Operații cu limite de funcții

Un panou fotovoltaic livrează, la momentul $t$, tensiunea $U(t)$ și curentul $I(t)$; puterea produsă este $P(t)=U(t)\cdot I(t)$. Un inginer măsoară separat cele două mărimi și constată că, pe măsură ce $t$ se apropie de ora la care soarele atinge unghiul optim, tensiunea se apropie de $12$ volți, iar curentul de $3$ amperi. Are voie să conchidă, fără să mai măsoare nimic, că puterea se apropie de $36$ de wați?

Are — și tocmai această permisiune este subiectul lecției. Limita unei expresii construite din mai multe funcții se poate calcula, în cele mai multe situații, din limitele bucăților, exact cum se întâmplă la șiruri. Vestea a doua e că permisiunea nu este necondiționată: există exact șapte tipare în care informația despre bucăți nu ajunge, iar dacă nu le recunoști scrii un rezultat fals cu toată convingerea. Lecția de față stabilește, așadar, regulile care funcționează și, la fel de important, granițele lor.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi regulile de operare cu limite de funcții, reducându-le la regulile de la șiruri prin definiția cu șiruri a limitei.
• Vei ști să calculezi limita unei sume, a unui produs, a unui cât și a unei puteri, verificând de fiecare dată ipoteza care face regula aplicabilă.
• Vei ști să folosești tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$ atunci când una dintre limite este infinită.
• Vei ști să tratezi cazul în care numitorul tinde la $0$, hotărând rezultatul prin semnul numitorului și prin limite laterale.
• Vei ști să calculezi limita unei funcții compuse, cu ipoteza care face substituția legitimă.
• Vei ști să recunoști, dintr-o privire, care dintre cele șapte cazuri de nedeterminare ai în față și în ce lecție se rezolvă.

Hai să descoperim împreună

1. Puntea: orice regulă de la șiruri devine o regulă la funcții

Nu vom demonstra nimic de la zero. Motivul stă în chiar definiția limitei de funcție, cea dată cu șiruri în lecția Limita unei funcții într-un punct: lectură grafică și definiția cu șiruri: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$ înseamnă că pentru orice șir $\left(x_n\right)$ din domeniu, cu $x_n\ne x_0$ și $x_n\to x_0$, avem $f\left(x_n\right)\to \ell$.

Această definiție este o mașină de transport: ea mută, dintr-o singură mișcare, tot ce s-a demonstrat despre șiruri în lumea funcțiilor. Iată mecanismul, scris o dată în întregime, pentru sumă.

Teorema 1 (limita sumei). Fie $f,g$ definite pe $D$ și $x_0$ punct de acumulare al lui $D$. Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)={\ell }_1$ și $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)={\ell }_2$, iar suma ${\ell }_1+{\ell }_2$ are sens în $\overline{\mathbb{R}}$, atunci $$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))={\ell }_1+{\ell }_2.$$

Demonstrație. Fie $\left(x_n\right)$ un șir oarecare din $D\setminus \{x_0\}$ cu $x_n\to x_0$. Din ipoteză, $f\left(x_n\right)\to {\ell }_1$ și $g\left(x_n\right)\to {\ell }_2$. Aplicăm șirurilor regula sumei, demonstrată în lecțiile Operații cu șiruri convergente și Șiruri cu limită infinită. Operații: obținem $f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\to {\ell }_1+{\ell }_2$. Cum șirul $\left(x_n\right)$ a fost arbitrar, definiția cu șiruri dă exact concluzia. $■$

Demonstrația nu s-a schimbat cu nimic pentru produs, pentru cât sau pentru putere — se înlocuiește doar numele regulii invocate la șiruri. De aceea le enunțăm pe toate deodată, în secțiunea următoare, fără să repetăm de cinci ori același raționament.

Reține și forma negativă a punții, pentru că ea este unealta cu care arăți că o limită nu există: dacă găsești două șiruri $x_n\to x_0$ și $y_n\to x_0$ pentru care $f\left(x_n\right)$ și $f\left(y_n\right)$ au limite diferite, atunci $f$ nu are limită în $x_0$.

2. Teorema operațiilor — enunțul complet

Teorema 2. *Fie $x_0$ punct de acumulare al lui $D$, iar $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)={\ell }_1$ și $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)={\ell }_2$, cu ${\ell }_1,{\ell }_2\in \overline{\mathbb{R}}$. Atunci, de fiecare dată când operația scrisă în coloana din dreapta are sens în $\overline{\mathbb{R}}$:*

Fraza îngroșată este miezul teoremei, nu o notă de subsol: regula se aplică numai când combinația limitelor este una dintre operațiile permise. Care sunt acelea, vezi secțiunea $4$.

Cel mai des vei folosi teorema pentru limite finite, unde nu apare nicio problemă. Combinată cu limitele funcțiilor uzuale, stabilite în lecțiile Limitele funcțiilor putere și radical și Limitele funcțiilor exponențială și logaritmică, ea dă regula de calcul prin înlocuire: pentru o expresie construită din funcții uzuale prin operații, și pentru un punct $x_0$ în care toate bucățile sunt definite, limita se obține înlocuind pur și simplu $x$ cu $x_0$. De pildă $$\underset{x\to 2}{\lim }(x^2+3x)=2^2+3\cdot 2=10,\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+3}{x+1}=\frac{4}{2}=2.$$ Control numeric (valorile se dau în ordinea de pe axă: întâi la stânga punctului, apoi la dreapta): la $x=2\pm 10^{-6}$ prima expresie dă $9,999993$ și $10,000007$; la $x=1\pm 10^{-6}$ a doua dă $2,000000$ de ambele părți, abaterea fiind de ordinul $10^{-12}$. ✓

Nu confunda însă instrumentul cu obiectul: înlocuirea funcționează pentru că limita a fost calculată corect la lecțiile despre funcțiile uzuale, nu pentru că „limita este valoarea". Când $x_0$ nu aparține domeniului — și exact acolo devin limitele interesante — înlocuirea nu se mai poate face, iar teorema de mai sus se aplică pe bucăți.

3. Trei proprietăți care se transportă la fel

Prin aceeași punte trec și proprietățile de mai jos; ele se folosesc constant în redactarea unei rezolvări.

• Unicitatea limitei. Dacă limita există, ea este unică — moștenită din unicitatea limitei unui șir, demonstrată în lecția Șiruri convergente și șiruri divergente.
• Caracterul local. Limita în $x_0$ depinde numai de valorile lui $f$ pe o vecinătate a lui $x_0$, fără punctul $x_0$ însuși. Două funcții care coincid în jurul lui $x_0$, dar diferă chiar în $x_0$, au aceeași limită acolo. Această observație aparent inofensivă este cheia întregii lecții următoare: ea îți dă dreptul să simplifici o fracție cu un factor care se anulează în $x_0$.
• Trecerea la limită în inegalități. Dacă $f(x)\le g(x)$ pe o vecinătate a lui $x_0$ (mai puțin, eventual, în $x_0$) și ambele limite există, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\le \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$. Atenție la ce nu spune: din inegalitate strictă între funcții nu rezultă inegalitate strictă între limite. Pentru $f(x)=x^2$ și $g(x)=x^2+x^4$ avem $f(x)<g(x)$ pentru orice $x\ne 0$, dar ambele limite în $0$ sunt egale cu $0$.

4. Când o limită este infinită: tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$

Tabelul de mai jos nu este nou. El a fost stabilit ca listă de operații între elemente ale dreptei reale încheiate în lecția Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți și a fost citit ca listă de teoreme despre șiruri în lecția Șiruri cu limită infinită. Operații. Îl reluăm aici cu al treilea înțeles, cel de acum: fiecare rând spune ce iese din Teorema 2 când una dintre limite este infinită.

Așa se rezolvă, dintr-o linie, limite care par complicate: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3+2^x\right)=+\infty$, pentru că este $\infty +\infty$; iar $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x^2+1}=0$, pentru că este $\frac{a}{+\infty }$.

5. Numitorul care tinde la zero — aici decide semnul

Rândul lipsă din tabel este $\frac{a}{0}$: el nu există, pentru că nu are un rezultat unic. Când ${\ell }_2=0$, regula câtului din Teorema 2 nu se aplică, iar întrebarea se mută asupra semnului numitorului în jurul lui $x_0$. Notațiile de calcul al semnului sunt cele fixate la șiruri: scriem $0^{+}$ dacă numitorul tinde la $0$ prin valori pozitive și $0^{-}$ dacă tinde prin valori negative, iar atunci $$\frac{a}{0^{+}}=+\infty (a>0),\frac{a}{0^{-}}=-\infty (a>0),\frac{a}{0^{+}}=-\infty (a<0),\frac{a}{0^{-}}=+\infty (a<0).$$

La funcții apare însă o situație pe care șirurile nu o cunosc: numitorul poate avea un semn la stânga lui $x_0$ și alt semn la dreapta. Atunci nu se scrie o singură limită, ci două limite laterale, în forma introdusă la lecția Limite laterale. Pentru $f(x)=\frac{5}{x-2}$, numitorul e negativ pe $(-\infty ,2)$ și pozitiv pe $(2,+\infty )$, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }\frac{5}{x-2}=\frac{5}{0^{-}}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{5}{x-2}=\frac{5}{0^{+}}=+\infty .$$ Cele două fiind diferite, funcția nu are limită în $2$ — răspunsul complet al exercițiului este acesta, nu „limita este infinită".

Când numitorul păstrează semn constant de ambele părți, limita există și este infinită. Așa se întâmplă la $\frac{5}{(x-2{)}^2}$: pătratul e strict pozitiv pentru $x\ne 2$, deci ambele limite laterale sunt $+\infty$ și putem scrie direct $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{5}{(x-2{)}^2}=+\infty$.

Procedura, în trei pași, valabilă la orice fracție în care numitorul se anulează în $x_0$, iar numărătorul nu: (1) calculezi limita numărătorului și îi reții semnul; (2) stabilești semnul numitorului la stânga și la dreapta lui $x_0$; (3) scrii cele două limite laterale și tragi concluzia. Dacă numărătorul se anulează și el, ești în cazul $\frac{0}{0}$ și treci la lecția următoare.

6. Limita unei funcții compuse

Teorema 2 nu acoperă expresii de tipul $\sqrt{x^2+7}$ sau ${\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^2$, în care o funcție se aplică rezultatului alteia. Pentru ele avem:

Teorema 3 (limita funcției compuse). Fie $u:D\to E$ și $f:E\to \mathbb{R}$, $x_0$ punct de acumulare al lui $D$. Dacă

1. $\underset{x\to x_0}{\lim }u(x)=u_0$,
2. $u(x)\ne u_0$ pentru orice $x$ dintr-o vecinătate a lui $x_0$, cu excepția eventuală a lui $x_0$,
3. $\underset{y\to u_0}{\lim }f(y)=\ell$,

atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }f(u(x))=\ell$.

În practică teorema se aplică sub numele de substituție și se scrie cuvânt cu cuvânt așa: „notăm $y=u(x)$; cum $u(x)\to u_0$ când $x\to x_0$, limita devine $\underset{y\to u_0}{\lim }f(y)$". Exemplu: $$\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{x^2+7}:y=x^2+7\to 16,\text{deci limita este}\underset{y\to 16}{\lim }\sqrt{y}=4.$$ Control numeric: la $x=3\pm 10^{-6}$ expresia dă $3,99999925$ și $4,00000075$. ✓

De ce e nevoie de ipoteza a doua? Pentru că fără ea concluzia este falsă, iar contraexemplul e scurt. Fie $f(y)=1$ pentru $y\ne 0$ și $f(0)=5$, iar $u(x)=0$ pentru orice $x$. Atunci $u(x)\to 0$ și $\underset{y\to 0}{\lim }f(y)=1$ — dar funcția compusă este constantă, $f(u(x))=f(0)=5$, deci limita ei este $5$, nu $1$. Ipoteza a doua interzice exact acest lucru: $u$ nu are voie să „stea" pe valoarea $u_0$, altfel compusa vede numai valoarea lui $f$ în $u_0$, care nu are nimic de-a face cu limita.

Ține minte enunțul cu toate cele trei ipoteze: el este cel care va justifica, la lecțiile despre limitele fundamentale, substituțiile de forma „notăm $t=u(x)$". Baremele de la Bacalaureat M1 cer scris pasul de substituție, nu doar rezultatul lui.

7. Ce rămâne: cele șapte nedeterminări

Recitește condiția din Teorema 2: regula se aplică de fiecare dată când operația are sens. Când nu are sens, nu obții un rezultat greșit — nu obții niciun rezultat, iar scrierea la care ai ajuns este un caz de nedeterminare. Lista canonică, aceeași ca la șiruri, este: $$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0.$$

Ele nu sunt rezultate, ci situații în care rezultatul nu se poate decide fără o prelucrare a expresiei. Diferența față de capitolul de șiruri este una singură, dar importantă: la șiruri indicele mergea mereu spre $+\infty$, pe când aici $x$ se poate apropia de un punct finit, iar atunci apare masiv cazul $\frac{0}{0}$ — două funcții care se anulează amândouă în același punct.

Harta lecțiilor care urmează, ca să știi unde ajunge fiecare tipar: $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$ la funcții raționale, în lecția Nedeterminările zero supra zero și infinit supra infinit la funcții raționale; $\infty -\infty$ și $0\cdot \infty$, cu expresii cu radicali, în lecția Nedeterminările infinit minus infinit și zero ori infinit. Expresii cu radicali; iar $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ și $0^0$ după ce vor exista limitele fundamentale, în lecția Limitele fundamentale care duc la numărul e. Nedeterminarea unu la infinit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul prin înlocuire

Calculați $\underset{x\to 3}{\lim }(2x-1)(x+4)$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x+3}$.

Rezolvare. Ambele expresii sunt construite din funcții polinomiale, definite în punctele cerute, iar toate limitele parțiale sunt finite; Teorema 2 se aplică fără nicio restricție: $$\underset{x\to 3}{\lim }(2x-1)(x+4)=5\cdot 7=35,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x+3}=\frac{2}{3},$$ a doua pentru că numitorul are limita $3\ne 0$. Control numeric: la $x=3\pm 10^{-6}$ primul produs dă $34,999981$ și $35,000019$. ✓

Exemplul 2 — Limită la infinit, direct din tabel

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3-\frac{1}{x}\right)x^2$.

Rezolvare. Primul factor are limita $3$, pentru că $\frac{1}{x}\to 0$; al doilea are limita $+\infty$. Produsul cade pe rândul $a\cdot (+\infty )$ din tabel, cu $a=3\ne 0$, deci limita este $+\infty$. Verificarea limitei primului factor a fost obligatorie: dacă ea ar fi ieșit $0$, am fi avut nedeterminarea $0\cdot \infty$.

Exemplul 3 — Numitor cu semn constant

Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{5}{(x-2{)}^2}$.

Rezolvare. Numărătorul este constant $5>0$. Numitorul tinde la $0$ și este strict pozitiv pentru orice $x\ne 2$, fiind un pătrat; deci este de tipul $0^{+}$ de ambele părți: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{5}{(x-2{)}^2}=\frac{5}{0^{+}}=+\infty .$$ Control numeric: la $x=2\pm 10^{-3}$ valoarea este $5\cdot 10^6$, iar la $x=2\pm 10^{-4}$ este $5\cdot 10^8$. ✓

Exemplul 4 — Numitor cu semn variabil: limitele laterale

Studiați existența limitei funcției $f(x)=\frac{x+1}{x-3}$ în punctul $x_0=3$.

Rezolvare. Numărătorul are limita $4>0$, numitorul limita $0$. Semnul numitorului: $x-3<0$ pentru $x<3$ și $x-3>0$ pentru $x>3$. Prin urmare $$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }\frac{x+1}{x-3}=\frac{4}{0^{-}}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{x+1}{x-3}=\frac{4}{0^{+}}=+\infty .$$ Limitele laterale există, dar sunt diferite, deci $f$ nu are limită în $3$.

Exemplul 5 — Funcție compusă

Calculați $\underset{x\to 3}{\lim }{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^2$.

Rezolvare. Notăm $y=\frac{x+1}{x-1}$. Numitorul are limita $2\ne 0$, deci $y\to \frac{4}{2}=2$. Mai mult, $y\ne 2$ pentru $x$ apropiat de $3$ și diferit de $3$, pentru că egalitatea $\frac{x+1}{x-1}=2$ dă $x=3$; ipoteza a doua din Teorema 3 este îndeplinită. Rămâne $$\underset{y\to 2}{\lim }{y}^2=4.$$ Control numeric: la $x=3\pm 10^{-6}$ expresia dă $4,000002$ și $3,999998$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x+3}$. a) Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$. b) Calculați limitele laterale ale lui $f$ în punctul $x_0=-3$ și precizați dacă $f$ are limită acolo. c) Precizați, fără a calcula, tipul limitei $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

Rezolvare.

a) Numitorul are limita $4\ne 0$, deci se aplică regula câtului: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{1-3+2}{4}=0$.

b) Numărătorul are în $-3$ limita $9+9+2=20>0$, iar numitorul limita $0$. Semnul numitorului: $x+3<0$ pentru $x<-3$ și $x+3>0$ pentru $x>-3$, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x<-3\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{20}{0^{-}}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to -3\\ x>-3\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{20}{0^{+}}=+\infty .$$ Limitele laterale sunt diferite, deci $f$ nu are limită în $-3$.

c) Numărătorul are limita $+\infty$ și numitorul tot $+\infty$, deci scrierea obținută este $\frac{\infty }{\infty }$ — caz de nedeterminare. Nu se poate decide nimic din tabel; expresia trebuie prelucrată, iar tehnica se învață în lecția următoare.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare limită scrie întâi tipul — rezultat sigur din teoremă, rezultat din tabelul lui $\overline{\mathbb{R}}$, caz cu numitor nul sau caz de nedeterminare — și abia apoi calculează. Este exact ordinea cerută de barem.

1. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }(x^3-4x+1)$.

2. Calculează $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+5}{x-3}$.

3. Calculează $\underset{x\to 4}{\lim }\sqrt{2x+1}$, precizând substituția folosită.

4. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{7}{x^4+2}$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{7}{x^4+2}$.

5. Calculează $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{3}{(x-5{)}^2}$.

6. Calculează limitele laterale ale funcției $f(x)=\frac{2}{x-1}$ în $x_0=1$ și spune dacă $f$ are limită acolo.

7. Calculează limitele laterale ale funcției $g(x)=\frac{x-4}{(x+2{)}^2}$ în $x_0=-2$ și precizează dacă $g$ are limită acolo.

8. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2+\sqrt{x}\right)$, indicând rândul din tabel pe care l-ai folosit.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\infty$, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)-g(x))=0$."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f(x)<g(x)$ pentru orice $x\ne x_0$ dintr-o vecinătate a lui $x_0$, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)<\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$."

11. Precizează tipul fiecărei expresii, fără să calculezi: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{3x^2}$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)$; $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+1}{x-2}$.

12. Scrie lista celor șapte cazuri de nedeterminare în ordinea canonică.

13. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+4}{x^2+1}$ și explică de ce nu este nedeterminare, deși și numărătorul, și numitorul conțin $x^2$.

14. (Problemă aplicată.) Un rezervor are, la momentul $t$ minute, volumul $V(t)=\frac{60t}{t+4}$ litri, iar debitul de ieșire este $D(t)=t+4$ litri pe minut. Calculează $\underset{t\to 2}{\lim }V(t)$, $\underset{t\to 2}{\lim }D(t)$ și $\underset{t\to 2}{\lim }(V(t)\cdot D(t))$, precizând regula folosită.

15. Arată, folosind două șiruri convenabile, că funcția $h(x)=\frac{|x|}{x}$ nu are limită în $0$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x-2}$. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$, apoi limitele laterale în $x_0=2$, și precizează dacă $f$ are limită în $2$.

17. Explică de ce, în Teorema 3, ipoteza $u(x)\ne u_0$ nu poate fi eliminată, dând contraexemplul din lecție.

18. (Provocare.) Găsește două funcții $f$ și $g$, definite pe $(0,+\infty )$, cu $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=0$, pentru care produsul $f\cdot g$ are limita $7$. Apoi modifică-le astfel încât produsul să aibă limita $+\infty$. Ce arată exemplele tale despre scrierea $0\cdot \infty$?

Răspunsuri și explicații

1. Toate limitele parțiale sunt finite, deci înlocuim: $8-8+1=1$.

2. Numitorul are limita $-4\ne 0$, deci regula câtului se aplică: $\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$.

3. Notăm $y=2x+1$; cum $y\to 9$ și $y\ne 9$ pentru $x\ne 4$, limita devine $\underset{y\to 9}{\lim }\sqrt{y}=3$.

4. În ambele cazuri numitorul tinde la $+\infty$, iar numărătorul e constant: rândul $\frac{a}{+\infty }$ dă limita $0$ de fiecare dată.

5. Numitorul este un pătrat, deci de tip $0^{+}$ de ambele părți; numărătorul e pozitiv. Limita este $+\infty$.

6. Numărătorul are limita $2>0$; numitorul e negativ la stânga lui $1$ și pozitiv la dreapta. Deci limita la stânga este $-\infty$, cea la dreapta $+\infty$, iar $f$ nu are limită în $1$.

7. Numărătorul are limita $-6<0$; numitorul e strict pozitiv de ambele părți, deci de tip $0^{+}$. Ambele limite laterale sunt $-\infty$, deci $g$ are limită în $-2$, egală cu $-\infty$.

8. Ambii termeni tind la $+\infty$: rândul $a+(+\infty )$ cu $a=+\infty$ dă limita $+\infty$. Nu este nedeterminare, pentru că este o sumă, nu o diferență.

9. Fals. Este cazul de nedeterminare $\infty -\infty$. Pe $(0,+\infty )$, cu $x\to +\infty$: $f(x)=x+5$ și $g(x)=x$ dau diferența $5$; $f(x)=x$ și $g(x)=x^2$ dau $-\infty$.

10. Fals. Inegalitatea strictă se „tocește" la limită: rămâne doar $\le$. Contraexemplul din lecție: $x^2<x^2+x^4$ pentru $x\ne 0$, dar ambele limite în $0$ sunt $0$.

11. Respectiv: $\frac{0}{0}$; $\frac{\infty }{\infty }$; $\infty -\infty$; niciun caz de nedeterminare — este o fracție cu numărător de limită $3\ne 0$ și numitor de limită $0$, deci se rezolvă prin limite laterale.

12. $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$.

13. Limita este $\frac{4}{1}=4$. Nu e nedeterminare pentru că, în $x_0=0$, numărătorul tinde la $4$ și numitorul la $1$ — amândouă finite, iar numitorul nenul. Prezența lui $x^2$ nu înseamnă nimic în sine; contează limitele, nu forma scrisă.

14. $\underset{t\to 2}{\lim }V(t)=\frac{120}{6}=20$ și $\underset{t\to 2}{\lim }D(t)=6$, ambele finite. Prin regula produsului din Teorema 2, $\underset{t\to 2}{\lim }(V(t)D(t))=20\cdot 6=120$.

15. Fie $x_n=\frac{1}{n}\to 0$ și $y_n=-\frac{1}{n}\to 0$. Atunci $h\left(x_n\right)=1$ pentru orice $n$, iar $h\left(y_n\right)=-1$. Cele două șiruri de valori au limite diferite, deci, prin definiția cu șiruri, $h$ nu are limită în $0$.

16. $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$. În $2$: numărătorul are limita $5>0$, numitorul este negativ la stânga și pozitiv la dreapta, deci limita la stânga este $-\infty$ și cea la dreapta $+\infty$. Fiind diferite, $f$ nu are limită în $2$.

17. Cu $f(y)=1$ pentru $y\ne 0$, $f(0)=5$ și $u(x)=0$ pentru orice $x$: $u(x)\to 0$, $\underset{y\to 0}{\lim }f(y)=1$, dar $f(u(x))=5$ constant, deci limita compusei este $5$. Fără ipoteza $u(x)\ne u_0$, concluzia teoremei ar fi falsă.

18. De pildă $f(x)=x$ și $g(x)=\frac{7}{x}$: produsul este constant $7$. Pentru limita $+\infty$: $f(x)=x^2$ și $g(x)=\frac{1}{x}$, cu produsul $x$. Aceeași scriere $0\cdot \infty$ a dat două rezultate diferite, deci ea nu determină limita — este un caz de nedeterminare, iar rezultatul depinde de viteza cu care fiecare factor se apropie de limita lui.

De reținut

• Toate regulile de operare cu limite de funcții se obțin din regulile de la șiruri, prin definiția cu șiruri a limitei; nu ai de învățat teorie nouă, ci de recunoscut vechea teorie într-un context nou.
• Teorema operațiilor funcționează numai când operația dintre limite are sens în $\overline{\mathbb{R}}$; verifică tabelul înainte de a scrie rezultatul.
• Când numitorul tinde la $0$, decide semnul lui: $\frac{a}{0^{+}}$ și $\frac{a}{0^{-}}$ dau rezultate opuse, iar dacă semnul se schimbă la trecerea prin $x_0$, se scriu două limite laterale și, cel mai adesea, limita nu există.
• Substituția într-o funcție compusă cere ca $u(x)\ne u_0$ pe o vecinătate a lui $x_0$; fără această ipoteză concluzia poate fi falsă.
• Cele șapte nedeterminări, în ordine: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$. La funcții, spre deosebire de șiruri, cazul $\frac{0}{0}$ apare foarte des, în puncte finite.

Greșeli frecvente

• Aplici regula câtului fără să verifici că numitorul are limită nenulă. Este condiția scrisă în teoremă; când limita numitorului este $0$, regula pur și simplu nu se aplică, iar rezultatul se decide din semn sau printr-o prelucrare.
• Scrii „limita este $\infty$" când limitele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$. Ele fiind diferite, funcția nu are limită în acel punct. Răspunsul complet cere ambele limite laterale și concluzia.
• Confunzi $\frac{a}{0}$ cu un rând din tabel. Nu există un asemenea rând: $\frac{a}{0}$ nu este operație în $\overline{\mathbb{R}}$. Se lucrează cu $0^{+}$ și $0^{-}$, care sunt note despre semn, nu valori.
• Tratezi $\infty +\infty$ drept nedeterminare. Suma a două funcții cu limita $+\infty$ are întotdeauna limita $+\infty$; doar diferența este nedeterminată. Pierzi timp pe o prelucrare inutilă.
• Faci substituția fără să verifici a doua ipoteză. Contraexemplul cu $u$ constantă arată că limita compusei poate diferi de limita lui $f$. La Bacalaureat M1, pasul „$u(x)\ne u_0$ pe o vecinătate" se scrie, nu se subînțelege.

Aplică acasă

1. Fișa cu două coloane. Pe o jumătate de pagină lipită în caiet, scrie în stânga cele șapte rânduri ale tabelului operațiilor permise, iar în dreapta cele șapte nedeterminări. Peste o săptămână, acoperă o coloană și reconstituie-o. Este distincția pe care o vei folosi la fiecare limită de acum înainte.

2. Experimentul cu calculatorul de buzunar. Ia funcția $f(x)=\frac{1}{x-4}$ și calculează valorile ei în $x=3,9$; $3,99$; $3,999$, apoi în $4,1$; $4,01$; $4,001$. Notează ce observi despre semn și despre mărime, apoi scrie cele două limite laterale. Repetă pentru $\frac{1}{(x-4{)}^2}$ și compară comportamentele.

3. Vânătoare de mărimi compuse. Alege trei mărimi din viața de zi cu zi care se obțin înmulțind sau împărțind alte două (puterea electrică, viteza medie, prețul pe kilogram, consumul la sută de kilometri). Pentru fiecare, spune ce se întâmplă cu limita mărimii compuse dacă una dintre componente tinde la zero — și când răspunsul se poate da fără informații suplimentare.

Pentru părinți și profesori

Lecția este articulația dintre capitolul de șiruri și tot restul analizei matematice. Ideea centrală, pe care elevul trebuie să o poată formula singur, este că definiția limitei cu șiruri transformă fiecare teoremă despre șiruri într-o teoremă despre funcții, fără efort suplimentar. A doua idee, la fel de importantă, este că orice regulă de calcul vine cu o ipoteză, iar ipoteza nu este decor: ea marchează exact granița dincolo de care începe munca adevărată, adică prelucrarea expresiilor.

Ce verifică lecția: (1) enunțarea corectă a regulilor, cu ipotezele lor; (2) tratarea cazului în care numitorul tinde la zero, prin semn și prin limite laterale; (3) folosirea corectă a substituției la funcții compuse, inclusiv a doua ipoteză; (4) recunoașterea, fără calcul, a tipului unei expresii. Întrebări bune de control: „De ce regula câtului cere numitor cu limită nenulă?"; „Când scriem două limite laterale în loc de una singură?"; „Dă-mi un exemplu în care $0\cdot \infty$ dă $7$".

La BAC M1, materialul apare în aproape fiecare subiect care conține o limită: fie ca pas de calcul direct, fie ca prim pas al unei probleme mai lungi, unde recunoașterea tipului decide metoda. Semne că elevul a înțeles: scrie spontan tipul înainte de a calcula; cere semnul numitorului când acesta tinde la zero; și nu mai spune „limita este infinit" atunci când răspunsul corect este „funcția nu are limită".

Întrebări frecvente

Limita sumei este întotdeauna suma limitelor? Nu întotdeauna, ci de fiecare dată când suma limitelor are sens în $\overline{\mathbb{R}}$. Dacă amândouă sunt finite, regula funcționează fără nicio rezervă. Dacă una este $+\infty$ și cealaltă $-\infty$, scrierea $\infty -\infty$ nu are sens, iar regula nu se aplică: expresia trebuie prelucrată.

Când se aplică regula limitei câtului? Când ambele limite există și limita numitorului este diferită de zero. Dacă limita numitorului este $0$, iar a numărătorului nu, rezultatul se obține din semnul numitorului, cu limite laterale. Dacă amândouă sunt $0$, ai nedeterminarea $\frac{0}{0}$.

Ce înseamnă notațiile $0^{+}$ și $0^{-}$? Sunt note despre semnul unei mărimi care tinde la zero: $0^{+}$ înseamnă „tinde la $0$ prin valori pozitive", $0^{-}$ „prin valori negative". Se folosesc numai în calculul semnului unui cât, de pildă $\frac{5}{0^{-}}=-\infty$; ele nu sunt notații pentru limite laterale.

Cum calculez limita unei funcții compuse? Prin substituție: notezi $y=u(x)$, calculezi limita lui $u$ în punctul dat, apoi limita funcției exterioare în acea valoare. Ipoteza care face pasul legitim este ca $u(x)$ să fie diferit de valoarea-limită $u_0$ pe o vecinătate a punctului; fără ea, rezultatul poate fi greșit.

De ce nu putem scrie un rezultat pentru $\frac{a}{0}$? Pentru că nu există unul singur. Depinde de semnul numitorului și, dacă acesta se schimbă de o parte și de alta a punctului, funcția are două comportamente opuse — deci nu are limită acolo. Împărțirea la zero nu este operație nici în $\mathbb{R}$, nici în $\overline{\mathbb{R}}$.

Care este diferența dintre nedeterminările de la șiruri și cele de la funcții? Lista celor șapte este aceeași. Diferă doar frecvența: la șiruri indicele merge mereu la $+\infty$, deci domină $\frac{\infty }{\infty }$ și $\infty -\infty$, pe când la funcții $x$ se poate apropia și de un punct finit, iar acolo apare masiv $\frac{0}{0}$.

Cum arăt că o funcție nu are limită într-un punct? Cea mai scurtă cale este definiția cu șiruri, folosită „pe dos": găsești două șiruri care tind la $x_0$, cu termeni diferiți de $x_0$, pentru care șirurile valorilor au limite diferite. A doua cale, la fel de bună când e disponibilă, este calculul celor două limite laterale și constatarea că nu coincid.