Noțiunea de primitivă: pe scurt

Funcția $F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. Este problema inversă derivării, iar verificarea se face într-un singur pas: derivezi candidatul și compari cu funcția dată, pe tot intervalul.

Cuvântul „interval” nu poate lipsi. Pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă — este Consecința 1 a teoremei lui Lagrange — deci, dacă $F$ este o primitivă, toate celelalte sunt $F+c$, cu $c\in \mathbb{R}$. Pe o reuniune de intervale afirmația este falsă: pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, două primitive ale lui $\frac{1}{x}$ pot diferi prin constante diferite pe cele două ramuri.

De aici, formularea corectă este „o primitivă a lui $f$”, iar cerința care selectează una singură este o condiție de tipul $F(x_0)=y_0$: scrii forma generală, impui condiția, afli constanta. Tot din $F^{\prime }=f$ vine și cea mai rapidă informație despre grafic: semnul lui $f$ este tabelul de semn al derivatei oricărei primitive, deci monotonia și extremele lui $F$ se citesc direct din semnul lui $f$.

În sfârșit, nu orice funcție admite primitive: cele care sar peste valori, cum este funcția-semn, nu sunt derivata nimănui pe un interval care conține saltul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(2x+3)e^x$, este o primitivă a funcției:

   • a) $f(x)=(2x+3)e^x$
   • b) $f(x)=2e^x$
   • c) $f(x)=(2x+1)e^x$
   • d) $f(x)=(2x+5)e^x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f(x)=(2x+5)e^x$

   Se derivează cu regula produsului: $F^{\prime }(x)=2e^x+(2x+3)e^x=(2x+5)e^x$. Varianta $2e^x$ apare când se derivează doar primul factor, iar $(2x+3)e^x$ când se derivează doar exponențiala; ambele ratează suma celor doi termeni.

2. Pe mulțimea ${\mathbb{R}}^{\ast }$, două primitive ale funcției $f(x)=\frac{1}{x}$:

   • a) diferă întotdeauna printr-o constantă
   • b) pot diferi prin constante diferite pe cele două intervale
   • c) sunt obligatoriu egale
   • d) nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) pot diferi prin constante diferite pe cele două intervale

   Teorema constantei cere ca domeniul să fie interval, iar ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este. Funcțiile $F(x)=\ln |x|$ și $G$, egală cu $\ln |x|+3$ pe $(-\infty ,0)$ și cu $\ln |x|-1$ pe $(0,+\infty )$, sunt amândouă primitive ale lui $\frac{1}{x}$, dar $G-F$ nu este constantă.

3. Primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3-10x$, care verifică $F(1)=2$, este:

   • a) $F(x)=x^4-5x^2-2$
   • b) $F(x)=12x^2-10$
   • c) $F(x)=x^4-5x^2+6$
   • d) $F(x)=x^4-5x^2+2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $F(x)=x^4-5x^2+6$

   Forma generală este $F(x)=x^4-5x^2+c$. Din $F(1)=1-5+c=2$ rezultă $c=6$. Varianta cu $+2$ apare când se pune direct constanta egală cu valoarea impusă, iar $12x^2-10$ este derivata lui $f$, nu o primitivă a lui.