Operații cu limite de funcții: pe scurt

Definiția cu șiruri mută toate regulile de la șiruri în lumea funcțiilor. Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)={\ell }_1$ și $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)={\ell }_2$, atunci limita sumei, a diferenței, a produsului, a câtului (cu ${\ell }_2\ne 0$), a modulului și a puterii se obține din ${\ell }_1$ și ${\ell }_2$ — de fiecare dată când operația are sens în $\overline{\mathbb{R}}$. Ipoteza aceasta nu e decor: ea marchează granița dincolo de care începe prelucrarea.

Se transportă și trei proprietăți: unicitatea limitei; caracterul local (limita depinde doar de valorile lui $f$ în jurul lui $x_0$, fără $x_0$) — el dă dreptul de a simplifica un factor care se anulează în $x_0$; trecerea la limită în inegalități, care păstrează doar $\le$, chiar dacă între funcții inegalitatea era strictă.

Când numitorul tinde la $0$, regula câtului nu se aplică: decide semnul, cu $\frac{a}{0^{+}}$ și $\frac{a}{0^{-}}$ de semne opuse. Dacă semnul se schimbă la trecerea prin $x_0$, se scriu două limite laterale și, de regulă, limita nu există.

La funcția compusă se face substituție $y=u(x)$, legitimă doar dacă $u(x)\ne u_0$ pe o vecinătate a lui $x_0$.

Cele șapte nedeterminări: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+5}{x^2-1}$.

   • a) $3$
   • b) $\frac{9}{5}$
   • c) $1$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $3$

   Numitorul are limita $2^2-1=3\ne 0$, deci regula câtului se aplică fără rezerve: limita este $\frac{2^2+5}{3}=\frac{9}{3}=3$. Nu este niciun caz de nedeterminare — prezența lui $x^2$ sus și jos nu înseamnă nimic în sine, contează limitele.

2. Studiați existența limitei funcției $f(x)=\frac{x+5}{x-4}$ în punctul $4$.

   • a) limita există și este $+\infty$
   • b) limita nu există, deoarece $l_s(4)=-\infty$ și $l_d(4)=+\infty$
   • c) limita nu există, deoarece $l_s(4)=+\infty$ și $l_d(4)=-\infty$
   • d) limita există și este $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) limita nu există, deoarece $l_s(4)=-\infty$ și $l_d(4)=+\infty$

   Numărătorul are limita $9>0$, iar numitorul limita $0$. Semnul numitorului: $x-4<0$ pentru $x<4$ (deci $\frac{9}{0^{-}}=-\infty$) și $x-4>0$ pentru $x>4$ (deci $\frac{9}{0^{+}}=+\infty$). Fiind diferite, funcția nu are limită în $4$. Varianta c) inversează semnele.

3. Calculați $\underset{x\to 5}{\lim }\sqrt{3x+1}$, folosind substituția.

   • a) $16$
   • b) $\sqrt{15}$
   • c) $\sqrt{5}$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $4$

   Notăm $y=3x+1$; cum $x\to 5$, avem $y\to 16$, iar $y\ne 16$ pentru $x\ne 5$, deci ipoteza substituției e îndeplinită. Rămâne $\underset{y\to 16}{\lim }\sqrt{y}=4$. Varianta a) se oprește la valoarea lui $y$, fără să mai aplice radicalul.