Parte stabilă și lege indusă: pe scurt

O submulțime $H$ a lui $M$ se numește parte stabilă în raport cu legea $\ast$ dacă $x\ast y\in H$ pentru orice $x,y\in H$ — compunerea a două elemente din $H$ nu iese niciodată din $H$. Atunci restricția lui $\ast$ la $H\times H$ este ea însăși lege de compoziție pe $H$ și se numește legea indusă; se notează cu același semn, fiindcă regula de calcul nu se schimbă, ci doar mulțimea.

Demonstrația are trei pași: scrii forma generală a elementelor lui $H$ (de pildă $x=2a$, sau $x>14$, sau $x=a+b\sqrt{2}$), calculezi $x\ast y$ și îl aduci la aceeași formă, apoi tragi concluzia explicit. Respingerea cere un singur contraexemplu complet calculat. Verdictul se dă mereu în raport cu o lege anume: numerele impare sunt parte stabilă față de înmulțire, dar nu față de adunare.

Pe o mulțime finită totul devine vizual: $H$ este parte stabilă exact când sub-tabla formată din liniile și coloanele elementelor lui $H$ nu conține niciun element străin. La intervale se lucrează cu forma factorizată: din $x,y>a$ rezultă $(x-a)(y-a)>0$, deci $(a,+\infty )$ este parte stabilă. Intersecția a două părți stabile este parte stabilă; reuniunea, în general, nu. Legea indusă moștenește asociativitatea și comutativitatea, dar nu elementul neutru.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre mulțimile de mai jos nu este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu înmulțirea?

   • a) numerele pare
   • b) numerele impare
   • c) numerele de forma $4k+2$, cu $k\in \mathbb{Z}$
   • d) $\{-1,1\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) numerele de forma $4k+2$, cu $k\in \mathbb{Z}$

   Contraexemplul se scrie într-un rând: $2\cdot 2=4$, iar $4$ nu este de forma $4k+2$. În general $(4a+2)(4b+2)=4(4ab+2a+2b+1)$, deci produsul e mereu multiplu de $4$. Celelalte trei sunt stabile: produsul a două numere pare este par, al două impare este impar, iar pe $\{-1,1\}$ toate cele patru produse rămân în mulțime.

2. Fie $H_1$ și $H_2$ două părți stabile ale lui $M$ în raport cu $\ast$. Care afirmație este adevărată?

   • a) numai $H_1\cap H_2$ este parte stabilă
   • b) numai $H_1\cup H_2$ este parte stabilă
   • c) și $H_1\cup H_2$, și $H_1\cap H_2$ sunt părți stabile
   • d) niciuna dintre ele nu este, în general, parte stabilă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) numai $H_1\cap H_2$ este parte stabilă

   La intersecție, $x,y\in H_1\cap H_2$ dau $x\ast y\in H_1$ și $x\ast y\in H_2$, deci $x\ast y\in H_1\cap H_2$. La reuniune, cele două elemente pot veni din mulțimi diferite și nicio ipoteză nu ne mai apără: în $(\mathbb{Z},+)$, mulțimile $2\mathbb{Z}$ și $3\mathbb{Z}$ sunt stabile, dar $2+3=5$ iese din reuniunea lor.

3. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$. Care mulțime nu este parte stabilă?

   • a) $(14,+\infty )$
   • b) $[14,+\infty )$
   • c) $\{14\}$
   • d) $(-\infty ,14)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $(-\infty ,14)$

   Dacă $x<14$ și $y<14$, ambele paranteze sunt negative, produsul lor este pozitiv și $x\ast y>14$: rezultatul sare peste capătul intervalului. Contraexemplul concret: $13\ast 13=(-1)(-1)+14=15\notin (-\infty ,14)$. Primele două sunt stabile pentru că produsul a două numere de același semn e pozitiv, iar $\{14\}$ este stabilă fiindcă $14\ast 14=14$.