplifică reflex cu conjugata la orice radical, ci doar când diferența e nedeterminată.

Întrebări frecvente

Cum calculez limita unui raport de două polinoame? Compari gradele. Dacă sunt egale, limita este raportul coeficienților dominanți. Dacă numitorul are gradul mai mare, limita este $0$. Dacă numărătorul are gradul mai mare, limita este infinită, cu semnul dat de raportul coeficienților dominanți. Justificarea completă se scrie împărțind numărătorul și numitorul la puterea dominantă a numitorului.

Ce este expresia conjugată și când o folosesc? Conjugata lui $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ este $\sqrt{A}+\sqrt{B}$, iar produsul lor este $A-B$, adică o expresie fără radicali. O folosești când ai o diferență de radicali de tip $\infty -\infty$: amplificarea transformă diferența într-o fracție în care nedeterminarea dispare.

De ce nu pot scrie că infinit minus infinit face zero? Pentru că $+\infty$ nu este un număr. Trei exemple lămuresc imediat: $(n+5)-n\to 5$, $2n-n\to +\infty$, $n-n^2\to -\infty$. Toate au aceeași scriere formală, dar rezultate diferite — de aceea expresia trebuie prelucrată, nu simplificată.

Cum tratez o limită cu $\sqrt{n^2+an}$? Scoți $n$ de sub radical: $\sqrt{n^2+an}=n\sqrt{1+\frac{a}{n}}$, valabil pentru $n\ge 1$, unde $n$ este pozitiv. Dacă expresia e un raport, forțezi $n$ și la celălalt termen; dacă e o diferență cu $n$, amplifici cu conjugata și obții limita $\frac{a}{2}$.

Care exponențială domină într-un raport? Cea cu baza cea mai mare. Motivul: raportul a două exponențiale cu baze diferite este el însuși o progresie geometrică, ${\left(\frac{q}{p}\right)}^n$, cu rație subunitară dacă $q<p$, deci tinde la $0$. Atenție, nu exponentul decide, ci baza.

Ce fac dacă expresia are și radicali, și fracții, și exponențiale? Aplici tehnicile în ordinea structurii: întâi aduci la același numitor, dacă e o diferență de fracții; apoi identifici termenul dominant al fiecărei părți; abia la final forțezi factorul comun. Arborele de decizie din secțiunea $8$ îți dă ordinea, iar fiecare pas simplifică expresia pentru pasul următor.

Verificarea numerică ține loc de demonstrație? Nu. Calculul valorilor pentru $n$ mare este o plasă de siguranță: îți semnalează dacă ai greșit undeva, dar nu justifică nimic. Rezultatul trebuie obținut prin prelucrare algebrică, iar la Bacalaureat M1 punctele se acordă exact pentru pașii acelei prelucrări.