Numărul soluțiilor unei ecuații studiat cu derivate

Un inginer care reglează un sistem nu întreabă „cât este soluția", ci „câte reglaje diferite dau același rezultat". Un economist care caută pragul de rentabilitate vrea să știe dacă ecuația lui are un răspuns, două sau niciunul, și cum se schimbă asta când se modifică un preț. În ambele cazuri, numărul soluțiilor contează mai mult decât valoarea lor, iar întrebarea are, de obicei, un parametru în ea.

Este a treia oară când întâlnești această temă, și ultima. La Existența soluțiilor unei ecuații aveai doar continuitatea: alegeai puncte de probă, numărai schimbările de semn și puteai spune „cel puțin atâtea soluții". La Șirul lui Rolle ai câștigat cuvântul exact: rădăcinile derivatei au înlocuit punctele de probă ghicite, iar „cel mult una" plus „cel puțin una" au dat „exact una". Astăzi înlocuiești șirul lui Rolle cu tabelul de variație, iar câștigul nu mai e la un exercițiu, ci la o categorie întreagă: discuția după un parametru se rezolvă dintr-un singur tabel, pentru toate valorile parametrului deodată.

Ce vei învăța

• Vei ști să numeri soluțiile unei ecuații analizând fiecare ramură de monotonie din tabelul de variație.
• Vei ști criteriul care decide totul: pe o ramură există soluție dacă și numai dacă valoarea căutată e în imaginea ramurii.
• Vei ști să rezolvi discuția după un parametru prin separarea lui, sub forma $g(x)=m$.
• Vei ști să recunoști cazurile de graniță, când parametrul atinge o valoare extremă și două soluții se contopesc.
• Vei ști când tabelul de variație e mai bun decât șirul lui Rolle și de ce.

Hai să descoperim împreună

1. Unde am rămas: trei unelte, trei răspunsuri

Rezumatul de care ai nevoie ca să vezi ce se adaugă azi:

• Lecția 93 — continuitate plus schimbare de semn. Concluzia era „cel puțin $k$ soluții". Punctele de probă se alegeau la noroc, deci puteai pierde soluții.
• Lecția 105 — șirul lui Rolle. Pragurile devin rădăcinile derivatei, iar concluzia devine „exact $k$ soluții". Se scriu valorile lui $f$ în punctele critice și limitele la capete, apoi semnele lor.
• Lecția 115 — tabelul de variație. Se scriu, în plus, semnul derivatei și săgețile. Aparent e doar un rând în plus; de fapt e informația care schimbă natura răspunsului, cum vei vedea în secțiunea 8.

Merită să vezi progresul și din alt unghi, cel al întrebării la care poți răspunde. Cu lecția 93 puteai spune „ecuația are soluții". Cu lecția 105 puteai spune „ecuația are exact atâtea soluții". De astăzi vei putea spune „ecuația are atâtea soluții pentru fiecare valoare a parametrului", iar aceasta e forma în care întrebarea apare aproape întotdeauna în subiectele de Bacalaureat M1: nu „câte soluții are", ci „determinați $m$ astfel încât ecuația să aibă exact două soluții". Diferența dintre ultimele două formulări e diferența dintre un exercițiu rezolvat și un exercițiu rezolvat de cinci ori.

2. Criteriul ramurii — o singură propoziție care le rezolvă pe toate

Numim ramură o porțiune a domeniului pe care funcția e continuă și strict monotonă, adică o porțiune cu o singură săgeată în tabel. Pe o ramură se întâmplă exact două lucruri.

Cel mult o soluție. O funcție strict monotonă este injectivă: valori diferite în puncte diferite. Deci nu poate lua valoarea $0$ de două ori. Observă că argumentul nu mai are nevoie de teorema lui Rolle și de reducerea la absurd — vine direct din monotonie.

Cel puțin o soluție, dacă semnele diferă la capete. Aceasta e consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (Darboux), numită și teorema lui Bolzano: dacă $f$ e continuă pe $[\alpha ,\beta ]$ și $f(\alpha )f(\beta )<0$, atunci $f$ se anulează undeva înăuntru. Când capătul ramurii e infinit sau nu aparține domeniului, se folosește limita: dacă limita e $-\infty$, atunci sigur există un punct în care funcția e negativă, iar teorema se aplică pe intervalul dintre acel punct și celălalt capăt.

Punându-le împreună și folosind Imaginea unei funcții stabilită cu derivata, obții formularea cea mai economică:

Criteriul ramurii. Fie $J$ o ramură de monotonie a lui $f$. Ecuația $f(x)=m$ are exact o soluție în $J$ dacă $m$ aparține imaginii lui $f$ pe $J$ și nicio soluție în caz contrar.

Iar imaginea unei ramuri se citește la capete, cu regula închis/deschis din lecția precedentă. Numărul total de soluții este numărul ramurilor a căror imagine îl conține pe $m$ — cu grija de a nu număra de două ori un punct care e capăt comun a două ramuri.

Această ultimă grijă merită desfășurată, pentru că e singurul loc în care metoda cere atenție. Două ramuri vecine se ating într-un punct critic $x_0$, iar valoarea $f(x_0)$ apare, ca valoare atinsă, în imaginile amândurora. Când $m=f(x_0)$, cele două ramuri „aduc" aceeași soluție, anume $x_0$ însuși, deci contribuția lor comună este $1$, nu $2$. Pentru orice altă valoare a lui $m$ nu există niciun risc: ramurile împart cel mult un punct, iar acel punct e luat de funcție o singură dată. Practic, regula se rezumă la: valorile extreme din tabel se tratează separat, iar restul valorilor lui $m$ se grupează pe intervale.

3. Rețeta în șase pași

1. Aduci ecuația la forma $f(x)=0$ sau, dacă are parametru, la forma $g(x)=m$ (separarea parametrului).
2. Stabilești domeniul și verifici continuitatea și derivabilitatea.
3. Calculezi derivata, rezolvi $f^{\prime }(x)=0$ și îi afli semnul.
4. Construiești tabelul de variație, cu valorile în punctele critice și limitele la toate capetele.
5. Scrii imaginea fiecărei ramuri.
6. Aplici criteriul ramurii și numeri; la final precizezi și în ce interval se află fiecare soluție.

4. Prima aplicare completă

Câte soluții reale are ecuația $x^3-6x^2+9x-2=0$?

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$, funcție polinomială, deci continuă și derivabilă. Avem $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, cu rădăcinile $1$ și $3$; semnul lui $f^{\prime }$ e pozitiv, negativ, pozitiv. Valorile: $f(1)=1-6+9-2=2$ și $f(3)=27-54+27-2=-2$. Limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Citirea tabelului: sunt trei ramuri, cu imaginile $(-\infty ,2]$, $[-2,2]$ și $[-2,+\infty )$. Numărul $0$ aparține tuturor trei, deci ecuația are exact trei soluții reale, câte una în fiecare dintre intervalele $(-\infty ,1)$, $(1,3)$ și $(3,+\infty )$. (Verificat prin eșantionare densă și bisecție: exact trei rădăcini, $\approx 0,2679492$, $\approx 2$ și $\approx 3,7320508$.)

Observă ce s-a schimbat față de lecția 105: nu am scris un rând de semne, ci am citit imagini de ramuri. Rezultatul e același, dar procedura se generalizează imediat la ecuații de forma $f(x)=m$.

5. Separarea parametrului

Când ecuația conține un parametru, primul gest este să-l izolezi: aduci ecuația la forma $g(x)=m$, cu tot ce depinde de $x$ într-un membru și parametrul singur în celălalt. Atunci numărul soluțiilor devine numărul punctelor în care graficul lui $g$ e tăiat de dreapta orizontală $y=m$ — iar dreapta se poate plimba în sus și în jos peste tabelul deja construit.

Ai văzut, la lecția 105, discuția ecuației $x^3-3x=m$ făcută cu șirul lui Rolle. Pe calea de azi, tabelul funcției $g(x)=x^3-3x$ (cel din modelul de tabel de variație: minim local $-2$ în $x=1$, maxim local $2$ în $x=-1$) dă imaginile de ramuri $(-\infty ,2]$, $[-2,2]$, $[-2,+\infty )$, de unde se citește dintr-o singură privire: pentru $|m|>2$ o soluție, pentru $|m|=2$ două, pentru $|m|<2$ trei. Compară cu lecția 105: acolo, pentru fiecare valoare a lui $m$, trebuia refăcut rândul de semne, pentru că valorile $f(x_1)$ și $f(x_2)$ depindeau de $m$. Aici tabelul nu se atinge deloc.

6. Un tabel, toate valorile parametrului

Discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor ecuației $x{e}^x=m$.

Parametrul e deja separat. Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x{e}^x$, derivabilă, cu $g^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$. Cum $e^x>0$, semnul lui $g^{\prime }$ e semnul lui $x+1$: negativ pentru $x<-1$, pozitiv pentru $x>-1$. Valoarea: $g(-1)=-\frac{1}{e}$. Limitele: $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$ (nedeterminarea $0\cdot \infty$, tratată la Nedeterminările reduse la L'Hopital), iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^x=+\infty$.

Citirea tabelului: două ramuri. Pe $(-\infty ,-1]$ funcția scade de la $0$ (limită, deci capăt deschis) la $-\frac{1}{e}$, deci imaginea e $\left[-\frac{1}{e},0\right)$. Pe $[-1,+\infty )$ crește de la $-\frac{1}{e}$ la $+\infty$, deci imaginea e $\left[-\frac{1}{e},+\infty \right)$. Aplicăm criteriul ramurii pentru fiecare $m$:

Rândul al doilea e cazul de graniță: $x=-1$ e capătul amândurora ramurilor, deci se numără o singură dată. Geometric, dreapta $y=-\frac{1}{e}$ este tangentă la grafic în punctul de minim; algebric, cele două soluții „s-au contopit". (Toate cele patru cazuri au fost verificate prin numărare efectivă, inclusiv exact la valorile de graniță $m=-\frac{1}{e}$ și $m=0$.)

7. Ecuații care nu se rezolvă altfel

Puterea metodei se vede la ecuațiile pentru care nu există nicio formulă.

Arătăm că ecuația $3^x+4^x=5^x$ are exact o soluție reală.

Împărțim prin $5^x>0$ și obținem $h(x)={\left(\frac{3}{5}\right)}^x+{\left(\frac{4}{5}\right)}^x=1$. La Demonstrarea inegalităților cu ajutorul derivatelor am arătat că $h$ e strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$, pentru că $h^{\prime }$ e o sumă de termeni negativi. Limitele: la $-\infty$ ambele puteri cu baze subunitare tind la $+\infty$, iar la $+\infty$ amândouă tind la $0$. Deci $h$ are o singură ramură, cu imaginea $(0,+\infty )$, iar $1$ îi aparține: ecuația are exact o soluție. Cum $h(2)=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$, soluția este $x=2$ — regăsim, pe această cale, egalitatea $3^2+4^2=5^2$.

Aceeași metodă răspunde și la întrebări de tipul „câte soluții are $\ln x=mx$" sau „câte soluții are $e^x=x^2$", unde nicio manipulare algebrică nu izolează necunoscuta.

Un sfat de tehnică, pentru astfel de ecuații: înainte de a deriva, caută o transformare echivalentă care simplifică funcția. La exemplul de mai sus, împărțirea prin $5^x$ a înlocuit o diferență de trei exponențiale cu o sumă de două puteri subunitare, a cărei derivată are semn evident. Fără acest pas, ai fi avut de studiat semnul lui $3^x\ln 3+4^x\ln 4-5^x\ln 5$, adică o problemă la fel de grea ca cea inițială. Regula: simplifică întâi, derivează după aceea — sunt permise împărțirea printr-o expresie strict pozitivă și logaritmarea, când ambii membri sunt strict pozitivi.

8. Ce aduce tabelul față de șirul lui Rolle

Cele două metode dau același răspuns când întrebarea e „câte soluții are această ecuație, fără parametru". Se despart la restul.

Concluzia practică pentru lucrare: la o ecuație numerică fără parametru, alege metoda pe care o stăpânești mai bine — amândouă sunt corecte și acceptate. La o discuție după un parametru, alege tabelul de variație: economisește jumătate din timp și e mai greu de greșit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două soluții pentru o ecuație transcendentă

Câte soluții reale are ecuația $e^x=x+3$?

Rezolvare. Fie $f(x)=e^x-x-3$, cu $f^{\prime }(x)=e^x-1$, care se anulează în $0$ și are semnul negativ înainte, pozitiv după. Valoarea: $f(0)=1-0-3=-2$. Limitele: la $-\infty$, $e^x\to 0$ și $-x\to +\infty$, deci $f\to +\infty$; la $+\infty$, exponențiala domină, deci tot $+\infty$. Cele două ramuri au imaginile $[-2,+\infty )$ și $[-2,+\infty )$, iar $0$ aparține amândurora: ecuația are exact două soluții, una negativă și una pozitivă. (Verificat prin numărare efectivă: $\approx -2,9475308$ și $\approx 1,5052415$.) ✓

Exemplul 2 — Un polinom de grad patru

Câte soluții reale are ecuația $x^4-4x+1=0$?

Rezolvare. $f(x)=x^4-4x+1$, $f^{\prime }(x)=4x^3-4=4(x^3-1)$, cu unica rădăcină reală $x=1$; semnul e negativ înainte, pozitiv după. Valoarea: $f(1)=1-4+1=-2$. Limitele sunt $+\infty$ la ambele capete.

Ambele ramuri au imaginea $[-2,+\infty )$, care conține $0$, deci ecuația are exact două soluții reale, una în $(-\infty ,1)$ și una în $(1,+\infty )$. Gradul patru permitea până la patru rădăcini; tabelul arată că doar două sunt reale. (Verificat: $\approx 0,2509922$ și $\approx 1,4933586$.) ✓

Exemplul 3 — Discuție completă după parametru

Discutați, după valorile lui $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $x^3-3x^2+m=0$.

Rezolvare. Separăm parametrul: ecuația se scrie $m=3x^2-x^3$. Fie $g(x)=3x^2-x^3$, cu $g^{\prime }(x)=6x-3x^2=3x(2-x)$, cu rădăcinile $0$ și $2$; semnul lui $g^{\prime }$ e negativ, pozitiv, negativ. Valorile: $g(0)=0$ și $g(2)=12-8=4$. Limitele: la $-\infty$, $-x^3\to +\infty$, deci $g\to +\infty$; la $+\infty$, $g\to -\infty$.

Imaginile ramurilor: $[0,+\infty )$, $[0,4]$ și $(-\infty ,4]$. Discuția:

(Toate cele cinci cazuri verificate prin numărare efectivă, inclusiv exact în $m=0$ și $m=4$.) ✓

Exemplul 4 — Unicitatea unei soluții, fără să o calculăm

Arătați că ecuația $\ln x=x-2$ are exact două soluții reale.

Rezolvare. Domeniul e $(0,+\infty )$. Fie $f(x)=\ln x-x+2$, cu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$, pozitivă pe $(0,1)$ și negativă pe $(1,+\infty )$. Valoarea: $f(1)=0-1+2=1$. Limitele: la $0$ dinspre dreapta, $\ln x\to -\infty$, deci $f\to -\infty$; la $+\infty$, $-x$ domină, deci $f\to -\infty$. Cele două ramuri au imaginile $(-\infty ,1]$ și $(-\infty ,1]$, iar $0$ aparține amândurora: exact două soluții, una în $(0,1)$ și una în $(1,+\infty )$. (Verificat: $\approx 0,1585943$ și $\approx 3,1461932$.) ✓

Exemplul 5 — Parametrul care dă exact o soluție

Determinați valorile lui $m>0$ pentru care ecuația $\ln x=mx$ are exact o soluție reală.

Rezolvare. Pe $(0,+\infty )$, ecuația e echivalentă cu $\frac{\ln x}{x}=m$ (am împărțit prin $x>0$). Funcția $F(x)=\frac{\ln x}{x}$ a fost studiată complet la lecția 113: crește pe $(0,e]$ de la $-\infty$ la $\frac{1}{e}$ și scade pe $[e,+\infty )$ de la $\frac{1}{e}$ la $0$. Imaginile ramurilor sunt $\left(-\infty ,\frac{1}{e}\right]$ și $\left(0,\frac{1}{e}\right]$.

Pentru $m>0$: dacă $m<\frac{1}{e}$, valoarea $m$ e în amândouă imaginile, deci sunt **două** soluții; dacă $m=\frac{1}{e}$, cele două se contopesc în $x=e$, deci este **una singură**; dacă $m>\frac{1}{e}$, nu e în niciuna, deci niciuna. Răspunsul: $m=\frac{1}{e}$. (Verificat prin numărare efectivă pentru șase valori ale lui $m$, inclusiv exact în $\frac{1}{e}$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $2x^3-3x^2-12x+m=0$.

Rezolvare. Scriem ecuația sub forma $f(x)=-m$, cu $f(x)=2x^3-3x^2-12x$. Atunci $f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$, cu rădăcinile $-1$ și $2$; semnul e pozitiv, negativ, pozitiv. Valorile: $f(-1)=-2-3+12=7$ și $f(2)=16-12-24=-20$. Limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Imaginile ramurilor: $(-\infty ,7]$, $[-20,7]$ și $[-20,+\infty )$. Notând $k=-m$, obținem: o soluție pentru $k>7$, două pentru $k=7$, trei pentru $-20<k<7$, două pentru $k=-20$, una pentru $k<-20$. Revenind la $m=-k$:

Atenție la pasul cu semnul: trecerea de la $k$ la $m=-k$ inversează sensul inegalităților. E greșeala cea mai frecventă la acest tip de exercițiu. (Toate cazurile verificate prin numărare efectivă, inclusiv exact în $m=-7$ și $m=20$.) ✓

Să exersăm

1. Câte soluții reale are ecuația $x^3-3x+1=0$?

2. Câte soluții reale are ecuația $x^3+3x-5=0$?

3. Câte soluții reale are ecuația $x^4-2x^2+3=0$?

4. Câte soluții reale are ecuația $e^x=2x$?

5. Câte soluții reale are ecuația $e^x=ex$?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, atunci ecuația $f(x)=0$ are exact o soluție reală."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $f^{\prime }$ se anulează în exact două puncte, atunci ecuația $f(x)=0$ are cel mult trei soluții reale."

8. Câte soluții reale are ecuația $\ln x=x-2$?

9. Discută, după valorile lui $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $x^3-3x=m$.

10. Discută, după valorile lui $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $\frac{x}{x^2+1}=m$.

11. Arată că ecuația $x^5+x^3+x=10$ are exact o soluție reală.

12. Arată că ecuația $2^x+3^x=4^x$ are exact o soluție reală și precizează un interval de lungime $1$ în care se află.

13. (Problemă aplicată.) Temperatura unui corp care se răcește este $T(t)=20+60e^{-t/10}$ grade Celsius, la $t$ minute de la începutul măsurătorii. Arată că temperatura de $50$ de grade se atinge exact o dată și află momentul.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determină valorile lui $m$ real pentru care ecuația $x^4-4x+m=0$ are exact două soluții reale.

15. Arată că ecuația $\ln x=\frac{x}{e}$ are exact o soluție reală și determin-o.

16. Câte soluții reale are ecuația $e^x=x^2$? (Indicație: folosește rezultatul exercițiului 4.)

17. Discută, după valorile lui $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $\frac{\ln x}{x}=m$.

18. (Provocare.) Arată că ecuația $x^3+mx+1=0$ are cel puțin o soluție reală pentru orice $m$ real și determină valorile lui $m$ pentru care are trei soluții reale distincte.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, cu rădăcinile $\pm 1$; $f(-1)=3$, $f(1)=-1$; limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$. Imaginile ramurilor sunt $(-\infty ,3]$, $[-1,3]$ și $[-1,+\infty )$, toate conținând $0$: trei soluții.

2. $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$, deci o singură ramură, cu imaginea $\mathbb{R}$: o soluție.

3. $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$, cu rădăcinile $-1$, $0$, $1$; $f(-1)=f(1)=2$, $f(0)=3$; limitele sunt $+\infty$. Minimul global este $2>0$, deci $0$ nu e în imaginea niciunei ramuri: nicio soluție.

4. $f(x)=e^x-2x$, $f^{\prime }(x)=e^x-2$, cu rădăcina $\ln 2$; $f(\ln 2)=2-2\ln 2\approx 0,6137>0$ e minimul global, iar limitele sunt $+\infty$. Imaginea funcției e $[2-2\ln 2,+\infty )$, care nu conține $0$: nicio soluție.

5. $f(x)=e^x-ex$, $f^{\prime }(x)=e^x-e$, cu rădăcina $1$; $f(1)=e-e=0$ e minimul global. Valoarea $0$ e chiar capătul comun al celor două ramuri, deci o singură soluție, $x=1$. E cazul de tangență: dreapta $y=ex$ atinge graficul exponențialei fără să-l traverseze.

6. Fals. Stricta creștere dă cel mult o soluție, nu cel puțin una. Contraexemplu: $f(x)=e^x$ e strict crescătoare, dar $e^x=0$ nu are soluții. E nevoie și ca $0$ să fie în imaginea funcției.

7. Adevărat. Două rădăcini ale derivatei împart domeniul în cel mult trei intervale de monotonie, iar pe fiecare, funcția fiind injectivă, ecuația are cel mult o soluție.

8. Vezi Exemplul 4: două soluții, una în $(0,1)$ și una în $(1,+\infty )$.

9. Din tabelul funcției $g(x)=x^3-3x$ (maxim local $2$ în $x=-1$, minim local $-2$ în $x=1$, limite $\mp \infty$), imaginile ramurilor sunt $(-\infty ,2]$, $[-2,2]$, $[-2,+\infty )$. Deci: $|m|>2$ dă o soluție, $|m|=2$ dă două, $|m|<2$ dă trei.

10. Din lecția 113, tabelul lui $g(x)=\frac{x}{x^2+1}$ dă imaginile de ramuri $\left[-\frac{1}{2},0\right)$, $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ și $\left(0,\frac{1}{2}\right]$. Deci: pentru $|m|>\frac{1}{2}$, nicio soluție; pentru $m=\pm \frac{1}{2}$, una ($x=\pm 1$); pentru $m=0$, una ($x=0$); pentru $0<|m|<\frac{1}{2}$, două.

11. $f(x)=x^5+x^3+x-10$ are $f^{\prime }(x)=5x^4+3x^2+1>0$, deci o singură ramură; limitele sunt $\mp \infty$, deci imaginea e $\mathbb{R}$ și conține $0$: exact o soluție.

12. Împărțind prin $4^x>0$, ecuația devine ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x=1$. Membrul stâng e strict descrescător (sumă de puteri cu baze subunitare), cu limitele $+\infty$ și $0$, deci imaginea $(0,+\infty )$ conține $1$ o singură dată: exact o soluție. Cum valoarea în $1$ e $0,5+0,75=1,25>1$ și în $2$ e $0,25+0,5625=0,8125<1$, soluția e în intervalul $(1,2)$.

13. $T^{\prime }(t)=-6e^{-t/10}<0$, deci $T$ e strict descrescătoare pe $[0,+\infty )$, de la $T(0)=80$ la limita $20$; imaginea e $(20,80]$, care conține $50$ exact o dată. Din $60e^{-t/10}=30$ obținem $e^{-t/10}=\frac{1}{2}$, deci $t=10\ln 2\approx 6,93$ minute.

14. $f(x)=x^4-4x$ are $f^{\prime }(x)=4(x^3-1)$, cu rădăcina $1$ și $f(1)=-3$; limitele sunt $+\infty$. Ecuația se scrie $f(x)=-m$, iar imaginile ambelor ramuri sunt $[-3,+\infty )$. Două soluții apar exact când $-m>-3$, adică **$m<3$**. (Pentru $m=3$ există o singură soluție, $x=1$; pentru $m>3$, niciuna.)

15. Ecuația e echivalentă cu $\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{e}$, iar $\frac{1}{e}$ este chiar maximul funcției $\frac{\ln x}{x}$, atins doar în $x=e$ (lecția 113). Deci ecuația are exact o soluție, $x=e$.

16. Fie $f(x)=e^x-x^2$, cu $f^{\prime }(x)=e^x-2x$. Din exercițiul 4, $e^x>2x$ pentru orice $x$, deci $f^{\prime }>0$: o singură ramură. Limitele sunt $-\infty$ (la $-\infty$, $-x^2$ domină) și $+\infty$, deci imaginea e $\mathbb{R}$: exact o soluție. (Numeric: $\approx -0,7034674$.)

17. Cu imaginile de ramuri $\left(-\infty ,\frac{1}{e}\right]$ și $\left(0,\frac{1}{e}\right]$ ale funcției $\frac{\ln x}{x}$: pentru $m>\frac{1}{e}$, nicio soluție; pentru $m=\frac{1}{e}$, una; pentru $0<m<\frac{1}{e}$, două; pentru $m\le 0$, una.

18. $f(x)=x^3+mx+1$ are limitele $-\infty$ și $+\infty$, iar $f$ e continuă, deci imaginea ei e $\mathbb{R}$ și $0$ îi aparține: există cel puțin o soluție, oricare ar fi $m$. Pentru trei soluții e nevoie ca $f^{\prime }(x)=3x^2+m$ să aibă două rădăcini, deci $m<0$; notând $a=\sqrt{-\frac{m}{3}}>0$, avem $m=-3a^2$, iar valorile extreme sunt $f(-a)=2a^3+1$ și $f(a)=1-2a^3$. Trei soluții distincte apar exact când ele au semne contrare, adică $(2a^3+1)(1-2a^3)<0$, adică $4a^6>1$. Cum $a^2=-\frac{m}{3}$, condiția devine $-\frac{m}{3}>\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$, adică $m<-\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}\approx -1,8899$. (Verificat prin numărare efectivă pentru șapte valori ale lui $m$, inclusiv exact la prag.)

De reținut

• Pe o ramură de monotonie, ecuația $f(x)=m$ are exact o soluție dacă $m$ e în imaginea ramurii și niciuna altfel.
• „Cel mult una" vine acum din injectivitatea funcției strict monotone, nu din teorema lui Rolle.
• „Cel puțin una" vine din consecința de semn a proprietății valorilor intermediare, aplicată pe ramura respectivă.
• La o ecuație cu parametru, separă parametrul ($g(x)=m$): numărul soluțiilor devine numărul intersecțiilor graficului cu dreapta $y=m$.
• Un singur tabel de variație rezolvă discuția pentru toate valorile parametrului; valorile de graniță sunt exact valorile extreme din tabel.

Greșeli frecvente

• Numeri de două ori punctul de contopire. Când $m$ e egal cu o valoare extremă, punctul critic e capătul comun a două ramuri și se numără o singură dată.
• Uiți capetele deschise. La $x{e}^x=m$, valoarea $0$ e limită pe prima ramură, nu valoare; de aceea pentru $m=0$ sunt una, nu două soluții.
• Inversezi greșit inegalitățile. Dacă ai scris ecuația ca $f(x)=-m$, trecerea la $m$ schimbă sensul: $k>7$ înseamnă $m<-7$.
• Confunzi gradul cu numărul de rădăcini reale. $x^4-4x+1=0$ e de gradul patru și are doar două soluții reale.
• Sari peste limitele la capete. Fără ele nu poți scrie imaginea unei ramuri, deci nici nu poți aplica criteriul.

Aplică acasă

1. Aceeași ecuație, trei metode. Ia ecuația $x^3-3x-1=0$ și numără-i soluțiile de trei ori: cu puncte de probă (metoda lecției 93), cu șirul lui Rolle (lecția 105) și cu tabelul de variație. Scrie, în cinci rânduri, ce ți-a cerut fiecare metodă și cât ai lucrat la fiecare.
2. Dreapta care se plimbă. Desenează graficul funcției $g(x)=x^3-3x^2$ și trasează dreptele orizontale $y=-6$, $y=-4$, $y=0$ și $y=2$. Numără intersecțiile pentru fiecare și verifică rezultatele cu tabelul de variație al lui $g$.
3. Ecuații fără formulă. Găsește trei ecuații care nu se rezolvă prin formule (de pildă $x=\cos x$, $2^x=x+3$, $x\ln x=1$) și, pentru fiecare, spune câte soluții are și în ce interval de lungime $1$ se află fiecare. Verifică apoi numeric, evaluând funcția în capetele intervalelor.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide un fir început cu două capitole în urmă și, mai ales, îl sistematizează. Programa cere explicit, la competența XI.CS.3.6, „argumentarea existenței unor soluții ale ecuației $f(x)=0$ într-un interval", iar la XI.CS.5.6 „interpretarea datelor din tabelul de variație". Combinarea celor două este exact conținutul acestei lecții.

Ce verifică lecția: (1) recunoașterea ramurilor de monotonie în tabel; (2) scrierea corectă a imaginii fiecărei ramuri, cu capetele închise sau deschise; (3) aplicarea criteriului ramurii; (4) separarea parametrului și discuția completă, inclusiv valorile de graniță; (5) precizarea intervalelor în care se află soluțiile.

Întrebări bune de control: „De ce pe o ramură nu pot fi două soluții?", „Ce se întâmplă când $m$ e chiar valoarea unui extrem?", „De ce nu trebuie refăcut tabelul pentru fiecare $m$?". La BAC M1, tipul de cerință apare frecvent la subiectul al treilea, în forma „determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației…" sau „determinați $m$ astfel încât ecuația să aibă exact două soluții". Semn că elevul a înțeles: tratează separat valorile de graniță ale parametrului, fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Cum aflu câte soluții are o ecuație folosind derivata? Aduci ecuația la forma $f(x)=0$, construiești tabelul de variație al lui $f$, scrii imaginea fiecărei ramuri de monotonie și numeri câte dintre ele îl conțin pe $0$.

Ce înseamnă „ramură de monotonie"? O porțiune a domeniului pe care funcția e continuă și strict monotonă, adică o porțiune cu o singură săgeată în tabelul de variație. Pe fiecare astfel de porțiune funcția e injectivă, deci nu poate lua aceeași valoare de două ori.

Când folosesc șirul lui Rolle și când tabelul de variație? La o ecuație numerică, fără parametru, ambele merg. La o discuție după un parametru, tabelul de variație e mult mai eficient: un singur tabel acoperă toate valorile parametrului, în timp ce șirul lui Rolle trebuie refăcut pentru fiecare.

Ce înseamnă „separarea parametrului"? Rescrierea ecuației sub forma $g(x)=m$, cu necunoscuta într-un membru și parametrul singur în celălalt. Atunci numărul soluțiilor e numărul intersecțiilor graficului lui $g$ cu dreapta orizontală $y=m$.

De ce, atunci când $m$ e o valoare extremă, apare o soluție în loc de două? Pentru că punctul de extrem este capătul comun a două ramuri vecine. Cele două soluții „se contopesc" în el, iar geometric dreapta $y=m$ devine tangentă la grafic în acel punct.

Cum precizez în ce interval se află fiecare soluție? Direct din tabel: soluția de pe o ramură se află între cele două capete ale ramurii, adică între punctele critice consecutive (sau între un punct critic și un capăt al domeniului).

Se poate ca o ecuație cu parametru să nu aibă nicio soluție? Da, atunci când $m$ nu aparține imaginii niciunei ramuri, deci nici imaginii funcției. De pildă $x{e}^x=m$ nu are soluții pentru $m<-\frac{1}{e}$.

Metoda merge și la ecuații care nu sunt polinomiale? Da, și acolo se vede cel mai bine folosul ei. Pentru $3^x+4^x=5^x$ sau $\ln x=x-2$ nu există nicio formulă de rezolvare, dar tabelul de variație spune exact câte soluții sunt și unde se află.