Parabola: definiția și ecuația canonică: pe scurt

Parabola este mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix, focarul $F$, și de o dreaptă fixă, directoarea $d$, cu $F\notin d$; condiția se scrie $MF=d(M,d)$. Este singura conică definită printr-un punct și o dreaptă, nu prin două puncte, și singura fără centru de simetrie.

Parametrul $p$ este distanța de la focar la directoare. În reperul canonic, cu vârful în origine și axa de simetrie $Ox$, focarul este $F\left(\frac{p}{2},0\right)$, directoarea este $x=-\frac{p}{2}$, iar ecuația devine $y^2=2px$, cu $p>0$. Deducerea cere o singură ridicare la pătrat, echivalentă pentru că ambii membri comparați sunt nenegativi — trebuie spus de ce, nu presupus.

Capcana numărul unu este confuzia dintre $p$ și $\frac{p}{2}$, respectiv dintre $p$ și coeficientul lui $x$: în $y^2=2px$ coeficientul este $2p$. Din $y^2=8x$ rezultă $p=4$ și focarul $(2,0)$, nu $(4,0)$. Toate punctele curbei au $x\ge 0$, curba are o singură ramură, este simetrică față de axa $Ox$ și nu are centru de simetrie. Parabola nu are al doilea focar și nu are asimptote: panta candidată iese nulă, deci nu există oblică, iar limita infinită exclude orizontala. Raza focală este $MF=x+\frac{p}{2}$ și înlocuiește formula distanței în orice problemă cu distanța la focar.

Exerciții din această mini-lecție

1. Focarul și directoarea parabolei $y^2=20x$ sunt:

   • a) $F(0,5)$ și $d:y=-5$
   • b) $F(10,0)$ și $d:x=-10$
   • c) $F(5,0)$ și $d:x=-5$
   • d) $F(20,0)$ și $d:x=-20$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $F(5,0)$ și $d:x=-5$

   Din $2p=20$ rezultă $p=10$, deci focarul este $F\left(\frac{p}{2},0\right)=(5,0)$, iar directoarea $x=-\frac{p}{2}=-5$. Distanța dintre ele este $10=p$, cum cere definiția. Varianta $F(10,0)$ pune focarul la distanța $p$ de vârf, iar varianta cu $F(0,5)$ mută axa de simetrie pe $Oy$.

2. Pentru parabola $y^2=20x$, distanța de la punctul $M(5,10)$ la focar este:

   • a) $5$
   • b) $15$
   • c) $5\sqrt{5}$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $10$

   Punctul este pe curbă: $10^2=100=20\cdot 5$. Raza focală se calculează fără radicali, cu $MF=x+\frac{p}{2}=5+5=10$. Verificare prin definiție: distanța de la $M$ la directoarea $x=-5$ este $5-(-5)=10$, exact aceeași valoare — chiar proprietatea care definește parabola.

3. Care afirmație despre parabola $y^2=2px$, cu $p>0$, este adevărată?

   • a) are două asimptote oblice
   • b) are un singur focar și o directoare, și nu are asimptote
   • c) are centru de simetrie în vârf
   • d) are două focare, ca elipsa
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) are un singur focar și o directoare, și nu are asimptote

   Parabola este definită printr-un focar și o directoare; nu are al doilea focar, nu are distanță focală și nu are asimptote — panta candidată $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2px}}{x}$ este nulă, deci oblica nu există, iar limita funcției fiind infinită, nici orizontala. Are o singură axă de simetrie, $Ox$, și niciun centru.