Problema inversă derivării: noțiunea de primitivă

Un radar de pe autostradă îți măsoară viteza în fiecare clipă, dar poliția vrea altceva: câți kilometri ai parcurs. Un senzor de debit știe câți litri pe secundă intră în rezervor, însă întrebarea utilă este cât s-a umplut rezervorul. În ambele cazuri se cunoaște ritmul de variație al unei mărimi și se caută mărimea însăși — adică, în limbaj de analiză, se cunoaște derivata și se caută funcția. Aceasta este problema care deschide ultima parte a materiei de clasa a 12-a, iar funcția căutată poartă un nume: primitivă.

Toată clasa a XI-a ai mers într-o singură direcție: de la $f$ la $f^{\prime }$. Aveai o funcție, aplicai o regulă și obțineai derivata. Lecția de față inversează săgeata. Ea nu aduce nicio formulă nouă de derivare, ci pune o întrebare nouă despre formulele pe care le știi deja: dacă $f^{\prime }$ este dată, cine poate fi $f$? Vom vedea că răspunsul există aproape întotdeauna, că nu este niciodată unic și că, pe un interval, toate răspunsurile diferă între ele doar printr-o constantă — un fapt care se demonstrează, nu se acceptă pe încredere.

Ce vei învăța

• Vei ști definiția primitivei unei funcții pe un interval și de ce cuvântul „interval" nu poate lipsi din ea.
• Vei ști să verifici printr-un singur calcul dacă o funcție dată este primitivă a alteia.
• Vei ști să demonstrezi că două primitive ale aceleiași funcții pe un interval diferă printr-o constantă.
• Vei ști de ce afirmația de mai sus este falsă pe o reuniune de intervale, cu contraexemplul lui $\frac{1}{x}$.
• Vei ști să determini primitiva care trece printr-un punct dat și să folosești semnul funcției pentru monotonia primitivelor ei.
• Vei ști că nu orice funcție admite primitive și vei recunoaște primul exemplu de acest fel.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o primitivă a unei funcții?

Începem cu definiția, pentru că ea fixează tot vocabularul capitolului.

Primitiva unei funcții $f$ pe intervalul $I$ este o funcție $F:I\to \mathbb{R}$ derivabilă pe $I$ și cu proprietatea că $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. Când o astfel de funcție $F$ există, spunem că $f$ admite primitive pe $I$.

Trei cuvinte din definiție merită citite rar. Primul este derivabilă: nu e destul ca $F$ să fie continuă sau să aibă derivată în câteva puncte, ci trebuie să fie derivabilă în fiecare punct al intervalului. Al doilea este pentru orice $x\in I$: egalitatea $F^{\prime }=f$ se cere peste tot, nu doar acolo unde ne convine. Al treilea este intervalul $I$: primitiva se definește pe un interval, iar în subsecțiunea 6 vei vedea ce se strică dacă renunțăm la această cerință.

Exemplul cel mai simplu: pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2$, funcția $F(x)=x^3$ este o primitivă, pentru că $F$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$ și ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$. Dar și $G(x)=x^3+7$ este o primitivă a aceleiași funcții, și tot așa $H(x)=x^3-\frac{1}{2}$. Deja se vede că întrebarea „care este primitiva?" e prost pusă: sunt mai multe.

Motivația fizică din deschidere se traduce imediat în acest limbaj. Dacă un mobil se mișcă pe o dreaptă și are viteza $v(t)=10t$ metri pe secundă, atunci legea de mișcare $s$ trebuie să satisfacă $s^{\prime }(t)=v(t)$, adică $s$ este o primitivă a vitezei. O astfel de funcție este $s(t)=5t^2$, pentru că ${\left(5t^2\right)}^{\prime }=10t$. Verificarea o poți face în minte, cu tabelul de la derivatele funcțiilor uzuale.

2. De ce apare peste tot cuvântul „interval"?

La clasa a XI-a ai întâlnit deja o afirmație care se rupe în bucăți dacă domeniul nu e interval: funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ are derivata negativă pe tot domeniul ei, dar nu este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, ci pe fiecare dintre cele două intervale, separat. Acolo cauza era că teorema lui Lagrange leagă două puncte printr-un segment, iar segmentul trebuie să încapă în domeniu.

Exact aceeași cauză lucrează și aici. Toate rezultatele acestei lecții se sprijină pe consecințele teoremei lui Lagrange, deci toate cer ca domeniul să fie un interval. De aceea, în tot capitolul, propoziția-tip nu este „$F$ este o primitivă a lui $f$", ci „$F$ este o primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$". Când domeniul unei funcții e o reuniune de intervale, se lucrează pe fiecare interval în parte, iar rezultatele se adună la sfârșit.

Merită observat că intervalul poate fi de orice fel: mărginit sau nu, închis, deschis sau semideschis. Singura restricție e ca el să fie de o singură bucată. Un interval degenerat, redus la un punct, nu ne interesează: acolo nu se poate vorbi despre derivabilitate.

3. Cum verifici că o funcție este primitivă a alteia?

Aceasta este cea mai ieftină verificare din tot capitolul, și de aceea trebuie să devină un reflex: derivezi candidatul și compari cu funcția dată. Dacă rezultatul coincide pe tot intervalul, răspunsul e „da"; dacă diferă măcar într-un punct, e „nu".

Frumusețea metodei stă în asimetria dintre cele două operații. Derivarea are reguli complete: știi să derivezi orice expresie formată din funcțiile uzuale, cu regulile de derivare pentru sumă, produs și cât și cu regula compunerii. Găsirea unei primitive, în schimb, e o căutare: încerci o formă, o derivezi și corectezi coeficienții. Din fericire, controlul final e mereu la îndemână.

Iată verificarea la lucru pe un caz care pare complicat. Este $F(x)=x\ln x-x$ o primitivă a lui $f(x)=\ln x$ pe $(0,+\infty )$? Derivăm cu regula produsului:

$$F^{\prime }(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x.$$

Da, este. Nu am „găsit" nimic, am verificat — dar la un examen exact acest calcul se cere și exact el se punctează.

Regula de redactare care merge cu această verificare: se scrie întâi domeniul pe care lucrezi, apoi derivata, apoi concluzia cu numele complet („$F$ este o primitivă a lui $f$ pe $(0,+\infty )$"). Sărirea domeniului e greșeala cea mai des sancționată în bareme.

4. Câte primitive are o funcție pe un interval?

Am văzut deja că, dacă $F$ e o primitivă a lui $f$, atunci și $F+c$ este, pentru orice constantă reală $c$: derivata unei constante e zero, deci $(F+c{)}^{\prime }=F^{\prime }=f$. Prin urmare, o funcție care admite măcar o primitivă admite o infinitate.

Întrebarea interesantă e cealaltă: acestea sunt toate? Răspunsul e da, și e conținutul teoremei următoare.

Teoremă. Fie $I$ un interval și $f:I\to \mathbb{R}$. Dacă $F$ și $G$ sunt două primitive ale lui $f$ pe $I$, atunci există o constantă $c\in \mathbb{R}$ astfel încât $G(x)=F(x)+c$ pentru orice $x\in I$.

Demonstrație. Fie $H=G-F$. Cum $F$ și $G$ sunt derivabile pe $I$, și $H$ este derivabilă pe $I$, iar pentru orice $x\in I$

$$H^{\prime }(x)=G^{\prime }(x)-F^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0.$$

Am ajuns exact la ipoteza Consecinței 1 a teoremei lui Lagrange: o funcție derivabilă pe un interval, cu derivata identic nulă, este constantă pe acel interval. Deci există $c\in \mathbb{R}$ cu $H(x)=c$ pentru orice $x\in I$, adică $G(x)=F(x)+c$. $■$

Reciproc, orice funcție de forma $F+c$ este primitivă, cum am văzut mai sus. Concluzia se reține într-o singură propoziție: pe un interval, mulțimea primitivelor unei funcții este $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$, unde $F$ este oricare dintre ele. Geometric, graficele tuturor primitivelor se obțin unul din altul prin translații pe verticală; ele au, în fiecare abscisă, aceeași pantă — și cum panta e $f(x)$, e firesc să fie așa.

5. Semnul funcției dă monotonia primitivelor ei

Teorema de mai sus are o consecință practică folosită des în subiectele de Bacalaureat M1. Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $I$, atunci $F^{\prime }=f$, deci semnul lui $f$ este exact tabelul de semn al derivatei lui $F$. Toată tehnica de la schema de studiu al variației se aplică fără nicio modificare: acolo unde $f>0$, orice primitivă este strict crescătoare; acolo unde $f<0$, orice primitivă este strict descrescătoare; iar acolo unde $f$ își schimbă semnul, orice primitivă are un punct de extrem local.

Observă cuvântul orice: concluzia nu depinde de constanta aleasă, pentru că translația pe verticală nu schimbă monotonia. De aceea o cerință de tipul „arătați că primitivele lui $f$ au un punct de minim local în $x_0$" se rezolvă fără să determini vreo primitivă — e destul semnul lui $f$.

6. Ce se strică dacă domeniul nu e un interval

Iată contraexemplul obligatoriu al capitolului. Fie $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$. Pe $(0,+\infty )$ o primitivă este $\ln x$; pe $(-\infty ,0)$ o primitivă este $\ln (-x)$, pentru că $(\ln (-x){)}^{\prime }=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$. Cele două se scriu împreună, comod, ca $\ln |x|$.

Acum construim două funcții pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$:

$$F(x)=\ln |x|,G(x)=\{\begin{array}{ll}\ln |x|+1,& x<0\\ \ln |x|+5,& x>0\end{array}$$

Amândouă au derivata $\frac{1}{x}$ în fiecare punct al lui ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deci amândouă „sunt primitive" pe fiecare dintre cele două intervale. Diferența lor, însă, nu e constantă: valorează $1$ pe ramura negativă și $5$ pe cea pozitivă. Teorema din subsecțiunea 4 nu se aplică, pentru că ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval — iar demonstrația ei a folosit intervalul în chiar pasul decisiv.

De aici, regula de scriere pe care o vom respecta tot capitolul: când domeniul e o reuniune de intervale, se spune pe care interval se lucrează, iar constanta se alege separat pe fiecare ramură. Vom relua ideea, cu tehnica de racordare cu tot, la lecția despre primitivele funcțiilor definite pe ramuri.

7. Primitiva care trece printr-un punct dat

Infinitatea de primitive devine unicitate de îndată ce impunem o condiție suplimentară. Problema-tip sună așa: determinați primitiva $F$ a lui $f$ pe $I$ pentru care $F(x_0)=y_0$, cu $x_0\in I$ dat.

Rețeta are doi pași și se scrie mereu la fel:

1. se găsește o primitivă $F_0$ (prin ghicire verificată sau, de la lecția următoare, cu tabelul);
2. se scrie forma generală $F=F_0+c$, se pune condiția $F(x_0)=y_0$ și se determină $c$.

Unicitatea e garantată de teoremă: constanta $c$ iese dintr-o ecuație de gradul întâi, deci e una singură. Pentru mobilul din deschidere, condiția e chiar poziția din care pleacă: dacă la momentul $t=0$ mobilul se află la $s=12$ metri, atunci $s(t)=5t^2+c$ cu $s(0)=12$, deci $c=12$ și legea de mișcare e $s(t)=5t^2+12$. Fizicianul numește asta „condiție inițială"; matematicianul spune că a ales un element din familia primitivelor.

8. Orice funcție admite primitive?

Nu. Și e important să afli asta de la început, ca să nu cauți luni de zile o primitivă care nu există.

Iată exemplul-etalon. Funcția-semn $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 1,& x\ge 0\end{array}$$

nu admite primitive pe $\mathbb{R}$. Nu putem încă demonstra acest fapt — instrumentul necesar este o teoremă despre derivate pe care o vom studia la lecția despre funcțiile care admit primitive — dar putem înțelege de unde vine bănuiala. Imaginea funcției de mai sus este mulțimea $\{-1,1\}$, care nu conține niciun număr între $-1$ și $1$; or, o derivată nu poate „sări" peste valori intermediare, așa cum nu poate sări o funcție continuă. O funcție cu salt nu are cum să fie derivata cuiva.

Reține deocamdată harta, nu demonstrația: orice funcție continuă pe un interval admite primitive (vom vedea de ce, tot la lecția amintită), iar funcțiile cu salturi sunt primii candidați la „nu admite primitive". Toate exemplele acestei lecții și ale următoarelor două sunt funcții continue, deci întrebarea existenței nu ne va încurca în calcule.

Un ultim cuvânt despre notație. Mulțimea tuturor primitivelor unei funcții are un nume și un simbol propriu — se numește integrala nedefinită și se scrie cu un semn pe care îl vei recunoaște din orice manual. Ele fac obiectul lecției următoare, despre integrala nedefinită și proprietățile ei; tot ce trebuia construit înainte, adică noțiunea însăși, este deja în această lecție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Verificare directă, cu regula compunerii

Arătați că $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\sqrt{x^2+1}$, este o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Funcția $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, fiind compunerea funcției radical cu funcția $x\mapsto x^2+1$, care ia numai valori strict pozitive. Derivăm cu formula ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$:

$$F^{\prime }(x)=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=f(x)$$

pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Deci $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. (Verificat numeric în trei puncte.)

Exemplul 2. Găsirea unei primitive prin ghicire verificată

Determinați o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$, și scrieți apoi toate primitivele ei.

Căutăm pe rând câte un termen. Pentru $x^2$ încercăm $\frac{x^3}{3}$, a cărei derivată este chiar $x^2$. Pentru $-3x$ încercăm $-\frac{3x^2}{2}$, cu derivata $-3x$. Pentru constanta $2$ luăm $2x$. Așadar propunem

$$F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x.$$

Verificăm: $F^{\prime }(x)=x^2-3x+2=f(x)$ pentru orice $x$ real, deci $F$ este o primitivă. Cum $\mathbb{R}$ este interval, teorema din subsecțiunea 4 spune că toate primitivele lui $f$ sunt funcțiile $F+c$, adică $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x+c$, cu $c\in \mathbb{R}$.

Exemplul 3. Cele două ramuri ale lui $\frac{1}{x}$

Determinați primitivele funcției $f(x)=\frac{1}{x}$ pe fiecare dintre intervalele $(0,+\infty )$ și $(-\infty ,0)$.

Pe $(0,+\infty )$ funcția $\ln x$ este derivabilă și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, deci primitivele sunt $\ln x+c$.

Pe $(-\infty ,0)$ nu putem scrie $\ln x$, pentru că logaritmul cere argument strict pozitiv. Luăm $F(x)=\ln (-x)$, definită și derivabilă acolo, și derivăm cu regula compunerii:

$$F^{\prime }(x)=\frac{(-x{)}^{\prime }}{-x}=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}.$$

Deci pe $(-\infty ,0)$ primitivele sunt $\ln (-x)+c$. Cele două formule se scriu unitar ca $\ln |x|+c$, cu precizarea obligatorie a intervalului pe care se lucrează. (Verificat numeric pe ambele ramuri.)

Exemplul 4. Primitiva care trece printr-un punct dat

Determinați primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x$, pentru care $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=3$.

Pasul 1: o primitivă este $F_0(x)=\sin x$, pentru că $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ pe $\mathbb{R}$.

Pasul 2: forma generală este $F(x)=\sin x+c$. Punem condiția:

$$F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}+c=1+c=3⟹c=2.$$

Răspuns: $F(x)=\sin x+2$. Verificare de control: $F^{\prime }(x)=\cos x$ și $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=1+2=3$, deci ambele condiții sunt îndeplinite.

Exemplul 5. Două verificări care cer regula produsului

Arătați că: (i) $F(x)=x\ln x-x$ este o primitivă a lui $f(x)=\ln x$ pe $(0,+\infty )$; (ii) $G(x)=(x-1)e^x$ este o primitivă a lui $g(x)=x{e}^x$ pe $\mathbb{R}$.

(i) Pe $(0,+\infty )$, funcția $F$ este derivabilă ca produs și diferență de funcții derivabile, iar

$$F^{\prime }(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x.$$

(ii) Pe $\mathbb{R}$, cu aceeași regulă a produsului,

$$G^{\prime }(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x=e^x(1+x-1)=x{e}^x.$$

Ambele afirmații sunt adevărate. Observă că, în fiecare caz, termenul „în plus" din $F$ și din $G$ (adică $-x$, respectiv $-1$) există tocmai ca să anuleze partea nedorită apărută la derivare — un tipar pe care îl vei recunoaște la metoda integrării prin părți. (Verificat numeric în trei puncte fiecare.)

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2x-1$.

a) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^3+x^2-x$, este o primitivă a lui $f$.

b) Determinați primitiva $G$ a lui $f$ pentru care $G(1)=0$.

c) Arătați că orice primitivă a lui $f$ are un punct de maxim local în $x=-1$ și un punct de minim local în $x=\frac{1}{3}$.

a) Funcția $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, și

$$F^{\prime }(x)=3x^2+2x-1=f(x),x\in \mathbb{R}.$$

Prin urmare $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

b) Cum $\mathbb{R}$ este interval, orice primitivă are forma $G(x)=x^3+x^2-x+c$. Din $G(1)=1+1-1+c=1+c=0$ obținem $c=-1$, deci

$$G(x)=x^3+x^2-x-1.$$

c) Fie $H$ o primitivă oarecare a lui $f$. Atunci $H^{\prime }=f$, iar

$$f(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1),$$

cu rădăcinile $-1$ și $\frac{1}{3}$. Coeficientul dominant fiind pozitiv, semnul lui $f$ este $+$ pe $(-\infty ,-1)$, $-$ pe $\left(-1,\frac{1}{3}\right)$ și $+$ pe $\left(\frac{1}{3},+\infty \right)$. Așadar $H$ este strict crescătoare, apoi strict descrescătoare, apoi din nou strict crescătoare: în $x=-1$ derivata trece de la $+$ la $-$, deci acolo este punct de maxim local, iar în $x=\frac{1}{3}$ trece de la $-$ la $+$, deci acolo este punct de minim local. Concluzia nu depinde de $c$, pentru că translația pe verticală nu schimbă monotonia. (Verificat numeric: $F(-1)=1$, $F\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{5}{27}$.)

Să exersăm

1. Arătați că $F(x)=x^4$ este o primitivă a funcției $f(x)=4x^3$ pe $\mathbb{R}$.

2. Arătați că $F(x)=-\cos x$ este o primitivă a funcției $f(x)=\sin x$ pe $\mathbb{R}$.

3. Determinați o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3-6x+5$.

4. Determinați o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$, și scrieți apoi toate primitivele ei.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție are cel mult o primitivă pe un interval dat."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $F$ și $G$ sunt primitive ale aceleiași funcții pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, atunci $F-G$ este constantă."

7. Arătați că $F(x)=2\sqrt{x}$ este o primitivă a funcției $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$.

8. Determinați primitiva $F$ a funcției $f(x)=x^3$ pentru care $F(2)=0$.

9. Arătați că $F(x)=x\sin x+\cos x$ este o primitivă a funcției $f(x)=x\cos x$ pe $\mathbb{R}$.

10. (Problemă aplicată.) Un rezervor se umple cu debitul $Q(t)=3t^2$ litri pe minut, iar la momentul $t=0$ conține $20$ de litri. Determinați cantitatea de lichid din rezervor la momentul $t$.

11. Determinați primitiva $F$ a funcției $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$ pentru care $F(1)=4$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f(x)\ge 0$ pentru orice $x$ din intervalul $I$, atunci orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $I$."

13. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1,& x\ge 0\end{array}$ are imaginea $\{0,1\}$ și explicați de ce acest fapt o face suspectă de a nu admite primitive.

14. Determinați o primitivă a funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x}$, știind că $2\ln |x|$ este o primitivă a lui $\frac{2}{x}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4$. Arătați că orice primitivă a lui $f$ are un punct de maxim local și un punct de minim local și determinați abscisele lor.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $F(x)=\left(x^2+ax\right)e^x$ este o primitivă a funcției $f(x)=\left(x^2+3x+1\right)e^x$ pe $\mathbb{R}$.

17. Arătați că, dacă $F$ este o primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ și $F$ este strict crescătoare pe $I$, atunci $f\ge 0$ pe $I$.

18. (Provocare.) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 0\\ -x^2,& x>0\end{array}$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, determinați $f=F^{\prime }$ și explicați de ce $f$ admite primitive deși nu este monotonă.

Răspunsuri și explicații

1. $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=4x^3=f(x)$ pentru orice $x$ real. Deci $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

2. $F^{\prime }(x)=-(-\sin x)=\sin x=f(x)$ pe $\mathbb{R}$, folosind $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$. Semnul minus din $F$ există tocmai ca să compenseze semnul minus din derivata cosinusului.

3. $F(x)=x^4-3x^2+5x$, pentru că $F^{\prime }(x)=4x^3-6x+5$. Toate primitivele sunt $x^4-3x^2+5x+c$, $c\in \mathbb{R}$.

4. O primitivă este $F(x)=e^x$, singura funcție uzuală egală cu propria derivată. Cum $\mathbb{R}$ e interval, toate primitivele sunt $e^x+c$, $c\in \mathbb{R}$.

5. Fals. Dacă $F$ e o primitivă, atunci și $F+c$ este, pentru orice $c$ real, deci sunt o infinitate. Afirmația devine adevărată numai după impunerea unei condiții suplimentare, de tipul $F(x_0)=y_0$.

6. Fals. ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval. Contraexemplul din subsecțiunea 6: $F(x)=\ln |x|$ și $G$ definită cu constantele $1$ pe ramura negativă și $5$ pe cea pozitivă au aceeași derivată, dar diferența lor nu e constantă.

7. Pe $(0,+\infty )$, $F^{\prime }(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}=f(x)$. Precizarea intervalului e obligatorie: în $0$ funcția $f$ nici nu e definită.

8. Forma generală: $F(x)=\frac{x^4}{4}+c$. Din $F(2)=4+c=0$ rezultă $c=-4$, deci $F(x)=\frac{x^4}{4}-4$.

9. $F^{\prime }(x)=(1\cdot \sin x+x\cos x)+(-\sin x)=x\cos x=f(x)$ pe $\mathbb{R}$. (Verificat numeric.)

10. Cantitatea $V$ satisface $V^{\prime }(t)=Q(t)=3t^2$, deci $V(t)=t^3+c$. Din $V(0)=20$ obținem $c=20$, deci $V(t)=t^3+20$ litri. La $t=3$ minute rezervorul conține $47$ de litri.

11. Pe $(0,+\infty )$ primitivele sunt $\ln |x|+c$, adică $\ln x+c$ pe acest interval. Din $F(1)=\ln 1+c=c=4$ rezultă $F(x)=\ln |x|+4$.

12. Fals. Din $f\ge 0$ rezultă doar că primitivele sunt crescătoare, nu neapărat strict: pentru $f\equiv 0$ primitivele sunt funcțiile constante, care nu sunt strict crescătoare. Afirmația devine adevărată dacă se cere $f(x)>0$ pe interiorul intervalului.

13. Imaginea este $\{0,1\}$, mulțime care nu conține niciun număr strict între $0$ și $1$, deci nu e interval. O derivată nu poate ocoli valorile intermediare, așa că o funcție cu imaginea formată din două puncte izolate nu poate fi derivata nimănui pe un interval. Justificarea completă vine la lecția despre funcțiile care admit primitive.

14. Împărțim: $f(x)=x-3+\frac{2}{x}$. O primitivă este $F(x)=\frac{x^2}{2}-3x+2\ln |x|$, ceea ce se verifică derivând: $F^{\prime }(x)=x-3+\frac{2}{x}=f(x)$ pe $(0,+\infty )$. (Verificat numeric.)

15. Fie $H$ o primitivă. Atunci $H^{\prime }=f$, iar $f(x)=(x-2)(x+2)$ are semnul $+,-,+$ pe $(-\infty ,-2)$, $(-2,2)$, $(2,+\infty )$. Deci $x=-2$ este punct de maxim local și $x=2$ este punct de minim local, pentru orice primitivă.

16. Derivăm: $F^{\prime }(x)=(2x+a)e^x+\left(x^2+ax\right)e^x=\left(x^2+(a+2)x+a\right)e^x$. Identificăm cu $\left(x^2+3x+1\right)e^x$: din $a+2=3$ și $a=1$ rezultă $\mathbf{a}=1$, valoare compatibilă cu ambele condiții.

17. Dacă $F$ e strict crescătoare și derivabilă pe $I$, atunci pentru orice $x_0\in I$ raportul $\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}$ este strict pozitiv, fiind un raport de mărimi de același semn. Trecând la limită, $f(x_0)=F^{\prime }(x_0)\ge 0$. Atenție: la limită inegalitatea strictă se poate pierde — exemplul $F(x)=x^3$, strict crescătoare, cu $f(0)=0$.

18. Pe $(-\infty ,0)$ avem $F^{\prime }(x)=2x$, pe $(0,+\infty )$ avem $F^{\prime }(x)=-2x$, iar în $0$ ambele derivate laterale sunt nule, deci $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$. Cele două ramuri se strâng într-o singură formulă: pentru $x<0$, $2x=-2|x|$, iar pentru $x>0$, $-2x=-2|x|$, deci $f(x)=-2|x|$ pe tot $\mathbb{R}$. Funcția $f$ este crescătoare pe $(-\infty ,0]$ și descrescătoare pe $[0,+\infty )$, deci nu e monotonă pe $\mathbb{R}$ — și totuși admite primitive, prin însăși construcția ei. Concluzia: existența primitivelor nu are nicio legătură cu monotonia.

De reținut

• O funcție $F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$.
• Verificarea că o funcție este primitivă a alteia se face într-un singur pas: se derivează candidatul și se compară cu funcția dată, pe tot intervalul.
• Pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, iar acest fapt se demonstrează cu Consecința 1 a teoremei lui Lagrange.
• Afirmația de mai sus este falsă pe o reuniune de intervale, iar contraexemplul standard este funcția $\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.
• Semnul funcției $f$ este tabelul de semn al derivatei oricărei primitive a ei, deci monotonia și extremele primitivelor se citesc direct din semnul lui $f$.

Greșeli frecvente

• Spui „primitiva funcției", ca și cum ar fi una singură. Sunt o infinitate, care diferă printr-o constantă; formularea corectă este „o primitivă a lui $f$" sau „primitiva lui $f$ care verifică $F(x_0)=y_0$".
• Aplici teorema constantei pe un domeniu care nu e interval. Pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ două primitive ale lui $\frac{1}{x}$ pot diferi prin constante diferite pe cele două ramuri; se lucrează pe fiecare interval separat.
• Scrii $\ln x$ pentru primitiva lui $\frac{1}{x}$ pe un interval de numere negative. Acolo logaritmul nici nu e definit; forma corectă este $\ln |x|$, adică $\ln (-x)$ pe acel interval.
• Uiți să verifici derivabilitatea pe tot intervalul. O funcție care are derivata corectă în afara unui punct, dar nu e derivabilă în acel punct, nu este primitivă pe intervalul care conține punctul respectiv.
• Crezi că orice funcție are primitive. Funcțiile cu salt, precum funcția-semn, nu admit primitive pe un interval care conține punctul de salt; motivul complet se vede la lecția despre funcțiile care admit primitive.

Aplică acasă

1. Tabelul invers. Ia zece rânduri din tabelul derivatelor de clasa a XI-a și scrie-le invers, pe două coloane: în stânga derivata, în dreapta funcția din care a provenit. Ai obținut deja, cu mâna ta, jumătate din tabelul pe care îl vom sistematiza în lecția despre primitivele funcțiilor uzuale.

2. Trei verificări cu cronometrul. Alege trei funcții compuse pe care le-ai derivat anul trecut, notează derivatele lor și dă-i unui coleg lista de derivate, cerându-i să reconstituie funcțiile. Cronometrează-vă amândoi: veți vedea direct că verificarea durează secunde, iar căutarea durează minute.

3. Experimentul cu graficul. Desenează pe aceeași foaie graficele funcțiilor $x^3$, $x^3+2$ și $x^3-3$ și trasează tangentele lor în abscisele $-1$, $0$ și $1$. Măsoară cu raportorul unghiurile: tangentele din aceeași abscisă trebuie să fie paralele, ceea ce este chiar conținutul geometric al teoremei din subsecțiunea 4.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea „Primitive" și acoperă competențele XII.CS.1.5, XII.CS.2.5 și XII.CS.6.5 din programa de matematică-informatică. Ea nu introduce nicio tehnică de calcul nouă: tot ce se cere elevului este să deriveze corect, adică materia clasei a XI-a. Noutatea este de direcție — se pornește de la derivată către funcție — și de vocabular.

Ce verifică lecția: (1) enunțarea completă a definiției, cu derivabilitatea și cu intervalul; (2) verificarea prin derivare a unei primitive propuse; (3) demonstrația faptului că două primitive diferă printr-o constantă, cu numirea corectă a Consecinței 1 a teoremei lui Lagrange; (4) conștientizarea contraexemplului de pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$; (5) determinarea primitivei care satisface o condiție dată; (6) citirea monotoniei primitivelor din semnul funcției.

Întrebări bune de control: „De ce nu putem spune «primitiva» la singular?", „Unde s-a folosit, în demonstrație, faptul că domeniul e interval?", „Ce scrii pentru primitiva lui $\frac{1}{x}$ pe un interval de numere negative?", „Cum afli constanta când ți se dă o valoare a primitivei?", „De unde știi că o funcție cu salt nu poate avea primitive?". Semn că elevul a înțeles: începe orice rezolvare scriind intervalul pe care lucrează și termină verificând prin derivare.

La BAC, subiectul al III-lea conține aproape întotdeauna o cerință care se rezolvă doar cu materia acestei lecții — de regulă „arătați că $F$ este o primitivă a lui $f$" sau „determinați primitiva care trece prin punctul dat", fiecare valorând $5$ puncte. Exercițiile 15 și 16 sunt formulate exact în acest tipar.

Întrebări frecvente

Ce este o primitivă a unei funcții?

O primitivă a funcției $f$ pe intervalul $I$ este o funcție $F$ derivabilă pe $I$ pentru care $F^{\prime }(x)=f(x)$ în fiecare punct al intervalului. Cu alte cuvinte, primitiva este funcția din care provine $f$ prin derivare. Când o astfel de funcție există, spunem că $f$ admite primitive pe intervalul $I$.

Cum verific dacă o funcție este primitivă a alteia?

Derivezi funcția propusă și compari rezultatul cu funcția dată, pe tot intervalul de lucru. Dacă cele două expresii coincid pentru orice $x$ din interval, răspunsul este afirmativ. Verificarea aceasta este singurul control complet și se scrie mereu în trei pași: domeniul, derivata, concluzia cu intervalul precizat.

De ce două primitive diferă printr-o constantă?

Pentru că diferența lor are derivata nulă pe tot intervalul, iar o funcție derivabilă cu derivata nulă pe un interval este constantă — acesta este exact conținutul Consecinței 1 a teoremei lui Lagrange, studiată în clasa a XI-a. Ipoteza că domeniul este interval este esențială și nu poate fi ocolită.

De ce afirmația nu mai e valabilă pe o reuniune de intervale?

Pentru că teorema constantei se aplică pe fiecare interval separat, iar constantele obținute pot fi diferite. Exemplul standard este funcția $\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$: putem alege constanta $1$ pe ramura negativă și constanta $5$ pe cea pozitivă, obținând două primitive a căror diferență nu este constantă.

Care este primitiva funcției $1$ supra $x$?

Pe orice interval din domeniul ei, primitivele funcției $\frac{1}{x}$ sunt $\ln |x|+c$. Pe $(0,+\infty )$ aceasta înseamnă $\ln x+c$, iar pe $(-\infty ,0)$ înseamnă $\ln (-x)+c$. Modulul nu e o convenție decorativă: fără el formula ar fi lipsită de sens pe ramura negativă.

Cum determin primitiva care trece printr-un punct dat?

Găsești mai întâi o primitivă oarecare $F_0$, scrii forma generală $F=F_0+c$, apoi impui condiția din enunț, de exemplu $F(x_0)=y_0$, și rezolvi ecuația de gradul întâi în $c$. Constanta obținută este unică, deci și primitiva cerută este unică pe intervalul respectiv.

Orice funcție admite primitive?

Nu. Funcțiile cu salt, precum funcția-semn, nu admit primitive pe un interval care conține punctul de salt, pentru că imaginea lor nu este interval. În schimb, orice funcție continuă pe un interval admite primitive — un rezultat pe care îl vom justifica în lecțiile următoare ale acestei unități.

La ce folosesc primitivele în afara matematicii?

Ele răspund la întrebarea „știu ritmul, care este mărimea?". Din viteză se obține poziția, din debit se obține volumul acumulat, din puterea instantanee se obține energia consumată. În fiecare caz, condiția inițială — poziția de plecare, volumul din rezervor la început — este cea care alege o singură primitivă din familia infinită.