Operații cu șiruri convergente: pe scurt

Dacă $a_n\to a$ și $b_n\to b$, cu $a$ și $b$ finite, atunci limita sumei este $a+b$, a diferenței $a-b$, a produsului $ab$, iar a câtului $\frac{a}{b}$ — ultima numai dacă $b\ne 0$. Se adaugă $\underset{n\to \infty }{\lim }(\lambda a_n)=\lambda a$, $\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=|a|$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n^p=a^p$, iar la radical și la puterea cu exponent variabil se cer, în plus, termeni pozitivi, respectiv bază cu limită strict pozitivă.

Demonstrația sumei împarte bugetul de eroare: fiecare șir primește $\frac{\epsilon }{2}$, iar inegalitatea modulului sumei le pune la loc. La produs se folosește faptul că orice șir convergent este mărginit — altfel o eroare mică a unui factor ar putea fi amplificată nemărginit de celălalt.

Rețeta de calcul are trei pași: descompui expresia în bucăți cu limite cunoscute, verifici ipotezele (toate bucățile convergente, numitor cu limită nenulă, număr fix de bucăți), apoi recompui. Pasul al doilea este cel punctat în barem.

Două capcane. Regulile cer limite finite: la $\frac{3n+1}{n+2}$ nu se aplică nimic direct, fiindcă nicio bucată nu este convergentă. Și regulile merg într-un singur sens: din $a_n=(-1{)}^n$, $b_n=(-1{)}^{n+1}$ suma este constant $0$, deși niciun șir nu are limită. Nici o sumă cu un număr de termeni care crește o dată cu $n$ nu intră aici.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $a_n=4-\frac{2}{n}$ și $b_n=1+\frac{3}{n^2}$. Atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n{b}_n)$ este:

   • a) $3$
   • b) $4$
   • c) $5$
   • d) limita nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $4$

   Bucățile: $\frac{2}{n}\to 0$ și $\frac{3}{n^2}\to 0$, deci $a_n\to 4$ și $b_n\to 1$, ambele finite. Regula produsului dă $4\cdot 1=4$. Varianta a) ar fi diferența, iar c) suma limitelor. Control numeric: pentru $n=1000$ produsul este $3,998$.

2. Regula $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$ se poate folosi numai dacă:

   • a) $b_n\ne 0$ pentru orice $n\ge 1$
   • b) ambele șiruri sunt monotone
   • c) ambele șiruri sunt convergente și $b\ne 0$
   • d) ambele șiruri au limită în $\overline{\mathbb{R}}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) ambele șiruri sunt convergente și $b\ne 0$

   Se cer limite finite și limita numitorului nenulă. Condiția $b\ne 0$ garantează chiar ea că $b_n\ne 0$ de la un rang încolo, deci a) nu este necesară (poate fi $b_1=0$, ca la $b_n=1-\frac{1}{n}$). Fără $b\ne 0$ rezultatul poate fi orice: $\frac{1/n}{1/n^2}=n\to +\infty$, dar $\frac{1/n^2}{1/n}=\frac{1}{n}\to 0$.

3. Se știe că șirul $(a_n+b_n)$ este convergent. Rezultă că:

   • a) $(a_n)$ și $(b_n)$ sunt amândouă convergente
   • b) cel puțin unul dintre șiruri are limită
   • c) $(a_n)$ este mărginit
   • d) nu rezultă nimic despre $(a_n)$ și $(b_n)$ luate separat
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nu rezultă nimic despre $(a_n)$ și $(b_n)$ luate separat

   Regulile merg numai dinspre bucăți spre întreg. Contraexemplul standard: $a_n=(-1{)}^n$ și $b_n=(-1{)}^{n+1}$ dau $a_n+b_n=0$ pentru orice $n$, deci suma este convergentă, deși niciunul dintre cele două șiruri nu are limită și nici nu se poate spune ceva despre ele din convergența sumei.