Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue: pe scurt

$f$ este continuă pe mulțimea $A$ dacă e continuă în fiecare punct al lui $A$. La un capăt închis al unui interval se cere doar continuitatea laterală dinspre interior: pentru $\sqrt{x}$ în $0$ se verifică numai $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt{x}=0=f(0)$.

Funcțiile uzuale — polinomiale, raționale, radicali, exponențiale, logaritmice, trigonometrice — sunt continue pe tot domeniul lor maxim. Formularea corectă contează: $\mathrm{tg}$ nu este „discontinuă în $\frac{\pi }{2}$”, ci pur și simplu nu e definită acolo, iar despre continuitate se discută numai în punctele domeniului.

Operațiile păstrează continuitatea: $f+g$, $f-g$, $\alpha f$, $f\cdot g$, $|f|$ și $\frac{f}{g}$ (unde $g(x_0)\ne 0$). Atenție la sensul unic: din $f$ continuă rezultă $|f|$ continuă, nu invers.

Compunerea: dacă $u$ e continuă în $x_0$ și $f$ e continuă în $u(x_0)$, atunci $f\circ u$ e continuă în $x_0$ — se demonstrează cu șiruri, fără niciun calcul. De aici, orice expresie construită din funcții uzuale prin operații și compuneri este continuă pe domeniul ei maxim.

Inversa unei funcții continue și bijective, definită pe un interval, este continuă (se admite fără demonstrație). Metoda de lucru are patru pași: domeniul, construcția, concluzia, iar separat racordurile, la funcțiile pe ramuri.

Exerciții din această mini-lecție

1. Domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-5}$ este:

   • a) $[2,+\infty )$
   • b) $[2,5)\cup (5,+\infty )$
   • c) $(2,5)\cup (5,+\infty )$
   • d) $\mathbb{R}\setminus \{5\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $[2,5)\cup (5,+\infty )$

   Condițiile de existență: $x-2\ge 0$ (radical de ordin par) și $x-5\ne 0$, deci $D=[2,5)\cup (5,+\infty )$. Pe $D$, funcția este un cât de funcții continue cu numitorul nenul, deci continuă peste tot; domeniul de continuitate coincide cu $D$. Varianta c) exclude greșit capătul $2$, care aparține domeniului.

2. Care dintre următoarele afirmații despre funcția $\mathrm{tg}$ este adevărată?

   • a) Este continuă pe tot domeniul ei maxim de definiție
   • b) Este discontinuă în $\frac{\pi }{2}$
   • c) Are puncte de discontinuitate de speța a II-a în $\frac{\pi }{2}+k\pi$
   • d) Nu este continuă nicăieri
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) Este continuă pe tot domeniul ei maxim de definiție

   Ca raport $\frac{\sin x}{\cos x}$ de funcții continue, cu numitorul nenul pe domeniu, tangenta este continuă în fiecare punct al lui $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$. Variantele b) și c) folosesc greșit cuvântul „discontinuă”: un punct de discontinuitate aparține domeniului, iar $\frac{\pi }{2}$ nu îi aparține.

3. Funcția $f(x)=\sin \left(x^2+1\right)$ este continuă:

   • a) numai pe $[0,+\infty )$
   • b) numai în punctele în care $x^2+1$ este multiplu de $\pi$
   • c) nicăieri, fiind o compunere
   • d) pe $\mathbb{R}$, fiind compunerea a două funcții continue
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) pe $\mathbb{R}$, fiind compunerea a două funcții continue

   Avem $f=g\circ u$, cu $u(x)=x^2+1$ polinomială (continuă pe $\mathbb{R}$) și $g(t)=\sin t$ continuă pe $\mathbb{R}$. Prin teorema compunerii, $f$ este continuă în fiecare punct real. Compunerea păstrează continuitatea, nu o distruge — de aceea c) e falsă.