Dreptele $$d_1: x = 5$$ și $$d_2: y = -1$$ sunt:

perpendiculare, pentru că $$a_1a_2 + b_1b_2 = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0$$

paralele, pentru că niciuna dintre ele nu are pantă

perpendiculare, pentru că produsul pantelor lor este $$-1$$

concurente, dar nu perpendiculare, în punctul $$(5, -1)$$

Paralelism și perpendicularitate: pe scurt

Fiecare dintre cele două relații se scrie în două forme. Prin pante, pentru drepte neverticale: $d_{1} ∥ d_{2}$ (sau confundate) exact când $m_{1} = m_{2}$ , iar $d_{1} ⊥ d_{2}$ exact când $m_{1} m_{2} = - 1$ . Prin coeficienții formei generale, fără nicio excepție: paralelism când $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , perpendicularitate când $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .

A doua formă e cea de încredere, pentru că nu presupune existența pantei. În cuvinte, pentru cazurile în care pantele tac: o verticală este paralelă doar cu alte verticale și perpendiculară pe orice orizontală; o verticală și o orizontală sunt întotdeauna perpendiculare, deși produsul pantelor lor nu se poate scrie.

Relația $m_{1} m_{2} = - 1$ se demonstrează cu teorema lui Pitagora și reciproca ei, pe punctele $A (1, m_{1})$ și $B (1, m_{2})$ de pe două drepte duse prin origine. Forma practică: panta perpendicularei este opusul inversului, $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ — nu opusul. Două controale rapide: pantele au semne contrare, iar cu cât una e mai abruptă, cu atât cealaltă e mai lină.

Rețeta paralelei și a perpendicularei printr-un punct are doi pași: afli panta din condiție, apoi scrii $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ . Scurtătura pe coeficienți sare peste pante: paralela la $a x + b y + c = 0$ este $a x + b y + k = 0$ , iar perpendiculara este $b x - a y + k = 0$ ; numărul $k$ se află impunând trecerea prin punct. De aici ies mediatoarea unui segment și înălțimile unui triunghi.

Exerciții din această mini-lecție

Dreapta care trece prin $A (3, - 2)$ și este perpendiculară pe $d : 2 x - 5 y + 7 = 0$ are ecuația:
- a) $2 x - 5 y - 16 = 0$
- b) $5 x - 2 y - 19 = 0$
- c) $5 x + 2 y - 11 = 0$
- d) $2 x + 5 y + 4 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5 x + 2 y - 11 = 0$

Panta lui $d$ este $m = \frac{2}{5}$ , deci perpendiculara are panta $- \frac{5}{2}$ : din $y + 2 = - \frac{5}{2} (x - 3)$ rezultă $5 x + 2 y - 11 = 0$ . Toate cele patru variante trec prin $A$ — ele se deosebesc doar prin direcție: prima este paralela la $d$ , a doua folosește panta $\frac{5}{2}$ , iar a treia opusul pantei, nu opusul inversului. Control: $2 \cdot 5 + (- 5) \cdot 2 = 0$ ✓.
Dreptele $d_{1} : x = 5$ și $d_{2} : y = - 1$ sunt:
- a) paralele, pentru că niciuna dintre ele nu are pantă
- b) perpendiculare, pentru că $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$
- c) perpendiculare, pentru că produsul pantelor lor este $- 1$
- d) concurente, dar nu perpendiculare, în punctul $(5, - 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) perpendiculare, pentru că $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$

Sub forma generală ele sunt $x - 5 = 0$ și $y + 1 = 0$ , deci criteriul cu coeficienți dă $0$ : sunt perpendiculare. Produsul pantelor nu se poate scrie, pentru că verticala $x = 5$ nu are pantă; orizontala $y = - 1$ are, în schimb, panta $0$ .
Dreptele $d_{1} : a x + 4 y - 7 = 0$ și $d_{2} : 3 x - y + 2 = 0$ sunt perpendiculare pentru:
- a) $a = \frac{4}{3}$
- b) $a = - \frac{4}{3}$
- c) $a = - 12$
- d) $a = - \frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a = \frac{4}{3}$

Condiția $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ devine $3 a + 4 \cdot (- 1) = 0$ , deci $a = \frac{4}{3}$ . Valoarea $- 12$ este cea care le face paralele (din $a \cdot (- 1) - 3 \cdot 4 = 0$ ) — o confuzie frecventă între cele două criterii.

Paralelism și perpendicularitate: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu