Șirul cu termenul general (1+1/n) la puterea n și numărul e

Într-un vas de laborator, o cultură de bacterii se dublează într-o oră. Diviziunile nu se produc însă toate deodată, la sfârșitul orei: fiecare celulă se împarte când îi vine rândul, iar cele nou apărute încep imediat să crească și ele. Ca să ținem socoteala, împărțim ora în $n$ bucăți egale și admitem că, pe fiecare bucată, populația crește cu a $n$-a parte din ea însăși. La capătul orei, populația inițială s-a înmulțit cu ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. Pentru $n=12$ (din cinci în cinci minute) factorul este $2,613\dots$, iar pentru $n=365$ este $2,7146\dots$ — nu $2$, cum ne-am fi așteptat, dar nici cine știe cât. Întrebarea firească: dacă mărunțim intervalul oricât de fin, se înmulțește populația oricât de mult?

Răspunsul este nu, iar motivul e un conflict între două tendințe contrare. Baza $1+\frac{1}{n}$ se apropie de $1$, iar $1$ ridicat la orice putere rămâne $1$; exponentul $n$ crește însă la $+\infty$, iar un număr strict mai mare decât $1$ ridicat la puteri mari explodează. Este exact cazul de nedeterminare $1^{\infty }$, pe care ai învățat să-l recunoști în lecția Cazurile de nedeterminare zero ori infinit, zero supra zero și unu la infinit și pe care l-ai lăsat acolo nerezolvat, pentru că îi lipsea unealta. Unealta se construiește aici, cu teorema lui Weierstrass — iar rezultatul este un număr de un fel nou. Până acum, orice număr a venit dintr-o rețetă care îl construiește: $\sqrt{2}$ e soluția pozitivă a ecuației $x^2=2$, $\pi$ e raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul lui. Numărul $e$ nu are nicio astfel de rețetă: singurul lucru pe care îl putem face este să dovedim că există, ca limită a acestui șir, și să-i dăm un nume.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi termenii șirului $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ și să explici de ce tabelul lor nu decide singur nimic.
• Vei ști să demonstrezi că șirul $(e_n)$ este strict crescător, folosind dezvoltarea cu binomul lui Newton.
• Vei ști să demonstrezi că șirul $(e_n)$ este mărginit, cu $2\le e_n<3$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
• Vei ști să deduci, din teorema lui Weierstrass, că șirul este convergent și să scrii definiția numărului $e$ ca limită a lui, cu $e\approx 2,718$.
• Vei ști să enunți limita fundamentală în cele două forme echivalente ale ei — cu exponent care tinde la infinit și cu exponent care tinde la zero.
• Vei ști să rezolvi nedeterminarea $1^{\infty }$ la șiruri, aducând expresia la forma fundamentală și citind rezultatul ca putere a lui $e$.

Hai să descoperim împreună

1. De ce tabelul de valori nu este o demonstrație

Începem cu ce se vede. Notăm, pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $$e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$ și calculăm exact primii termeni, ca fracții ordinare:

Mergând mai departe cu ajutorul unui instrument de calcul: $e_{100}\approx 2,70481$, $e_{1000}\approx 2,71692$, $e_{1000000}\approx 2,718280$. Valorile cresc, dar din ce în ce mai încet, și par să se strângă în jurul lui $2,718$.

Atenție însă: tabelul de mai sus nu demonstrează nimic. Un șir poate crește o vreme și apoi să scadă; poate crește la nesfârșit, oricât de încet (șirul $\sqrt[10]{n}$ trece de $2,72$ abia după $n\approx 2\cdot 10^4$, dar tot la $+\infty$ merge). Ca să afirmi că șirul are limită, îți trebuie un argument care privește toți termenii deodată. Acest argument este teorema lui Weierstrass, iar ipotezele ei sunt exact două: monotonie și mărginire. Le verificăm pe rând.

Merită observat, înainte de a intra în demonstrații, cât de lentă este apropierea. De la un milion de termeni la zece milioane, valoarea câștigă abia o zecimală: $e_{10^6}=2,7182804\dots$, iar $e_{10^7}=2,7182816\dots$ Diferența dintre $e$ și $e_n$ se împarte, cu bună aproximație, la $10$ când $n$ se înmulțește cu $10$ — adică fiecare zecimală corectă în plus costă de zece ori mai mult calcul. Un șir care converge atât de încet este exact tipul de șir pentru care „ochiul liber" nu ajunge și pentru care teoria este singura cale sigură.

2. Unealta: dezvoltarea cu binomul lui Newton

Cheia întregii lecții este să scriem $e_n$ altfel decât ca putere. Aplicăm dezvoltarea binomială, cunoscută din clasa a X-a: $$e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\cdot \frac{1}{n^k}.$$

Prelucrăm termenul de rang $k\ge 1$. Din $C_n^k=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}$ obținem, împărțind fiecare dintre cei $k$ factori de la numărător cu câte un $n$: $$C_n^k\cdot \frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right).$$

Așadar, pentru orice $n\ge 1$, $$e_n=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{n}\right).$$

Această scriere se numește forma binomială a lui $e_n$ și merită privită cu atenție: toți factorii din paranteze sunt numere din intervalul $(0,1)$, iar când $n$ crește fiecare dintre ei crește, pentru că fracția scăzută se micșorează. De aici ies, aproape gratuit, ambele proprietăți de care avem nevoie.

Verificare pe un caz. Pentru $n=5$: $1+1+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}+\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{24}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{120}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{7776}{3125}$, adică exact $e_5=2,48832$. ✓

3. Șirul este strict crescător

Propoziție. Șirul $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este strict crescător: $e_n<e_{n+1}$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{}$.*

Demonstrație. Scriem ambii termeni în forma binomială și îi comparăm poziție cu poziție: $$e_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right),e_{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n+1}\right).$$

Comparăm în două etape.

1. Fiecare termen crește. Pentru $j$ fixat, $\frac{j}{n+1}<\frac{j}{n}$, deci $1-\frac{j}{n}<1-\frac{j}{n+1}$. Cei doi termeni de rang $k$ au același factor $\frac{1}{k!}$, iar restul factorilor sunt pozitivi și fiecare este strict mai mare în al doilea șir. Prin urmare termenul de rang $k$ din $e_{n+1}$ este mai mare decât cel din $e_n$ (pentru $k\ge 2$; pentru $k=0$ și $k=1$ termenii sunt egali cu $1$).
2. Apare un termen în plus. Suma lui $e_{n+1}$ are un termen suplimentar, cel de rang $n+1$, care este strict pozitiv.

Cele două observații împreună dau $e_n<e_{n+1}$. $■$

Reține tehnica, pentru că se repetă la șirurile definite prin recurență: monotonia nu se „vede", ci se demonstrează comparând doi termeni consecutivi scriși în aceeași formă.

4. Șirul este mărginit: $2\le e_n<3$

Marginea inferioară e imediată: în forma binomială primii doi termeni sunt $1$ și $1$, iar toți ceilalți sunt pozitivi, deci $e_n\ge 2$ pentru orice $n$. (Egalitatea are loc doar pentru $n=1$.)

Marginea superioară cere o majorare în doi pași.

Pasul 1. Fiecare paranteză $\left(1-\frac{j}{n}\right)$ este subunitară, deci $$\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)\le \frac{1}{k!},\text{de unde}{e}_n\le 1+\sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}.$$

Pasul 2. Arătăm că $k!\ge 2^{k-1}$ pentru orice $k\ge 1$. Într-adevăr, $k!=1\cdot 2\cdot 3\cdots k$ are $k-1$ factori mai mari sau egali cu $2$ (toți în afară de primul), deci produsul este cel puțin $2^{k-1}$. Rezultă $\frac{1}{k!}\le \frac{1}{2^{k-1}}$ și, mai departe, $$e_n\le 1+\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^{k-1}}=1+\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}}=1+2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3.$$

Am folosit suma primilor termeni ai unei progresii geometrice de rație $\frac{1}{2}$. Concluzie: $$2\le e_n<3\text{pentru orice }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Verificare numerică: $e_{20}=2,65329\dots$, $e_{100}=2,70481\dots$, $e_{10^6}=2,718280\dots$ — toate în intervalul $[2,3)$, așa cum promite demonstrația.

5. Weierstrass închide cercul: definiția numărului $e$

Șirul $(e_n)$ este strict crescător (punctul 3) și mărginit (punctul 4). Teorema lui Weierstrass — pe care programa o admite fără demonstrație — spune că orice șir monoton și mărginit este convergent. Prin urmare $(e_n)$ are limită finită.

Definiție. Limita șirului $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ se notează cu $e$: $$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n.$$

Observă ce fel de definiție este aceasta: numărul $e$ nu se calculează, ci se definește prin limită. Este exact situația în care teorema lui Weierstrass e nu doar utilă, ci indispensabilă — ea garantează existența unui număr pe care nu îl putem scrie sub nicio formă închisă.

Din inegalitățile de mai sus și din trecerea la limită în inegalități obținem imediat $2\le e\le 3$. Cu mai multă muncă (sau cu un instrument digital) se obține $$e=2,718281828459045\dots$$ Se rețin trei zecimale: $e\approx 2,718$. Numărul $e$ este irațional — chiar transcendent, adică nu este rădăcina niciunei ecuații polinomiale cu coeficienți întregi; ambele afirmații se admit aici fără demonstrație.

Numărul $e$ nu îți este cu totul străin: el este baza logaritmului natural, notat $\ln x$, pe care l-ai folosit la clasa a X-a, în lecția despre logaritmul unui număr. Abia acum vezi de unde provine acea bază „naturală": nu dintr-o convenție, ci dintr-o limită.

De ce tocmai această bază este numită naturală? Pentru că descrie situația în care creșterea este proporțională cu ceea ce s-a acumulat deja și se produce fără pauze. Dobânda din exemplul de la începutul lecției lucrează pe capitalul existent; o cultură de bacterii se înmulțește proporțional cu numărul de bacterii prezente; un corp cald se răcește cu atât mai repede cu cât e mai cald decât mediul. În toate cazurile, dacă tai intervalul de timp în bucăți din ce în ce mai mici, formula creșterii pe un pas, $1+\frac{\text{rata}}{m}$, se repetă de $m$ ori — și obții exact șirul acestei lecții. Aceasta este și explicația faptului, aparent ciudat, că $e$ apare deopotrivă în economie, în biologie și în fizică: nu e o coincidență, ci același tipar de creștere.

6. Limita fundamentală: exponentul nu trebuie să fie $n$

Până acum exponentul a fost chiar indicele șirului. În practică apar exponenți de tot felul: $2n+1$, $n^2$, $\frac{n}{3}$. Programa cere forma generală, în care rolul lui $n$ este luat de un alt șir.

Teoremă (limita fundamentală, forma cu exponent infinit). Dacă $(y_n)$ este un șir cu $y_n\to +\infty$ sau $y_n\to -\infty$, atunci $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{y_n}\right)}^{y_n}=e.$$

De unde vine. Pentru $y_n\to +\infty$ notăm cu $k_n$ partea întreagă a lui $y_n$, deci $k_n\le y_n<k_n+1$ și $k_n\to +\infty$. Din monotonia puterilor rezultă încadrarea $${\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)}^{k_n}\le {\left(1+\frac{1}{y_n}\right)}^{y_n}\le {\left(1+\frac{1}{k_n}\right)}^{k_n+1}.$$ Membrul stâng se scrie ${\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)}^{k_n+1}:\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)$ și tinde la $\frac{e}{1}=e$; membrul drept se scrie ${\left(1+\frac{1}{k_n}\right)}^{k_n}\cdot \left(1+\frac{1}{k_n}\right)$ și tinde tot la $e\cdot 1=e$. Prin criteriul cleștelui, limita din mijloc este $e$. Cazul $y_n\to -\infty$ se reduce la cel dinainte prin substituția $y_n=-z_n$, cu $z_n\to +\infty$, folosind identitatea ${\left(1-\frac{1}{z}\right)}^{-z}={\left(1+\frac{1}{z-1}\right)}^{z-1}\left(1+\frac{1}{z-1}\right)$.

Teoremă (forma din programă, cu exponent care tinde la zero). Dacă $(x_n)$ este un șir cu $x_n\to 0$ și $x_n\ne 0$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$, atunci $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}=e.$$

Cele două forme sunt una și aceeași, legate prin substituția $x_n=\frac{1}{y_n}$: dacă $y_n\to \pm \infty$, atunci $x_n\to 0$ și $x_n\ne 0$, iar exponentul $y_n$ devine $\frac{1}{x_n}$. Reține-le pe amândouă: prima e comodă când exponentul crește, a doua când baza se apropie de $1$ „de la o expresie mică".

Verificare numerică pe trei șiruri diferite. Pentru $x_n=\frac{1}{n^2}$ obținem ${\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^{n^2}$, care la $n=10^3$ dă deja $2,7182818283\dots$; pentru $x_n=-\frac{1}{n}$ (șir negativ, dar tot cu limita $0$) obținem ${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{-n}$, care la $n=10^6$ dă $2,718283\dots$; iar pentru $y_n=2n+1$ obținem ${\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)}^{2n+1}\to e$. ✓

7. Rețeta pentru nedeterminarea $1^{\infty }$ la șiruri

Acum poți ataca orice limită de forma $a_n^{b_n}$ cu $a_n\to 1$ și $b_n\to \pm \infty$. Procedura are cinci pași și se scrie integral la lucrare, pentru că baremele de Bacalaureat M1 punctează separat aducerea la forma fundamentală.

1. Confirmi nedeterminarea. Calculezi $\lim a_n$ și $\lim b_n$; dacă ies $1$ și $\pm \infty$, ești în cazul $1^{\infty }$ și nu ai voie să „treci la limită" în bază.
2. Scrii baza ca $1+u_n$, unde $u_n=a_n-1$. Prin construcție $u_n\to 0$; verifici și că $u_n\ne 0$.
3. Construiești exponentul $\frac{1}{u_n}$, înmulțind și împărțind exponentul cu $u_n$: $$a_n^{b_n}={\left(1+u_n\right)}^{b_n}={\left[{\left(1+u_n\right)}^{\frac{1}{u_n}}\right]}^{u_n{b}_n}.$$
4. Calculezi $c=\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\left(a_n-1\right)$ — de obicei o limită simplă, de tip raport de polinoame.
5. Citești răspunsul: paranteza dreaptă tinde la $e$, exponentul la $c$, deci limita este $e^c$. (Am folosit regula puterii cu exponent variabil, $t_n^{c_n}\to t^c$, valabilă când $t_n>0$ cu $t_n\to t>0$ și $c_n\to c$ finit — este rândul corespunzător din tabelul lecției Operații cu șiruri convergente, iar ipoteza $t>0$ e îndeplinită, pentru că $t=e>0$.)

⚠️ Pasul 4 nu este o formalitate: dacă $u_n{b}_n\to 0$, limita este $e^0=1$; dacă $u_n{b}_n\to +\infty$, limita este $+\infty$. Deci nu orice nedeterminare $1^{\infty }$ dă $e$ — dă o putere a lui $e$, iar exponentul se calculează.

Merită să vezi și cum arată cele patru rezultate posibile, așezate una lângă alta, pentru că întreaga dificultate a acestui tip de limită stă în alegerea dintre ele. Dacă $c$ este un număr real, răspunsul este numărul $e^c$ (finit și strict pozitiv, oricare ar fi semnul lui $c$). Dacă $c=0$, răspunsul este $1$: baza se apropie de $1$ mai repede decât reușește exponentul să compenseze. Dacă $c=+\infty$, răspunsul este $+\infty$; dacă $c=-\infty$, răspunsul este $0$. Cu alte cuvinte, toată informația despre limită este ascunsă într-un singur număr, produsul $b_n\left(a_n-1\right)$ — și de aceea el se calculează primul, nu ultimul.

Notă de drum. Aceeași idee se reia la funcții, în lecția Limitele fundamentale care duc la numărul e. Nedeterminarea unu la infinit, unde forma de lucru primește și o demonstrație generală. Aici rămânem strict la șiruri.

8. Verifică întâi că ești chiar în cazul $1^{\infty }$

Distincția dintre cazul $1^{\infty }$ autentic și cel fals a fost făcută în lecția Cazurile de nedeterminare zero ori infinit, zero supra zero și unu la infinit. O reluăm într-un rând, pentru că abia acum rețeta în cinci pași dă un motiv practic să o respecți: aplicată în afara cazului $1^{\infty }$, ea îți consumă zece minute pentru un răspuns care se citea dintr-o linie.

Deci: calculează întâi limita bazei. Dacă baza tinde la un număr supraunitar — de pildă la ${\left(\frac{4n+3}{n+5}\right)}^n$, unde raportul tinde la $4$ — limita este $4^{+\infty }=+\infty$ și ai terminat. Dacă baza tinde la un număr subunitar pozitiv — la ${\left(\frac{n+2}{3n+1}\right)}^n$ raportul tinde la $\frac{1}{3}$ — limita este ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{+\infty }=0$. Scrierea $1+u_n$ are sens numai când baza tinde chiar la $1$; altfel $u_n$ nu tinde la zero, iar forma fundamentală nu se poate construi. Verifică, în plus, și exponentul: dacă el rămâne mărginit, puterea se calculează direct.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Exponent deplasat cu o constantă

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+3}$.

Rezolvare. Nu forțăm nimic: descompunem puterea. $${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+3}={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\cdot {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^3.$$ Primul factor tinde la $e$, al doilea la $1^3=1$, deci limita este $e\cdot 1=e$.

Verificare: pentru $n=10^6$ expresia dă $2,7182886\dots$, iar pentru $n=10^7$ dă $2,7182825\dots$ — se apropie de $e$. ✓

Exemplul 2 — Constantă la numărătorul fracției

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$.

Rezolvare. Baza tinde la $1$, exponentul la $+\infty$: caz $1^{\infty }$. Aplicăm rețeta cu $u_n=\frac{2}{n}$, deci $\frac{1}{u_n}=\frac{n}{2}$: $${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n={\left[{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^{\frac{n}{2}}\right]}^2.$$ Paranteza dreaptă este de forma $(1+x_n{)}^{1/x_n}$ cu $x_n=\frac{2}{n}\to 0$, deci tinde la $e$; exponentul este constant, $2$. Limita este $e^2\approx 7,389$.

Verificare: la $n=10^6$ expresia dă $7,38904\dots$, iar $e^2=7,38905\dots$ ✓

Exemplul 3 — Raport de expresii de gradul întâi, limită subunitară

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}^n$.

Rezolvare. Aducem baza la forma $1+u_n$ prin împărțire cu rest: $$\frac{n+1}{n+2}=\frac{(n+2)-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}.$$ Deci $u_n=-\frac{1}{n+2}\to 0$, $u_n\ne 0$, iar $\frac{1}{u_n}=-(n+2)$. Scriem $${\left(1-\frac{1}{n+2}\right)}^n={\left[{\left(1-\frac{1}{n+2}\right)}^{-(n+2)}\right]}^{-\frac{n}{n+2}}.$$ Paranteza tinde la $e$, iar exponentul la $-1$, deci limita este $e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0,368$.

Verificare: la $n=10^6$ expresia dă $0,3678799\dots$, iar $\frac{1}{e}=0,3678794\dots$ ✓

Exemplul 4 — Exponent multiplu

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{3n+2}{3n-1}\right)}^{2n}$.

Rezolvare. Baza: $\frac{3n+2}{3n-1}=\frac{(3n-1)+3}{3n-1}=1+\frac{3}{3n-1}$, deci $u_n=\frac{3}{3n-1}\to 0$.

Exponentul auxiliar: $u_n\cdot 2n=\frac{6n}{3n-1}\to 2$. Scriem $${\left(1+\frac{3}{3n-1}\right)}^{2n}={\left[{\left(1+\frac{3}{3n-1}\right)}^{\frac{3n-1}{3}}\right]}^{\frac{6n}{3n-1}}.$$ Paranteza tinde la $e$ (forma fundamentală cu $x_n=\frac{3}{3n-1}$), exponentul la $2$, deci limita este $e^2$.

Verificare: la $n=10^6$ expresia dă $7,389053\dots$, apropiat de $e^2=7,389056\dots$ ✓

Exemplul 5 — Nedeterminare $1^{\infty }$ care NU dă $e$

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^n$.

Rezolvare. Suntem tot în cazul $1^{\infty }$, dar aici $u_n=\frac{1}{n^2}$ este „prea mic" față de exponent: $${\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^n={\left[{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^{n^2}\right]}^{\frac{1}{n}}.$$ Paranteza tinde la $e$, exponentul $\frac{1}{n}$ tinde la $0$, deci limita este $e^0=1$.

Verificarea rețetei: $c=\lim n\cdot \frac{1}{n^2}=\lim \frac{1}{n}=0$, iar $e^0=1$. ✓ Numeric: la $n=10^6$ expresia dă $1,000001\dots$ — într-adevăr, spre $1$.

Reține exemplul: el arată că răspunsul depinde de viteza cu care baza se apropie de $1$ față de viteza cu care crește exponentul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, $a_n={\left(\frac{n^2+3n+1}{n^2+2n+5}\right)}^n$. a) Arătați că $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+3n+1}{n^2+2n+5}=1$. b) Determinați $\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(\frac{n^2+3n+1}{n^2+2n+5}-1\right)$. c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$.

Rezolvare.

a) Raport de polinoame de același grad: limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{1}{1}=1$. (Formal, se dă factor forțat $n^2$ la numărător și la numitor.)

b) Calculăm întâi diferența: $$\frac{n^2+3n+1}{n^2+2n+5}-1=\frac{\left(n^2+3n+1\right)-\left(n^2+2n+5\right)}{n^2+2n+5}=\frac{n-4}{n^2+2n+5}.$$ Înmulțind cu $n$ obținem $\frac{n^2-4n}{n^2+2n+5}$, raport de polinoame de gradul al doilea, cu limita $1$.

c) Din a) și b) suntem în cazul $1^{\infty }$, cu $u_n=\frac{n-4}{n^2+2n+5}\to 0$ și $u_n\ne 0$ pentru $n\ne 4$ (primii termeni nu schimbă limita). Scriem $$a_n={\left[{\left(1+u_n\right)}^{\frac{1}{u_n}}\right]}^{n{u}_n},n{u}_n\to 1,$$ deci $\lim a_n=e^1=e$.

Verificare numerică: la $n=10^6$ expresia dă $2,718264\dots$, iar la $n=10^7$ dă $2,718280\dots$ — convergență spre $e$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare limită de tip $1^{\infty }$, scrie explicit cei cinci pași — mai ales pasul în care aduci exponentul la $\frac{1}{u_n}$.

1. Calculează exact, ca fracție ordinară, termenii $e_2$, $e_3$ și $e_4$ ai șirului $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ și verifică inegalitatea $2\le e_n<3$.

2. Scrie forma binomială a lui $e_4$ (patru paranteze, cu factorii $1-\frac{k}{4}$) și verifică prin calcul că suma obținută este $\frac{625}{256}$.

3. Arată că $k!\ge 2^{k-1}$ pentru $k\in \{1,2,3,4,5\}$, calculând ambele valori.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Deoarece $1+\frac{1}{n}\to 1$ și $1^n=1$ pentru orice $n$, rezultă că ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to 1$."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Șirul $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este convergent pentru că termenii lui se apropie unul de altul în tabelul de valori."

6. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+5}$.

7. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{3n}$.

8. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$.

9. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)}^{2n+1}$.

10. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+3}{n+1}\right)}^n$.

11. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)}^n$.

12. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^{n+5}$.

13. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+4}{n+1}\right)}^{2n}$.

14. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}^n$ și explică de ce răspunsul nu este $e$.

15. (Problemă aplicată.) La o tombolă cu $n$ bilete se fac $n$ extrageri independente, iar la fiecare extragere șansa ta de câștig este $\frac{1}{n}$. Probabilitatea de a nu câștiga la niciuna dintre cele $n$ extrageri este $p_n={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$. Calculează $p_{10}$ și $p_{100}$, determină $\lim p_n$ și interpretează rezultatul.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $a_n={\left(\frac{n^2+2n+3}{n^2+4n+1}\right)}^n$. Arătați că baza tinde la $1$, calculați $\lim n\left(\text{baza}-1\right)$ și deduceți $\lim a_n$.

17. Determină numărul real $a$ pentru care $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{a}{n}\right)}^n=e^5$.

18. (Provocare.) Notăm $f_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$. Arată că $f_n>e_n$ pentru orice $n$, calculează $f_1$, $f_2$, $f_3$ și $f_{10}$, apoi explică de ce din faptul că $(f_n)$ este descrescător (se admite) rezultă încadrarea $e_n<e<f_n$, deci $e<2,8532$.

Răspunsuri și explicații

1. $e_2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=2,25$; $e_3={\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}\approx 2,370$; $e_4={\left(\frac{5}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}=2,44140625$. Toate sunt în $[2,3)$ și cresc.

2. $e_4=1+1+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{2}{4}\right)+\frac{1}{24}\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{2}{4}\right)\left(1-\frac{3}{4}\right)=2+\frac{3}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{256}=\frac{625}{256}$. ✓

3. $1!=1\ge 2^0=1$; $2!=2\ge 2^1=2$; $3!=6\ge 2^2=4$; $4!=24\ge 2^3=8$; $5!=120\ge 2^4=16$. Diferența crește rapid, exact cum arată demonstrația (factorii $3,4,5,\dots$ sunt mai mari decât $2$).

4. Fals. Aceasta e chiar capcana $1^{\infty }$: baza nu este $1$, ci doar tinde la $1$, iar exponentul crește nemărginit. Numeric, ${\left(1+\frac{1}{10^6}\right)}^{10^6}\approx 2,71828$, foarte departe de $1$.

5. Fals. Tabelul sugerează, nu demonstrează. Argumentul corect este: șirul e strict crescător și mărginit superior de $3$, deci convergent prin teorema lui Weierstrass. Un tabel de valori nu poate exclude ca șirul să crească mai departe, oricât de încet.

6. ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+5}={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^5\to e\cdot 1=e$.

7. ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{3n}={\left[{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right]}^3\to e^3\approx 20,086$.

8. Cu $u_n=-\frac{1}{n}$: ${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n={\left[{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{-n}\right]}^{-1}\to e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0,368$. Numeric, la $n=10^6$: $0,3678793$. ✓

9. Este chiar forma fundamentală cu $y_n=2n+1\to +\infty$: limita este $e$.

10. $\frac{n+3}{n+1}=1+\frac{2}{n+1}$, iar $n\cdot \frac{2}{n+1}\to 2$, deci limita este $e^2$.

11. $\frac{2n+3}{2n+1}=1+\frac{2}{2n+1}$, iar $n\cdot \frac{2}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}\to 1$, deci limita este $e^1=e$. Numeric, la $n=10^7$: $2,7182815$. ✓

12. ${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^{n+5}={\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^5\to e^2\cdot 1=e^2$.

13. $\frac{n+4}{n+1}=1+\frac{3}{n+1}$, iar $2n\cdot \frac{3}{n+1}=\frac{6n}{n+1}\to 6$, deci limita este $e^6\approx 403,43$. Numeric, la $n=10^7$: $403,428$. ✓

14. $c=\lim n\cdot \frac{1}{n^3}=\lim \frac{1}{n^2}=0$, deci limita este $e^0=1$. Nu iese $e$ pentru că baza se apropie de $1$ mult mai repede decât crește exponentul: „câștigul" $\frac{1}{n^3}$ repetat de $n$ ori rămâne neglijabil.

15. $p_{10}=0,9^{10}=0,3486784401$; $p_{100}=0,99^{100}=0,366032\dots$ Limita, calculată la exercițiul 8, este $\frac{1}{e}=0,367879\dots$ Interpretare: oricât de multe bilete ar avea tombola, șansa de a rămâne fără niciun câștig nu scade sub aproximativ $36,8\%$ — practic o șansă din trei. Este unul dintre motivele pentru care numărul $e$ apare și în probabilități, nu doar în analiză.

16. Baza: $\frac{n^2+2n+3}{n^2+4n+1}\to 1$ (grade egale, coeficienți dominanți egali). Diferența: $\frac{n^2+2n+3}{n^2+4n+1}-1=\frac{-2n+2}{n^2+4n+1}$, iar înmulțită cu $n$ dă $\frac{-2n^2+2n}{n^2+4n+1}\to -2$. Prin urmare $\lim a_n=e^{-2}=\frac{1}{e^2}\approx 0,135$.

17. ${\left(1+\frac{a}{n}\right)}^n={\left[{\left(1+\frac{a}{n}\right)}^{\frac{n}{a}}\right]}^a\to e^a$ pentru $a\ne 0$; condiția $e^a=e^5$ dă $a=5$ (funcția exponențială este injectivă). Pentru $a=0$ șirul e constant $1$, deci nu convine.

18. $f_n=e_n\left(1+\frac{1}{n}\right)>e_n$, pentru că factorul suplimentar este supraunitar. Valori: $f_1=2^2=4$, $f_2={\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{27}{8}=3,375$, $f_3={\left(\frac{4}{3}\right)}^4=\frac{256}{81}\approx 3,1605$, $f_{10}={\left(\frac{11}{10}\right)}^{11}\approx 2,85312$. Cum $(e_n)$ crește spre $e$ și $(f_n)$ scade, iar $e_n<f_n$ pentru orice $n$, rezultă $e_n<e<f_n$ pentru orice $n$; în particular $e<f_{10}\approx 2,8532$. Împreună cu $e>e_{10}=2,59374$, ai încadrarea $2,59<e<2,86$ — o metodă de aproximare cu două șiruri, una prin lipsă și una prin adaos.

De reținut

• Șirul $e_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este strict crescător și mărginit, cu $2\le e_n<3$; monotonia și mărginirea se demonstrează scriindu-l cu binomul lui Newton.
• Numărul $e$ se definește ca limită: $e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. Existența limitei o dă teorema lui Weierstrass, iar valoarea este $e\approx 2,718$ (număr irațional).
• Limita fundamentală are două forme echivalente: ${\left(1+\frac{1}{y_n}\right)}^{y_n}\to e$ pentru $y_n\to \pm \infty$ și ${\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}\to e$ pentru $x_n\to 0$, $x_n\ne 0$ (forma din programă).
• Rețeta pentru $1^{\infty }$: scrii baza ca $1+u_n$, construiești exponentul $\frac{1}{u_n}$, calculezi $c=\lim b_n\left(a_n-1\right)$ și răspunzi $e^c$.
• $1^{\infty }$ nu înseamnă automat $e$: rezultatul poate fi $1$, o putere oarecare a lui $e$ sau $+\infty$, după cât de repede se apropie baza de $1$ față de creșterea exponentului.

Greșeli frecvente

• Treci la limită doar în bază. Scrii „$1+\frac{1}{n}\to 1$, deci limita e $1$". Este exact greșeala pe care nedeterminarea $1^{\infty }$ o pedepsește: operațiile cu limite nu se aplică pe bucăți când rezultatul e nedeterminat.
• Consideri tabelul de valori drept demonstrație. Zece termeni care par să se stabilizeze nu garantează nimic. Convergența se justifică prin monotonie plus mărginire (Weierstrass) sau printr-un criteriu, nu prin observație numerică.
• Uiți să calculezi exponentul $c$ și răspunzi automat „$e$". La ${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$ răspunsul este $e^2$, la ${\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^n$ este $1$. Fără pasul 4 al rețetei, răspunsul e greșit în majoritatea cazurilor.
• Nu verifici condiția $u_n\ne 0$. Forma fundamentală cere ca $x_n$ să fie nenul; dacă expresia se anulează pentru câțiva indici, se spune explicit că se elimină acei termeni (eliminarea unui număr finit de termeni nu schimbă limita).
• Confunzi ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ cu ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ sau cu $1+\frac{1}{n^n}$. Prima are limita $e$; a doua tot $e$, dar este mereu mai mare decât $e$; a treia tinde la $1$. Scrie exponentul cu paranteze, ca să nu-l pierzi.

Aplică acasă

1. Suma factorialelor. Majorarea din punctul 4 sugerează o rețetă mult mai bună de aproximare decât șirul însuși. Calculează pe hârtie $1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}$ (răspuns: $\frac{1957}{720}=2,718055\dots$) și compară cu $e=2,718281\dots$: șapte termeni dau trei zecimale corecte, în timp ce șirul $e_n$ are nevoie de mii de termeni pentru același rezultat. Adaugă încă doi termeni și vezi câte zecimale câștigi.

2. Vânătoare de $e$. Caută butonul $e^x$ sau $\ln$ de pe calculatorul telefonului și compară $e^1$ cu valoarea pe care ai obținut-o pentru $n=100000$ în șirul ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. Notează câte zecimale coincid — este o măsură directă a vitezei (mici) cu care șirul converge.

3. Încadrarea cu două șiruri. Calculează $e_n$ și $f_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ pentru $n=5,10,50$ și scrie de fiecare dată încadrarea $e_n<e<f_n$. Vezi cât de repede se strânge intervalul și estimează câți termeni ți-ar trebui ca să obții primele trei zecimale corecte.

Pentru părinți și profesori

Lecția este vârful unității de șiruri: aici se adună tot ce s-a construit înainte — monotonie, mărginire, criteriul cleștelui, operații cu limite — pentru a defini un număr nou. Ideea pe care elevul trebuie să o poată formula singur este că numărul $e$ nu se calculează, ci se definește printr-o limită a cărei existență e garantată de teorema lui Weierstrass.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a dezvoltării binomiale a lui $e_n$ și folosirea ei pentru monotonie și mărginire; (2) enunțarea limitei fundamentale în ambele forme, cu ipotezele complete ($x_n\to 0$ și $x_n\ne 0$); (3) aplicarea celor cinci pași la o nedeterminare $1^{\infty }$, cu calculul explicit al exponentului $c=\lim b_n(a_n-1)$; (4) interpretarea rezultatului într-un context practic (dobânda compusă).

Întrebări bune de control: „De ce nu putem spune că limita e $1$, dacă baza tinde la $1$?", „Ce ipoteze cere teorema lui Weierstrass și de ce sunt ambele necesare?", „Cum ajungi de la ${\left(1+\frac{3}{n}\right)}^n$ la o putere a lui $e$?". La BAC M1 subiectul apare aproape exclusiv sub forma unei limite de tip $1^{\infty }$ dată ca raport de polinoame ridicat la o putere; baremul acordă puncte separate pentru aducerea la forma fundamentală și pentru calculul exponentului. Semn că elevul a înțeles: începe rezolvarea scriind baza ca $1+u_n$, fără să fie îndemnat.

Întrebări frecvente

Ce este numărul e, pe scurt? Este limita șirului ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ — un șir strict crescător și mărginit, deci convergent prin teorema lui Weierstrass. Valoarea lui aproximativă este $2,718$, este un număr irațional și este baza logaritmului natural $\ln$. Numărul $e$ nu se poate defini altfel decât ca limită: nu este soluția niciunei ecuații polinomiale cu coeficienți întregi.

De ce nu este ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ egal cu $1$, dacă baza tinde la $1$? Pentru că baza nu este niciodată egală cu $1$, ci puțin mai mare, iar acest „puțin" este ridicat la o putere care crește nemărginit. Cele două tendințe se compensează parțial, iar rezultatul este un număr fix, între $2$ și $3$. Este cazul de nedeterminare $1^{\infty }$.

Cum demonstrez că șirul lui e este crescător și mărginit? Îl scrii cu binomul lui Newton: $e_n={\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)$. Trecând de la $n$ la $n+1$, fiecare paranteză crește și apare un termen pozitiv în plus, deci șirul crește. Majorând fiecare paranteză cu $1$ și folosind $k!\ge 2^{k-1}$, obții $e_n<3$.

Care este forma exactă a limitei fundamentale cerută de programă? $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}=e$, unde $x_n\to 0$ și $x_n\ne 0$ pentru orice $n$. Forma echivalentă, cu exponent care tinde la infinit, este $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{y_n}\right)}^{y_n}=e$ pentru $y_n\to \pm \infty$; trecerea dintre ele se face cu substituția $x_n=\frac{1}{y_n}$.

Cum rezolv o limită de forma ${\left(\frac{an+b}{an+c}\right)}^n$? Împarți cu rest ca să scrii baza sub forma $1+u_n$, cu $u_n=\frac{b-c}{an+c}$, apoi construiești exponentul $\frac{1}{u_n}$ și calculezi $c^{\ast }=\lim n{u}_n=\frac{b-c}{a}$. Răspunsul este $e^{c^{\ast }}$.

Orice nedeterminare $1^{\infty }$ are limita $e$? Nu. Limita este $e^c$, unde $c=\lim b_n\left(a_n-1\right)$. Dacă $c=0$ limita e $1$, dacă $c$ e finit nenul limita e o putere a lui $e$, iar dacă $c=+\infty$ limita e $+\infty$. Exemplul-etalon în care nu iese $e$ este ${\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^n\to 1$.

Numărul e apare și la funcții? Da, aceeași limită se transformă într-una dintre cele cinci limite fundamentale ale capitolului de limite de funcții, $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$. Ea se studiază în lecția Limitele fundamentale care duc la numărul e. Nedeterminarea unu la infinit, unde primește și o formă de lucru generală, demonstrată.

La ce folosește numărul e în afara matematicii? Descrie orice proces în care creșterea este proporțională cu mărimea deja acumulată și se produce „în fiecare clipă": dobânda cu capitalizare continuă, înmulțirea unei culturi de bacterii, dezintegrarea radioactivă, răcirea unui corp. Aplicațiile economice le vezi în lecția Modelarea proceselor de creștere și de descreștere prin șiruri.