Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue, compunere și inversă

Un termograf dintr-o seră înregistrează temperatura din minut în minut și trage o linie neîntreruptă pe hârtie. Linia poate urca, poate coborî, se poate frânge — dar nu poate sări: nu există o secundă în care temperatura să treacă de la $18^{\circ }$C la $25^{\circ }$C fără să fi trecut prin toate valorile dintre ele. Exact aceasta este continuitatea, privită nu într-un punct izolat, ci pe toată durata înregistrării.

Până acum ai studiat continuitatea punct cu punct: verificai o limită, o comparai cu valoarea funcției și dădeai un verdict local. Metoda e riguroasă, dar nefolositoare la scară mare — nu poți verifica un milion de puncte unul câte unul. Lecția de astăzi face saltul: definește continuitatea pe o mulțime și îți dă instrumentele care produc, aproape instantaneu, verdictul pentru funcții întregi. Vei vedea că suma, produsul, câtul și compunerea funcțiilor continue rămân continue, că toate funcțiile pe care le cunoști sunt continue pe domeniul lor de definiție și că inversa unei funcții bijective și continue este, la rândul ei, continuă. La final, verificarea unei funcții complicate se va reduce la o singură întrebare: unde este ea definită?

Ce vei învăța

• Vei ști să definești continuitatea pe o mulțime și să tratezi corect capetele închise ale unui interval, unde se cere doar continuitatea laterală dinspre interior.
• Vei ști că funcțiile uzuale — polinomiale, raționale, radicali, exponențiale, logaritmice, trigonometrice — sunt continue pe tot domeniul lor maxim de definiție.
• Vei ști să folosești operațiile cu funcții continue: suma, diferența, produsul, câtul cu numitorul nenul, modulul și înmulțirea cu o constantă păstrează continuitatea.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici continuitatea funcției compuse, unealta care rezolvă expresii de tipul $\sin (x^2+1)$ sau $\ln (1+x^2)$ dintr-o singură propoziție.
• Vei ști că inversa unei funcții bijective și continue, definită pe un interval, este continuă — rezultat care se admite fără demonstrație.
• Vei ști să determini domeniul de continuitate al unei funcții date printr-o expresie sau pe ramuri, scriind o justificare acceptată de baremele de la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. De la un punct la o mulțime

Reia definiția din lecția Continuitatea unei funcții într-un punct: funcția $f:D\to \mathbb{R}$ este continuă în $x_0\in D$ dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Verdictul este local — spune ceva despre un singur punct.

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $A\subseteq D$. Spunem că $f$ este continuă pe mulțimea $A$ dacă $f$ este continuă în fiecare punct al lui $A$. Când $A=D$, spunem simplu că $f$ este funcție continuă.

Un caz cere atenție: capetele închise ale unui interval. Dacă $f$ e definită pe $[a,b]$, în punctul $a$ nu are sens limita bilaterală, pentru că funcția nici nu există la stânga lui $a$. Convenția, aceeași în toate manualele și în toate baremele, este:

pe un interval închis la un capăt, continuitatea cerută în acel capăt este cea laterală dinspre interior: în $a$ se cere $\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ x>a\end{array}}{\lim }f(x)=f(a)$, iar în $b$ se cere $\underset{\begin{array}{c}x\to b\\ x<b\end{array}}{\lim }f(x)=f(b)$.

Exemplu. Funcția radical $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, este continuă pe $[0,+\infty )$: în orice punct $x_0>0$ avem limita bilaterală egală cu $\sqrt{x_0}$, iar în $0$ avem $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt{x}=0=f(0)$, adică exact continuitatea la dreapta. A pretinde aici o limită la stânga ar fi o eroare de logică, nu o exigență de rigoare.

2. Funcțiile uzuale sunt continue pe domeniul lor

Aceasta este cea mai profitabilă propoziție a lecției, iar tu ai demonstrat-o deja, bucată cu bucată, în lecțiile Limitele funcțiilor putere și radical, Limitele funcțiilor exponențială și logaritmică și Limitele funcțiilor trigonometrice. Acolo ai stabilit că, pentru fiecare dintre aceste funcții și pentru fiecare punct $x_0$ din domeniu, limita în $x_0$ este chiar valoarea $f(x_0)$. Or, aceasta este definiția continuității.

Reține formularea corectă, pentru că la ea se raportează baremele: funcția $\mathrm{tg}$ nu este „discontinuă în $\frac{\pi }{2}$". În $\frac{\pi }{2}$ ea pur și simplu nu este definită, iar despre continuitate se discută numai în punctele domeniului. Un punct de discontinuitate aparține domeniului, așa cum ai văzut în Puncte de discontinuitate.

3. Operațiile algebrice păstrează continuitatea

Teoremă. Fie $f,g:D\to \mathbb{R}$ continue în $x_0\in D$ și $\alpha \in \mathbb{R}$. Atunci sunt continue în $x_0$ funcțiile $$f+g,f-g,\alpha f,f\cdot g,|f|,$$ iar dacă $g(x_0)\ne 0$, este continuă în $x_0$ și funcția $\frac{f}{g}$, definită pe mulțimea punctelor în care $g$ nu se anulează.

Demonstrație (pentru sumă și produs). Folosim Operații cu limite de funcții. Din continuitate avem $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ și $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=g(x_0)$, ambele finite, deci suma limitelor și produsul lor au sens, fără nedeterminare: $$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=f(x_0)+g(x_0),\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)g(x))=f(x_0)g(x_0).$$ În dreapta stau exact valorile funcțiilor $f+g$ și $f\cdot g$ în $x_0$, deci ambele sunt continue acolo. Pentru cât, ipoteza $g(x_0)\ne 0$ este cea care face ca limita câtului să fie câtul limitelor. Pentru modul se folosește inegalitatea $||f(x)|-|f(x_0)||\le |f(x)-f(x_0)|$. $■$

Atenție la sensul unic al ultimei afirmații: din $f$ continuă rezultă $|f|$ continuă, dar nu invers. Vei vedea contraexemplul în Exemplul 5.

4. Compunerea funcțiilor continue

Compunerea a fost definită în clasa a IX-a, la Operații cu funcții. Compunerea: $(f\circ u)(x)=f(u(x))$, se citește de la dreapta la stânga.

Teoremă. Fie $u:D\to E$ continuă în $x_0\in D$ și $f:E\to \mathbb{R}$ continuă în $u(x_0)$. Atunci $f\circ u$ este continuă în $x_0$.

Demonstrație (cu șiruri). Fie $(x_n)$ un șir din $D$ cu $x_n\to x_0$. Cum $u$ e continuă în $x_0$, criteriul cu șiruri dă $u(x_n)\to u(x_0)$. Notăm $y_n=u(x_n)$; acesta este un șir din $E$ care tinde la $y_0=u(x_0)$. Cum $f$ e continuă în $y_0$, același criteriu dă $f(y_n)\to f(y_0)$, adică $f(u(x_n))\to f(u(x_0))$. Cum șirul $(x_n)$ a fost arbitrar, $f\circ u$ este continuă în $x_0$. $■$

Demonstrația aceasta merită privită încă o dată: nu s-a calculat nimic. Continuitatea s-a transmis prin șiruri, ca un curent printr-un cablu. Este motivul pentru care programa cere definiția limitei cu șiruri — ea face ca lanțurile de acest fel să fie imediate.

Consecință practică. Orice expresie obținută din funcții uzuale prin operații algebrice și compuneri este continuă pe domeniul ei maxim de definiție. Așa se justifică, într-un rând, continuitatea lui $\sin (x^2+1)$, a lui $\sqrt{x^2+1}$, a lui $e^{-x^2}$ sau a lui $\ln (1+x^2)$ pe $\mathbb{R}$.

5. Domeniul de continuitate — metoda de lucru

De aici încolo ai o procedură scurtă, pe care o poți scrie la orice subiect:

1. determini domeniul maxim de definiție $D$ (condițiile de existență: numitor nenul, radical de ordin par cu radicandul $\ge 0$, argument de logaritm $>0$);
2. spui din ce este construită funcția: operații algebrice și compuneri de funcții uzuale;
3. concluzionezi că $f$ este continuă pe $D$, deci domeniul de continuitate coincide cu $D$;
4. discuți separat numai punctele de racord, dacă funcția e dată pe ramuri — singura situație în care pasul 3 nu se aplică automat.

Pasul 4 e cel care aduce puncte la examen și el a fost tratat pe larg în Funcții continue definite pe ramuri. Determinarea parametrilor. Restul e mecanism.

Exemplu rapid. Pentru $f(x)=\frac{\ln (x-1)}{x-3}$, condițiile sunt $x-1>0$ și $x-3\ne 0$, deci $D=(1,3)\cup (3,+\infty )$; funcția e continuă pe tot $D$, ca raport de funcții continue cu numitorul nenul.

6. Continuitatea inversei unei funcții bijective și continue

Ultimul rezultat al lecției privește funcțiile inversabile, studiate în clasa a IX-a la Funcția inversă. Inversabilitate.

Teoremă (se admite fără demonstrație). Fie $I\subseteq \mathbb{R}$ un interval și $f:I\to J$ o funcție continuă și bijectivă, unde $J=f(I)$. Atunci funcția inversă $f^{-1}:J\to I$ este continuă pe $J$.

Programa cere explicit ca acest rezultat să fie admis fără demonstrație, iar demonstrația lui completă depășește cerințele clasei a XI-a. În schimb, intuiția lui se vede imediat: graficele lui $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y=x$, iar simetria față de o dreaptă nu poate rupe o curbă neîntreruptă. Dacă graficul lui $f^{-1}$ ar avea un salt, oglindindu-l ai obține un salt și în graficul lui $f$.

Ipoteza „$I$ interval" nu este decorativă. Fie $f$ definită pe reuniunea $[0,1)\cup [2,3]$ prin $f(x)=x$ pe $[0,1)$ și $f(x)=x-1$ pe $[2,3]$. Această funcție este continuă și bijectivă pe imaginea ei $[0,2]$, dar inversa ei sare de la valori apropiate de $1$ la valoarea $2$: nu e continuă în $1$. Domeniul nefiind interval, teorema nu se aplică.

7. Ce deschide continuitatea pe un interval

Continuitatea într-un punct spune ceva mărunt: că graficul nu se rupe acolo. Continuitatea pe un interval spune ceva mult mai puternic, iar acesta este subiectul următoarelor trei lecții. Dacă graficul unei funcții continue merge de sub axa $Ox$ deasupra ei, el trebuie să traverseze axa; dacă nu o traversează niciodată pe un interval, funcția păstrează același semn acolo. Din aceste două observații vor ieși Proprietatea valorilor intermediare, tabelele de semn din Semnul unei funcții continue pe un interval și metoda de la Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale. Tot ce ai învățat astăzi este pregătirea acestora: mai întâi stabilești unde e continuă funcția, abia apoi ai voie să folosești proprietățile tari.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Domeniul de continuitate al unei funcții raționale

Determinați domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}$.

Rezolvare. Domeniul maxim: numitorul se anulează pentru $x^2=4$, adică $x\in \{-2,2\}$, deci $$D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}=(-\infty ,-2)\cup (-2,2)\cup (2,+\infty ).$$ Concluzia: $f$ este cât de două funcții polinomiale, ambele continue pe $\mathbb{R}$, iar pe $D$ numitorul nu se anulează; prin teorema de la §3, $f$ este continuă pe tot $D$.

Verificare numerică: $f(0)=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$ și $f(3)=\frac{8}{5}$ — valori finite, obținute prin înlocuire directă, exact ceea ce înseamnă continuitatea în acele puncte. ✓

Observă ce nu am spus: nu am spus că $f$ e discontinuă în $-2$ și $2$. Acolo funcția nu există, deci întrebarea nu se pune.

Exemplul 2 — O funcție cu radical

Determinați domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\sqrt{x^2-9}$.

Rezolvare. Condiția de existență: $x^2-9\ge 0$, adică $x\le -3$ sau $x\ge 3$, deci $$D=(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty ).$$ Concluzia: $f=g\circ u$, unde $u(x)=x^2-9$ e polinomială (continuă pe $\mathbb{R}$), iar $g(t)=\sqrt{t}$ e continuă pe $[0,+\infty )$; cum $u(D)\subseteq [0,+\infty )$, compunerea e continuă pe $D$. În capetele $-3$ și $3$ continuitatea este cea laterală dinspre interiorul domeniului.

Verificare: $f(5)=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ și $f(-5)=4$ — domeniul este simetric, ca și valorile. ✓

Exemplul 3 — Două compuneri

Studiați continuitatea funcțiilor $h(x)=\ln \left(x^2+1\right)$ și $k(x)=e^{\frac{1}{x}}$.

Rezolvare. Pentru $h$: avem $x^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real, deci $D_h=\mathbb{R}$. Funcția e compunerea dintre $u(x)=x^2+1$, continuă pe $\mathbb{R}$, și logaritmul, continuu pe $(0,+\infty )$; cum toate valorile lui $u$ sunt în $(0,+\infty )$, $h$ e continuă pe $\mathbb{R}$.

Pentru $k$: condiția este $x\ne 0$, deci $D_k={\mathbb{R}}^{\ast }$, iar $k$ e continuă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, ca o compunere între $\frac{1}{x}$ și exponențială. Punctul $0$ nu este punct de discontinuitate, pentru că nu aparține domeniului; el este însă un punct de acumulare al domeniului, iar acolo cele două limite laterale sunt $+\infty$ (la dreapta) și $0$ (la stânga) — deci funcția nu poate fi prelungită prin continuitate în $0$, oricâtă valoare i-ai atribui.

Exemplul 4 — O funcție pe ramuri și un parametru

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=ax+3$ pentru $x>1$. Determinați $a$ real pentru care $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Pe $(-\infty ,1)$ funcția e polinomială, deci continuă; pe $(1,+\infty )$ e tot polinomială, deci continuă. Singurul punct în discuție este racordul $x_0=1$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=1^2+1=2,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=a+3,f(1)=2.$$ Continuitatea cere $a+3=2$, deci $a=-1$.

Verificare: pentru $a=-1$, ramura din dreapta devine $-x+3$, iar în $1$ dă $2$ — aceeași valoare cu ramura din stânga. ✓ Pentru $a=0$, de pildă, funcția ar avea în $1$ un salt de $3-2=1$, adică o discontinuitate de speța I.

Exemplul 5 — Modulul poate fi continuu fără ca funcția să fie

Arătați că există o funcție $f$ discontinuă pentru care $|f|$ este continuă.

Rezolvare. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=1$ pentru $x\ge 0$ și $f(x)=-1$ pentru $x<0$. În $0$ avem limita la stânga $-1$, limita la dreapta $1$ și $f(0)=1$: limitele laterale sunt finite și diferite, deci $0$ e punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $1-(-1)=2$.

Însă $|f(x)|=1$ pentru orice $x$ real: funcția modul este constantă, deci continuă pe $\mathbb{R}$.

Concluzia de reținut: implicația „$f$ continuă $\Rightarrow |f|$ continuă" este adevărată, iar reciproca ei este falsă. Modulul șterge semnul, adică exact informația care se rupea.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=1$. a) Arătați că $f$ este continuă în $x_0=0$. b) Arătați că $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. c) Arătați că funcția $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=f(x)\cdot \sqrt{x^2+1}$, este continuă pe $\mathbb{R}$ și calculați $h(0)$.

Rezolvare.

a) Din Limita fundamentală sin x supra x știm că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Cum $f(0)=1$, avem $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$, deci $f$ e continuă în $0$.

b) Pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, funcția e câtul dintre $\sin x$ și $x$, ambele continue, cu numitorul nenul — deci e continuă în fiecare punct al lui ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Împreună cu punctul a), $f$ e continuă în fiecare punct al lui $\mathbb{R}$.

c) Funcția $x\mapsto \sqrt{x^2+1}$ e continuă pe $\mathbb{R}$ (compunere, ca în Exemplul 2, cu radicandul mereu $\ge 1$). Produsul a două funcții continue e continuu, deci $h$ e continuă pe $\mathbb{R}$. În plus $h(0)=f(0)\cdot \sqrt{1}=1$.

Verificare numerică: pentru $x=10^{-4}$ avem $\frac{\sin x}{x}\approx 0,9999999983$, tot mai aproape de $1$ pe măsură ce $x$ scade — comportarea unei funcții continue în $0$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi domeniul maxim de definiție și abia apoi verdictul despre continuitate: aceasta este ordinea cerută în barem.

1. Determină domeniul de continuitate al funcției $f(x)=3x^3-5x+2$.

2. Determină domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\frac{2x+1}{x-4}$.

3. Determină domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\sqrt{x-2}$ și precizează ce fel de continuitate se cere în $x=2$.

4. Determină domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\ln (3-x)$.

5. Arată că funcția $f(x)=\sin \left(x^2+1\right)$ este continuă pe $\mathbb{R}$, precizând cele două funcții care se compun.

6. Determină domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f(x)=\mathrm{tg}x$ este discontinuă în $x=\frac{\pi }{2}$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ și $g$ sunt continue pe $\mathbb{R}$, atunci $\frac{f}{g}$ este continuă pe $\mathbb{R}$."

9. Arată că funcția $f(x)=e^{-x^2}$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

10. Determină domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\frac{\ln x}{x-2}$.

11. Se consideră $f(x)=2x+1$ pentru $x\le 2$ și $f(x)=x^2+b$ pentru $x>2$. Determină $b$ real pentru care $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$.

12. Arată că funcția $f(x)=|x^2-4|$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

13. Determină domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ și precizează ce se întâmplă în capetele domeniului.

14. (Problemă aplicată.) Un abonament costă $30$ de lei pe lună pentru primele $5$ GB și, în plus, $4$ lei pentru fiecare gigabyte suplimentar. Scrie funcția de cost $C(t)$ pentru $t\ge 0$ gigabytes consumați și arată că este continuă pe $[0,+\infty )$.

15. Arată că inversa funcției $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=3^x$, este continuă, numind teorema folosită.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ pentru $x\ne 3$ și $f(3)=m$. Determinați $m$ real pentru care $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$.

17. Dă un exemplu de două funcții discontinue în $0$ a căror sumă este continuă pe $\mathbb{R}$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuă, cu $f(x)\ne 0$ pentru orice $x$ real. Arată că funcția $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și explică unde s-a folosit ipoteza că $f$ nu se anulează.

Răspunsuri și explicații

1. Funcție polinomială: $D=\mathbb{R}$ și e continuă pe $\mathbb{R}$.

2. Condiția $x\ne 4$ dă $D=\mathbb{R}\setminus \{4\}$; funcția e continuă pe tot $D$, ca raport de funcții continue cu numitorul nenul acolo.

3. $x-2\ge 0$, deci $D=[2,+\infty )$. În $x=2$ se cere continuitatea la dreapta: $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\sqrt{x-2}=0=f(2)$.

4. $3-x>0$, deci $D=(-\infty ,3)$, iar $f$ e continuă pe tot acest interval, ca o compunere între funcția afină $3-x$ și logaritm.

5. $u(x)=x^2+1$ e polinomială, continuă pe $\mathbb{R}$; $g(t)=\sin t$ e continuă pe $\mathbb{R}$. Compunerea $g\circ u$ e continuă pe $\mathbb{R}$.

6. $x^2-1\ne 0$ dă $D=\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$; $f$ e continuă pe $D$.

7. Fals. Punctul $\frac{\pi }{2}$ nu aparține domeniului funcției tangentă, iar continuitatea se discută numai în punctele domeniului. Formularea corectă: $\mathrm{tg}$ e continuă pe tot domeniul ei.

8. Fals. Câtul e continuu doar pe mulțimea punctelor în care $g$ nu se anulează. Contraexemplu: $f(x)=1$, $g(x)=x$ — câtul $\frac{1}{x}$ nici măcar nu e definit în $0$.

9. $u(x)=-x^2$ e continuă pe $\mathbb{R}$, exponențiala e continuă pe $\mathbb{R}$, deci compunerea $e^{-x^2}$ e continuă pe $\mathbb{R}$.

10. Condițiile $x>0$ și $x\ne 2$ dau $D=(0,2)\cup (2,+\infty )$; $f$ e continuă pe tot $D$.

11. Racord în $2$: la stânga $2\cdot 2+1=5$, la dreapta $4+b$, iar $f(2)=5$. Din $4+b=5$ obținem $b=1$.

12. $u(x)=x^2-4$ e continuă pe $\mathbb{R}$, iar modulul unei funcții continue e continuu; deci $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$. (În $x=\pm 2$ graficul are colțuri, dar colțul nu rupe curba.)

13. $4-x^2\ge 0$ dă $D=[-2,2]$. În $-2$ se cere continuitatea la dreapta, în $2$ cea la stânga; în ambele capete valoarea funcției este $0$.

14. $C(t)=30$ pentru $t\in [0,5]$ și $C(t)=30+4(t-5)$ pentru $t>5$. Pe fiecare ramură funcția e afină, deci continuă; în racordul $t=5$, limita la stânga e $30$, limita la dreapta e $30+4\cdot 0=30$ și $C(5)=30$ — deci $C$ e continuă pe $[0,+\infty )$. Interpretare: factura nu sare brusc atunci când treci pragul.

15. Funcția $3^x$ e continuă și bijectivă de la intervalul $\mathbb{R}$ la $(0,+\infty )$, deci, prin teorema de continuitate a inversei unei funcții bijective și continue (admisă fără demonstrație), inversa ei ${\log }_{3}x$ e continuă pe $(0,+\infty )$.

16. Pentru $x\ne 3$ avem $\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$, deci $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=6$. Continuitatea în $3$ cere $m=6$; în rest $f$ e continuă oricum. Răspuns: $m=6$.

17. Fie $f(x)=1$ pentru $x\ge 0$, $-1$ în rest, și $g(x)=-1$ pentru $x\ge 0$, $1$ în rest. Fiecare are salt în $0$, dar suma lor este funcția nulă, continuă pe $\mathbb{R}$. Morala: teorema despre sumă spune ce se întâmplă când ambele funcții sunt continue; ea nu se poate citi invers.

18. Funcția constantă $1$ e continuă, $f$ e continuă, iar câtul a două funcții continue e continuu în punctele în care numitorul nu se anulează. Ipoteza $f(x)\ne 0$ garantează exact acest lucru în fiecare punct, deci $g$ e continuă pe tot $\mathbb{R}$. Fără ea, $g$ nici nu ar fi definită acolo unde $f$ se anulează.

De reținut

• $f$ este continuă pe mulțimea $A$ dacă e continuă în fiecare punct din $A$; la capetele închise ale unui interval se cere doar continuitatea laterală dinspre interior.
• Toate funcțiile uzuale (polinomiale, raționale, radicali, exponențiale, logaritmice, trigonometrice) sunt continue pe domeniul lor maxim de definiție.
• Operațiile păstrează continuitatea: suma, diferența, produsul, înmulțirea cu o constantă, modulul și — acolo unde numitorul nu se anulează — câtul.
• Compunerea a două funcții continue este continuă; demonstrația se face cu șiruri, prin transmiterea convergenței de la $x_n$ la $u(x_n)$ și apoi la $f(u(x_n))$.
• Inversa unei funcții bijective și continue, definită pe un interval, este continuă — rezultat pe care programa cere să-l admitem fără demonstrație.

Greșeli frecvente

• Spui că funcția e „discontinuă" acolo unde nu e definită. Pentru $\frac{1}{x}$, punctul $0$ nu e punct de discontinuitate, fiindcă nu aparține domeniului. Corect: „$f$ este continuă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, adică pe tot domeniul ei".
• Ceri limită bilaterală în capătul închis al unui interval. Pentru $\sqrt{x}$ în $0$ nu există nimic la stânga; se cere doar limita la dreapta. Verificarea corectă folosește notația $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }$.
• Aplici teorema câtului fără condiția asupra numitorului. „Câtul a două funcții continue e continuu" este incomplet: e continuu numai în punctele în care numitorul nu se anulează, iar acele puncte trebuie scrise explicit.
• Deduci continuitatea lui $f$ din continuitatea lui $|f|$. Implicația merge doar într-un sens; funcția care ia valorile $-1$ și $1$ după semnul lui $x$ este contraexemplul standard.
• Uiți să verifici racordul la funcțiile pe ramuri. Fiecare ramură poate fi continuă și totuși funcția să aibă salt în punctul de lipire; verdictul global se dă abia după calculul celor două limite laterale acolo.

Aplică acasă

1. Traseul fără creion ridicat. Ia trei funcții din lecție ($\sqrt{x}$, $\ln x$, $\mathrm{tg}x$), desenează-le pe hârtie milimetrică pe câte un interval din domeniu și încearcă să le parcurgi cu creionul fără să-l ridici. Notează unde ești obligat să-l ridici și verifică de fiecare dată dacă motivul e o discontinuitate sau, dimpotrivă, o gaură în domeniu.

2. Facturi și praguri. Găsește o factură reală (energie, apă, date mobile) cu tarif pe tranșe și scrie funcția de cost pe ramuri. Verifică dacă e continuă în punctele de prag. Dacă nu este, ai găsit un salt de tarif — sună la furnizor și întreabă de ce.

3. Oglinda inversei. Desenează pe hârtie graficul funcției $f(x)=x^3$ pentru $x\in [-2,2]$, apoi îndoaie foaia pe dreapta $y=x$ și marchează prin transparență punctele simetrice. Curba obținută este graficul lui $f^{-1}$: observă că este tot o linie neîntreruptă, exact ce afirmă teorema din §6.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă continuitatea dintr-o verificare punctuală într-un instrument de lucru. Ideea centrală, pe care elevul trebuie să o poată formula singur, este: funcțiile obținute din cele uzuale prin operații și compuneri sunt continue pe domeniul lor maxim, deci întrebarea „unde e continuă?" se reduce la întrebarea „unde e definită?".

Ce verifică lecția: (1) determinarea corectă a domeniului maxim, cu toate condițiile de existență; (2) formularea corectă a verdictului — „continuă pe domeniul ei", nu „discontinuă în punctele care lipsesc din domeniu"; (3) tratarea capetelor închise prin continuitate laterală; (4) folosirea teoremei de compunere ca justificare de o singură frază; (5) enunțul complet al teoremei despre inversă, cu ipoteza că domeniul este interval și cu mențiunea că se admite fără demonstrație.

Întrebări bune de control: „De ce nu spunem că tangenta e discontinuă în $\frac{\pi }{2}$?", „Ce condiție lipsește din propoziția «câtul a două funcții continue e continuu»?", „Poate fi $|f|$ continuă fără ca $f$ să fie?". La BAC M1, tipul de cerință cel mai frecvent este determinarea unui parametru care face continuă o funcție pe ramuri; lecția aceasta oferă justificarea pentru ramurile în sine, astfel încât toată munca să se concentreze în punctul de racord. Semn că elevul a înțeles: scrie domeniul înainte de orice, spontan.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o funcție este continuă pe o mulțime? Înseamnă că este continuă în fiecare punct al acelei mulțimi, adică limita funcției în fiecare punct coincide cu valoarea funcției acolo. Când mulțimea este chiar domeniul de definiție, spunem simplu că funcția este continuă.

Cum determin domeniul de continuitate al unei funcții? Determini domeniul maxim de definiție (numitor nenul, radicand pozitiv sau nul, argument de logaritm strict pozitiv), apoi observi că funcția e obținută din funcții uzuale prin operații și compuneri: domeniul de continuitate coincide cu domeniul de definiție. Excepția este funcția dată pe ramuri, unde punctele de racord se studiază separat.

Este suma a două funcții continue tot continuă? Da, și la fel diferența, produsul, înmulțirea cu o constantă și modulul. Câtul este continuu numai în punctele în care numitorul nu se anulează. Toate acestea se demonstrează pornind de la operațiile cu limite de funcții.

De ce compunerea a două funcții continue este continuă? Pentru că se folosește criteriul cu șiruri de două ori: dacă $x_n\to x_0$, continuitatea funcției interioare dă $u(x_n)\to u(x_0)$, iar continuitatea funcției exterioare în acel punct dă $f(u(x_n))\to f(u(x_0))$. Convergența se transmite ca printr-un lanț.

Este inversa unei funcții continue tot continuă? Da, dacă funcția este definită pe un interval, este continuă și bijectivă: atunci inversa ei este continuă. Rezultatul se admite fără demonstrație, conform programei. Ipoteza că domeniul este interval este esențială — pe o reuniune de intervale afirmația poate fi falsă.

Funcția tangentă este discontinuă în $\frac{\pi }{2}$? Nu. În $\frac{\pi }{2}$ funcția nu este definită, iar continuitatea se discută numai în punctele domeniului. Formularea corectă este că tangenta este continuă pe întregul ei domeniu de definiție.

Dacă modulul unei funcții este continuu, este și funcția continuă? Nu neapărat. Funcția care ia valoarea $1$ pentru $x\ge 0$ și $-1$ pentru $x<0$ are un salt în origine, dar modulul ei este funcția constantă $1$, continuă peste tot. Implicația funcționează numai în sensul: $f$ continuă $\Rightarrow |f|$ continuă.

La ce îmi folosește continuitatea pe un interval? Ea deschide proprietățile tari ale funcțiilor continue: proprietatea valorilor intermediare, păstrarea semnului între două zerouri consecutive și demonstrarea existenței soluțiilor unei ecuații. Toate acestea cer, ca primă ipoteză verificată, continuitatea pe un interval.