Acasă · Lecții · clasa a XI-a · Condiții de paralelism și de perpendicularitate

Condiții de paralelism și de perpendicularitate

Un desenator care schițează o cameră trage două linii și spune „sunt paralele". Un dulgher taie două scânduri și spune „se îmbină în unghi drept". Amândoi au dreptate cu o aproximație de câțiva milimetri — și tocmai de aceea, la scara unei clădiri, se lucrează cu numere, nu cu ochiul. Un colț care greșește cu jumătate de grad mută zidul opus cu aproape zece centimetri.

Geometria analitică transformă cele două afirmații — „sunt paralele", „sunt perpendiculare" — în două egalități care se verifică în trei rânduri de calcul. Vom scrie fiecare condiție în două forme: una cu pante, scurtă și ușor de reținut, dar care nu se aplică dreptelor verticale, și una cu coeficienții ecuației generale, ceva mai lungă, dar valabilă fără nicio excepție. Cine reține doar prima formă va greși exact la exercițiul în care apare o dreaptă de ecuație $x = 3$ — iar acela apare des.

Ce vei învăța

Vei ști condiția de paralelism a două drepte, scrisă prin pante și prin coeficienți.
Vei ști condiția de perpendicularitate și vei putea demonstra relația $m_{1} m_{2} = - 1$ .
Vei ști să tratezi corect verticalele și orizontalele, pentru care produsul pantelor nu se poate scrie.
Vei ști să scrii ecuația paralelei și a perpendicularei duse printr-un punct dat la o dreaptă dată.
Vei ști să folosești aceste condiții în figuri: mediatoarea unui segment, înălțimile unui triunghi, verificarea unui dreptunghi.
Vei ști să determini un parametru din condiția de paralelism sau de perpendicularitate.

Hai să descoperim împreună

1. Paralelism: aceeași direcție, deci aceeași pantă

Două drepte sunt paralele dacă au aceeași direcție. Cum panta este tocmai măsura numerică a direcției — tangenta unghiului $α \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ pe care dreapta îl face cu semiaxa pozitivă $O x$ — răspunsul se ghicește. Iată-l demonstrat.

Teoremă. Fie $d_{1} : y = m_{1} x + n_{1}$ și $d_{2} : y = m_{2} x + n_{2}$ două drepte neverticale. Atunci $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt paralele sau confundate dacă și numai dacă $m_{1} = m_{2}$ . Ele sunt paralele distincte dacă, în plus, $n_{1} \neq = n_{2}$ .

Demonstrație. Un punct comun are abscisa dată de $m_{1} x + n_{1} = m_{2} x + n_{2}$ , adică de $(m_{1} - m_{2}) x = n_{2} - n_{1}$ . Dacă $m_{1} \neq = m_{2}$ , ecuația are soluție unică, deci dreptele au exact un punct comun: sunt concurente. Dacă $m_{1} = m_{2}$ , ecuația devine $0 = n_{2} - n_{1}$ : fără soluție când $n_{1} \neq = n_{2}$ (drepte paralele distincte) și cu o infinitate de soluții când $n_{1} = n_{2}$ (aceeași dreaptă). $■$

Observă că egalitatea pantelor nu separă singură paralelismul de coincidență — la fel ca la poziția relativă a două drepte, ai nevoie de a doua informație, cea despre termenul liber.

2. Criteriul general, prin coeficienți

Pentru dreptele scrise sub forma generală

$d_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0, d_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0,$

condiția se scrie fără nicio restricție:

$d_{1} ∥ d_{2} (sau confundate) ⟺ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0.$

Este exact anularea determinantului $Δ$ din lecția precedentă, adică negarea concurenței — și tocmai de aceea criteriul acesta e cel bun: nu presupune că vreo dreaptă ar avea pantă. Pentru drepte neverticale, cele două criterii spun același lucru: cu formula $m = - \frac{a}{b}$ de la ecuația generală a dreptei, din $m_{1} = - \frac{a _{1}}{b _{1}}$ și $m_{2} = - \frac{a _{2}}{b _{2}}$ obținem

$m_{1} - m_{2} = \frac{a _{2} b _{1} - a _{1} b _{2}}{b _{1} b _{2}},$

deci $m_{1} = m_{2}$ exact când $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ .

Cum separi cazurile. Dacă $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , dreptele sunt paralele distincte când cel puțin unul dintre determinanții $Δ_{1}$ și $Δ_{2}$ ai lecției precedente este nenul, și confundate când amândoi se anulează. În practică e mai rapid să iei un punct al primei drepte și să verifici dacă el aparține și celei de-a doua.

3. Verticalele — ce se schimbă și ce nu

O dreaptă verticală, $x = k$ , nu are pantă: nu există $tg 9 0^{\circ}$ . Prin urmare:

două verticale sunt întotdeauna paralele (sau confundate, dacă $k_{1} = k_{2}$ ), iar criteriul cu coeficienți o confirmă: $1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = 0$ ;
o verticală nu este niciodată paralelă cu o dreaptă care are pantă; într-adevăr, pentru $x = k$ și $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ cu $b_{2} \neq = 0$ , avem $1 \cdot b_{2} - a_{2} \cdot 0 = b_{2} \neq = 0$ ;
două orizontale, $y = h_{1}$ și $y = h_{2}$ , sunt paralele (ambele au panta $0$ ).

Merită înțeles de ce apare această excepție și de ce nu e o scăpare a teoriei. Panta este tangenta unghiului pe care dreapta îl face cu axa $O x$ , iar la o verticală acest unghi este de $9 0^{\circ}$ , singura valoare din intervalul $[0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ pentru care tangenta nu există. Nu e vorba, așadar, de o „pantă foarte mare", ci de o valoare care lipsește. De aceea nici formularea „panta este infinită" nu e acceptată: infinitul nu e un număr real cu care să înmulțești, iar o egalitate de forma $m_{1} m_{2} = - 1$ nici nu s-ar putea scrie cu el.

Regula de scriere, valabilă în tot capitolul: orice rezolvare care pornește de la pante trebuie să spună, într-o propoziție, ce se întâmplă dacă una dintre drepte este verticală. Nu e o formalitate de dascăl: baremele cer cazul, iar la un enunț cu parametru verticala apare adesea chiar pentru valoarea „interesantă" a parametrului.

4. Perpendicularitatea prin pante: $m_{1} m_{2} = - 1$

Teoremă. Două drepte neverticale, de pante $m_{1}$ și $m_{2}$ , sunt perpendiculare dacă și numai dacă $m_{1} m_{2} = - 1$ .

Demonstrație. Perpendicularitatea nu se schimbă dacă translatăm dreptele, iar o dreaptă translatată își păstrează panta. Putem deci presupune că amândouă trec prin origine: $d_{1} : y = m_{1} x$ și $d_{2} : y = m_{2} x$ . Luăm pe ele punctele $A (1, m_{1}) \in d_{1}$ și $B (1, m_{2}) \in d_{2}$ , amândouă distincte de $O$ . Cu formula distanței dintre două puncte, învățată la reperul cartezian,

$O A^{2} = 1 + m_{1}^{2}, O B^{2} = 1 + m_{2}^{2}, A B^{2} = (m_{2} - m_{1})^{2} .$

Unghiul din $O$ este drept dacă și numai dacă triunghiul $O A B$ verifică relația lui Pitagora, adică $O A^{2} + O B^{2} = A B^{2}$ :

$2 + m_{1}^{2} + m_{2}^{2} = m_{1}^{2} - 2 m_{1} m_{2} + m_{2}^{2} ⟺ 2 = - 2 m_{1} m_{2} ⟺ m_{1} m_{2} = - 1. ■$

Demonstrația merge în ambele sensuri deodată, pentru că folosește și teorema lui Pitagora, și reciproca ei. Reține și forma practică: panta perpendicularei este opusul inversului pantei, $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ . Din $m_{1} = \frac{3}{4}$ obții $m_{2} = - \frac{4}{3}$ ; din $m_{1} = - 2$ obții $m_{2} = \frac{1}{2}$ .

Relația spune, de fapt, două lucruri deodată, și amândouă se văd pe desen. Întâi, produsul fiind negativ, pantele au semne contrare: dacă una dintre drepte urcă, cealaltă coboară — două drepte care urcă amândouă nu se pot tăia în unghi drept. Apoi, produsul modulelor fiind $1$ , cu cât una e mai abruptă, cu atât cealaltă e mai lină: unei pante de $5$ îi corespunde una de $- \frac{1}{5}$ , iar unei pante de $- \frac{1}{10}$ îi corespunde una de $10$ . Cele două observații sunt și un control rapid al rezultatului: dacă ai obținut o pantă de același semn cu cea inițială, ai greșit sigur.

Un caz merită spus separat: dacă $m_{1} = 0$ , adică dreapta e orizontală, relația $m_{1} m_{2} = - 1$ nu poate fi îndeplinită de niciun număr. Nu e o contradicție, ci confirmarea că perpendiculara pe o orizontală este verticală — iar verticalele n-au pantă.

m₁ · m₂ = −1: 2 · (−1/2) = −1

5. Criteriul general al perpendicularității

Pentru drepte scrise sub forma generală, condiția este

$d_{1} ⊥ d_{2} ⟺ a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0.$

Se obține din cea cu pante, când amândouă există: $m_{1} m_{2} = \frac{a _{1} a _{2}}{b _{1} b _{2}} = - 1$ înseamnă $a_{1} a_{2} = - b_{1} b_{2}$ , adică tocmai $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ . Avantajul e că noua formă nu are numitori, deci rămâne valabilă și acolo unde pantele lipsesc:

pentru o verticală $x = k$ (coeficienți $1$ și $0$ ) și o orizontală $y = h$ (coeficienți $0$ și $1$ ) obținem $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ ✓ — perpendiculare, așa cum și trebuie;
pentru o verticală și o dreaptă oblică $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ cu $a_{2} \neq = 0$ și $b_{2} \neq = 0$ obținem $a_{2} \neq = 0$ , deci nu sunt perpendiculare ✓.

Tabloul complet al celor două condiții — de reținut ca atare:

Relația	prin pante (doar drepte neverticale)	prin coeficienți (general)
paralele sau confundate	$m_{1} = m_{2}$	$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$
perpendiculare	$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$	$a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$

Iar în cuvinte, pentru cazurile în care coloana din stânga tace: o verticală e paralelă cu altă verticală și perpendiculară pe orice orizontală; o verticală și o orizontală sunt întotdeauna perpendiculare, deși produsul pantelor lor nu se poate scrie.

6. Paralela și perpendiculara printr-un punct dat

Aceasta este cererea numărul unu a capitolului, iar rețeta are doi pași:

afli panta cerută din condiția impusă — aceeași pantă pentru paralelă, opusul inversului pentru perpendiculară;
scrii ecuația dreptei prin punct, cu panta dată, adică $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , și aduci rezultatul la forma generală.

Prin orice punct al planului trece exact o paralelă și exact o perpendiculară la o dreaptă dată — de aceea răspunsul e mereu unic, iar un exercițiu care produce două ecuații diferite ascunde o greșeală de calcul.

Cele două situații fără pantă se rezolvă direct, fără formulă: perpendiculara dusă prin $M (x_{0}, y_{0})$ pe o orizontală $y = h$ este verticala $x = x_{0}$ , iar perpendiculara pe o verticală $x = k$ este orizontala $y = y_{0}$ . Paralela prin $M$ la verticala $x = k$ este $x = x_{0}$ .

Scurtătura care sare peste pante. Dacă dreapta dată e deja sub forma generală, poți lucra numai cu coeficienți, iar rezolvarea devine mecanică și, mai important, nu are cazuri speciale. Orice paralelă la $d : a x + b y + c = 0$ are aceiași coeficienți pentru $x$ și pentru $y$ , deci ecuația ei este $a x + b y + k = 0$ ; numărul $k$ se află impunând trecerea prin punctul dat. Orice perpendiculară pe $d$ are ecuația $b x - a y + k = 0$ — coeficienții se interschimbă și unuia dintre ei i se schimbă semnul —, pentru că atunci $a \cdot b + b \cdot (- a) = 0$ , adică exact criteriul de perpendicularitate.

Pentru $d : 3 x - 4 y + 5 = 0$ și punctul $A (2, - 1)$ , scurtătura dă imediat: paralela este $3 x - 4 y + k = 0$ cu $6 + 4 + k = 0$ , deci $k = - 10$ ; perpendiculara este $- 4 x - 3 y + k = 0$ , iar condiția $- 8 + 3 + k = 0$ dă $k = 5$ , adică, după înmulțirea cu $- 1$ , tot dreapta $4 x + 3 y - 5 = 0$ . Metoda merită exersată: la o dreaptă verticală sau orizontală funcționează fără nicio adaptare, tocmai pentru că nu pomenește niciodată vreo pantă.

7. Trei figuri clasice

Mediatoarea unui segment $A B$ este perpendiculara dusă prin mijlocul lui $A B$ . Deci: calculezi mijlocul, calculezi panta lui $A B$ , iei opusul inversului și scrii ecuația prin mijloc cu panta găsită. Proprietatea ei — punctele mediatoarei sunt egal depărtate de $A$ și de $B$ — dă și verificarea: alegi un punct oarecare de pe dreapta obținută și compari cele două distanțe.

Înălțimea dintr-un vârf al unui triunghi este perpendiculara dusă din acel vârf pe latura opusă. Cu trei asemenea calcule obții cele trei înălțimi; ele se întâlnesc într-un punct, ortocentrul, iar concurența lor este o verificare excelentă a calculelor tale — dacă a treia înălțime nu trece prin punctul găsit din primele două, ai greșit undeva.

Patrulaterele se recunosc tot de aici: dacă laturile opuse sunt paralele două câte două, patrulaterul e paralelogram; dacă, în plus, două laturi vecine sunt perpendiculare, e dreptunghi. Ordinea în care se verifică lucrurile contează: întâi paralelismul perechilor de laturi opuse, apoi unghiul dintre două laturi vecine. O singură pereche de laturi paralele nu face un paralelogram, iar patru vârfuri luate în altă ordine decât cea de pe contur pot da un patrulater „încrucișat", despre care afirmațiile de mai sus nu mai spun nimic. De aceea, la orice problemă cu patru puncte, primul lucru de făcut este să le așezi mintal pe contur, în ordinea $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Merită observat și de ce astfel de verificări sunt convingătoare: fiecare dintre ele înseamnă o singură egalitate numerică, verificată exact, nu o măsurătoare cu rigla. Aceasta e forța metodei analitice — ea transformă afirmații despre figuri în afirmații despre numere, iar despre numere se poate decide fără nicio urmă de îndoială.

Cele trei înălțimi se întâlnesc în ortocentrul H

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Paralela printr-un punct

Scrieți ecuația dreptei care trece prin $A (2, - 1)$ și este paralelă cu $d : 3 x - 4 y + 5 = 0$ .

Rezolvare. Din $3 x - 4 y + 5 = 0$ scoatem $y = \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$ , deci $m_{d} = \frac{3}{4}$ . Paralela are aceeași pantă, iar ecuația prin punct cu panta dată este

$y + 1 = \frac{3}{4} (x - 2) ⟺ 4 y + 4 = 3 x - 6 ⟺ 3 x - 4 y - 10 = 0.$

Verificare. Punctul $A$ aparține noii drepte: $3 \cdot 2 - 4 \cdot (- 1) - 10 = 6 + 4 - 10 = 0$ ✓. Criteriul cu coeficienți: $3 \cdot (- 4) - 3 \cdot (- 4) = 0$ ✓. Dreptele sunt distincte, pentru că $A$ nu aparține lui $d$ : $6 + 4 + 5 = 15 \neq = 0$ .

Exemplul 2 — Perpendiculara printr-un punct

Scrieți ecuația dreptei care trece prin $A (2, - 1)$ și este perpendiculară pe $d : 3 x - 4 y + 5 = 0$ , apoi determinați piciorul perpendicularei.

Rezolvare. Panta cerută este $m = - \frac{1}{3/4} = - \frac{4}{3}$ , deci

$y + 1 = - \frac{4}{3} (x - 2) ⟺ 3 y + 3 = - 4 x + 8 ⟺ 4 x + 3 y - 5 = 0.$

Verificare: $A$ îi aparține ( $8 - 3 - 5 = 0$ ✓), iar criteriul cu coeficienți dă $3 \cdot 4 + (- 4) \cdot 3 = 0$ ✓. Controlul prin pante: $\frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3}) = - 1$ ✓.

Piciorul perpendicularei este punctul comun al celor două drepte. Din sistemul $3 x - 4 y = - 5$ , $4 x + 3 y = 5$ obținem $Δ = 9 + 16 = 25$ , $Δ_{1} = - 15 + 20 = 5$ , $Δ_{2} = 15 + 20 = 35$ , deci $x = \frac{1}{5}$ și $y = \frac{7}{5}$ . Piciorul este $P (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$ ; verificare în prima ecuație: $\frac{3}{5} - \frac{28}{5} + 5 = 0$ ✓.

Exemplul 3 — Mediatoarea unui segment

Scrieți ecuația mediatoarei segmentului $A B$ , unde $A (- 1, 2)$ și $B (5, 6)$ .

Rezolvare. Mijlocul segmentului este $M (\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{2 + 6}{2}) = M (2, 4)$ , iar panta dreptei $A B$ este $m_{A B} = \frac{6 - 2}{5 - ( - 1 )} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ . Mediatoarea are panta $- \frac{3}{2}$ și trece prin $M$ :

$y - 4 = - \frac{3}{2} (x - 2) ⟺ 2 y - 8 = - 3 x + 6 ⟺ 3 x + 2 y - 14 = 0.$

Verificare prin proprietatea mediatoarei. Luăm pe ea punctul $P (0, 7)$ : $P A^{2} = 1 + 25 = 26$ și $P B^{2} = 25 + 1 = 26$ , deci $P A = P B$ ✓. La fel pentru $Q (4, 1)$ : $Q A^{2} = 25 + 1 = 26$ și $Q B^{2} = 1 + 25 = 26$ ✓.

Exemplul 4 — Verticale și orizontale

a) Arătați că dreptele $x = 4$ și $y = - 3$ sunt perpendiculare. b) Scrieți ecuația perpendicularei duse prin $A (2, 5)$ pe dreapta $y = - 3$ și pe dreapta $x = 4$ .

Rezolvare. a) Scrise sub forma generală, ele sunt $1 \cdot x + 0 \cdot y - 4 = 0$ și $0 \cdot x + 1 \cdot y + 3 = 0$ , deci $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ : sunt perpendiculare. Produsul pantelor nu se poate scrie, pentru că prima dreaptă nu are pantă — motiv suficient ca să folosim mereu criteriul general.

b) Perpendiculara pe orizontala $y = - 3$ este o verticală; cea care trece prin $A (2, 5)$ este $x = 2$ . Perpendiculara pe verticala $x = 4$ este o orizontală; cea prin $A$ este $y = 5$ .

Exemplul 5 — Determinarea unui parametru

Se dau dreptele $d_{1} : m x + 3 y - 1 = 0$ și $d_{2} : 2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ , cu $m \in R$ . Determinați $m$ astfel încât dreptele să fie a) paralele; b) perpendiculare.

Rezolvare. a) Condiția $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ devine $m (m + 1) - 6 = 0$ , adică $m^{2} + m - 6 = 0$ , cu soluțiile $m_{1} = 2$ și $m_{2} = - 3$ .

Verificăm că dreptele sunt paralele distincte, nu confundate. Pentru $m = 2$ ele devin $2 x + 3 y - 1 = 0$ și $2 x + 3 y + 4 = 0$ : aceiași coeficienți, termeni liberi diferiți, deci paralele distincte ✓. Pentru $m = - 3$ ele devin $- 3 x + 3 y - 1 = 0$ și $2 x - 2 y + 4 = 0$ , adică $y = x + \frac{1}{3}$ și $y = x + 2$ — tot paralele distincte ✓.

b) Condiția $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ devine $2 m + 3 (m + 1) = 0$ , adică $5 m + 3 = 0$ și $m = - \frac{3}{5}$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră punctele $A (1, 1)$ , $B (5, 3)$ și $C (2, 6)$ . a) Scrieți ecuația dreptei $B C$ . b) Scrieți ecuația înălțimii din $A$ a triunghiului $A B C$ . c) Determinați coordonatele ortocentrului triunghiului.

Rezolvare. a) $m_{B C} = \frac{6 - 3}{2 - 5} = \frac{3}{- 3} = - 1$ , deci $y - 3 = - (x - 5)$ , adică $B C : x + y - 8 = 0$ . Verificare: $5 + 3 - 8 = 0$ ✓ și $2 + 6 - 8 = 0$ ✓.

b) Înălțimea din $A$ este perpendiculară pe $B C$ , deci are panta $- \frac{1}{- 1} = 1$ și trece prin $A (1, 1)$ : $y - 1 = 1 \cdot (x - 1)$ , adică $x - y = 0$ .

c) Mai calculăm o înălțime, de pildă cea din $B$ . Cum $m_{A C} = \frac{6 - 1}{2 - 1} = 5$ , înălțimea din $B$ are panta $- \frac{1}{5}$ și trece prin $B (5, 3)$ : $y - 3 = - \frac{1}{5} (x - 5)$ , adică $x + 5 y - 20 = 0$ . Ortocentrul este punctul comun al celor două înălțimi: din $y = x$ și $x + 5 x - 20 = 0$ obținem $x = \frac{10}{3}$ , deci $H (\frac{10}{3}, \frac{10}{3})$ .

Verificare cu a treia înălțime. $m_{A B} = \frac{3 - 1}{5 - 1} = \frac{1}{2}$ , deci înălțimea din $C$ are panta $- 2$ și ecuația $y - 6 = - 2 (x - 2)$ , adică $2 x + y - 10 = 0$ . Într-adevăr, $2 \cdot \frac{10}{3} + \frac{10}{3} - 10 = \frac{30}{3} - 10 = 0$ ✓ — cele trei înălțimi sunt concurente în $H$ .

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie condiția folosită (cu pante sau cu coeficienți) înainte de a calcula, iar la final verifică punctul dat în ecuația obținută.

1. Scrie ecuația dreptei care trece prin $A (1, 2)$ și este paralelă cu dreapta $y = 3 x - 4$ .

2. Scrie ecuația dreptei care trece prin $A (1, 2)$ și este perpendiculară pe dreapta $y = 3 x - 4$ .

3. Arată că dreptele $2 x - 5 y + 3 = 0$ și $4 x - 10 y - 1 = 0$ sunt paralele distincte.

4. Arată că dreptele $3 x + y - 2 = 0$ și $x - 3 y + 7 = 0$ sunt perpendiculare.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două drepte cu pante egale sunt întotdeauna paralele distincte."

6. Care este panta unei drepte perpendiculare pe o dreaptă de pantă $\frac{5}{2}$ ?

7. Scrie ecuația perpendicularei duse prin $A (1, 4)$ pe dreapta $x = 3$ .

8. Scrie ecuația paralelei duse prin $B (3, 7)$ la dreapta $y = - 2$ .

9. Determină $m \in R$ pentru care dreptele $(m - 1) x + 2 y - 3 = 0$ și $4 x + y + 1 = 0$ sunt paralele.

10. Determină $m \in R$ pentru care dreptele $(m - 1) x + 2 y - 3 = 0$ și $4 x + y + 1 = 0$ sunt perpendiculare.

11. Scrie ecuația mediatoarei segmentului $M N$ , unde $M (0, 1)$ și $N (4, 5)$ .

12. (Problemă aplicată.) Pe planul unui parc, aleea principală are ecuația $x + 2 y - 10 = 0$ . O bancă se află în punctul $B (4, 1)$ . Scrie ecuația potecii care pleacă de la bancă și întâlnește aleea sub unghi drept.

13. În triunghiul cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ și $C (0, 3)$ , scrie ecuația înălțimii din $A$ .

14. Arată că patrulaterul cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (4, 2)$ , $C (3, 4)$ și $D (- 1, 2)$ este dreptunghi.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră dreapta $d : 2 x - y + 1 = 0$ și punctul $A (3, 1)$ . a) Scrie ecuația paralelei prin $A$ la $d$ . b) Scrie ecuația perpendicularei din $A$ pe $d$ . c) Determină coordonatele punctului în care perpendiculara din $A$ taie dreapta $d$ .

16. Determină $a \in R$ pentru care dreapta $a x + 3 y - 1 = 0$ este perpendiculară pe dreapta $2 x - y + 5 = 0$ .

17. Arată că dreptele $x = 5$ și $y = - 1$ sunt perpendiculare și explică de ce criteriul cu pante nu poate fi folosit aici.

18. (Provocare.) Fie $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ trei drepte cu $d_{1} ⊥ d_{2}$ și $d_{2} ⊥ d_{3}$ . Folosind criteriul cu coeficienți, arată că $d_{1}$ și $d_{3}$ sunt paralele sau confundate.

Răspunsuri și explicații

1. Panta cerută este $3$ , deci $y - 2 = 3 (x - 1)$ , adică $y = 3 x - 1$ sau $3 x - y - 1 = 0$ . Verificare: $3 - 2 - 1 = 0$ ✓.

2. Panta cerută este $- \frac{1}{3}$ , deci $y - 2 = - \frac{1}{3} (x - 1)$ , adică $x + 3 y - 7 = 0$ . Verificare: $1 + 6 - 7 = 0$ ✓ și $3 \cdot (- \frac{1}{3}) = - 1$ ✓.

3. $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 2 \cdot (- 10) - 4 \cdot (- 5) = - 20 + 20 = 0$ , deci sunt paralele. Nu sunt confundate: punctul $(1, 1)$ verifică prima ecuație ( $2 - 5 + 3 = 0$ ), dar nu și pe a doua ( $4 - 10 - 1 = - 7 \neq = 0$ ).

4. $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot (- 3) = 0$ , deci sunt perpendiculare. Control prin pante: $m_{1} = - 3$ , $m_{2} = \frac{1}{3}$ , iar $- 3 \cdot \frac{1}{3} = - 1$ ✓.

5. Fals. Pante egale înseamnă paralele sau confundate; dreptele $y = 2 x + 1$ și $2 y = 4 x + 2$ au aceeași pantă și sunt una și aceeași dreaptă.

6. $- \frac{1}{5/2} = - \frac{2}{5}$ .

7. Dreapta $x = 3$ este verticală, deci perpendiculara pe ea este orizontală: $y = 4$ .

8. Dreapta $y = - 2$ este orizontală, deci paralela prin $B (3, 7)$ este orizontala $y = 7$ .

9. Condiția $(m - 1) \cdot 1 - 4 \cdot 2 = 0$ dă $m - 1 = 8$ , deci $m = 9$ . Dreptele devin $8 x + 2 y - 3 = 0$ și $4 x + y + 1 = 0$ ; nu sunt confundate, pentru că $(0, - 1)$ verifică a doua ecuație, dar nu și pe prima ( $- 2 - 3 \neq = 0$ ).

10. Condiția $(m - 1) \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 0$ dă $4 m - 2 = 0$ , deci $m = \frac{1}{2}$ .

11. Mijlocul este $P (2, 3)$ , iar $m_{M N} = \frac{5 - 1}{4 - 0} = 1$ , deci mediatoarea are panta $- 1$ : $y - 3 = - (x - 2)$ , adică $x + y - 5 = 0$ . Verificare cu punctul $(0, 5)$ : distanțele la $M$ și la $N$ au pătratele $16$ și $16$ ✓.

12. Aleea are panta $- \frac{1}{2}$ , deci poteca are panta $2$ : $y - 1 = 2 (x - 4)$ , adică $2 x - y - 7 = 0$ . Verificare: $8 - 1 - 7 = 0$ ✓ și $1 \cdot 2 + 2 \cdot (- 1) = 0$ ✓.

13. $m_{B C} = \frac{3 - 0}{0 - 4} = - \frac{3}{4}$ , deci înălțimea din $A$ are panta $\frac{4}{3}$ și trece prin origine: $y = \frac{4}{3} x$ , adică $4 x - 3 y = 0$ .

14. $m_{A B} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{2}$ și $m_{D C} = \frac{4 - 2}{3 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}$ , deci $A B ∥ D C$ ; $m_{A D} = \frac{2 - 0}{- 1 - 0} = - 2$ și $m_{B C} = \frac{4 - 2}{3 - 4} = - 2$ , deci $A D ∥ B C$ : patrulaterul e paralelogram. Cum $m_{A B} \cdot m_{A D} = \frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1$ , laturile vecine sunt perpendiculare, deci e dreptunghi.

15. a) Panta lui $d$ este $2$ , deci paralela este $y - 1 = 2 (x - 3)$ , adică $2 x - y - 5 = 0$ . b) Panta perpendicularei este $- \frac{1}{2}$ , deci $y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 3)$ , adică $x + 2 y - 5 = 0$ . c) Din $y = 2 x + 1$ și $x + 2 (2 x + 1) - 5 = 0$ obținem $5 x = 3$ , deci $x = \frac{3}{5}$ și $y = \frac{11}{5}$ ; punctul este $(\frac{3}{5}, \frac{11}{5})$ .

16. Condiția $a \cdot 2 + 3 \cdot (- 1) = 0$ dă $a = \frac{3}{2}$ .

17. Sub forma generală ele sunt $x - 5 = 0$ și $y + 1 = 0$ , deci $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ : perpendiculare. Criteriul cu pante nu se poate folosi, pentru că dreapta $x = 5$ nu are pantă.

18. Din ipoteze avem $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ și $a_{3} a_{2} + b_{3} b_{2} = 0$ . Înmulțim prima relație cu $b_{3}$ , pe a doua cu $b_{1}$ și le scădem: $a_{2} (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) = 0$ . Dacă $a_{2} \neq = 0$ , rezultă $a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} = 0$ , adică exact condiția de paralelism dintre $d_{1}$ și $d_{3}$ . Dacă $a_{2} = 0$ , atunci $b_{2} \neq = 0$ , iar cele două ipoteze dau $b_{1} = 0$ și $b_{3} = 0$ , deci $a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} = 0$ tot se verifică. În ambele cazuri, $d_{1}$ și $d_{3}$ sunt paralele sau confundate.

De reținut

Paralelism: $m_{1} = m_{2}$ pentru drepte neverticale; în general, $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ . Egalitatea nu separă paralelele distincte de dreptele confundate — pentru asta verifici un punct.
Perpendicularitate: $m_{1} m_{2} = - 1$ pentru drepte neverticale; în general, $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ . Panta perpendicularei este opusul inversului.
Verticalele: $x = k$ nu are pantă. Este paralelă doar cu alte verticale și perpendiculară pe orice orizontală, iar criteriul cu coeficienți spune corect ambele lucruri.
Rețeta paralelei și a perpendicularei printr-un punct: afli panta din condiție, apoi scrii $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ . Răspunsul este întotdeauna unic.
Figurile clasice: mediatoarea = perpendiculara prin mijlocul segmentului; înălțimea = perpendiculara din vârf pe latura opusă; dreptunghiul = paralelogram cu două laturi vecine perpendiculare.

Greșeli frecvente

„Perpendicular înseamnă pante opuse." Nu: opusul lui $2$ este $- 2$ , iar $2 \cdot (- 2) = - 4 \neq = - 1$ . Panta perpendicularei este opusul inversului, adică $- \frac{1}{2}$ .
Uitarea verticalei. Din $m_{1} m_{2} = - 1$ nu se poate obține perpendiculara pe o orizontală. Acolo răspunsul este o verticală, scrisă direct: $x = x_{0}$ .
Confuzia paralel–confundat. Condiția $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ acoperă ambele situații; dacă enunțul cere „paralele", verifică și că dreptele sunt distincte.
Aplicarea criteriului pe forme diferite. Coeficienții $a$ și $b$ se citesc numai din forma generală $a x + b y + c = 0$ . Dintr-o ecuație scrisă $y = m x + n$ se citește panta, nu coeficienții.
Verificarea uitată. Punctul dat trebuie să verifice ecuația găsită. E o singură linie de calcul și prinde majoritatea greșelilor de semn.

Aplică acasă

Colțul camerei. Alege un colț de cameră și măsoară, pe podea, coordonatele a câte două puncte de pe fiecare dintre cele două laturi (folosește un metru și un punct de origine ales de tine). Scrie ecuațiile celor două drepte și verifică, cu $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}$ , cât de aproape de zero este rezultatul.
Mediatoarea pe hârtie. Desenează două puncte pe o foaie cu pătrățele, construiește mediatoarea prin îndoirea foii astfel încât punctele să se suprapună, apoi calculează ecuația ei. Compară dreapta calculată cu urma îndoiturii.
Vânătoarea de dreptunghiuri. Alege patru puncte cu coordonate întregi și verifică, doar cu cele două criterii, dacă formează un paralelogram, un dreptunghi sau niciuna dintre cele două. Încearcă apoi să modifici un singur vârf ca să obții un dreptunghi.

Pentru părinți și profesori

Lecția conține două formule scurte și o mulțime de ocazii de a le aplica greșit. Cea mai frecventă greșeală nu e de calcul, ci de citire: elevul ia coeficienții $a$ și $b$ dintr-o ecuație scrisă sub formă explicită, unde ei nu se află. A doua greșeală, la fel de răspândită, este confundarea opusului cu inversul.

De verificat în caiet: (1) condiția folosită e scrisă înainte de calcul; (2) panta se citește din forma potrivită a ecuației; (3) la exercițiile cu „paralele" se verifică și că dreptele sunt distincte; (4) punctul dat e înlocuit în ecuația finală; (5) cazul verticalei apare, măcar într-o propoziție, acolo unde poate apărea.

Întrebări de control: „Care e panta unei drepte perpendiculare pe una de pantă $\frac{2}{3}$ ?", „Ce dreaptă e perpendiculară pe $y = 5$ ?", „Două drepte cu aceeași pantă pot avea puncte comune?". Semn că a înțeles: la o dreaptă dată prin ecuație generală, scrie imediat perpendiculara prin schimbarea și interschimbarea coeficienților, apoi ajustează termenul liber din condiția de trecere prin punct.

La BAC M1, tema apare aproape la fiecare variantă cu geometrie analitică: ecuația unei paralele sau a unei perpendiculare printr-un punct, înălțimea unui triunghi, mediatoarea unei laturi, determinarea unui parametru dintr-o condiție de perpendicularitate.

Întrebări frecvente

Când sunt două drepte paralele? Când au aceeași direcție. Practic: dacă amândouă au pantă, sunt paralele sau confundate exact când pantele sunt egale; în general, condiția este $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , scrisă cu coeficienții din forma generală.

Când sunt două drepte perpendiculare? Când produsul pantelor este $- 1$ , dacă amândouă au pantă. Condiția generală, valabilă și pentru verticale, este $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .

Cum aflu panta perpendicularei pe o dreaptă dată? Iei opusul inversului pantei: din $m$ obții $- \frac{1}{m}$ . De pildă, perpendiculara pe o dreaptă de pantă $\frac{3}{5}$ are panta $- \frac{5}{3}$ . Dacă dreapta dată e orizontală, perpendiculara e verticală și nu are pantă.

Ce fac dacă una dintre drepte este verticală? Folosești criteriul cu coeficienți sau răspunzi direct: o verticală e paralelă doar cu verticalele și perpendiculară pe orizontale. Nu scrie niciodată „panta este infinită" — panta unei verticale nu este definită.

Cum scriu ecuația mediatoarei unui segment? Calculezi mijlocul segmentului, calculezi panta segmentului, iei opusul inversului ei și scrii ecuația dreptei prin mijloc cu panta obținută. Verificarea se face arătând că un punct al dreptei este egal depărtat de capetele segmentului.

Cum scriu ecuația unei înălțimi într-un triunghi dat prin coordonate? Înălțimea din $A$ este perpendiculara din $A$ pe $B C$ : calculezi panta lui $B C$ , iei opusul inversului și scrii ecuația prin $A$ . Cele trei înălțimi se întâlnesc în ortocentru, ceea ce îți dă și o verificare a calculelor.

Cum determin un parametru din condiția de perpendicularitate? Scrii ambele drepte sub forma generală, impui $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ și rezolvi ecuația în parametru. La paralelism, ecuația este $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ și, de obicei, de gradul al doilea — deci poate avea două soluții, pe care le verifici pe rând.

Ce apare la Bacalaureat M1 din această lecție? Cel mai des: ecuația paralelei sau a perpendicularei printr-un punct, înălțimea unui triunghi cu vârfuri date prin coordonate și determinarea unui parametru dintr-o condiție de paralelism sau de perpendicularitate.