Numărul soluțiilor unei ecuații: pe scurt

Numărul soluțiilor unei ecuații se citește din tabelul de variație, ramură cu ramură. O ramură este o porțiune a domeniului cu o singură săgeată, deci o porțiune pe care funcția e continuă și strict monotonă.

Criteriul ramurii: pe o asemenea porțiune, ecuația $f(x)=m$ are exact o soluție dacă $m$ aparține imaginii ramurii și niciuna în rest. „Cel mult una" vine din injectivitatea funcției strict monotone, iar „cel puțin una" din consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (teorema lui Bolzano). Numărul total de soluții este numărul ramurilor a căror imagine îl conține pe $m$.

Când ecuația are un parametru, primul gest este separarea lui, sub forma $g(x)=m$: numărul soluțiilor devine numărul punctelor în care dreapta orizontală $y=m$ taie graficul lui $g$. Marele câștig este că un singur tabel rezolvă discuția pentru toate valorile parametrului deodată.

Valorile de graniță ale discuției sunt exact valorile extreme din tabel. Când $m$ este egal cu una dintre ele, punctul critic este capătul comun a două ramuri vecine, iar soluția se numără o singură dată: geometric, dreapta e tangentă graficului, algebric, două soluții s-au contopit.

Metoda funcționează și acolo unde nicio formulă nu ajută, ca la $\ln x=x-2$ sau la ecuațiile cu exponențiale. Înainte de a deriva, merită o transformare echivalentă care simplifică funcția.

Exerciții din această mini-lecție

1. Numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^3-12x+4=0$ este:

   • a) $1$
   • b) $3$
   • c) $2$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $3$

   Cu $f(x)=x^3-12x+4$ avem $f^{\prime }(x)=3x^2-12$, cu rădăcinile $\pm 2$ și semnele $+$, $-$, $+$. Valorile extreme sunt $f(-2)=20$ și $f(2)=-12$, iar limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$. Imaginile ramurilor, $(-\infty ,20]$, $[-12,20]$ și $[-12,+\infty )$, îl conțin toate pe $0$, deci ecuația are câte o soluție pe fiecare ramură.

2. Ecuația $x^4-4x^2=m$ are exact trei soluții reale:

   • a) doar pentru $m=0$
   • b) pentru orice $m\in (-4,0)$
   • c) doar pentru $m=-4$
   • d) pentru niciun $m$ real
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) doar pentru $m=0$

   $g^{\prime }(x)=4x^3-8x=4x\left(x^2-2\right)$ are rădăcinile $-\sqrt{2}$, $0$, $\sqrt{2}$, cu $g\left(\pm \sqrt{2}\right)=-4$ (minime globale) și $g(0)=0$ (maxim local); limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$. Dreapta $y=m$ taie graficul în patru puncte pentru $-4<m<0$, în două pentru $m=-4$ și pentru $m>0$, în niciunul pentru $m<-4$. Exact trei intersecții apar numai la nivelul maximului local, adică pentru $m=0$.

3. Ecuația $x{e}^{-x}=m$ are exact o soluție reală dacă și numai dacă:

   • a) $m>\frac{1}{e}$
   • b) $0<m<\frac{1}{e}$
   • c) $m\le 0$ sau $m=\frac{1}{e}$
   • d) $m\ge 0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $m\le 0$ sau $m=\frac{1}{e}$

   $g^{\prime }(x)=e^{-x}(1-x)$ dă maximul global $g(1)=\frac{1}{e}$; limita la $-\infty$ este $-\infty$, iar la $+\infty$ este $0$, fără să fie atinsă. Ramurile au imaginile $\left(-\infty ,\frac{1}{e}\right]$ și $\left(0,\frac{1}{e}\right]$. Pentru $m\le 0$ doar prima ramură dă soluție; pentru $0<m<\frac{1}{e}$ dau amândouă, deci sunt două; pentru $m=\frac{1}{e}$ ele se contopesc în $x=1$; pentru $m>\frac{1}{e}$ nu există niciuna.