Operații cu șiruri convergente

O firmă mică își notează, lună de lună, venitul $v_{n}$ și cheltuiala $c_{n}$ . După primul an, ambele mărimi se așază: venitul se apropie de $18000$ de lei pe lună, cheltuiala de $11000$ . Nimeni nu mai calculează profitul lună de lună ca să răspundă la întrebarea „spre ce se îndreaptă afacerea?" — răspunsul se citește direct: profitul $v_{n} - c_{n}$ se apropie de $7000$ de lei. Am folosit, fără să spunem, o regulă: limita diferenței este diferența limitelor.

Regula pare atât de firească încât e ușor de crezut că nu are nevoie de demonstrație. Are — și, mai important, are ipoteze, care nu sunt decorative: aplicată în afara lor, regula produce rezultate false. Lecția aceasta enunță și demonstrează operațiile cu șiruri convergente — sumă, diferență, produs, cât, putere — și arată, cu exemple, exact unde se sparg atunci când ipotezele nu sunt îndeplinite. De aici încolo, calculul unei limite devine ceea ce trebuie să fie: descompui expresia în bucăți despre care știi deja răspunsul și recompui.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți regulile pentru limita sumei, a diferenței, a produsului și a câtului a două șiruri convergente, cu ipotezele complete.
Vei ști să demonstrezi regula sumei și regula produsului, folosind definiția limitei.
Vei ști de ce orice șir convergent este mărginit și la ce folosește această observație în demonstrații.
Vei ști să tratezi corect cazul câtului, verificând mai întâi că limita numitorului este nenulă.
Vei ști să calculezi limite pentru expresii compuse din șirurile-etalon, aplicând regulile pas cu pas.
Vei ști să recunoști situațiile în care regulile nu se aplică și să nu le folosești acolo.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „operații cu șiruri"

Din două șiruri $(a_{n})$ și $(b_{n})$ se pot construi altele noi, operând rang cu rang: $(a_{n} + b_{n})_{n}, (a_{n} - b_{n})_{n}, (a_{n} b_{n})_{n}, (\frac{a _{n}}{b _{n}})_{n} .$ Ultimul are sens doar pentru rangurile cu $b_{n} \neq = 0$ — o precizare de care ne vom ocupa serios în paragraful 5.

Un exemplu de lucru, pe care îl folosim în toată lecția: $a_{n} = 2 + \frac{1}{n}$ și $b_{n} = 5 - \frac{3}{n ^{2}}$ . Primii termeni: $a_{1} = 3$ , $a_{2} = \frac{5}{2}$ , iar $b_{1} = 2$ , $b_{2} = \frac{17}{4}$ . Din lecția Limitele șirurilor cu termenul general de tip putere și de tip progresie geometrică știm că $\frac{1}{n} \to 0$ și $\frac{1}{n ^{2}} \to 0$ ; vom vedea imediat că, formal, $a_{n} \to 2$ și $b_{n} \to 5$ .

Întrebarea lecției este: cunoscând limitele bucăților, putem afla limita întregului? Răspunsul este da, cu condiția ca ambele limite să fie finite — adică șirurile să fie convergente, în sensul fixat la lecția Șiruri convergente și șiruri divergente. Ce se întâmplă când o limită este infinită se studiază separat, la lecția Șiruri cu limită infinită. Operații.

Merită spus limpede de ce întrebarea aceasta este cea mai importantă din capitol. Fără un răspuns la ea, fiecare limită nouă ar cere o revenire la definiție, cu ranguri și cu vecinătăți — o muncă pe care ai făcut-o de câteva ori la lecția Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți și care nu se poate repeta la fiecare exercițiu de teză. Regulile de mai jos mută efortul o singură dată, în demonstrație, și lasă apoi calculul să fie mecanic: recunoști bucățile, verifici condițiile, compui rezultatul. Aproape tot ce urmează în analiza de liceu — limite de funcții, derivate, studiul variației — folosește exact acest tipar.

2. Limita sumei

Teoremă. Fie $(a_{n})$ și $(b_{n})$ șiruri convergente, cu $n \to \infty lim a_{n} = a$ și $n \to \infty lim b_{n} = b$ . Atunci șirul sumă este convergent și $n \to \infty lim (a_{n} + b_{n}) = a + b .$

Demonstrație. Fie $ε > 0$ oarecare. Ideea este să „împărțim eroarea în două": cerem fiecărui șir să se apropie de limita lui cu mai puțin de $\frac{ε}{2}$ .

Din definiția limitei aplicată lui $(a_{n})$ cu $\frac{ε}{2}$ în loc de $ε$ , există un rang $n_{1}$ astfel încât $∣ a_{n} - a ∣ < \frac{ε}{2}$ pentru orice $n \geq n_{1}$ . Analog, există $n_{2}$ cu $∣ b_{n} - b ∣ < \frac{ε}{2}$ pentru $n \geq n_{2}$ . Fie $N = max (n_{1}, n_{2})$ . Pentru orice $n \geq N$ , folosind inegalitatea modulului sumei: $∣(a_{n} + b_{n}) - (a + b)∣ = ∣(a_{n} - a) + (b_{n} - b)∣ \leq ∣ a_{n} - a ∣ + ∣ b_{n} - b ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .$ Deci, de la rangul $N$ încolo, toți termenii șirului sumă se află în intervalul $(a + b - ε, a + b + ε)$ . Cum $ε$ a fost arbitrar, limita este $a + b$ . $■$

Consecință imediată, luând $b_{n}$ constant sau schimbând semnul: $lim (a_{n} - b_{n}) = a - b$ și $lim (λ a_{n}) = λa$ pentru orice constantă reală $λ$ .

Merită oprit o clipă asupra mecanismului demonstrației, pentru că el se repetă la fiecare regulă din lecție: nu am „calculat" limita sumei, ci am arătat că eroarea totală se poate face oricât de mică, împărțind bugetul de eroare $ε$ între cele două șiruri. Fiecare primește jumătate, iar inegalitatea modulului sumei le pune la loc. Aceeași idee, cu alte fracții din $ε$ , funcționează pentru trei, patru sau o sută de șiruri.

Și tocmai aici e capcana. Prin inducție, regula se extinde la un număr fix de șiruri, oricât de mare ar fi el — dar nu la o sumă în care numărul de termeni crește o dată cu $n$ . Exemplul care lămurește totul: dacă aduni $n$ termeni egali cu $\frac{1}{n}$ , obții $n termeni \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n} = 1 pentru orice n \geq 1,$ deci limita este $1$ , nu $0$ , deși fiecare termen în parte tinde la zero. Regula sumei nu a fost încălcată: pur și simplu nu era aplicabilă, pentru că numărul de bucăți nu este fix. Sumele cu un număr variabil de termeni se tratează cu totul altfel — de obicei aducându-le mai întâi la o formă închisă, așa cum vei face în Exemplul 5 cu progresia geometrică.

Control pe cifre, pe exemplul nostru: $a_{n} + b_{n} = 7 + \frac{1}{n} - \frac{3}{n ^{2}}$ . Pentru $n = 10$ obținem $7, 07$ ; pentru $n = 1000$ , $7, 000997$ ; pentru $n = 1 0^{6}$ , $7, 000001$ . Valorile se strâng, într-adevăr, în jurul lui $7 = 2 + 5$ .

3. O observație de care avem nevoie: convergent înseamnă mărginit

Înainte de produs, ne trebuie un rezultat pe care l-ai demonstrat deja la lecția Șiruri convergente și șiruri divergente, folosind noțiunile de la Mărginirea unui șir. Îl reluăm aici, pe scurt, pentru că demonstrația produsului se sprijină exact pe el și e bine să ai argumentul proaspăt în minte.

Teoremă. Orice șir convergent este mărginit.

Demonstrație. Fie $a_{n} \to a$ . Aplicăm definiția cu $ε = 1$ : există un rang $N$ de la care $∣ a_{n} - a ∣ < 1$ , deci $∣ a_{n} ∣ < ∣ a ∣ + 1$ pentru orice $n \geq N$ . În afara acestui rang au rămas doar termenii $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{N - 1}$ — un număr finit de numere, care au un cel mai mare modul. Luând $M = max (∣ a_{1} ∣, ∣ a_{2} ∣, \dots, ∣ a_{N - 1} ∣, ∣ a ∣ + 1),$ avem $∣ a_{n} ∣ \leq M$ pentru orice $n$ . $■$

Reține și reciproca ei falsă, ca să nu o folosești greșit: un șir mărginit nu este neapărat convergent — $((- 1)^{n})$ este mărginit între $- 1$ și $1$ și totuși nu are limită.

De ce ne trebuie mărginirea tocmai la produs? Pentru că la produs erorile se înmulțesc cu valorile celuilalt șir: o abatere mică a lui $b_{n}$ față de $b$ este amplificată de factorul $a_{n}$ . Dacă factorul acesta ar putea crește nemărginit, o eroare oricât de mică ar putea da un produs mare, iar estimarea ar cădea. Mărginirea lui $(a_{n})$ este exact garanția că amplificarea rămâne sub control — și e singurul loc din demonstrație unde folosim ceva mai mult decât definiția limitei.

4. Limita produsului

Teoremă. Cu aceleași ipoteze, șirul produs este convergent și $n \to \infty lim (a_{n} b_{n}) = ab$ .

Demonstrație. Trucul standard este să adunăm și să scădem același termen, ca să separăm cele două erori: $a_{n} b_{n} - ab = a_{n} b_{n} - a_{n} b + a_{n} b - ab = a_{n} (b_{n} - b) + b (a_{n} - a) .$ Trecem la module și folosim inegalitatea modulului sumei: $∣ a_{n} b_{n} - ab ∣ \leq ∣ a_{n} ∣ \cdot ∣ b_{n} - b ∣ + ∣ b ∣ \cdot ∣ a_{n} - a ∣ .$ Aici intervine teorema de mai sus: $(a_{n})$ fiind convergent, este mărginit, deci există $M > 0$ cu $∣ a_{n} ∣ \leq M$ pentru orice $n$ . Luăm și $K = M + ∣ b ∣ + 1 > 0$ . Fie $ε > 0$ ; alegem rangurile de la care $∣ a_{n} - a ∣ < \frac{ε}{2 K}$ și $∣ b_{n} - b ∣ < \frac{ε}{2 K}$ . Pentru $n$ mai mare decât amândouă: $∣ a_{n} b_{n} - ab ∣ \leq M \cdot \frac{ε}{2 K} + ∣ b ∣ \cdot \frac{ε}{2 K} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε,$ ultima inegalitate fiind adevărată pentru că $M < K$ și $∣ b ∣ < K$ . Deci limita produsului este $ab$ . $■$

Control pe cifre: $a_{n} b_{n}$ ia valorile $10, 437$ la $n = 10$ , $10, 004994$ la $n = 1000$ și $10, 000005$ la $n = 1 0^{6}$ — se apropie de $10 = 2 \cdot 5$ . ✓

Prin inducție după $p$ , din regula produsului rezultă imediat $lim a_{n}^{p} = a^{p}$ pentru orice $p \in N^{*}$ .

5. Limita câtului și grija pentru numitor

Teoremă. Fie $(a_{n})$ și $(b_{n})$ convergente, cu limitele $a$ și $b$ , și presupunem $b \neq = 0$ . Atunci $b_{n} \neq = 0$ de la un rang încolo, iar $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{a}{b} .$

Prima parte a concluziei nu e o formalitate, ci chiar lucrul care face enunțul corect: dacă $b_{n}$ s-ar putea anula oricât de departe, câtul nici nu ar fi definit. Justificarea vine din lecția precedentă, Trecerea la limită în inegalități, de la conservarea semnului: dacă $b > 0$ , atunci de la un rang încolo $b_{n} > \frac{b}{2} > 0$ ; dacă $b < 0$ , atunci de la un rang $b_{n} < \frac{b}{2} < 0$ . În ambele cazuri, de la acel rang numitorul este nenul și, în plus, rămâne departe de zero — exact ce trebuie ca împărțirea să nu strice estimările. Partea a doua a demonstrației urmează același tipar ca la produs; o admitem aici, tehnica fiind identică, doar calculul e mai lung.

O precizare practică, pentru că se cere în bareme: teorema garantează doar că numitorul e nenul de la un rang încolo, nu la fiecare rang. Se poate întâmpla ca primii termeni să se anuleze — de pildă $b_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ are $b_{1} = 0$ — caz în care câtul are sens abia de la $n = 2$ . Nu e o problemă: știm din lecțiile anterioare că limita nu se schimbă dacă înlăturăm un număr finit de termeni. Când calculezi, e bine să spui într-o propoziție de la ce rang lucrezi.

Ipoteza $b \neq = 0$ nu poate fi slăbită. Dacă limita numitorului este $0$ , regula pur și simplu nu se aplică, iar rezultatul poate fi orice: pentru $a_{n} = \frac{1}{n}$ și $b_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ , ambele cu limita $0$ , câtul este $\frac{a _{n}}{b _{n}} = n$ , care tinde la $+ \infty$ ; pentru $a_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ și $b_{n} = \frac{1}{n}$ , câtul este $\frac{1}{n}$ , care tinde la $0$ . Aceste situații se studiază la lecțiile Cazurile de nedeterminare infinit minus infinit și infinit supra infinit și Cazurile de nedeterminare zero ori infinit, zero supra zero și unu la infinit.

6. Tabelul complet al operațiilor

Strângem tot ce se folosește, presupunând peste tot $a_{n} \to a$ și $b_{n} \to b$ , cu $a$ și $b$ finite:

Șirul	Ipoteze suplimentare	Limita
$a_{n} + b_{n}$	—	$a + b$
$a_{n} - b_{n}$	—	$a - b$
$λ a_{n}$ , $λ \in R$	—	$λa$
$a_{n} b_{n}$	—	$ab$
$\frac{a _{n}}{b _{n}}$	$b \neq = 0$	$\frac{a}{b}$
$∣ a_{n} ∣$	—	$∣ a ∣$
$a_{n}^{p}$ , $p \in N^{*}$	—	$a^{p}$
$k a_{n}$ , $k \geq 2$	$a_{n} \geq 0$ și $a \geq 0$	$k a$
$a_{n}^{b_{n}}$	$a_{n} > 0$ și $a > 0$	$a^{b}$

Ultimele trei rânduri cer atenție la ipoteze. Radicalul de ordin par nu are sens pentru termeni negativi, iar la puterea cu exponent variabil condiția $a > 0$ este obligatorie: fără ea, expresia $a^{b}$ ar putea să nu aibă niciun sens, iar cazurile rămase se tratează abia la lecțiile despre nedeterminări.

7. Rețeta de calcul, în trei pași

În practică, toate exercițiile din această lecție se rezolvă la fel:

Descompui expresia în bucăți ale căror limite le știi — de regulă șiruri-etalon de tip $\frac{1}{n ^{a}}$ sau $q^{n}$ și constante.
Verifici ipotezele: toate bucățile sunt convergente? La cât, limita numitorului e nenulă? La radical, termenii sunt pozitivi? Numărul de bucăți este fix, nu crește o dată cu $n$ ?
Recompui, aplicând regulile din tabel, și scrii rezultatul.

Pasul al doilea este cel pe care elevii îl sar, și tot el este cel punctat în barem. Obiceiul bun, pe care merită să ți-l formezi de la primul exercițiu, este să scrii pe o linie separată limitele bucăților — „ $\frac{1}{n} \to 0$ , deci numărătorul $\to 2$ ; $(\frac{1}{2})^{n} \to 0$ , deci numitorul $\to 5 \neq = 0$ " — și abia pe linia următoare rezultatul. Când limita nu iese, greșeala se vede imediat în lista aceea, nu în calculul final.

Exemplu scurt. $n \to \infty lim ((\frac{1}{2})^{n} + \frac{3}{n})$ : prima bucată are limita $0$ (progresie geometrică cu rația subunitară), a doua are tot limita $0$ ; ambele sunt convergente, deci limita sumei este $0 + 0 = 0$ .

Al doilea exemplu. $n \to \infty lim (4 - \frac{7}{n ^{3}})^{2}$ : paranteza are limita $4 - 0 = 4$ , iar regula puterii cu exponent natural dă $4^{2} = 16$ . Control: pentru $n = 1000$ valoarea este $15, 999999944$ . ✓

Regulile se aplică doar dacă AMBELE limite sunt finite

8. Unde se sparg regulile

Două capcane, amândouă frecvente la teze.

Prima: teorema nu se aplică bucăților care nu sunt convergente. Pentru $n \to \infty lim \frac{3 n + 1}{n + 2}$ nu ai voie să scrii „limita câtului este câtul limitelor": nici $(3 n + 1)$ , nici $(n + 2)$ nu sunt convergente, ambele având limita $+ \infty$ . Limita există totuși și este $3$ — valorile sunt $2, 95$ la $n = 100$ și $2, 999995$ la $n = 1 0^{6}$ — dar se obține printr-o prelucrare prealabilă a termenului general, tehnică studiată la lecția despre nedeterminările de tip infinit supra infinit. Aplicarea oarbă a regulii aici este greșeala numărul unu a capitolului.

Ordinea în care se studiază lucrurile de aici încolo este exact aceasta: mai întâi se prelungesc regulile la șiruri cu limită infinită, apoi se izolează situațiile în care prelungirea nu decide nimic, iar în final se învață tehnicile de prelucrare care le rezolvă. Tot ce ai nevoie pentru primul pas este ca regulile din lecția de față să fie ferm așezate.

A doua: reciprocele sunt false. Din faptul că șirul sumă este convergent nu rezultă că fiecare dintre șiruri este convergent: pentru $a_{n} = (- 1)^{n}$ și $b_{n} = (- 1)^{n + 1}$ avem $a_{n} + b_{n} = 0$ pentru orice $n$ , deci suma este constantă și convergentă, deși niciunul dintre cele două șiruri nu are limită. Regula merge într-un singur sens: de la bucăți spre întreg, niciodată invers.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate cele patru operații pe aceeași pereche

Fie $a_{n} = 2 + \frac{1}{n}$ și $b_{n} = 5 - \frac{3}{n ^{2}}$ . Calculați limitele șirurilor $a_{n} + b_{n}$ , $a_{n} - b_{n}$ , $a_{n} b_{n}$ și $\frac{a _{n}}{b _{n}}$ .

Rezolvare. Mai întâi limitele bucăților: $lim \frac{1}{n} = 0$ și $lim \frac{1}{n ^{2}} = 0$ , deci $lim a_{n} = 2$ și $lim b_{n} = 5$ . Ambele sunt finite, deci regulile se aplică. $lim (a_{n} + b_{n}) = 7; lim (a_{n} - b_{n}) = - 3; lim (a_{n} b_{n}) = 10; lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{2}{5} .$ La ultima am verificat ipoteza: limita numitorului este $5 \neq = 0$ .

Control pe cifre: la $n = 1 0^{6}$ valorile sunt $7, 000001$ , $- 2, 999999$ , $10, 000005$ și $0, 4000002$ . ✓

Exemplul 2 — Combinație de șiruri-etalon

Calculați $n \to \infty lim (3 + \frac{4}{n} - 2 (\frac{1}{5})^{n})$ .

Rezolvare. Descompunem în trei bucăți: constanta $3$ are limita $3$ ; $\frac{4}{n} = 4 \cdot \frac{1}{n}$ are limita $4 \cdot 0 = 0$ (regula înmulțirii cu o constantă); $(\frac{1}{5})^{n}$ are limita $0$ , rația fiind subunitară, deci $- 2 (\frac{1}{5})^{n}$ are limita $0$ .

Toate trei sunt convergente, deci limita sumei este suma limitelor: $n \to \infty lim (3 + \frac{4}{n} - 2 (\frac{1}{5})^{n}) = 3 + 0 - 0 = 3.$

Exemplul 3 — Un cât, cu verificarea numitorului

Calculați $n \to \infty lim \frac{2 + \frac{1}{n}}{5 - \frac{3}{n}}$ .

Rezolvare. Numărătorul are limita $2$ , numitorul are limita $5$ . Cum $5 \neq = 0$ , regula câtului se aplică și limita este $\frac{2}{5}$ .

Merită verificat și că numitorul chiar nu se anulează: $5 - \frac{3}{n} \geq 5 - 3 = 2 > 0$ pentru orice $n \geq 1$ , deci câtul are sens la fiecare rang. Control: la $n = 10$ valoarea este $0, 4468 \dots$ , la $n = 1 0^{5}$ este $0, 4000044$ . ✓

Exemplul 4 — Radical și putere cu exponent variabil

Calculați $n \to \infty lim 9 + \frac{1}{n}$ și $n \to \infty lim (2 + \frac{1}{n})^{3 - \frac{1}{n}}$ .

Rezolvare. La prima, expresia de sub radical are limita $9$ , iar termenii ei sunt pozitivi; regula radicalului dă $9 = 3$ . Control: pentru $n = 1 0^{6}$ valoarea este $3, 00000016 \dots$ ✓

La a doua verificăm ipotezele regulii puterii: baza $2 + \frac{1}{n}$ este strict pozitivă la fiecare rang și are limita $2 > 0$ , iar exponentul are limita $3$ . Prin urmare limita este $2^{3} = 8$ . Control: pentru $n = 1000$ valoarea este $8, 00645 \dots$ , iar pentru $n = 1 0^{6}$ este $8, 0000064 \dots$ ✓

Exemplul 5 — Suma primilor termeni ai unei progresii geometrice

Fie progresia geometrică cu $b_{1} = 1$ și rația $q = \frac{1}{3}$ , iar $S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ . Calculați $n \to \infty lim S_{n}$ .

Rezolvare. Din clasa a IX-a, de la Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice, ai formula $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ , valabilă pentru $q \neq = 1$ . Aici $S_{n} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^{n}) .$ Paranteza este acum un șir convergent: $(\frac{1}{3})^{n} \to 0$ , deci paranteza are limita $1$ . Prin regula înmulțirii cu o constantă, $n \to \infty lim S_{n} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} .$ Control: $S_{5} = 1, 49382 \dots$ , $S_{10} = 1, 499974 \dots$ , $S_{20} \approx 1, 5$ . ✓

Aceeași idee explică o scriere pe care o folosești din gimnaziu: $0, (3)$ înseamnă limita sumelor $0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + \dots$ , adică o progresie geometrică cu $b_{1} = \frac{3}{10}$ și $q = \frac{1}{10}$ . Limita este $\frac{3/10}{1 - 1/10} = \frac{1}{3}$ — exact fracția pe care o știai.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ , $a_{n} = 3 - (\frac{1}{2})^{n}$ . a) Calculați $a_{1}$ și $a_{2}$ . b) Arătați că $a_{n + 1} - a_{n} = (\frac{1}{2})^{n + 1}$ pentru orice $n \geq 1$ . c) Calculați $n \to \infty lim a_{n}$ și arătați că $a_{n} < 3$ pentru orice $n \geq 1$ .

Rezolvare.

a) $a_{1} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ ; $a_{2} = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$ .

b) Calculăm diferența, scoțând factor comun: $a_{n + 1} - a_{n} = (\frac{1}{2})^{n} - (\frac{1}{2})^{n + 1} = (\frac{1}{2})^{n} (1 - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{n} \cdot \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{n + 1} .$ Cum rezultatul este strict pozitiv, șirul este strict crescător.

c) Șirul $((\frac{1}{2})^{n})$ are limita $0$ , iar șirul constant $3$ are limita $3$ ; ambele sunt convergente, deci regula diferenței dă $lim a_{n} = 3 - 0 = 3$ . În plus, $(\frac{1}{2})^{n} > 0$ pentru orice $n$ , deci $a_{n} < 3$ : șirul crește spre $3$ fără să atingă vreodată această valoare — o ilustrare a faptului, demonstrat în lecția precedentă, că inegalitatea strictă dintre termeni și limită nu se păstrează la trecerea la limită.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Înainte de fiecare aplicare a unei reguli, scrie ce limite ai pe bucăți și verifică ipoteza — la cât, că limita numitorului e nenulă.

1. Fie $a_{n} = 3 + \frac{2}{n}$ și $b_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ . Calculează $lim (a_{n} + b_{n})$ și $lim (a_{n} - b_{n})$ .

2. Pentru aceleași șiruri, calculează $lim (a_{n} b_{n})$ și $lim \frac{a _{n}}{b _{n}}$ , verificând ipoteza de la cât.

3. Calculează $n \to \infty lim (5 - \frac{1}{n ^{2}})$ .

4. Calculează $n \to \infty lim ((\frac{1}{3})^{n} + 2)$ .

5. Calculează $n \to \infty lim \frac{4 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{2}{n}}$ .

6. Calculează $n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n}) (2 - \frac{3}{n})$ .

7. Calculează $n \to \infty lim 16 + \frac{5}{n}$ .

8. Calculează $n \to \infty lim - 5 + \frac{1}{n}$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă șirul $(a_{n} + b_{n})$ este convergent, atunci și $(a_{n})$ , și $(b_{n})$ sunt convergente."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Limita câtului este câtul limitelor, oricare ar fi cele două șiruri convergente."

11. Explică de ce nu poți aplica direct regula câtului la $n \to \infty lim \frac{3 n + 1}{n + 2}$ și spune ce lipsește.

12. (Problemă aplicată.) O firmă are, în luna $n$ , venitul $v_{n} = 18 - \frac{6}{n}$ mii de lei și cheltuiala $c_{n} = 11 + \frac{2}{n}$ mii de lei. Calculează limita profitului $v_{n} - c_{n}$ și interpretează rezultatul.

13. Fie progresia geometrică cu $b_{1} = 8$ și $q = \frac{1}{2}$ . Calculează $n \to \infty lim S_{n}$ , unde $S_{n}$ este suma primilor $n$ termeni.

14. Arată, folosind o progresie geometrică, că $0, (6) = \frac{2}{3}$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $a_{n} = 5 - (\frac{1}{3})^{n}$ . a) Calculați $a_{1}$ . b) Arătați că $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (\frac{1}{3})^{n + 1}$ . c) Calculați $n \to \infty lim a_{n}$ .

16. Calculează $n \to \infty lim (2 + \frac{1}{n})^{3}$ , precizând ce regulă folosești.

17. Deduce regula limitei diferenței din regula sumei și din faptul că $lim (- b_{n}) = - lim b_{n}$ .

18. (Provocare.) Arată că, dacă $(a_{n})$ este convergent și $(b_{n})$ nu are limită, atunci șirul $(a_{n} + b_{n})$ nu poate fi convergent.

Răspunsuri și explicații

1. $lim a_{n} = 3$ , $lim b_{n} = 1$ . Deci $lim (a_{n} + b_{n}) = 4$ și $lim (a_{n} - b_{n}) = 2$ .

2. $lim (a_{n} b_{n}) = 3 \cdot 1 = 3$ . La cât, limita numitorului este $1 \neq = 0$ , deci regula se aplică: $lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = 3$ . Atenție însă la primul rang: $b_{1} = 0$ , deci câtul are sens abia de la $n = 2$ — o observație care nu schimbă limita, fiindcă un număr finit de termeni nu contează.

3. $\frac{1}{n ^{2}} \to 0$ , deci limita este $5 - 0 = 5$ .

4. Rația $\frac{1}{3}$ are modulul subunitar, deci $(\frac{1}{3})^{n} \to 0$ și limita sumei este $0 + 2 = 2$ .

5. Numărătorul are limita $4$ , numitorul are limita $3 \neq = 0$ , deci limita câtului este $\frac{4}{3}$ .

6. Prima paranteză are limita $1$ , a doua are limita $2$ ; regula produsului dă $1 \cdot 2 = 2$ .

7. Expresia de sub radical are limita $16$ și termeni pozitivi, deci limita este $16 = 4$ .

8. Șirul din interiorul modulului are limita $- 5$ , deci limita modulului este $∣ - 5 ∣ = 5$ . Reține că modulul „strică" semnul, nu convergența.

9. Fals. Contraexemplu: $a_{n} = (- 1)^{n}$ și $b_{n} = (- 1)^{n + 1}$ , cu $a_{n} + b_{n} = 0$ pentru orice $n$ . Suma este convergentă, dar niciunul dintre șiruri nu are limită. Regulile funcționează numai dinspre bucăți spre întreg.

10. Fals. Mai trebuie ca limita numitorului să fie nenulă. Pentru $a_{n} = \frac{1}{n}$ și $b_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ , ambele convergente cu limita $0$ , câtul este $n$ , care nu are limită finită.

11. Pentru că niciunul dintre șirurile $(3 n + 1)$ și $(n + 2)$ nu este convergent — ambele au limita $+ \infty$ — iar teorema cere limite finite. Lipsește o prelucrare prealabilă a termenului general, care să transforme raportul într-o expresie formată din bucăți convergente; tehnica se studiază la lecția despre nedeterminarea de tip infinit supra infinit.

12. $lim v_{n} = 18$ și $lim c_{n} = 11$ , ambele finite, deci $lim (v_{n} - c_{n}) = 7$ . Interpretare: profitul lunar se stabilizează în jurul valorii de $7000$ de lei; el nu este niciodată exact $7000$ , dar diferența devine oricât de mică.

13. $S_{n} = 8 \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 16 (1 - (\frac{1}{2})^{n})$ . Paranteza are limita $1$ , deci $lim S_{n} = 16$ .

14. $0, (6)$ este limita sumelor $0, 6 + 0, 06 + 0, 006 + \dots$ , adică a sumelor unei progresii geometrice cu $b_{1} = \frac{6}{10}$ și $q = \frac{1}{10}$ . Atunci $S_{n} = \frac{6}{10} \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{10} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{2}{3} (1 - (\frac{1}{10})^{n})$ , iar limita este $\frac{2}{3}$ .

15. a) $a_{1} = 5 - \frac{1}{3} = \frac{14}{3}$ . b) $a_{n + 1} - a_{n} = (\frac{1}{3})^{n} - (\frac{1}{3})^{n + 1} = (\frac{1}{3})^{n} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} (\frac{1}{3})^{n} = 2 (\frac{1}{3})^{n + 1}$ . c) $(\frac{1}{3})^{n} \to 0$ , deci $lim a_{n} = 5 - 0 = 5$ .

16. Paranteza are limita $2$ , iar regula puterii cu exponent natural (obținută prin inducție din regula produsului) dă $2^{3} = 8$ .

17. Scriem $a_{n} - b_{n} = a_{n} + (- b_{n})$ . Șirul $(- b_{n})$ este convergent, cu limita $- b$ , ca produs dintre constanta $- 1$ și $(b_{n})$ . Aplicând regula sumei celor două șiruri convergente $(a_{n})$ și $(- b_{n})$ , obținem $lim (a_{n} - b_{n}) = a + (- b) = a - b$ .

18. Presupunem, prin reducere la absurd, că $(a_{n} + b_{n})$ ar fi convergent, cu limita $s$ . Șirul $(- a_{n})$ este convergent, cu limita $- a$ . Atunci, prin regula sumei aplicată șirurilor convergente $(a_{n} + b_{n})$ și $(- a_{n})$ , șirul $b_{n} = (a_{n} + b_{n}) + (- a_{n})$ ar fi convergent, cu limita $s - a$ — în contradicție cu ipoteza că $(b_{n})$ nu are limită. Deci $(a_{n} + b_{n})$ nu poate fi convergent.

De reținut

Pentru șiruri convergente, cu $a_{n} \to a$ și $b_{n} \to b$ finite: limita sumei este $a + b$ , a diferenței $a - b$ , a produsului $ab$ , iar a câtului $\frac{a}{b}$ — ultima numai dacă $b \neq = 0$ .
Regula înmulțirii cu o constantă, $lim (λ a_{n}) = λa$ , este cazul particular cel mai folosit; din ea și din regula produsului rezultă $lim a_{n}^{p} = a^{p}$ .
Orice șir convergent este mărginit, dar reciproca este falsă: $((- 1)^{n})$ e mărginit fără să aibă limită.
Ipotezele nu se sar. Regulile cer limite finite; pentru $\frac{3 n + 1}{n + 2}$ nu se aplică nimic direct, pentru că bucățile nu sunt convergente.
Regulile merg într-un singur sens: din convergența bucăților rezultă convergența întregului, nu invers.

Greșeli frecvente

Aplicarea regulii câtului fără verificarea numitorului. Se scrie $lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{a}{b}$ chiar când $b = 0$ . Dacă limita numitorului e nulă, regula nu spune nimic, iar rezultatul poate fi orice.
Folosirea regulilor pe șiruri neconvergente. Se „calculează" $lim \frac{3 n + 1}{n + 2}$ ca raport de limite. Ambele bucăți au limita $+ \infty$ , deci teorema nu se aplică; e nevoie de o prelucrare prealabilă.
Deducerea inversă. Din convergența sumei se conclude convergența fiecărui șir. Fals — vezi $(- 1)^{n}$ și $(- 1)^{n + 1}$ .
Uitarea condiției de pozitivitate la radical și la putere. Pentru $k a_{n}$ cu $k$ par ai nevoie de termeni pozitivi, iar pentru $a_{n}^{b_{n}}$ de bază strict pozitivă și limită strict pozitivă.
Confuzia dintre „limită finită" și „limită". Teoremele acestei lecții sunt enunțate pentru șiruri convergente. Un șir cu limita $+ \infty$ are limită, dar nu e convergent, deci nu intră aici.

Aplică acasă

Bugetul lunar. Notează, pe trei luni, două sume care se repetă în bugetul familiei — de pildă abonamentul la internet și media cheltuielilor cu transportul. Modelează-le cu două șiruri care se stabilizează (de exemplu $60 + \frac{5}{n}$ și $200 - \frac{20}{n}$ ) și calculează limita sumei lor. Compară rezultatul cu media pe care ai calcula-o „din ochi".
Fracția periodică demontată. Scrie $0, (7)$ ca sumă de progresie geometrică, calculează $S_{n}$ pentru $n = 1, 2, 3, 4$ și compară valorile cu $\frac{7}{9}$ . Cu ce diferă $S_{4}$ de fracție și de ce diferența scade de zece ori la fiecare pas?
Tabelul de control. Alege un exercițiu în care ai calculat o limită cu regulile din lecție și completează un tabel cu valorile termenului general pentru $n = 10$ , $100$ , $1000$ și $10000$ . Verifică dacă valorile se strâng într-adevăr spre rezultatul obținut algebric — și, dacă nu, caută greșeala în calcul, nu în tabel.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă calculul limitelor dintr-un exercițiu de intuiție într-o procedură. Ideea de reținut nu este lista de reguli — pe care majoritatea elevilor o ghicesc corect — ci disciplina ipotezelor: regulile cer limite finite, iar la cât se cere în plus numitor cu limită nenulă.

Ce verifică lecția: (1) enunțarea corectă a regulilor, cu ipoteze; (2) demonstrația regulii sumei, cu împărțirea erorii în două; (3) folosirea lemei „convergent implică mărginit" în demonstrația produsului; (4) recunoașterea situațiilor în care regulile nu se aplică. Întrebări bune de control: „Ce condiție suplimentară cere regula câtului?", „Dă un exemplu de șiruri neconvergente a căror sumă e convergentă", „De ce avem nevoie de mărginire la demonstrația produsului?".

La BAC M1, aceste reguli sunt folosite în aproape fiecare subiect cu șiruri, de obicei fără a fi cerute explicit; punctele se pierd când elevul le aplică unor bucăți care nu sunt convergente. Semne că elevul a înțeles: scrie limitele bucăților înainte de a compune rezultatul și se oprește singur când observă că o bucată are limita infinită.

Întrebări frecvente

Care sunt regulile de calcul cu limite pentru șiruri convergente? Dacă $a_{n} \to a$ și $b_{n} \to b$ , cu $a$ și $b$ finite, atunci suma tinde la $a + b$ , diferența la $a - b$ , produsul la $ab$ , iar câtul la $\frac{a}{b}$ , această ultimă regulă cerând în plus $b \neq = 0$ . Se adaugă modulul, puterea cu exponent natural, radicalul și puterea cu exponent variabil, fiecare cu ipotezele ei.

De ce trebuie ca limita numitorului să fie diferită de zero? Pentru că altfel câtul poate face orice. Din $\frac{1/ n}{1/ n ^{2}} = n$ obții $+ \infty$ , iar din $\frac{1/ n ^{2}}{1/ n} = \frac{1}{n}$ obții $0$ — deși în ambele cazuri numărătorul și numitorul au limita $0$ . Regula nu poate da un răspuns unic acolo unde răspunsul nu este unic.

Este adevărat că orice șir convergent este mărginit? Da, și demonstrația e scurtă: de la un rang încolo termenii stau la distanță mai mică decât $1$ de limită, iar în afara acelui rang au rămas doar câțiva termeni, deci un maxim de module. Reciproca este falsă: $((- 1)^{n})$ este mărginit, dar nu are limită.

Dacă suma a două șiruri este convergentă, sunt și șirurile convergente? Nu. Exemplul standard este $a_{n} = (- 1)^{n}$ și $b_{n} = (- 1)^{n + 1}$ : suma lor este șirul constant $0$ , deci convergentă, deși niciunul dintre șiruri nu are limită. Implicația funcționează doar de la bucăți spre întreg.

Cum calculez limita unei sume de progresie geometrică? Scrii mai întâi suma în formă închisă, $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ , apoi aplici regulile: dacă $∣ q ∣ < 1$ , atunci $q^{n} \to 0$ , deci $S_{n} \to \frac{b _{1}}{1 - q}$ . Este exact metoda prin care se transformă o fracție zecimală periodică în fracție ordinară.

De ce nu pot aplica regulile la raportul a două șiruri care tind la infinit? Pentru că teoremele sunt enunțate pentru șiruri convergente, adică pentru limite finite. Un raport de două șiruri cu limita $+ \infty$ nu se poate decide fără o prelucrare prealabilă a termenului general; tehnicile se studiază la lecțiile despre cazurile de nedeterminare.

Ce ipoteze are regula pentru puterea cu exponent variabil? Se cere ca baza să fie strict pozitivă la fiecare rang și ca limita ei să fie strict pozitivă; atunci $a_{n}^{b_{n}} \to a^{b}$ . Fără condiția asupra limitei bazei, expresia-limită ar putea să nu aibă sens, iar situația se tratează cu tehnici speciale, în lecțiile următoare.