Numărul e și limita fundamentală: pe scurt

Șirul $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este scrierea-etalon a nedeterminării $1^{\infty }$: baza coboară spre $1$, exponentul crește nemărginit. Scris cu binomul lui Newton, el se dovedește strict crescător (fiecare termen al dezvoltării crește, iar la $e_{n+1}$ apare unul în plus) și mărginit, cu $2\le e_n<3$ — majorarea folosește $k!\ge 2^{k-1}$ și suma unei progresii geometrice.

Teorema lui Weierstrass închide cercul: șirul e convergent, iar limita lui definește un număr nou, $e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\approx 2,718$, irațional și bază a logaritmului natural. Tabelul de valori nu ar fi demonstrat nimic: convergența e foarte lentă.

Limita fundamentală, în cele două forme echivalente: ${\left(1+\frac{1}{y_n}\right)}^{y_n}\to e$ pentru $y_n\to \pm \infty$ și ${\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}\to e$ pentru $x_n\to 0$, $x_n\ne 0$.

Rețeta pentru $1^{\infty }$: verifici că baza tinde la $1$ și exponentul la infinit; scrii baza ca $1+u_n$; construiești exponentul $\frac{1}{u_n}$; calculezi $c=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\left(a_n-1\right)$; răspunzi $e^c$. Pasul cu $c$ nu se sare: $1^{\infty }$ nu înseamnă automat $e$ — poate da $1$, o putere oarecare a lui $e$ sau chiar $+\infty$. Înainte de toate, verifică baza: dacă ea nu tinde la $1$, limita se citește dintr-un singur rând al tabelului operațiilor, iar rețeta ar fi timp pierdut.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{3}{n}\right)}^n$ este:

   • a) $e^3$
   • b) $e$
   • c) $3e$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $e^3$

   Baza tinde la $1$ și exponentul la $+\infty$: caz $1^{\infty }$. Cu $u_n=\frac{3}{n}$ avem $\frac{1}{u_n}=\frac{n}{3}$, deci ${\left(1+\frac{3}{n}\right)}^n={\left[{\left(1+\frac{3}{n}\right)}^{\frac{n}{3}}\right]}^3$; paranteza tinde la $e$, exponentul este constant $3$. Același rezultat prin rețetă: $c=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \frac{3}{n}=3$.

2. Valoarea limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}^n$ este:

   • a) $e$
   • b) $e^3$
   • c) $1$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $1$

   Este tot o nedeterminare $1^{\infty }$, dar baza se apropie de $1$ mult mai repede decât crește exponentul: $c=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \frac{1}{n^3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0$, deci limita este $e^0=1$. Exemplul arată de ce pasul de calcul al lui $c$ este obligatoriu.

3. Șirul $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este convergent pentru că:

   • a) tabelul de valori arată că se stabilizează în jurul lui $2,718$
   • b) baza lui tinde la $1$
   • c) este mărginit
   • d) este strict crescător și mărginit, iar teorema lui Weierstrass se aplică
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) este strict crescător și mărginit, iar teorema lui Weierstrass se aplică

   Convergența cere ambele ipoteze: monotonia (din dezvoltarea binomială) și mărginirea ($2\le e_n<3$). Un tabel de valori nu demonstrează nimic — cu atât mai puțin aici, unde apropierea este foarte lentă. Nici mărginirea singură nu ajunge ($\left((-1{)}^n\right)$ e mărginit fără limită), iar b) e chiar sursa nedeterminării, nu un argument.