Parabola: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice

Farul unei mașini are în spatele becului o oglindă a cărei secțiune nu este nici cerc, nici arc oarecare: este o parabolă, iar becul stă exact în punctul ei special, numit focar. Proprietatea care face oglinda utilă — toate razele plecate din focar ies paralele cu axa — se sprijină pe o definiție geometrică simplă, pe care o studiem în lecția de față, a zecea din unitatea de conice a clasei a 12-a: parabola este mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix și de o dreaptă fixă. Parabola este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix, numit focar, și de o dreaptă fixă, numită directoare; în reperul canonic ecuația ei este $y^2=2px$, cu focarul $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ și directoarea $x=-\frac{p}{2}$.

La cerc aveam un punct fix și o distanță constantă; la elipsă și la hiperbolă, două puncte fixe și o sumă, respectiv o diferență de distanțe. Parabola aduce ceva nou: un punct și o dreaptă. Din această schimbare de ingrediente iese o curbă cu o singură ramură, fără centru de simetrie și — vom vedea — fără asimptote, deși crește nemărginit.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția geometrică a parabolei, cu focarul și directoarea, și de ce se cere ca focarul să nu fie pe directoare.
• Vei ști să alegi reperul canonic al parabolei și să scrii în el focarul și directoarea.
• Vei ști să deduci ecuația canonică $y^2=2px$ printr-o singură ridicare la pătrat și să explici de ce, aici, ridicarea la pătrat este echivalentă.
• Vei ști ce înseamnă geometric parametrul $p$ și cum influențează deschiderea curbei.
• Vei ști să treci, în ambele sensuri, între ecuație și perechea focar–directoare.
• Vei ști primele proprietăți ale curbei: domeniul, simetria, vârful și absența asimptotelor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este parabola?

Parabola este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix, numit focar, și de o dreaptă fixă, numită directoare, punctul nefiind situat pe dreaptă. Focarul se notează $F$, directoarea se notează $d$, iar condiția care definește curba se scrie $$MF=d(M,d).$$

Ipoteza $F\notin d$ este esențială: dacă focarul ar fi pe directoare, singurul punct care ar îndeplini condiția ar fi chiar $F$, iar mulțimea s-ar reduce la un punct. Distanța de la focar la directoare se notează $p$ și se numește parametrul parabolei; prin ipoteză, $p>0$.

Distanța de la un punct la o dreaptă este cea din lecția distanța de la un punct la o dreaptă, adică lungimea perpendicularei coborâte din punct pe dreaptă. Prin urmare, condiția din definiție compară două segmente: unul oblic, spre focar, altul perpendicular, spre directoare.

Un model de construit acasă: prinzi un capăt de sfoară în $F$ și celălalt la capătul unui echer sprijinit pe directoare; ținând sfoara întinsă de-a lungul echerului cu vârful creionului, distanța la $F$ și distanța la directoare rămân egale, iar creionul descrie parabola.

2. Ce deosebește parabola de celelalte conice?

Merită oprit o clipă asupra listei de deosebiri, pentru că ele explică toate proprietățile care urmează.

• Un singur focar, nu două. Nu există „al doilea focar", deci nu există nici o distanță focală $2c$.
• Apare o dreaptă în definiție. Directoarea nu este parte din curbă, dar o determină la fel de mult ca focarul.
• Nu are centru de simetrie. Elipsa și hiperbola au, cercul are; parabola nu. Motivul se va vedea imediat: curba se află în întregime de aceeași parte a unei drepte.
• Este nemărginită, dar fără asimptote. Crește la infinit fără să urmeze vreo dreaptă — situație pe care ai întâlnit-o deja la funcția radical, în lecția asimptota oblică.

O singură mărime, $p$, descrie complet forma curbei. La elipsă și la hiperbolă aveam nevoie de două numere, $a$ și $b$; aici unul singur este de ajuns, iar consecința este surprinzătoare: toate parabolele sunt asemenea între ele, așa cum toate cercurile sunt asemenea.

Afirmația se verifică într-un rând, după ce vom avea ecuația: dacă înmulțim ambele coordonate ale punctelor curbei $y^2=2px$ cu același număr $t>0$, adică aplicăm omotetia de centru $O$ și raport $t$, obținem $(ty{)}^2=t^2{y}^2=2pt\cdot (tx)$, deci o parabolă de parametru $pt$. Alegând potrivit raportul $t$, orice parabolă se suprapune peste oricare alta. Ce se schimbă între două parabole este doar scara desenului, niciodată forma.

3. Cum se alege reperul canonic al parabolei?

Ca la toate conicele, luăm axele pe direcțiile privilegiate ale figurii. Parabola are o singură axă de simetrie: perpendiculara dusă din focar pe directoare. Fie $F_0$ piciorul acestei perpendiculare, adică proiecția focarului pe directoare; atunci $F{F}_0=p$.

Alegem:

• axa $Ox$ pe dreapta $F{F}_0$, orientată de la directoare spre focar;
• originea $O$ în mijlocul segmentului $[F_{0}F]$;
• axa $Oy$ perpendiculară pe $Ox$ în $O$.

În acest reper, focarul și directoarea au ecuațiile cele mai simple posibile: $$F\left(\frac{p}{2},0\right),d:x=-\frac{p}{2}.$$

Alegerea originii la mijloc este cea care produce simetria formulelor: focarul și directoarea sunt la aceeași distanță $\frac{p}{2}$ de origine, de o parte și de alta. Observă și că originea aparține curbei: distanța ei la focar este $\frac{p}{2}$, iar distanța la directoare tot $\frac{p}{2}$ ✓. Punctul $O$ se numește vârful parabolei.

Alte alegeri ale originii ar fi fost posibile — în $F$, sau în $F_0$ — dar niciuna nu ar fi dat o ecuație la fel de simplă. Cu originea în $F$, de pildă, s-ar fi obținut $y^2=2p\left(x+\frac{p}{2}\right)$, adevărată, dar cu un termen liber inutil. Reperul canonic este, ca peste tot în unitate, cel în care ecuația are cei mai puțini termeni.

4. Deducerea ecuației canonice

Fie $M(x,y)$ un punct oarecare al planului. Cu formula distanței dintre două puncte, din lecția reperul cartezian, distanța și mijlocul, și cu distanța de la punct la dreapta verticală $x=-\frac{p}{2}$: $$MF=\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2},d(M,d)=\left|x+\frac{p}{2}\right|.$$

Condiția $MF=d(M,d)$ leagă două numere nenegative. Pentru astfel de numere, egalitatea este echivalentă cu egalitatea pătratelor — iată deosebirea fericită față de deducerile de la elipsă și hiperbolă, unde a fost nevoie de o demonstrație separată a reciprocei. Aici o singură ridicare la pătrat rezolvă totul, fără pierdere de informație: $${\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2={\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2.$$

Dezvoltăm ambele pătrate: $$x^2-px+\frac{p^2}{4}+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4}.$$

Termenii $x^2$ și $\frac{p^2}{4}$ se reduc, iar $-px$ trece în dreapta: $$\boxed{y^2=2px,p>0}$$

Aceasta este ecuația canonică a parabolei. Este singura conică a cărei ecuație canonică nu are toți termenii de gradul al doilea: aici $x$ apare la puterea întâi, ceea ce explică de ce curba nu are centru de simetrie.

Pe firul roșu al lecției luăm $p=2$, deci $$y^2=4x,F(1,0),d:x=-1.$$ Verificare pe un punct: $M(4,4)$ dă $16=4\cdot 4$ ✓; distanța la focar este $\sqrt{(4-1{)}^2+16}=\sqrt{25}=5$, iar distanța la directoare este $4+1=5$ ✓.

5. Ce înseamnă geometric parametrul $p$?

Parametrul are trei citiri, toate utile.

Prima: distanța de la focar la directoare. Chiar definiția lui. Din ea rezultă imediat că vârful se află la $\frac{p}{2}$ de fiecare.

A doua: lungimea coardei focale perpendiculare pe axă. Dreapta verticală prin focar are ecuația $x=\frac{p}{2}$; înlocuind în ecuația canonică obținem $y^2=2p\cdot \frac{p}{2}=p^2$, deci $y=\pm p$. Coarda are capetele $\left(\frac{p}{2},p\right)$ și $\left(\frac{p}{2},-p\right)$, deci lungimea $2p$. Este o măsură directă a deschiderii.

A treia: „viteza" cu care se deschide curba. La aceeași abscisă, ordonata crește odată cu $p$. De exemplu, la $x=8$: pentru $p=2$ obținem $y=\sqrt{32}\approx 5,66$; pentru $p=4$, $y=8$; pentru $p=8$, $y=\sqrt{128}\approx 11,31$. Parabolele cu $p$ mare sunt „late", cele cu $p$ mic sunt „ascuțite".

Pentru firul roșu, $p=2$: coarda focală verticală are lungimea $4$, între punctele $(1,2)$ și $(1,-2)$ ✓.

O precizare de notație, ca să nu se amestece literele. La cerc, în lecția ecuația generală a cercului, litera $p$ este termenul liber al ecuației generale $x^2+y^2+2mx+2ny+p=0$; aici, la parabolă, $p$ este parametrul, adică o lungime, întotdeauna pozitivă. Cele două roluri nu se întâlnesc niciodată în aceeași problemă, dar la o recapitulare merită spus care este care. La fel, excentricitatea a fost definită doar la elipsă și la hiperbolă, conicele cu centru și cu două focare; parabola nu are nici centru, nici al doilea focar, deci nu i se atașează un raport $\frac{c}{a}$.

6. Primele proprietăți citite din ecuație

Domeniul. Din $y^2=2px$ și $p>0$ rezultă $2px\ge 0$, deci $x\ge 0$: toate punctele parabolei au abscisa nenegativă. Curba se află de aceeași parte a axei $Oy$, ceea ce explică de ce nu poate avea centru de simetrie: simetricul față de orice punct al unei mulțimi nemărginite spre dreapta ar fi nemărginit spre stânga.

Simetria. În ecuație $y$ apare doar la pătrat, deci odată cu $M(x,y)$ curbei îi aparține și $(x,-y)$. Axa $Ox$ este axă de simetrie și se numește axa parabolei. Nu există altă simetrie: înlocuind $x$ cu $-x$ obținem $y^2=-2px$, altă mulțime.

Vârful. Singurul punct comun cu axa $Oy$ este originea, iar el este și punctul curbei cel mai apropiat de directoare. Se numește vârful parabolei și se notează $O$ în reperul canonic.

Ramurile. Rezolvând în raport cu $y$ obținem $y=\pm \sqrt{2px}$, deci parabola este reuniunea graficelor funcțiilor $$f,g:[0,+\infty )\to \mathbb{R},f(x)=\sqrt{2px},g(x)=-\sqrt{2px}.$$ Prima este strict crescătoare, a doua strict descrescătoare, ambele se anulează în $0$ și au limita infinită la $+\infty$. Curba are o singură ramură, spre deosebire de hiperbolă — cele două jumătăți se unesc în vârf, unde graficele celor două funcții se întâlnesc.

Deosebirea față de hiperbolă merită subliniată: acolo domeniul funcțiilor-ramură era o reuniune de două intervale, iar curba se rupea în două bucăți; aici domeniul este un singur interval, deci curba este dintr-o bucată.

Fără asimptote. Funcția $f(x)=\sqrt{2px}$ are limita $+\infty$ la $+\infty$, deci nu are asimptotă orizontală. Iar panta candidat este $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2px}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{2p}{x}}=0,$$ adică exact situația a treia dintre cele patru în care asimptota oblică nu există. Prin urmare parabola nu are asimptote, deși crește nemărginit: se „culcă" pe direcția axei fără să urmeze vreo dreaptă.

Tabelul complet al elementelor și trasarea propriu-zisă a graficului, împreună cu legătura dintre această parabolă și cea studiată în clasa a IX-a la parabola: vârf și axă de simetrie, sunt în lecția următoare, elementele parabolei.

7. Cum se trece de la ecuație la focar și directoare?

Este drumul cerut cel mai des, iar el se reduce la citirea coeficientului lui $x$.

Întâi forma. Aduci ecuația la forma $y^2=2px$, adică izolezi $y^2$ și scrii coeficientul lui $x$ sub forma $2p$.

Apoi parametrul. Din $2p=$ coeficient obții $p$, verificând că este pozitiv.

La final elementele. Scrii $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ și $d:x=-\frac{p}{2}$.

Pasul care se sare cel mai des este împărțirea la $2$: parametrul este jumătate din coeficientul lui $x$, iar focarul se află la jumătatea lui $p$. Exemplu: pentru $y^2=16x$ avem $2p=16$, deci $p=8$, focarul $(4,0)$ și directoarea $x=-4$. Drumul invers este la fel de scurt: din $F(2,0)$ și $d:x=-2$ citim $p=4$ și scriem $y^2=8x$.

8. Cum se verifică rapid un punct?

Ai două căi, iar la examen merită folosite amândouă, pentru că se controlează una pe alta.

Calea algebrică. Înlocuiești coordonatele în $y^2=2px$ și verifici egalitatea numerică.

Calea geometrică. Calculezi $MF$ cu formula distanței și $d(M,d)=x+\frac{p}{2}$ — modulul dispare pentru că $x\ge 0$ — și verifici că cele două sunt egale.

Pe firul roșu $y^2=4x$, punctul $M(9,6)$: algebric, $36=4\cdot 9$ ✓; geometric, $MF=\sqrt{(9-1{)}^2+36}=\sqrt{100}=10$ și $d(M,d)=9+1=10$ ✓.

Un al doilea control, cu coordonate fracționare, ca să se vadă că metoda nu depinde de numere frumoase: $M\left(\frac{1}{4},1\right)$ verifică $1=4\cdot \frac{1}{4}$ ✓, iar $MF=\sqrt{{\left(\frac{1}{4}-1\right)}^2+1}=\sqrt{\frac{9}{16}+1}=\frac{5}{4}$, egal cu $d(M,d)=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$ ✓. Egalitatea $MF=x+\frac{p}{2}$, valabilă pentru orice punct al parabolei, este de fapt raza focală a parabolei și înlocuiește cu folos formula distanței în toate problemele în care apare $MF$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Scrie ecuația canonică a parabolei cu focarul $F(1,0)$ și directoarea $d:x=-1$.

Distanța de la focar la directoare este $p=|1-(-1)|=2$, iar reperul este cel canonic, pentru că focarul este pe axa $Ox$ la $\frac{p}{2}=1$ de origine, iar directoarea este verticala $x=-1$.

Ecuația este $y^2=2px$, adică $y^2=4x$.

Exemplul 2

Determină parametrul, focarul și directoarea parabolei $y^2=8x$, cea introdusă în lecția conicele ca secțiuni ale conului.

Comparăm cu forma canonică: $2p=8$, deci $p=4>0$ ✓. Atunci $\frac{p}{2}=2$, focarul este $F(2,0)$, iar directoarea este dreapta $x=-2$.

Verificare rapidă pe punctul $(2,4)$, care aparține curbei ($16=8\cdot 2$ ✓): distanța la focar este $\sqrt{0+16}=4$, iar distanța la directoare este $2+2=4$ ✓. Punctul acesta este chiar unul dintre capetele coardei focale perpendiculare pe axă, deci distanța lui la focar trebuie să fie $p=4$ — și este ✓.

Exemplul 3

Arată că punctul $M(9,6)$ aparține parabolei $y^2=4x$ și verifică pentru el definiția geometrică.

Algebric: $6^2=36$ și $4\cdot 9=36$ ✓.

Geometric, cu $F(1,0)$ și $d:x=-1$: $$MF=\sqrt{(9-1{)}^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10,d(M,d)=|9+1|=10,$$ deci $MF=d(M,d)$ ✓.

Exemplul 4

Determină punctele parabolei $y^2=16x$ situate la distanța $20$ de focar.

Aici $2p=16$, deci $p=8$ și $\frac{p}{2}=4$. Folosim raza focală: pentru orice punct al curbei, $MF=x+4$. Din $x+4=20$ rezultă $x=16$, valoare acceptabilă, pentru că $16\ge 0$.

Înlocuim în ecuație: $y^2=16\cdot 16=256$, deci $y=\pm 16$. Punctele sunt $(16,16)$ și $(16,-16)$.

Verificare: $MF=\sqrt{(16-4{)}^2+256}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ ✓.

Observă economia de calcul: raza focală a transformat o ecuație cu radical într-una de gradul întâi. Fără ea ar fi trebuit rezolvat sistemul format din $y^2=16x$ și $(x-4{)}^2+y^2=400$, care duce la aceeași soluție, dar în trei rânduri în plus.

Exemplul 5

Deduce, pe date concrete, ecuația parabolei cu focarul $F(6,0)$ și directoarea $d:x=-6$.

Aici $p=12$. Pentru un punct oarecare $M(x,y)$ scriem condiția din definiție și ridicăm la pătrat, ambele cantități fiind nenegative: $$(x-6{)}^2+y^2=(x+6{)}^2⟹x^2-12x+36+y^2=x^2+12x+36⟹y^2=24x.$$

Rezultatul coincide cu formula generală: $y^2=2px=24x$ ✓. Un punct de control: $(6,12)$ verifică $144=24\cdot 6$ ✓, iar $MF=\sqrt{0+144}=12$ și $d(M,d)=6+6=12$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră parabola $y^2=4x$.

a) Determină parametrul, focarul și directoarea acestei parabole.

Din $2p=4$ rezultă $p=2$, deci focarul este $F(1,0)$, iar directoarea este dreapta $x=-1$.

b) Arată că punctul $M(4,4)$ aparține parabolei și verifică pentru el egalitatea $MF=d(M,d)$.

Algebric: $4^2=16=4\cdot 4$ ✓. Geometric: $MF=\sqrt{(4-1{)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$ și $d(M,d)=4+1=5$, deci egalitatea are loc ✓.

c) Determină punctele parabolei pentru care distanța la focar este $10$.

Raza focală este $MF=x+1$, deci $x+1=10$ dă $x=9$. Atunci $y^2=36$ și $y=\pm 6$: punctele sunt $(9,6)$ și $(9,-6)$. Verificare: $\sqrt{64+36}=10$ ✓.

Să exersăm

1. Enunță definiția geometrică a parabolei și explică de ce se cere ca focarul să nu aparțină directoarei.

2. Determină parametrul, focarul și directoarea parabolei $y^2=6x$.

3. Scrie ecuația canonică a parabolei cu focarul $F(2,0)$ și directoarea $x=-2$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Parabola are un centru de simetrie, ca elipsa și hiperbola.

5. Verifică dacă punctul $(16,8)$ aparține parabolei $y^2=4x$ și, în caz afirmativ, calculează distanța de la el la focar.

6. Determină lungimea coardei parabolei $y^2=8x$ determinate de dreapta verticală care trece prin focar.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Există puncte ale parabolei $y^2=4x$ cu abscisa $-1$.

8. Arată că, pentru orice punct al parabolei $y^2=2px$, are loc egalitatea $MF=x+\frac{p}{2}$.

9. (Problemă aplicată.) Secțiunea unei antene parabolice are ecuația $y^2=4x$, cu unitatea în metri, iar receptorul se pune în focar. La ce distanță de vârful antenei trebuie montat receptorul?

10. Determină punctele parabolei $y^2=8x$ situate la distanța $10$ de focar.

11. Deduce, pornind de la definiție, ecuația parabolei cu focarul $F(7,0)$ și directoarea $x=-7$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Cu cât parametrul $p$ este mai mare, cu atât parabola este mai ascuțită.

13. Arată că parabola $y^2=4x$ nu are asimptotă oblică spre $+\infty$, folosind procedura în trei pași.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră parabola $y^2=16x$. Determină focarul și directoarea, apoi arată că punctul $(25,20)$ îi aparține și calculează distanța de la el la focar.

15. Determină $p$ astfel încât parabola $y^2=2px$ să treacă prin punctul $(2,4)$.

16. (Problemă aplicată.) Oglinda unui far are secțiunea $y^2=8x$, cu unitatea în centimetri. Determină poziția becului și lățimea oglinzii în dreptul becului.

17. Arată că punctele $\left(\frac{p}{2},p\right)$ și $\left(\frac{p}{2},-p\right)$ aparțin parabolei $y^2=2px$ și că distanța fiecăruia la focar este $p$.

18. (Provocare.) Arată că, dacă $M$ este un punct oarecare al parabolei $y^2=2px$ și $N$ este proiecția lui pe directoare, atunci triunghiul $MFN$ este isoscel, și determină punctul pentru care acest triunghi este degenerat.

Răspunsuri și explicații

1. Parabola este mulțimea punctelor $M$ cu $MF=d(M,d)$, unde $F$ este un punct fix și $d$ o dreaptă fixă cu $F\notin d$. Dacă focarul ar fi pe directoare, singurul punct care ar îndeplini condiția ar fi $F$ însuși, deci mulțimea s-ar reduce la un punct.

2. $2p=6$, deci $p=3$; focarul este $\left(\frac{3}{2},0\right)$, iar directoarea $x=-\frac{3}{2}$. Parametrul nu trebuie să fie întreg.

3. Din focar și directoare, $p=4$, deci ecuația este $y^2=8x$.

4. Fals. Toate punctele parabolei au $x\ge 0$; dacă ar exista un centru de simetrie, simetricul unui punct cu abscisa foarte mare ar avea abscisa foarte mică, deci negativă — contradicție. Parabola are doar o axă de simetrie.

5. $8^2=64$ și $4\cdot 16=64$ ✓, deci punctul aparține curbei. Cu $p=2$: $MF=16+1=17$.

6. Aici $p=4$, iar coarda focală perpendiculară pe axă are lungimea $2p=8$, între punctele $(2,4)$ și $(2,-4)$.

7. Fals. Din $y^2=4x$ rezultă $4x=y^2\ge 0$, deci $x\ge 0$; nu există puncte cu abscisă negativă. Geometric, un punct cu $x<0$ ar fi de partea directoarei, deci mai aproape de ea decât de focar, iar egalitatea din definiție nu ar putea avea loc.

8. Pentru un punct al curbei, $d(M,d)=\left|x+\frac{p}{2}\right|=x+\frac{p}{2}$, pentru că $x\ge 0$ și $p>0$. Din definiție, $MF=d(M,d)$, deci $MF=x+\frac{p}{2}$.

9. Din $2p=4$ rezultă $p=2$, deci focarul este $F(1,0)$, adică receptorul se montează la $\frac{p}{2}=1$ metru de vârful antenei, pe axa ei. Directoarea, $x=-1$, nu are semnificație fizică; ea intervine doar în definiția curbei.

10. Cu $p=4$, raza focală este $MF=x+2$. Din $x+2=10$ rezultă $x=8$, apoi $y^2=64$ și $y=\pm 8$: punctele sunt $(8,8)$ și $(8,-8)$.

11. $p=14$. Condiția $(x-7{)}^2+y^2=(x+7{)}^2$ dă $x^2-14x+49+y^2=x^2+14x+49$, deci $y^2=28x$, adică $y^2=2\cdot 14\cdot x$ ✓.

12. Fals. Coarda focală perpendiculară pe axă are lungimea $2p$, deci $p$ mare înseamnă deschidere mare: parabola este mai lată, nu mai ascuțită.

13. Pentru ramura $f(x)=2\sqrt{x}$, definită pe $[0,+\infty )$: limita la $+\infty$ este $+\infty$, deci nu există asimptotă orizontală. Pasul 1: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{x}}=0$. Panta fiind nulă, procedura se oprește: nu există asimptotă oblică. Aceeași concluzie pentru ramura negativă.

14. Din $2p=16$: $p=8$, focarul $(4,0)$, directoarea $x=-4$. Punctul: $20^2=400=16\cdot 25$ ✓. Distanța la focar: $MF=25+4=29$; verificare directă, $\sqrt{(25-4{)}^2+400}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29$ ✓.

15. $16=2p\cdot 2=4p$, deci $p=4$, iar parabola este $y^2=8x$.

16. Din $2p=8$ rezultă $p=4$, deci becul se pune în focarul $(2,0)$, adică la $2$ centimetri de vârful oglinzii. Lățimea în dreptul becului este lungimea coardei focale perpendiculare pe axă, adică $2p=8$ centimetri.

17. Substituind $x=\frac{p}{2}$ obținem $y^2=2p\cdot \frac{p}{2}=p^2$, deci $y=\pm p$ ✓. Raza focală dă $MF=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p$ pentru amândouă.

18. Din definiție, $MF=MN$, deci triunghiul $MFN$ este isoscel cu vârful în $M$. El se degenerează exact când $M$, $F$ și $N$ sunt coliniare, adică pentru $M$ vârful parabolei: atunci $N$ este $\left(-\frac{p}{2},0\right)$, iar cele trei puncte sunt pe axa $Ox$.

De reținut

• Parabola este mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix, focarul $F$, și de o dreaptă fixă, directoarea $d$, cu $F\notin d$; condiția se scrie $MF=d(M,d)$.
• Parametrul $p$ este distanța de la focar la directoare; în reperul canonic focarul este $F\left(\frac{p}{2},0\right)$, directoarea este $x=-\frac{p}{2}$, iar vârful este originea.
• Ecuația canonică a parabolei este $y^2=2px$, cu $p>0$, și se obține printr-o singură ridicare la pătrat, echivalentă, pentru că ambii membri comparați sunt nenegativi.
• Toate punctele parabolei au $x\ge 0$, curba are o singură ramură, este simetrică față de axa $Ox$ și nu are centru de simetrie.
• Raza focală a parabolei este $MF=x+\frac{p}{2}$ și înlocuiește formula distanței în toate problemele în care apare distanța la focar.

Greșeli frecvente

• A confunda $p$ cu $\frac{p}{2}$. Parametrul este distanța focar–directoare, iar focarul se află la jumătatea acestei distanțe de vârf. Pentru $y^2=8x$ avem $p=4$, dar focarul este $(2,0)$, nu $(4,0)$.
• A citi greșit coeficientul. Forma canonică este $y^2=2px$, deci coeficientul lui $x$ este $2p$, nu $p$. Din $y^2=16x$ rezultă $p=8$; cine scrie $p=16$ dublează și focarul, și directoarea.
• A căuta al doilea focar sau asimptote. Parabola are un singur focar, nu are distanță focală și nu are asimptote: panta candidat iese nulă, deci nu există asimptotă oblică, iar limita infinită exclude orizontala.
• A uita condiția $x\ge 0$. Ea vine din $y^2=2px$ cu $p>0$ și elimină, în probleme, jumătate din soluțiile aparente: o rază focală $MF=x+\frac{p}{2}$ mai mică decât $\frac{p}{2}$ este imposibilă.
• A trata ridicarea la pătrat ca la elipsă și hiperbolă. Acolo era nevoie de demonstrarea reciprocei; aici ambii membri sunt nenegativi de la început, deci echivalența e imediată — dar trebuie spus de ce, nu presupus.

Aplică acasă

1. Desenează pe hârtie milimetrică directoarea $x=-1$ și focarul $F(1,0)$, apoi construiește zece puncte ale parabolei: pentru fiecare valoare $r>1$, intersectează cercul de rază $r$ centrat în $F$ cu verticala $x=r-1$. Unește punctele și compară rezultatul cu graficul ecuației $y^2=4x$.

2. Alcătuiește un tabel cu punctele parabolelor $y^2=4x$, $y^2=8x$ și $y^2=16x$ pentru $x=1$, $2$, $4$, $9$, reprezintă-le pe același desen și măsoară, pentru fiecare, lungimea coardei focale perpendiculare pe axă. Verifică apoi că valorile obținute sunt $2p$.

3. Caută o antenă parabolică sau o oglindă de far și măsoară două mărimi: adâncimea vasului și diametrul lui la gură. Din ele determină $p$, punând coordonatele marginii în ecuația $y^2=2px$, apoi calculează unde ar trebui să fie receptorul și verifică pe obiect.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce ultima dintre cele patru conice și, spre deosebire de elipsă și hiperbolă, o face cu o singură ridicare la pătrat. Este un bun prilej de a discuta despre echivalența transformărilor: aici ea are loc pentru că ambii membri sunt nenegativi, ceea ce elevii trec ușor cu vederea. Conținutul aparține programei de matematică-informatică (mate-info) a clasei a XII-a, care cere explicit deducerea ecuației canonice a parabolei folosind focarul și directoarea.

Ce verifică lecția: enunțul definiției cu focar și directoare, inclusiv ipoteza $F\notin d$; alegerea reperului canonic și scrierea lui $F$ și $d$; deducerea ecuației; interpretarea parametrului $p$; trecerea în ambele sensuri între ecuație și pereche focar–directoare; raza focală $MF=x+\frac{p}{2}$.

Întrebări de control: „Care este distanța de la vârf la focar?"; „De ce este ridicarea la pătrat echivalentă aici?"; „Are parabola asimptote?"; „Ce se schimbă în desen dacă $p$ se dublează?".

Semne că a înțeles: nu confundă $p$ cu $\frac{p}{2}$; folosește raza focală în locul formulei distanței; verifică punctele pe ambele căi, algebric și geometric; motivează absența centrului de simetrie prin condiția $x\ge 0$.

Dificultatea tipică: poziția focarului. Elevul citește corect $p$ din ecuație, dar scrie focarul la distanța $p$ de vârf. Exercițiile 2, 9 și 16 forțează de fiecare dată trecerea prin $\frac{p}{2}$.

Unde apare la BAC: conicele intră în examen odată cu sesiunile susținute pe programa nouă. Formatul previzibil este cel din Exemplul 6 — elemente, verificarea unui punct, o rază focală — rezolvabil integral cu cele trei etape din lecție.

Întrebări frecvente

Ce este parabola în geometria analitică?

Parabola este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix, numit focar, și de o dreaptă fixă, numită directoare, focarul nefiind pe dreaptă. În reperul canonic ea are ecuația $y^2=2px$, cu $p>0$, și este o curbă cu o singură ramură, simetrică față de axa $Ox$ și cu vârful în origine.

Care este ecuația canonică a parabolei?

Ecuația canonică este $y^2=2px$, unde $p$ este parametrul, adică distanța de la focar la directoare. Ea se obține luând axa $Ox$ pe perpendiculara din focar pe directoare și originea la mijlocul distanței dintre ele, apoi ridicând la pătrat egalitatea $MF=d(M,d)$.

Unde se află focarul și directoarea unei parabole?

Focarul este punctul $F\left(\frac{p}{2},0\right)$, iar directoarea este dreapta verticală $x=-\frac{p}{2}$; ambele se află la distanța $\frac{p}{2}$ de vârf, de o parte și de alta a lui. Din ecuația $y^2=16x$, de pildă, se citește $2p=16$, deci $p=8$, focarul $(4,0)$ și directoarea $x=-4$.

Ce reprezintă parametrul $p$ al parabolei?

Parametrul $p$ este distanța de la focar la directoare și măsoară deschiderea curbei. Coarda perpendiculară pe axă care trece prin focar are exact lungimea $2p$, deci o valoare mare a lui $p$ dă o parabolă lată, iar o valoare mică dă una ascuțită. Este singurul număr necesar pentru a descrie forma curbei.

De ce nu are parabola asimptote?

Pentru că ramura $y=\sqrt{2px}$ are limita $+\infty$ la $+\infty$, deci nu există asimptotă orizontală, iar panta candidat este $\lim \frac{\sqrt{2px}}{x}=0$, adică nulă, ceea ce exclude și asimptota oblică. Curba crește nemărginit, dar tot mai lent, fără să urmeze vreo dreaptă.

De ce nu trebuie demonstrată reciproca la parabolă?

Pentru că ridicarea la pătrat s-a aplicat unei egalități între două numere nenegative, $MF$ și $d(M,d)$, iar pentru astfel de numere egalitatea pătratelor este echivalentă cu egalitatea lor. La elipsă și la hiperbolă au fost necesare două ridicări la pătrat, dintre care una pe o expresie de semn necunoscut, de unde nevoia unei demonstrații separate.

Cum afli parametrul $p$ dacă știi un punct al parabolei?

Înlocuiești coordonatele punctului în ecuația canonică și rezolvi o ecuație de gradul întâi: din $y_0^2=2p{x}_0$ rezultă $p=\frac{y_0^2}{2x_0}$, cu $x_0>0$, pentru că altfel parametrul nu ar fi strict pozitiv. Cu $p$ aflat scrii imediat focarul $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ și directoarea $x=-\frac{p}{2}$, iar verificarea se face substituind din nou punctul dat.

Se cere parabola-conică la examen?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a. Cerințele previzibile sunt determinarea focarului și a directoarei dintr-o ecuație dată, scrierea ecuației din focar și directoare și calculul unei raze focale.