Ordinul unui element al unui grup

Dacă pe un cadran cu douăsprezece diviziuni pornești din poziția $\hat{0}$ și sari mereu câte trei diviziuni, revii în punctul de plecare după exact patru sărituri; dacă sari câte cinci, îți trebuie douăsprezece. Numărul acesta — de câte ori trebuie repetată o operație până revii la punctul de plecare — se numește ordinul unui element și este noțiunea pe care o construim la clasa a 12-a în lecția de față. Ordinul unui element $x$ al unui grup este cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $x^n=e$, adică numărul de compuneri după care elementul revine la elementul neutru; se notează $\mathrm{ord}(x)$. El măsoară „periodicitatea" unui element de grup și este mărimea numerică cea mai des cerută în subiectele de algebră de mate-info.

Ai calculat deja puteri de elemente la Puterile unui element și calcule în grupuri finite și ai observat acolo că, într-un grup finit, puterile se repetă. Acum dăm un nume acelei repetiții și îi găsim legea exactă: vom demonstra că $x^k=e$ se întâmplă exact pentru exponenții $k$ care sunt multipli ai ordinului. Este, din nou, împărțirea cu rest care ne-a servit la clasificarea subgrupurilor lui $\mathbb{Z}$ — a treia oară în trei lecții.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești ordinul unui element de grup și să deosebești ordinul unui element de cardinalul grupului.
• Vei ști să demonstrezi că, într-un grup finit, orice element are ordin finit, și să dai exemple de elemente de ordin infinit în grupuri infinite.
• Vei ști să demonstrezi și să folosești teorema $x^k=e⟺\mathrm{ord}(x)\mid k$, cu consecințele ei despre repetarea puterilor.
• Vei ști să calculezi ordinul prin puteri succesive și să scurtezi calculul verificând numai divizorii unui exponent care dă elementul neutru.
• Vei ști formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$ în grupul aditiv al claselor de resturi și modul de calcul al ordinului unei permutări.
• Vei ști să scrii profilul ordinelor unui grup finit mic și să observi că fiecare ordin divide cardinalul grupului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este ordinul unui element al unui grup?

Fie $(G,\cdot )$ un grup cu elementul neutru $e$ și fie $x\in G$. Puterile lui $x$ cu exponent întreg au fost definite în lecția precedentă din unitate: $x^0=e$, $x^{k+1}=x^k\cdot x$ pentru $k\ge 0$ și $x^{-k}={\left(x^k\right)}^{-1}$.

Ordinul unui element $x$ al unui grup $(G,\cdot )$ este cel mai mic număr natural nenul $n$ cu proprietatea că $x^n=e$, unde $e$ este elementul neutru; se notează $\mathrm{ord}(x)=n$. Dacă nu există niciun astfel de număr, spunem că elementul are ordin infinit și scriem $\mathrm{ord}(x)=\infty$.

Două observații imediate. Întâi, $\mathrm{ord}(e)=1$, pentru că $e^1=e$ și nu există exponent natural mai mic decât $1$. Apoi, $e$ este singurul element de ordinul $1$: dacă $\mathrm{ord}(x)=1$, atunci $x^1=e$, adică $x=e$.

La Puterile unui element și calcule în grupuri finite ai numit acest număr perioada lui $x$ și l-ai citit din tabelul de puteri al grupului; de acum îi spunem ordinul lui $x$, numele consacrat în programă și în subiectele de examen. Este vorba despre exact același număr, doar botezat definitiv.

În notație aditivă, unde legea e $+$, neutrul e $0$ și puterile se scriu ca multipli, definiția devine: $\mathrm{ord}(x)$ este cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ cu $\underset{n\text{ termeni}}{\underbrace{x+x+\cdots +x}}=0$, adică $nx=0$. Așa se calculează ordinele în grupurile $(\mathbb{Z},+)$ și $({\mathbb{Z}}_n,+)$.

Atenție la o confuzie de nume care costă puncte: ordinul unui element se notează $\mathrm{ord}(x)$, în timp ce numărul de elemente al grupului se numește ordinul grupului și se notează $\mathrm{card}G$. Sunt două mărimi diferite, iar în lecția următoare vom vedea exact ce legătură există între ele.

2. Când are un element ordin infinit?

Într-un grup infinit se pot întâmpla ambele lucruri. Iată exemplele de reținut.

În $(\mathbb{Z},+)$: $\mathrm{ord}(0)=1$, iar pentru orice $a\ne 0$ avem $\mathrm{ord}(a)=\infty$, pentru că $na=0$ cu $n\ge 1$ ar cere $a=0$.

În $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$: $\mathrm{ord}(1)=1$ și $\mathrm{ord}(-1)=2$, fiindcă $(-1{)}^2=1$; orice alt element rațional are ordin infinit, pentru că $x^n=1$ cu $x$ pozitiv și diferit de $1$ este imposibil, iar pentru $x$ negativ diferit de $-1$ se reduce la același caz.

În $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$: $\mathrm{ord}(i)=4$, pentru că $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$ și abia $i^4=1$; în schimb $\mathrm{ord}(2)=\infty$. Mai general, elementele de ordin finit ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ sunt exact rădăcinile unității, adică elementele mulțimilor $U_n$ studiate la Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi și ale grupului multiplicativ al numerelor complexe nenule.

În grupurile finite, însă, ordinul infinit nu poate apărea.

Propoziție. Într-un grup finit $G$, orice element are ordin finit.

Demonstrație. Fie $x\in G$. Toate puterile $x^1,x^2,x^3,\dots$ sunt elemente ale lui $G$, care are un număr finit de elemente; prin urmare ele nu pot fi două câte două distincte, deci există $i<j$ cu $x^i=x^j$. Compunând ambii membri cu ${\left(x^i\right)}^{-1}$ obținem

$$x^{j-i}=e,j-i\ge 1,$$

deci mulțimea exponenților naturali nenuli $k$ cu $x^k=e$ este nevidă. Fiind o submulțime nevidă a lui ${\mathbb{N}}^{\ast }$, ea are un cel mai mic element, care este chiar $\mathrm{ord}(x)$. $■$

Același raționament, citit invers, dă un criteriu util: dacă puterile succesive ale unui element sunt toate distincte, atunci elementul are ordin infinit și grupul care îl conține este infinit.

3. Teorema care descrie toți exponenții care dau elementul neutru

Rețeta de calcul „ridic la putere până ajung la $e$" ne dă cel mai mic exponent. Dar ce se întâmplă cu ceilalți? Teorema următoare răspunde complet.

Teoremă. Fie $x$ un element de ordin finit $n=\mathrm{ord}(x)$ al grupului $(G,\cdot )$. Atunci, pentru orice $k\in \mathbb{Z}$, $$x^k=e⟺n\mid k.$$

Demonstrație. „$\Leftarrow$" Dacă $n\mid k$, scriem $k=nq$ cu $q\in \mathbb{Z}$ și obținem $x^k={\left(x^n\right)}^q=e^q=e$.

„$\Rightarrow$" Presupunem $x^k=e$ și împărțim $k$ la $n$ cu rest: $k=nq+r$, cu $q\in \mathbb{Z}$ și $0\le r<n$. Atunci

$$x^r=x^{k-nq}=x^k\cdot {\left(x^n\right)}^{-q}=e\cdot e^{-q}=e.$$

Dacă am avea $r>0$, ar exista un exponent natural nenul mai mic decât $n$ care duce pe $x$ în $e$, contrazicând definiția ordinului. Deci $r=0$ și $n\mid k$. $■$

Recunoști mecanismul: e același „împarte cu rest și folosește minimalitatea" din demonstrația teoremei subgrupurilor lui $\mathbb{Z}$. Nu e o coincidență — mulțimea exponenților $k$ cu $x^k=e$ este un subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$, iar teorema spune că el este $n\mathbb{Z}$.

Trei consecințe se folosesc la fiecare exercițiu:

• Repetarea puterilor. $x^i=x^j$ dacă și numai dacă $n\mid (i-j)$; într-adevăr, $x^i=x^j⟺x^{i-j}=e$. Puterile lui $x$ se repetă deci cu perioada $n$, iar elementele $e,x,x^2,\dots ,x^{n-1}$ sunt distincte două câte două.
• Inversul ca putere. $x^{n-1}=x^{-1}$, pentru că $x\cdot x^{n-1}=x^n=e$. Într-un grup finit nu ai nevoie de nicio formulă specială pentru invers: e tot o putere a elementului.
• Ordinul inversului. $\mathrm{ord}\left(x^{-1}\right)=\mathrm{ord}(x)$, pentru că ${\left(x^{-1}\right)}^k={\left(x^k\right)}^{-1}$, iar ${\left(x^k\right)}^{-1}=e$ este echivalent cu $x^k=e$.

4. Cum se calculează ordinul unui element?

Rețeta de bază este directă: calculezi $x^1,x^2,x^3,\dots$ și te oprești la primul exponent care dă $e$; acela este ordinul. Metoda merge întotdeauna, dar poate fi lungă.

Scurtătura, folosită mereu în lucrări: dacă știi deja un exponent $k$ cu $x^k=e$, atunci, conform teoremei, $\mathrm{ord}(x)$ este un divizor al lui $k$. E de ajuns să testezi divizorii lui $k$, în ordine crescătoare, și primul care dă $e$ este ordinul.

De exemplu, în grupul multiplicativ al claselor inversabile modulo $7$, adică în $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6}\}$, calculăm ordinul lui $\hat{2}$:

$${\hat{2}}^1=\hat{2},{\hat{2}}^2=\hat{4},{\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{1}.$$

Deci $\mathrm{ord}(\hat{2})=3$. Pentru $\hat{3}$: ${\hat{3}}^2=\hat{2}$, ${\hat{3}}^3=\hat{6}$, ${\hat{3}}^4=\widehat{18}=\hat{4}$, ${\hat{3}}^5=\widehat{12}=\hat{5}$, ${\hat{3}}^6=\widehat{15}=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}(\hat{3})=6$.

Un al treilea instrument, foarte comod la ordine mari: dacă $\mathrm{ord}(x)=n$, atunci $x^k=x^{k\mathrm{mod}n}$. Așa se calculează, dintr-o linie, puteri cu exponent uriaș. De pildă, în $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )$, din $\mathrm{ord}(\hat{2})=3$ și $100=33\cdot 3+1$ rezultă ${\hat{2}}^{100}={\hat{2}}^1=\hat{2}$.

Merită insistat asupra acestui al treilea instrument, pentru că el transformă un calcul imposibil de dus la capăt într-unul de câteva secunde. Ori de câte ori vezi o putere cu exponent mare într-un enunț, reflexul corect nu este să începi să înmulțești, ci să afli mai întâi ordinul bazei; abia apoi împarți exponentul la ordin și păstrezi restul. Un exemplu cu numere mai serioase: în același grup, $\mathrm{ord}(\hat{3})=6$, iar $2026=337\cdot 6+4$, prin urmare

$${\hat{3}}^{2026}={\left({\hat{3}}^6\right)}^{337}\cdot {\hat{3}}^4={\hat{3}}^4=\widehat{81}=\hat{4}.$$

Toată dificultatea aparentă a exponentului $2026$ dispare în momentul în care ordinul e cunoscut, iar rezultatul se scrie pe un singur rând.

5. Cum se calculează ordinul unei clase de resturi în $({\mathbb{Z}}_n,+)$?

În grupul claselor de resturi, construit la Grupul aditiv și grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n, ordinul se calculează cu o formulă, fără să mai adunăm de mână.

Propoziție. În grupul $({\mathbb{Z}}_n,+)$, pentru orice clasă $\hat{a}$ avem $$\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)},$$ unde $(a,n)$ este cel mai mare divizor comun al lui $a$ și $n$.

Demonstrație. Condiția $k\hat{a}=\hat{0}$ înseamnă $n\mid ka$. Notăm $d=(a,n)$ și scriem $a=d{a}^{\prime }$, $n=d{n}^{\prime }$, cu $(a^{\prime },n^{\prime })=1$. Atunci

$$n\mid ka⟺d{n}^{\prime }\mid kd{a}^{\prime }⟺n^{\prime }\mid k{a}^{\prime }.$$

Cum $n^{\prime }$ și $a^{\prime }$ sunt prime între ele, $n^{\prime }\mid k{a}^{\prime }$ este echivalent cu $n^{\prime }\mid k$. Cel mai mic număr natural nenul $k$ cu această proprietate este $k=n^{\prime }$, adică $\frac{n}{d}$. $■$

Consecință de reținut: $\mathrm{ord}(\hat{1})=n$ întotdeauna, iar $\mathrm{ord}(\hat{a})=n$ exact atunci când $(a,n)=1$. Iată tabelul complet pentru $({\mathbb{Z}}_6,+)$:

Pentru $\hat{0}$ am folosit convenția $(0,6)=6$, care dă corect $\mathrm{ord}(\hat{0})=1$. În $({\mathbb{Z}}_4,+)$ tabelul este mai scurt: $\mathrm{ord}(\hat{0})=1$, $\mathrm{ord}(\hat{1})=4$, $\mathrm{ord}(\hat{2})=2$, $\mathrm{ord}(\hat{3})=4$.

6. Ordinul unei permutări și ordinul unei rădăcini a unității

Permutări. Ordinul unei permutări se calculează direct, prin puteri succesive, compunând ca la Permutări: definiție, notație și compunere, adică „întâi cea din dreapta, apoi cea din stânga". Descompunerea în cicluri nu face parte din programă și nu se folosește aici.

Fie $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\end{array}\right)\in S_4$. Calculăm:

$${\sigma }^2=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right),{\sigma }^3=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right),{\sigma }^4=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right)=e,$$

deci $\mathrm{ord}(\sigma )=4$. Pentru $\tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\end{array}\right)$ avem ${\tau }^2=e$, deci $\mathrm{ord}(\tau )=2$; iar pentru $\rho =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 1& 4\end{array}\right)$ avem ${\rho }^2\ne e$ și ${\rho }^3=e$, deci $\mathrm{ord}(\rho )=3$.

Rădăcini ale unității. În grupul $U_n$, elementul ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$ verifică ${\epsilon }_k^m=\cos \frac{2km\pi }{n}+i\sin \frac{2km\pi }{n}$, iar această valoare este $1$ exact când $n\mid km$. Este exact condiția din grupul aditiv $({\mathbb{Z}}_n,+)$, deci

$$\mathrm{ord}({\epsilon }_k)=\frac{n}{(k,n)}.$$

În $U_6$, de pildă, ${\epsilon }_1$ și ${\epsilon }_5$ au ordinul $6$, ${\epsilon }_2$ și ${\epsilon }_4$ au ordinul $3$, ${\epsilon }_3=-1$ are ordinul $2$, iar ${\epsilon }_0=1$ are ordinul $1$.

Rotații și matrice. În grupul rotațiilor $\mathcal{R}$, construit la Grupuri de transformări geometrice: translațiile și rotațiile cu același centru, rotația $R_{\frac{2\pi }{n}}$ are ordinul exact $n$: din $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$ rezultă că puterile ei sunt rotațiile de unghiuri $\frac{2k\pi }{n}$, iar prima care dă $R_0$ este a $n$-a. Puterile acestea formează chiar mulțimea ${\mathcal{R}}_n$ a rotațiilor poligonului regulat cu $n$ laturi. Același ordin se vede și pe matricea corespunzătoare, de la Matricea de rotație și puterile ei. În schimb, matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$ cu $x\ne 0$ are ordin infinit, pentru că $A(x{)}^k=A(kx)\ne I_2$ pentru orice $k\ge 1$.

7. Ce este profilul ordinelor unui grup finit?

Numim profilul ordinelor unui grup finit lista care spune câte elemente are grupul din fiecare ordin. E o „amprentă" numerică a grupului, ușor de calculat și foarte grăitoare.

Se vede imediat că $({\mathbb{Z}}_4,+)$ și grupul lui Klein au același număr de elemente, dar profiluri diferite: primul are elemente de ordinul $4$, al doilea nu are niciunul. La fel, $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și $(S_3,\circ )$ au câte șase elemente și profiluri diferite. Profilul ordinelor va deveni, peste câteva lecții, argumentul decisiv pentru a arăta că două grupuri cu același număr de elemente au totuși structuri diferite.

Uneori două grupuri au însă exact același profil. Grupul multiplicativ al claselor inversabile modulo $7$ are șase elemente, iar ordinele lor sunt: $\mathrm{ord}(\hat{1})=1$, $\mathrm{ord}(\hat{6})=2$, $\mathrm{ord}(\hat{2})=\mathrm{ord}(\hat{4})=3$ și $\mathrm{ord}(\hat{3})=\mathrm{ord}(\hat{5})=6$ — adică un element de ordinul $1$, unul de ordinul $2$, două de ordinul $3$ și două de ordinul $6$, exact ca la $({\mathbb{Z}}_6,+)$. Profilul identic nu este, singur, o dovadă că cele două grupuri se comportă la fel, dar este un indiciu puternic, iar peste câteva lecții vei ști ce anume trebuie adăugat ca să devină demonstrație.

Mai observă ceva, în toate cele patru rânduri ale tabelului: fiecare ordin care apare divide cardinalul grupului. În grupurile cu patru elemente apar ordinele $1$, $2$ și $4$; în cele cu șase elemente apar $1$, $2$, $3$ și $6$. Nu e o coincidență, ci Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, pe care o demonstrăm la Grupuri finite; teorema lui Lagrange. Tot acolo, mulțimea puterilor unui element va fi folosită ca subgrup, iar numele ei propriu vine imediat după.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ordine în grupul aditiv al claselor de resturi

Calculați $\mathrm{ord}(\hat{3})$, $\mathrm{ord}(\hat{4})$ și $\mathrm{ord}(\hat{8})$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{12},+)$.

Rezolvare. Aplicăm formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{12}{(a,12)}$.

$(3,12)=3$, deci $\mathrm{ord}(\hat{3})=\frac{12}{3}=4$. Verificare prin adunări succesive: $\hat{3},\hat{6},\hat{9},\widehat{12}=\hat{0}$ — patru pași.

$(4,12)=4$, deci $\mathrm{ord}(\hat{4})=3$. Verificare: $\hat{4},\hat{8},\widehat{12}=\hat{0}$.

$(8,12)=4$, deci $\mathrm{ord}(\hat{8})=3$. Verificare: $\hat{8},\widehat{16}=\hat{4},\widehat{24}=\hat{0}$.

Observă că $\hat{4}$ și $\hat{8}$ au același ordin — și, de altfel, sunt una opusul celeilalte, iar ordinul inversului coincide cu ordinul elementului.

Exemplul 2 — Ordinul unei permutări

Determinați ordinul permutării $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 1& 4& 2\end{array}\right)\in S_4$.

Rezolvare. Compunem succesiv, cu regula „întâi cea din dreapta":

$${\sigma }^2(1)=\sigma (3)=4,{\sigma }^2(2)=\sigma (1)=3,{\sigma }^2(3)=\sigma (4)=2,{\sigma }^2(4)=\sigma (2)=1,$$

deci ${\sigma }^2=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right)\ne e$. Mai departe,

$${\sigma }^3={\sigma }^2\circ \sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 1& 3\end{array}\right)\ne e,{\sigma }^4=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right)=e.$$

Prin urmare $\mathrm{ord}(\sigma )=4$.

Exemplul 3 — Scurtătura prin divizori

În grupul $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )$ se știe că ${\hat{a}}^6=\hat{1}$ pentru orice element. Determinați $\mathrm{ord}(\hat{4})$ fără a calcula toate puterile.

Rezolvare. Din ${\hat{4}}^6=\hat{1}$ și din teoremă rezultă că $\mathrm{ord}(\hat{4})$ este divizor al lui $6$, deci se află printre $1$, $2$, $3$ și $6$. Testăm în ordine crescătoare:

${\hat{4}}^1=\hat{4}\ne \hat{1}$; ${\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{2}\ne \hat{1}$; ${\hat{4}}^3=\hat{4}\cdot \hat{2}=\hat{8}=\hat{1}$.

Primul divizor care dă $\hat{1}$ este $3$, deci $\mathrm{ord}(\hat{4})=3$. Am făcut trei înmulțiri în loc de șase.

Exemplul 4 — Elemente de ordin infinit

Determinați ordinul elementelor: a) $5$ în $(\mathbb{Z},+)$; b) $-1$ și $3$ în $(\mathbb{Q}^{}, \cdot)$;c)$A = \begin{pmatrix}1&2\0&1\end{pmatrix}$\hat{ı}n$GL_2(\mathbb{R})$.*

Rezolvare. a) $k\cdot 5=0$ cu $k\ge 1$ este imposibil, deci $\mathrm{ord}(5)=\infty$.

b) $(-1{)}^2=1$ și $(-1{)}^1=-1\ne 1$, deci $\mathrm{ord}(-1)=2$. Pentru $3$: $3^k\ge 3>1$ pentru orice $k\ge 1$, deci $3^k\ne 1$ și $\mathrm{ord}(3)=\infty$.

c) Din $A(x)A(y)=A(x+y)$ obținem $A^k=\left(\begin{array}{cc}1& 2k\\ 0& 1\end{array}\right)$, matrice care este $I_2$ doar pentru $k=0$. Deci $\mathrm{ord}(A)=\infty$.

Exemplul 5 — Ordine în grupul rădăcinilor unității

În $U_{10}$ determinați ordinul elementelor ${\epsilon }_2$, ${\epsilon }_4$ și ${\epsilon }_5$.

Rezolvare. Folosim $\mathrm{ord}({\epsilon }_k)=\frac{10}{(k,10)}$.

$(2,10)=2$, deci $\mathrm{ord}({\epsilon }_2)=5$. $(4,10)=2$, deci $\mathrm{ord}({\epsilon }_4)=5$. $(5,10)=5$, deci $\mathrm{ord}({\epsilon }_5)=2$; într-adevăr, ${\epsilon }_5=\cos \pi +i\sin \pi =-1$, iar $(-1{)}^2=1$.

Elementele de ordinul $10$ sunt cele cu $(k,10)=1$, adică ${\epsilon }_1,{\epsilon }_3,{\epsilon }_7,{\epsilon }_9$ — patru la număr.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră grupul $({\mathbb{Z}}_{12},+)$. Este un exercițiu în stilul Subiectului al II-lea. a) Determinați $\mathrm{ord}(\hat{9})$. b) Determinați toate elementele de ordinul $6$ ale grupului. c) Arătați că mulțimea $H=\{x\in {\mathbb{Z}}_{12}\mid 6x=\hat{0}\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ și determinați $\mathrm{card}H$.

Rezolvare. a) $(9,12)=3$, deci $\mathrm{ord}(\hat{9})=\frac{12}{3}=4$.

b) Cerem $\frac{12}{(a,12)}=6$, adică $(a,12)=2$. Divizorii lui $12$ sunt $1,2,3,4,6,12$; clasele $\hat{a}$ cu $(a,12)=2$ sunt cele cu $a\in \{2,10\}$. Deci elementele de ordinul $6$ sunt $\hat{2}$ și $\widehat{10}$, două la număr.

c) Verificăm criteriul de subgrup în notație aditivă. $\hat{0}\in H$, pentru că $6\cdot \hat{0}=\hat{0}$, deci $H\ne \varnothing$. Dacă $x,y\in H$, atunci $6(x+y)=6x+6y=\hat{0}+\hat{0}=\hat{0}$, deci $x+y\in H$; iar $6(-x)=-(6x)=\hat{0}$, deci $-x\in H$. Prin urmare $H$ este subgrup.

Pentru cardinal: $6x=\hat{0}$ înseamnă $12\mid 6a$, unde $x=\hat{a}$, adică $2\mid a$. Clasele care convin sunt $\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{8},\widehat{10}$, deci $\mathrm{card}H=6$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi care este elementul neutru al grupului: fără el, „ordin" nu înseamnă nimic. În grupurile aditive de clase, folosește formula cu cel mai mare divizor comun; în rest, puteri succesive sau scurtătura prin divizori.

1. Calculează ordinul fiecărui element al grupului $({\mathbb{Z}}_8,+)$ și scrie profilul ordinelor.

2. Determină $\mathrm{ord}(\hat{5})$ în $({\mathbb{Z}}_{15},+)$ și verifică rezultatul prin adunări succesive.

3. Determină ordinul permutării $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right)$ din $S_4$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup infinit, toate elementele au ordin infinit."

5. Calculează $\mathrm{ord}(\hat{2})$ în grupul $U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )$, prin puteri succesive, și compară rezultatul cu tabelul de puteri din lecția precedentă.

6. În grupul lui Klein $K=\{e,a,b,c\}$, cu $a^2=b^2=c^2=e$, determină ordinul fiecărui element.

7. Determină $\mathrm{ord}({\epsilon }_3)$ în $U_{12}$ și scrie ${\epsilon }_3$ în formă algebrică.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $x^{12}=e$, atunci $\mathrm{ord}(x)=12$."

9. Arată că, pentru orice element $x$ de ordin finit al unui grup, $\mathrm{ord}\left(x^{-1}\right)=\mathrm{ord}(x)$.

10. Determină toate elementele de ordinul $4$ ale grupului $({\mathbb{Z}}_{20},+)$.

11. Arată că matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$ are ordin infinit în $G{L}_2(\mathbb{R})$.

12. Scrie ordinul fiecăreia dintre cele șase permutări din $S_3$ și profilul ordinelor grupului.

13. (Problemă aplicată.) Un indicator pornește din poziția $\hat{0}$ a unui cadran cu $12$ diviziuni și sare de fiecare dată cu $8$ diviziuni înainte. După câte sărituri revine în poziția de plecare și ce poziții atinge?

14. Fie $x$ un element cu $\mathrm{ord}(x)=7$ într-un grup. Calculează $x^{100}$ ca putere cu exponent între $0$ și $6$ și scrie $x^{-1}$ ca putere naturală a lui $x$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră grupul $({\mathbb{Z}}_{18},+)$. a) Determină $\mathrm{ord}(\widehat{12})$. b) Determină toate elementele de ordinul $9$. c) Arată că $H=\{x\in {\mathbb{Z}}_{18}\mid 9x=\hat{0}\}$ este subgrup și determină $\mathrm{card}H$.

16. Determină ordinul fiecărui element al grupului $U({\mathbb{Z}}_8,\cdot )=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}$.

17. Arată că, într-un grup, $\mathrm{ord}(x)=2$ dacă și numai dacă $x\ne e$ și $x=x^{-1}$.

18. (Provocare.) Fie $x$ și $y$ două elemente ale unui grup, cu $xy=yx$, $\mathrm{ord}(x)=3$ și $\mathrm{ord}(y)=5$. Arată că $\mathrm{ord}(xy)=15$.

Răspunsuri și explicații

1. Cu formula $\frac{8}{(a,8)}$: $\mathrm{ord}(\hat{0})=1$, $\mathrm{ord}(\hat{1})=\mathrm{ord}(\hat{3})=\mathrm{ord}(\hat{5})=\mathrm{ord}(\hat{7})=8$, $\mathrm{ord}(\hat{2})=\mathrm{ord}(\hat{6})=4$, $\mathrm{ord}(\hat{4})=2$. Profilul: un element de ordinul $1$, unul de ordinul $2$, două de ordinul $4$ și patru de ordinul $8$.

2. $(5,15)=5$, deci $\mathrm{ord}(\hat{5})=\frac{15}{5}=3$. Verificare: $\hat{5}$, $\widehat{10}$, $\widehat{15}=\hat{0}$ — trei pași.

3. Notând $\sigma$ permutarea dată, ${\sigma }^2(1)=\sigma (3)=1$, ${\sigma }^2(2)=\sigma (4)=2$, ${\sigma }^2(3)=\sigma (1)=3$, ${\sigma }^2(4)=\sigma (2)=4$, deci ${\sigma }^2=e$ și $\mathrm{ord}(\sigma )=2$.

4. Fals. În $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$, care e infinit, elementul $-1$ are ordinul $2$, iar $1$ are ordinul $1$. Corect este doar sensul invers: într-un grup finit, toate elementele au ordin finit.

5. $U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\}$. Puterile lui $\hat{2}$: $\hat{2}$, $\hat{4}$, $\hat{8}$, $\widehat{16}=\hat{7}$, $\widehat{14}=\hat{5}$, $\widehat{10}=\hat{1}$. Deci $\mathrm{ord}(\hat{2})=6$.

6. $\mathrm{ord}(e)=1$, iar $\mathrm{ord}(a)=\mathrm{ord}(b)=\mathrm{ord}(c)=2$, pentru că fiecare dintre ele, ridicat la pătrat, dă $e$, și niciunul nu e egal cu $e$.

7. $(3,12)=3$, deci $\mathrm{ord}({\epsilon }_3)=\frac{12}{3}=4$. În formă algebrică, ${\epsilon }_3=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$, iar într-adevăr $i^4=1$.

8. Fals. Din $x^{12}=e$ rezultă doar că $\mathrm{ord}(x)$ divide $12$, deci poate fi $1,2,3,4,6$ sau $12$. Contraexemplu: în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, clasa $\hat{4}$ verifică $12\cdot \hat{4}=\hat{0}$, dar are ordinul $3$.

9. Fie $n=\mathrm{ord}(x)$. Din ${\left(x^{-1}\right)}^k={\left(x^k\right)}^{-1}$ rezultă că ${\left(x^{-1}\right)}^k=e$ este echivalent cu $x^k=e$. Cele două elemente au deci aceeași mulțime de exponenți care dau $e$, iar cel mai mic dintre ei este același: $\mathrm{ord}\left(x^{-1}\right)=n$.

10. Cerem $\frac{20}{(a,20)}=4$, adică $(a,20)=5$. Valorile lui $a$ din $\{0,1,\dots ,19\}$ cu această proprietate sunt $5$ și $15$, deci elementele de ordinul $4$ sunt $\hat{5}$ și $\widehat{15}$.

11. $A^k=\left(\begin{array}{cc}1& 3k\\ 0& 1\end{array}\right)$, ceea ce se demonstrează prin inducție cu pasul $A^{k+1}=A^{k}A$. Egalitatea $A^k=I_2$ ar cere $3k=0$, deci $k=0$; nu există exponent natural nenul, deci ordinul e infinit.

12. Permutarea identică are ordinul $1$. Cele trei permutări care schimbă între ele două elemente și îl fixează pe al treilea au ordinul $2$, pentru că pătratul lor este $e$. Celelalte două au ordinul $3$. Profilul: $1$ element de ordinul $1$, $3$ de ordinul $2$, $2$ de ordinul $3$.

13. $(8,12)=4$, deci $\mathrm{ord}(\hat{8})=3$: revine după trei sărituri. Pozițiile atinse sunt $\hat{0}$, $\hat{8}$, $\widehat{16}=\hat{4}$, apoi din nou $\hat{0}$ — adică mulțimea $\{\hat{0},\hat{4},\hat{8}\}$.

14. $100=14\cdot 7+2$, deci $x^{100}={\left(x^7\right)}^{14}{x}^2=x^2$. Inversul: $x^{-1}=x^6$, pentru că $x\cdot x^6=x^7=e$.

15. a) $(12,18)=6$, deci $\mathrm{ord}(\widehat{12})=\frac{18}{6}=3$. b) Cerem $(a,18)=2$; valorile sunt $a\in \{2,4,8,10,14,16\}$, deci șase elemente. c) $\hat{0}\in H$; din $9x=\hat{0}$ și $9y=\hat{0}$ rezultă $9(x+y)=\hat{0}$ și $9(-x)=\hat{0}$, deci $H$ e subgrup. Condiția $18\mid 9a$ înseamnă $2\mid a$, deci $H=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{8},\widehat{10},\widehat{12},\widehat{14},\widehat{16}\}$ și $\mathrm{card}H=9$.

16. $\mathrm{ord}(\hat{1})=1$; ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{1}$, ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$, deci celelalte trei elemente au toate ordinul $2$. Profilul e cel al grupului lui Klein.

17. Dacă $\mathrm{ord}(x)=2$, atunci $x\ne e$ (altfel ordinul ar fi $1$) și $x^2=e$, adică $x\cdot x=e$, deci $x=x^{-1}$. Reciproc, dacă $x\ne e$ și $x=x^{-1}$, atunci $x^2=x\cdot x^{-1}=e$, iar $x^1=x\ne e$, deci cel mai mic exponent este $2$.

18. Cum $x$ și $y$ comută, $(xy{)}^k=x^k{y}^k$ pentru orice $k$. Atunci $(xy{)}^{15}={\left(x^3\right)}^5{\left(y^5\right)}^3=e$, deci $d=\mathrm{ord}(xy)$ divide $15$, adică $d\in \{1,3,5,15\}$. Dacă $d=3$, din $x^3{y}^3=e$ și $x^3=e$ rezultă $y^3=e$, deci $5\mid 3$ — fals. Dacă $d=5$, din $x^5{y}^5=e$ și $y^5=e$ rezultă $x^5=e$, deci $3\mid 5$ — fals. Dacă $d=1$, atunci $xy=e$, deci $y=x^{-1}$ și $\mathrm{ord}(y)=\mathrm{ord}(x)=3\ne 5$ — fals. Rămâne $d=15$.

De reținut

• Ordinul unui element $x$ este cel mai mic număr natural nenul $n$ cu $x^n=e$, se notează $\mathrm{ord}(x)$, iar dacă un astfel de număr nu există se scrie $\mathrm{ord}(x)=\infty$.
• Elementul neutru este singurul de ordinul $1$, iar într-un grup finit orice element are ordin finit, pentru că puterile lui nu pot fi toate distincte.
• Teorema exponenților spune că, pentru $\mathrm{ord}(x)=n$ finit, egalitatea $x^k=e$ are loc exact atunci când $n\mid k$; de aici $x^i=x^j⟺n\mid (i-j)$ și $x^{-1}=x^{n-1}$.
• În grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$ ordinul se calculează cu formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$, iar aceeași formulă dă $\mathrm{ord}({\epsilon }_k)=\frac{n}{(k,n)}$ în grupul $U_n$.
• Ordinul unei permutări se calculează prin puteri succesive, compunând până se obține permutarea identică, iar ordinul unui element și cardinalul grupului sunt două mărimi diferite, notate $\mathrm{ord}(x)$ și $\mathrm{card}G$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre $\mathrm{ord}(x)$ și $\mathrm{card}G$. Primul se referă la un element, al doilea la tot grupul. Corect: se scriu cu notații diferite și se citesc diferit — „ordinul elementului $x$", respectiv „numărul de elemente ale grupului".
• Concluzia că $x^k=e$ implică $\mathrm{ord}(x)=k$. Fals: implică doar că $\mathrm{ord}(x)$ divide $k$. Corect: se testează divizorii lui $k$ în ordine crescătoare, iar primul care dă $e$ este ordinul.
• Uitarea condiției „cel mai mic". Un elev care se oprește la primul exponent care „merge", fără să verifice că nu există unul mai mic, poate greși. Corect: se pornește de la exponentul $1$ și se urcă, sau se testează divizorii de la mic la mare.
• Calculul ordinului unei permutări cu formule nepredate. Descompunerea în cicluri nu e în programă, iar folosirea ei nemotivată nu aduce puncte. Corect: puteri succesive, scrise complet, până la permutarea identică.
• Folosirea formulei $\frac{n}{(a,n)}$ în grupul multiplicativ. Formula e valabilă pentru grupul aditiv $({\mathbb{Z}}_n,+)$ și pentru $U_n$, nu pentru $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$. Corect: în grupul multiplicativ al claselor inversabile se calculează prin puteri succesive.

Aplică acasă

1. Cadranul cu sărituri. Desenează un cadran cu douăsprezece diviziuni și, pentru fiecare pas $a\in \{1,2,\dots ,11\}$, urmărește drumul care pleacă din $\hat{0}$ și sare din $a$ în $a$. Notează după câte sărituri revii și compară numărul cu $\frac{12}{(a,12)}$. Vei obține tabelul complet al ordinelor lui $({\mathbb{Z}}_{12},+)$.

2. Amestecuri de cărți. Ia patru cărți numerotate și inventează o regulă de amestecare, pe care o scrii ca permutare. Aplic-o de mai multe ori, până cărțile revin în ordinea inițială, și numără câte amestecuri au fost necesare — acesta este ordinul permutării. Repetă pentru încă două reguli diferite.

3. Tabelul ordinelor. Scrie toate elementele grupurilor $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )$ și $U({\mathbb{Z}}_8,\cdot )$ și calculează ordinul fiecăruia prin puteri succesive. Compară cele două profiluri și observă că, deși ambele grupuri sunt formate din clase inversabile, ele arată foarte diferit.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce mărimea numerică pe care se sprijină tot restul unității: ordinul unui element. Miezul teoretic este teorema $x^k=e⟺\mathrm{ord}(x)\mid k$, demonstrată tot cu împărțirea cu rest — al treilea loc din unitate în care apare acest mecanism, ceea ce merită subliniat elevului. Formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$ este singura formulă de memorat, dar ea se demonstrează, nu se dă.

De verificat în caiet: (1) la fiecare exercițiu e scris care este elementul neutru al grupului; (2) la ordinul unei permutări apar toate puterile intermediare, nu doar rezultatul; (3) când se folosește scurtătura, se scrie explicit „ordinul divide $k$, deci îl caut printre divizorii lui $k$"; (4) formula cu cel mai mare divizor comun nu e aplicată în grupuri multiplicative. Întrebări de control: „Ce este $\mathrm{ord}(x)$?"; „De ce într-un grup finit nu există elemente de ordin infinit?"; „Dacă $x^{10}=e$, ce știi despre ordinul lui $x$?"; „Cât este $\mathrm{ord}(\hat{6})$ în $({\mathbb{Z}}_{15},+)$?".

La BAC M1, ordinul apare în Subiectul al II-lea, fie direct („determinați ordinul elementului"), fie ascuns într-o cerință de tipul „calculați $x^{2026}$", care se rezolvă reducând exponentul modulo ordin. Semn că a înțeles: în fața unei puteri cu exponent mare, elevul caută mai întâi ordinul bazei, în loc să înceapă să înmulțească.

Întrebări frecvente

Ce este ordinul unui element al unui grup la clasa a 12-a? Este cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $x^n=e$, unde $e$ este elementul neutru al grupului; se notează $\mathrm{ord}(x)$. Dacă niciun exponent natural nenul nu duce elementul în $e$, spunem că elementul are ordin infinit. Elementul neutru are întotdeauna ordinul $1$ și este singurul cu această proprietate.

Cum se calculează ordinul unui element? Se ridică elementul la puterile $1,2,3,\dots$ și se oprește la primul exponent care dă elementul neutru. Dacă se cunoaște deja un exponent $k$ cu $x^k=e$, calculul se scurtează mult: ordinul este obligatoriu un divizor al lui $k$, deci se testează doar divizorii lui, în ordine crescătoare.

Care este formula ordinului unei clase de resturi? În grupul aditiv $({\mathbb{Z}}_n,+)$ formula este $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$, unde $(a,n)$ este cel mai mare divizor comun al lui $a$ și $n$. De pildă, în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, $\mathrm{ord}(\hat{8})=\frac{12}{4}=3$. Aceeași formulă dă și ordinul rădăcinii ${\epsilon }_k$ în grupul $U_n$.

Cum se află ordinul unei permutări? Se compune permutarea cu ea însăși de mai multe ori, până se obține permutarea identică; numărul de compuneri este ordinul. Se lucrează cu regula „întâi cea din dreapta, apoi cea din stânga" și se scriu toate puterile intermediare. Descompunerea în cicluri nu face parte din programă și nu se folosește.

De ce într-un grup finit orice element are ordin finit? Pentru că puterile $x,x^2,x^3,\dots$ sunt toate în grup, care are un număr finit de elemente; două dintre ele coincid obligatoriu, deci $x^i=x^j$ cu $i<j$. Simplificând, obținem $x^{j-i}=e$ cu $j-i\ge 1$, deci există exponenți naturali nenuli care duc elementul în $e$.

Ce înseamnă că un element are ordin infinit? Înseamnă că nicio putere naturală nenulă a lui nu dă elementul neutru, deci puterile sale sunt distincte două câte două. Se întâmplă doar în grupuri infinite: orice număr nenul din $(\mathbb{Z},+)$, numărul $2$ din $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ sau matricea $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ din $G{L}_2(\mathbb{R})$ au ordin infinit.

Care este diferența dintre ordinul unui element și ordinul grupului? Ordinul unui element, $\mathrm{ord}(x)$, este cel mai mic exponent care duce elementul în neutru. Ordinul grupului este numărul lui de elemente și se notează $\mathrm{card}G$. Sunt mărimi diferite, dar legate: în lecția următoare vei demonstra că ordinul oricărui element divide cardinalul grupului finit.

Cum se calculează o putere cu exponent mare într-un grup? Se determină întâi ordinul $n$ al bazei, apoi se împarte exponentul la $n$ cu rest: $x^k=x^{k\mathrm{mod}n}$. De exemplu, dacă $\mathrm{ord}(x)=7$ și se cere $x^{100}$, din $100=14\cdot 7+2$ rezultă $x^{100}=x^2$. Este cea mai frecventă aplicație a ordinului în subiectele de Bacalaureat M1.