Ordinul unui element: pe scurt

Ordinul unui element $x$ al unui grup $(G,\cdot )$ este cel mai mic număr natural nenul $n$ cu $x^n=e$; se notează $\mathrm{ord}(x)$, iar dacă un astfel de număr nu există se scrie $\mathrm{ord}(x)=\infty$. Este exact numărul pe care lecția anterioară l-a numit perioada lui $x$, botezat acum definitiv. Elementul neutru este singurul de ordinul $1$, iar într-un grup finit orice element are ordin finit, fiindcă puterile lui nu pot fi toate distincte. Nu confunda $\mathrm{ord}(x)$, care privește un element, cu $\mathrm{card}G$, numărul de elemente al grupului.

Teorema exponenților: dacă $\mathrm{ord}(x)=n$, atunci $x^k=e$ dacă și numai dacă $n\mid k$. De aici: $x^i=x^j⟺n\mid (i-j)$, $x^{-1}=x^{n-1}$ și $\mathrm{ord}\left(x^{-1}\right)=\mathrm{ord}(x)$. Rețeta de calcul are două forme: puteri succesive până la $e$, sau, dacă știi deja un exponent $k$ cu $x^k=e$, testarea divizorilor lui $k$ în ordine crescătoare. În grupul aditiv $({\mathbb{Z}}_n,+)$ ordinul se citește din formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$, iar aceeași formulă dă $\mathrm{ord}({\epsilon }_k)=\frac{n}{(k,n)}$ în $U_n$ — dar nu se aplică în grupul multiplicativ $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$. Ordinul unei permutări se află prin puteri succesive. Lista „câte elemente de fiecare ordin” se numește profilul ordinelor.

Exerciții din această mini-lecție

1. În grupul $({\mathbb{Z}}_{21},+)$, ordinul clasei $\widehat{15}$ este:

   • a) $3$
   • b) $6$
   • c) $7$
   • d) $21$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $7$

   Aplicăm formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$: cum $(15,21)=3$, obținem $\mathrm{ord}\left(\widehat{15}\right)=\frac{21}{3}=7$. Verificare: $7\cdot 15=105=5\cdot 21$, deci $7\cdot \widehat{15}=\hat{0}$, iar niciun multiplu mai mic nu dă $\hat{0}$. Varianta $3$ ia chiar cel mai mare divizor comun, varianta $21$ confundă ordinul elementului cu $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_{21}$.

2. Într-un grup $(G,\cdot )$ se știe că $x^{20}=e$. Ce se poate afirma despre $\mathrm{ord}(x)$?

   • a) este egal cu $20$
   • b) este un divizor al lui $20$
   • c) este cel puțin $20$
   • d) este egal cu $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) este un divizor al lui $20$

   Teorema exponenților spune că $x^k=e$ dacă și numai dacă $\mathrm{ord}(x)\mid k$; aici $\mathrm{ord}(x)$ divide $20$, deci este unul dintre numerele $1,2,4,5,10,20$. A conchide că ordinul este $20$ este greșeala clasică: ordinul este cel mai mic exponent cu această proprietate, iar exponentul dat nu are niciun motiv să fie cel mai mic.

3. Ordinul permutării $\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 1& 4& 5& 3\end{array}\right)\in S_5$ este:

   • a) $2$
   • b) $3$
   • c) $5$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $6$

   Calculăm puteri succesive, cu regula „întâi cea din dreapta, apoi cea din stânga”. Obținem ${\sigma }^2=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 5& 3& 4\end{array}\right)$, ${\sigma }^3=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 1& 3& 4& 5\end{array}\right)$, iar abia ${\sigma }^6=e$. Variantele $2$ și $3$ sunt ordinele celor două „bucăți” ale permutării, luate separat; ordinul întregii permutări este cel mai mic multiplu comun al lor, adică $6$.