Parte stabilă și legea de compoziție indusă

A treia noțiune a algebrei de clasa a XII-a, partea stabilă, răspunde la o întrebare foarte practică: dacă o operație e definită pe o mulțime mare, ce se întâmplă când ne mutăm într-o bucată mai mică din ea? Uneori bucata „se descurcă singură": aduni două numere pare și obții tot un număr par, oricât ai încerca. Alteori nu: aduni două numere impare și rezultatul e par, deci ai ieșit din bucată de la primul pas. Partea stabilă este submulțimea din care operația nu te scoate niciodată: dacă $H$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu $\ast$, atunci compusul oricăror două elemente din $H$ rămâne tot în $H$.

Distincția aceasta nu e un moft de vocabular. Toată algebra anului se construiește pe submulțimi alese cu grijă — intervale, mulțimi de matrice de o formă anume, mulțimi de funcții — iar prima cerință a oricărei probleme de acest fel, la clasă și în Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1, este exact aceasta: arătați că mulțimea dată este parte stabilă. Fără ea, nici măcar nu are sens să vorbim despre proprietățile operației pe acea submulțime.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești partea stabilă a unei mulțimi în raport cu o lege de compoziție și să explici de ce condiția se cere pentru orice pereche de elemente.
• Vei ști ce este legea indusă și de ce ea există numai atunci când submulțimea e parte stabilă.
• Vei ști să aplici rețeta în trei pași pentru a demonstra că o mulțime e parte stabilă, și să respingi cu un singur contraexemplu.
• Vei ști să recunoști părțile stabile direct în tabla operației, ca sub-tablă închegată.
• Vei ști să tratezi cazul cel mai frecvent la examen: intervalele, față de legi date prin formule cu forma factorizată.
• Vei ști că intersecția a două părți stabile e parte stabilă, dar reuniunea lor, în general, nu.

Hai să descoperim împreună

1. O submulțime care se descurcă singură

Pornim de la ceva concret. Pe $\mathbb{Z}$ avem adunarea. Luăm din $\mathbb{Z}$ submulțimea numerelor pare și încercăm să ieșim din ea adunând: $2+4=6$, $-8+10=2$, $0+0=0$. Nu reușim niciodată, și nu din întâmplare: suma $2a+2b=2(a+b)$ este mereu un număr par. Submulțimea numerelor pare „se descurcă singură" cu adunarea.

Încercăm acum cu numerele impare: $3+5=8$. Am ieșit din prima încercare. Aceeași mulțime mare, aceeași operație, dar submulțimi cu comportamente opuse. Noțiunea care le deosebește are un nume precis.

Parte stabilă a mulțimii $M$ în raport cu $\ast$ se numește orice submulțime $H$ a lui $M$ cu proprietatea că, oricare ar fi elementele $x$ și $y$ din $H$, compusul lor $x\ast y$ aparține tot lui $H$; pe scurt, compunerea a două elemente din $H$ nu scoate niciodată din $H$.

Scris simbolic:

$$H\subseteq M\text{ este parte stabila˘}⟺\forall x,y\in H,x\ast y\in H.$$

Două precizări de limbaj, ca să nu apară confuzii. Prima: verdictul se dă întotdeauna în raport cu o lege anume. Mulțimea numerelor impare nu e parte stabilă față de adunare, dar este parte stabilă față de înmulțire, fiindcă produsul a două numere impare este impar. A doua: în manualele străine se spune uneori „mulțime închisă față de operație"; în programa românească și în subiectele de examen termenul consacrat este parte stabilă, iar acesta e cel pe care îl folosim.

Observă și un caz limită: mulțimea vidă îndeplinește condiția din definiție, pentru că nu are perechi care s-o încalce. Este adevărat, dar fără interes; în toate problemele, submulțimile cu care lucrăm sunt nevide.

2. Ce este legea de compoziție indusă?

Dacă $H$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu $\ast$, atunci putem privi operația numai pe $H$: luăm două elemente din $H$, le compunem cu regula veche și obținem, garantat, un element din $H$. Am construit astfel o nouă lege de compoziție, definită pe $H$.

Această nouă lege se numește legea indusă pe $H$ de legea $\ast$ și este, formal, restricția funcției $\ast$ la $H\times H$:

$$\ast :H\times H\to H,(x,y)\mapsto x\ast y.$$

Se notează cu același semn, $\ast$, pentru că regula de calcul nu se schimbă; singurul lucru care se schimbă este mulțimea pe care lucrăm. Iar aici stă tot rostul condiției de parte stabilă: dacă $H$ nu ar fi parte stabilă, restricția lui $\ast$ la $H\times H$ ar avea valori care ies din $H$, deci nu ar fi lege de compoziție pe $H$ — exact motivul de respingere pe care l-ai văzut la Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple.

Un exemplu care se ține minte: pe $\mathbb{Z}$, cu înmulțirea, submulțimea $H=\{-1,1\}$ este parte stabilă, pentru că $1\cdot 1=1$, $1\cdot (-1)=-1$ și $(-1)\cdot (-1)=1$. Legea indusă are tabla:

Aceeași mulțime $H$ nu este parte stabilă față de adunare: $(-1)+(-1)=-2\notin H$. Din nou, verdictul depinde de lege, nu doar de mulțime.

3. Cum arăți că o mulțime este parte stabilă?

Rețeta are trei pași și e aceeași la toate problemele, indiferent de context.

Pasul 1 — scrie forma generală a elementelor lui $H$. Aceasta e partea pe care o sar cei mai mulți. Dacă $H$ e mulțimea numerelor pare, scrii $x=2a$ și $y=2b$, cu $a,b\in \mathbb{Z}$. Dacă $H$ e un interval, scrii inegalitățile: $x>2$ și $y>2$. Dacă $H$ e mulțimea numerelor de forma $a+b\sqrt{2}$, scrii exact așa, cu $a,b\in \mathbb{Q}$.

Pasul 2 — calculează $x\ast y$ și adu-l la aceeași formă. Aici se face toată munca algebrică: desfaci, grupezi, factorizezi, până când rezultatul arată ca elementele lui $H$.

Pasul 3 — trage concluzia explicit. Scrii, cu cuvinte, că elementul obținut este de forma cerută, deci aparține lui $H$, deci $H$ este parte stabilă.

Iată rețeta la lucru. Fie $H=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ și legea de compoziție înmulțirea numerelor reale. Pasul 1: luăm $x=a+b\sqrt{2}$ și $y=c+d\sqrt{2}$, cu $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$. Pasul 2:

$$xy=(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=ac+ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2}+2bd=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.$$

Pasul 3: numerele $ac+2bd$ și $ad+bc$ sunt raționale, ca sume și produse de raționale, deci $xy$ are exact forma cerută și aparține lui $H$. Prin urmare $H$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu înmulțirea.

Și cum respingi? Cu un singur contraexemplu, scris complet: elementele alese, calculul, și constatarea că rezultatul nu e în $H$. De exemplu, mulțimea numerelor iraționale nu este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ față de înmulțire, pentru că $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, iar $2$ este rațional. Un caz, o frază, gata.

4. Care sunt părțile stabile ale mulțimilor de numere?

Adunăm într-un tabel exemplele care revin cel mai des. Verifică-le pe fiecare, mental sau pe hârtie — sunt exact tipul de întrebare care se pune la începutul unei probleme.

Câteva justificări scurte. Numerele de forma $3k+1$: produsul $(3a+1)(3b+1)=9ab+3a+3b+1=3(3ab+a+b)+1$ are aceeași formă, deci partea stabilă e la înmulțire; la adunare însă $4+7=11=3\cdot 3+2$, deci nu. Intervalul $(0,1)$: produsul a două numere din $(0,1)$ rămâne în $(0,1)$, dar $0,6+0,7=1,3$ iese. Iraționalele pică la amândouă: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ și $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$.

Iar $\mathbb{N}$, deși e parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ față de adunare și înmulțire, nu este parte stabilă față de scădere: $2-5=-3\notin \mathbb{N}$. Este exemplul din care s-a născut, istoric, nevoia numerelor negative.

Rețeta nu ține însă doar de numere. Mulțimea matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, este parte stabilă a lui ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ în raport cu înmulțirea matricelor — demonstrația ți-o lăsăm la exercițiul $14$. Exemplele de acest fel, pe matrice și pe funcții, se adună la Legi de compoziție pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții.

5. Cum se citește partea stabilă în tabla operației?

Când mulțimea e finită, verificarea devine vizuală, și asta e una dintre virtuțile tablei studiate la Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită.

Regula: $H$ este parte stabilă dacă și numai dacă toate căsuțele aflate simultan pe liniile elementelor lui $H$ și pe coloanele elementelor lui $H$ conțin numai elemente din $H$. Cu alte cuvinte, „sub-tabla" lui $H$ nu conține niciun element străin — iar acea sub-tablă este chiar tabla legii induse.

Luăm ceasul cu patru ore, adică $M=\{0,1,2,3\}$ cu $x\ast y$ = restul împărțirii lui $x+y$ la $4$:

Pentru $H=\{0,2\}$ ne uităm doar la liniile lui $0$ și $2$ și la coloanele lui $0$ și $2$. Găsim căsuțele $0,2,2,0$ — toate în $H$. Deci $H$ este parte stabilă, iar tabla legii induse este:

Pentru $H=\{0,1\}$, în schimb, căsuța de pe linia lui $1$ și coloana lui $1$ conține $2$, care nu e în $H$. Deci $\{0,1\}$ nu este parte stabilă. Verificând toate submulțimile, se constată că părțile stabile nevide ale acestei table sunt exact trei — le vei găsi singur la exercițiul $17$.

6. Cum verifici că un interval este parte stabilă?

Este cazul care apare cel mai des în subiectele de examen, iar rezolvarea lui se sprijină pe forma factorizată a legii, despre care ai citit în prima lecție a unității.

Fie pe $\mathbb{R}$ legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$, adică, scrisă factorizat, $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$. Întrebarea: este intervalul $(2,+\infty )$ parte stabilă?

Aplicăm rețeta. Pasul 1: fie $x>2$ și $y>2$. Pasul 2: atunci $x-2>0$ și $y-2>0$, deci produsul lor este strict pozitiv, iar

$$x\ast y=(x-2)(y-2)+2>0+2=2.$$

Pasul 3: rezultatul este strict mai mare decât $2$, deci aparține intervalului $(2,+\infty )$. Așadar intervalul este parte stabilă, iar pe el legea induce o lege de compoziție.

Observă cât de neputincioasă ar fi fost forma dezvoltată: din $x>2$ și $y>2$ nu se vede nimic despre semnul lui $xy-2x-2y+6$. Forma factorizată transformă problema într-o înmulțire de două numere pozitive. Metoda de a găsi numărul care se scade — aici, $2$ — se învață la Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule.

Atenție însă la o capcană: nu orice interval merge. Pentru aceeași lege, intervalul $\left(\frac{5}{2},+\infty \right)$ nu este parte stabilă. Luăm $x=y=\frac{13}{5}=2,6$; atunci

$$x\ast y={\left(\frac{3}{5}\right)}^2+2=\frac{9}{25}+2=\frac{59}{25}=2,36<\frac{5}{2}.$$

Rezultatul a ieșit din interval, deci verdictul e „nu". Morala: la intervale nu se ghicește, se calculează.

7. Ce se întâmplă la intersecție și la reuniune?

Aici avem o propoziție frumoasă și un contraexemplu la fel de instructiv.

Propoziție. Dacă $H_1$ și $H_2$ sunt părți stabile ale lui $M$ în raport cu $\ast$, atunci și $H_1\cap H_2$ este parte stabilă.

Demonstrație. Fie $x,y\in H_1\cap H_2$. Atunci $x,y\in H_1$, iar $H_1$ fiind parte stabilă, rezultă $x\ast y\in H_1$. Analog, $x,y\in H_2$ și $H_2$ fiind parte stabilă, rezultă $x\ast y\in H_2$. Prin urmare $x\ast y$ aparține ambelor mulțimi, adică intersecției lor. Cum $x$ și $y$ au fost arbitrare, $H_1\cap H_2$ este parte stabilă. $■$

Reuniunea, în schimb, nu moștenește proprietatea. Contraexemplul standard: în $(\mathbb{Z},+)$, mulțimile $2\mathbb{Z}$ și $3\mathbb{Z}$ sunt amândouă părți stabile. Reuniunea lor conține și $2$, și $3$, dar $2+3=5$, care nu e nici multiplu de $2$, nici multiplu de $3$, deci nu aparține reuniunii. Așadar $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ nu este parte stabilă.

Explicația intuitivă: intersecția cere ca rezultatul să rămână în fiecare dintre mulțimi, iar fiecare își face treaba; reuniunea permite ca cele două elemente compuse să vină din mulțimi diferite, iar atunci nicio ipoteză nu ne mai apără.

Închei cu o observație care se va dovedi utilă în toată unitatea: legea indusă moștenește automat asociativitatea și comutativitatea, dacă legea de pe $M$ le are — o egalitate adevărată pentru toate elementele lui $M$ rămâne adevărată pentru elementele lui $H$. Nu moștenește însă neapărat elementul neutru: în $(\mathbb{Z},\cdot )$ elementul neutru este $1$, dar partea stabilă $2\mathbb{Z}$ nu îl conține, iar legea indusă pe ea nu are element neutru deloc. Despre asta vei citi pe larg la Elementul neutru al unei legi de compoziție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numerele pare și numerele impare

Arătați că mulțimea numerelor pare este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu adunarea și cu înmulțirea, iar mulțimea numerelor impare nu este parte stabilă în raport cu adunarea.

Rezolvare. Fie $x=2a$ și $y=2b$, cu $a,b\in \mathbb{Z}$, două numere pare. Atunci

$$x+y=2a+2b=2(a+b),xy=2a\cdot 2b=2(2ab),$$

iar $a+b$ și $2ab$ sunt numere întregi. Ambele rezultate sunt, deci, de forma „$2$ înmulțit cu un întreg", adică numere pare. Mulțimea numerelor pare este parte stabilă în raport cu ambele operații.

Pentru numerele impare și adunare, e destul un contraexemplu: $3+5=8$, care este par, deci nu aparține mulțimii numerelor impare. (Față de înmulțire, în schimb, mulțimea numerelor impare este parte stabilă: $(2a+1)(2b+1)=2(2ab+a+b)+1$.)

Exemplul 2 — O submulțime care pică la o singură operație

Este $\mathbb{N}$ parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu adunarea? Dar cu scăderea?

Rezolvare. Cu adunarea: da. Suma a două numere naturale este un număr natural, pentru orice pereche, deci condiția din definiție e îndeplinită.

Cu scăderea: nu. Alegem $x=2$ și $y=5$, amândouă din $\mathbb{N}$; atunci $x-y=-3$, care nu este număr natural. Un singur contraexemplu desființează afirmația.

Concluzia de reținut: aceeași submulțime poate fi parte stabilă în raport cu o lege și să nu fie în raport cu alta. Verdictul se dă întotdeauna pentru o pereche precisă (mulțime, lege).

Exemplul 3 — Numerele de forma $a+b\sqrt{2}$

Arătați că $H=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu adunarea și cu înmulțirea.

Rezolvare. Fie $x=a+b\sqrt{2}$ și $y=c+d\sqrt{2}$, cu $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$.

Pentru adunare, grupăm partea rațională cu partea rațională:

$$x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{2},$$

iar $a+c$ și $b+d$ sunt raționale, deci $x+y\in H$.

Pentru înmulțire, desfacem parantezele și folosim $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$:

$$xy=ac+ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2}+2bd=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.$$

Numerele $ac+2bd$ și $ad+bc$ sunt raționale, ca sume de produse de raționale, deci $xy\in H$. Prin urmare $H$ este parte stabilă față de amândouă operațiile.

Verificare pe un caz concret: pentru $x=1+\sqrt{2}$ și $y=3-2\sqrt{2}$ obținem $xy=3-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-4=-1+\sqrt{2}$, care are într-adevăr forma cerută.

Exemplul 4 — Parte stabilă citită în tablă

Pe $M=\{0,1,2,3,4,5\}$ se consideră $x\ast y$ = restul împărțirii lui $x+y$ la $6$. Arătați că $H=\{0,2,4\}$ este parte stabilă și scrieți tabla legii induse.

Rezolvare. Calculăm toate cele nouă compuneri ale elementelor din $H$ și le așezăm în tablă:

Într-adevăr, $2\ast 2=4$; $2\ast 4=6$, cu restul $0$; $4\ast 4=8$, cu restul $2$. Toate cele nouă valori sunt din $H$, deci $H$ este parte stabilă, iar tabelul de mai sus este tabla legii induse.

Observăm în plus, citind tabla: legea indusă este comutativă (tabla e simetrică), are elementul neutru $0$, iar simetricele sunt $0^{\prime }=0$, $2^{\prime }=4$ și $4^{\prime }=2$.

Exemplul 5 — Un interval care este și unul care nu este

Pe $\mathbb{R}$ se dă $x\ast y=xy-2x-2y+6$. Arătați că $(3,+\infty )$ este parte stabilă, dar $\left(\frac{5}{2},+\infty \right)$ nu este.

Rezolvare. Folosim forma factorizată $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$.

Pentru $(3,+\infty )$: fie $x>3$ și $y>3$. Atunci $x-2>1$ și $y-2>1$, deci $(x-2)(y-2)>1$, de unde

$$x\ast y=(x-2)(y-2)+2>1+2=3.$$

Rezultatul este mai mare decât $3$, deci rămâne în interval; intervalul este parte stabilă.

Pentru $\left(\frac{5}{2},+\infty \right)$: alegem $x=y=\frac{13}{5}=2,6$, care este mai mare decât $\frac{5}{2}=2,5$. Atunci $x-2=\frac{3}{5}$ și

$$x\ast y=\frac{9}{25}+2=\frac{59}{25}=2,36<2,5.$$

Rezultatul a ieșit din interval, deci mulțimea nu este parte stabilă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x\ast y=x+y-3$. Cerințe de tipul celor din Subiectul al II-lea: a) Arătați că $x\ast y=(x-3)+(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$. b) Arătați că intervalul $[3,+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\ast$. c) Arătați că $\mathbb{Z}$ este parte stabilă, dar $\mathbb{N}$ nu este.

Rezolvare. a) Calculăm membrul drept: $(x-3)+(y-3)+3=x+y-6+3=x+y-3=x\ast y$. Egalitatea are loc pentru orice numere reale.

b) Fie $x\ge 3$ și $y\ge 3$. Atunci $x-3\ge 0$ și $y-3\ge 0$, deci suma lor este nenegativă și

$$x\ast y=(x-3)+(y-3)+3\ge 0+0+3=3.$$

Prin urmare $x\ast y\in [3,+\infty )$, oricare ar fi $x$ și $y$ din interval; mulțimea este parte stabilă.

c) Pentru $\mathbb{Z}$: dacă $x$ și $y$ sunt numere întregi, atunci $x+y-3$ este tot un număr întreg, ca sumă și diferență de întregi. Deci $\mathbb{Z}$ este parte stabilă.

Pentru $\mathbb{N}$: alegem $x=0$ și $y=0$, amândouă naturale. Atunci $0\ast 0=0+0-3=-3$, care nu este număr natural. Un singur contraexemplu este suficient, deci $\mathbb{N}$ nu este parte stabilă.

Să exersăm

La fiecare cerință, începe prin a scrie forma generală a elementelor submulțimii. Pentru a respinge, alege elementele contraexemplului cât mai simple — de obicei cele de la marginea mulțimii.

1. Este mulțimea numerelor pare parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu adunarea? Dar cu înmulțirea?

2. Aceleași întrebări pentru mulțimea numerelor impare.

3. Este $\mathbb{N}$ parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu scăderea? Justifică.

4. Arată că $5\mathbb{Z}=\{5k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu adunarea și cu înmulțirea.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice submulțime a unei mulțimi pe care este definită o lege de compoziție este parte stabilă."

6. Este mulțimea numerelor iraționale parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu înmulțirea? Dar cu adunarea?

7. Arată că $H=\{-1,1\}$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu înmulțirea, dar nu și cu adunarea, și scrie tabla legii induse.

8. Este intervalul $(0,1)$ parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu înmulțirea? Dar cu adunarea?

9. Arată că mulțimea numerelor de forma $3k+1$, cu $k\in \mathbb{Z}$, este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu înmulțirea, dar nu și cu adunarea.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă legea de pe $M$ are element neutru și $H$ este parte stabilă, atunci și legea indusă pe $H$ are element neutru."

11. Pe $M=\{0,1,2,3,4,5\}$ cu $x\ast y$ = restul lui $x+y$ la $6$, arată că $H=\{0,3\}$ este parte stabilă și scrie tabla legii induse.

12. (Problemă aplicată.) Sumele care se pot plăti exact cu bancnote de $10$ lei și de $50$ lei sunt multiplii de $10$ mai mari sau egali cu $10$. Arată că mulțimea lor este parte stabilă a lui $\mathbb{N}$ în raport cu adunarea, dar nu și în raport cu scăderea.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=xy-5x-5y+30$. a) Arată că $x\ast y=(x-5)(y-5)+5$. b) Calculează $6\ast 7$. c) Arată că intervalul $(5,+\infty )$ este parte stabilă.

14. Arată că mulțimea matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, este parte stabilă a lui ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ în raport cu înmulțirea.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Reuniunea a două părți stabile este parte stabilă."

16. Demonstrează că intersecția a două părți stabile ale lui $M$ este parte stabilă.

17. Determină toate părțile stabile nevide ale mulțimii $M=\{0,1,2,3\}$ în raport cu legea $x\ast y$ = restul împărțirii lui $x+y$ la $4$.

18. (Provocare.) Pentru legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$ pe $\mathbb{R}$, arată că intervalul $(1,+\infty )$ nu este parte stabilă, deși conține intervalul $(2,+\infty )$, care este. Explică de ce faptul că o mulțime include o parte stabilă nu o face parte stabilă.

Răspunsuri și explicații

1. Da la amândouă. Cu $x=2a$ și $y=2b$: $x+y=2(a+b)$ și $xy=2(2ab)$, ambele pare.

2. La adunare: nu, pentru că $3+5=8$ este par. La înmulțire: da, pentru că $(2a+1)(2b+1)=2(2ab+a+b)+1$ este impar.

3. Nu. Contraexemplu: $2-5=-3\notin \mathbb{N}$, deși $2,5\in \mathbb{N}$.

4. Fie $x=5a$ și $y=5b$, cu $a,b\in \mathbb{Z}$. Atunci $x+y=5(a+b)$ și $xy=5(5ab)$, ambele multipli de $5$, deci în $5\mathbb{Z}$.

5. Fals. Mulțimea numerelor impare este submulțime a lui $\mathbb{Z}$, dar nu este parte stabilă în raport cu adunarea: $1+1=2$.

6. La înmulțire: nu, deoarece $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, număr rațional. La adunare: nu, deoarece $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$, tot rațional.

7. Cele patru produse sunt $1\cdot 1=1$, $1\cdot (-1)=-1$, $(-1)\cdot 1=-1$, $(-1)(-1)=1$ — toate în $H$. La adunare, $(-1)+(-1)=-2\notin H$. Tabla legii induse are liniile $1,-1$ (pentru $-1$: valorile $1$ și $-1$) și $-1,1$ (pentru $1$: valorile $-1$ și $1$).

8. La înmulțire: da, produsul a două numere din $(0,1)$ este pozitiv și mai mic decât $1$. La adunare: nu, pentru că $0,6+0,7=1,3\notin (0,1)$.

9. Produs: $(3a+1)(3b+1)=9ab+3a+3b+1=3(3ab+a+b)+1$, de aceeași formă. Sumă: $4+7=11$, iar $11=3\cdot 3+2$, deci nu are forma $3k+1$.

10. Fals. În $(\mathbb{Z},\cdot )$ elementul neutru este $1$, iar $2\mathbb{Z}$ este parte stabilă, dar nu conține pe $1$. Mai mult, niciun număr par $e$ nu satisface $e\cdot x=x$ pentru orice $x$ par, deci legea indusă nu are element neutru.

11. Compunerile sunt $0\ast 0=0$, $0\ast 3=3$, $3\ast 0=3$ și $3\ast 3=6$, cu restul $0$. Toate sunt în $H$, deci $H$ este parte stabilă. Tabla legii induse: linia lui $0$ este $0,3$; linia lui $3$ este $3,0$.

12. Fie $x=10a$ și $y=10b$, cu $a,b\ge 1$ numere naturale. Atunci $x+y=10(a+b)$, multiplu de $10$ și cel puțin $20$, deci în mulțime. La scădere: $10-10=0$, care nu este o sumă plătibilă, deci mulțimea nu e parte stabilă.

13. a) $(x-5)(y-5)+5=xy-5x-5y+25+5=xy-5x-5y+30$ ✓. b) $6\ast 7=(6-5)(7-5)+5=1\cdot 2+5=7$; verificare pe formula inițială: $42-30-35+30=7$ ✓. c) Dacă $x>5$ și $y>5$, atunci $x-5>0$ și $y-5>0$, deci $x\ast y=(x-5)(y-5)+5>5$.

14. Produsul matricelor $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 0& d\end{array}\right)$ este $\left(\begin{array}{cc}ac& 0\\ 0& bd\end{array}\right)$, care are aceeași formă, cu $ac$ și $bd$ numere reale. Deci mulțimea e parte stabilă.

15. Fals. În $(\mathbb{Z},+)$, mulțimile $2\mathbb{Z}$ și $3\mathbb{Z}$ sunt părți stabile, dar $2+3=5$ nu aparține reuniunii lor.

16. Fie $x,y\in H_1\cap H_2$. Cum $x,y\in H_1$ și $H_1$ e parte stabilă, avem $x\ast y\in H_1$; la fel, $x\ast y\in H_2$. Deci $x\ast y\in H_1\cap H_2$, ceea ce trebuia demonstrat.

17. Sunt exact trei: $\{0\}$, $\{0,2\}$ și $M$. Orice submulțime care îl conține pe $1$ sau pe $3$ produce, prin compuneri repetate, toate elementele lui $M$; iar $\{0,2\}$ se verifică direct în tablă.

18. Pentru $(1,+\infty )$ luăm $x=\frac{3}{2}$ și $y=100$: atunci $x-2=-\frac{1}{2}$ și $y-2=98$, deci $x\ast y=-49+2=-47<1$, în afara intervalului. Explicația: definiția cere ca orice pereche de elemente ale mulțimii să dea un rezultat în mulțime, iar intervalul mai mare aduce elemente noi (cele dintre $1$ și $2$), care creează perechi noi, neacoperite de nicio verificare anterioară. Partea stabilă nu se moștenește „în sus".

De reținut

• O submulțime $H$ a lui $M$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$ atunci când $x\ast y\in H$ pentru orice $x,y\in H$, adică atunci când compunerea a două elemente din $H$ nu iese niciodată din $H$.
• Legea indusă pe $H$ este restricția legii $\ast$ la $H\times H$ și există ca lege de compoziție pe $H$ exact atunci când $H$ este parte stabilă.
• Demonstrația se face în trei pași: scrii forma generală a elementelor lui $H$, calculezi $x\ast y$ și îl aduci la aceeași formă, apoi tragi concluzia; respingerea cere un singur contraexemplu complet scris.
• Pe o mulțime finită, $H$ este parte stabilă exact atunci când sub-tabla formată din liniile și coloanele elementelor lui $H$ conține numai elemente din $H$.
• Intersecția a două părți stabile este parte stabilă, dar reuniunea lor nu este, în general: în $(\mathbb{Z},+)$, mulțimile $2\mathbb{Z}$ și $3\mathbb{Z}$ sunt stabile, însă $2+3=5$ iese din reuniunea lor.

Greșeli frecvente

• Verificarea pe câteva elemente. Trei perechi care rămân în mulțime nu demonstrează nimic; demonstrația se face cu elemente arbitrare, scrise sub forma generală. Numerele concrete servesc doar la respingere.
• Uitarea legii. „Mulțimea $H$ este parte stabilă" nu are sens fără operație. Numerele impare sunt parte stabilă față de înmulțire și nu sunt față de adunare — aceeași mulțime, două verdicte.
• Folosirea termenului „mulțime închisă". Traducerea aceasta apare în cărți străine, dar la Bacalaureat M1 și în programa românească termenul cerut este parte stabilă; formularea corectă este „$H$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu $\ast$".
• Presupunerea că legea indusă păstrează tot. Asociativitatea și comutativitatea se moștenesc, elementul neutru nu: $2\mathbb{Z}$ este parte stabilă a lui $(\mathbb{Z},\cdot )$, dar nu conține pe $1$ și legea indusă pe ea nu are element neutru.
• Lucrul cu forma dezvoltată la intervale. Din $x>2$ și $y>2$ nu se vede nimic despre semnul lui $xy-2x-2y+6$; abia forma factorizată $(x-2)(y-2)+2$ face demonstrația într-un rând. Scrie-o de fiecare dată înainte de a începe.

Aplică acasă

1. Cine se descurcă singur? Ia mulțimile: numerele pare, numerele impare, multiplii de $3$, numerele de forma $4k+1$ și numerele prime. Pentru fiecare, decide dacă e parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ față de adunare și față de înmulțire. Scrie un tabel cu zece verdicte și, la fiecare „nu", perechea care strică.

2. Sub-tabla. Scrie tabla legii $x\ast y$ = restul împărțirii lui $x+y$ la $6$ pe mulțimea $\{0,1,2,3,4,5\}$, apoi caută, sistematic, toate submulțimile nevide care sunt părți stabile. Începe cu cele de un element, continuă cu cele de două și așa mai departe; notează câte ai găsit și ce au în comun.

3. Intervalul potrivit. Pentru legea $x\ast y=xy-4x-4y+20$, scrie mai întâi forma factorizată. Apoi verifică, prin calcul, care dintre intervalele $(3,+\infty )$, $(4,+\infty )$ și $(5,+\infty )$ sunt părți stabile. Pentru cele care nu sunt, găsește câte un contraexemplu numeric.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima condiție tehnică pe care elevul o va scrie de zeci de ori până la examen. Dificultatea ei nu este de calcul, ci de redactare: mulți elevi știu că mulțimea „merge", dar nu știu cum se scrie faptul acesta. De aceea rețeta în trei pași — forma generală, calculul, concluzia — merită cerută explicit în caiet, în această ordine, chiar și la exercițiile simple. Deprinderea se transferă apoi la toate problemele de structuri algebrice.

De verificat în caiet: (1) elementele sunt luate sub formă generală, cu litere, nu numeric; (2) la respingere există un contraexemplu complet, cu calculul scris; (3) la intervale s-a folosit forma factorizată a legii, nu cea dezvoltată; (4) verdictul e formulat cu ambele elemente, mulțimea și legea. Întrebări de control: „Ce înseamnă că $H$ e parte stabilă?"; „De ce nu se poate vorbi despre legea indusă dacă $H$ nu e parte stabilă?"; „Câte perechi trebuie verificate pentru a respinge?"; „De ce reuniunea a două părți stabile poate să nu fie stabilă?".

La BAC M1, cerința „arătați că mulțimea $H$ este parte stabilă" apare aproape în fiecare an, ca prim subpunct al problemei de algebră, și valorează de obicei cinci puncte întregi. Cine o scrie corect pornește problema cu punctajul asigurat. Semn că elevul a înțeles: în fața unui interval, scrie automat forma factorizată a legii înainte de a începe demonstrația.

Întrebări frecvente

Ce este o parte stabilă a unei mulțimi? O parte stabilă a mulțimii $M$ în raport cu legea $\ast$ este o submulțime $H$ cu proprietatea că, oricare ar fi $x$ și $y$ din $H$, compusul $x\ast y$ aparține tot lui $H$. Cu alte cuvinte, compunerea a două elemente ale submulțimii nu te scoate niciodată din ea.

Cum arăți că o mulțime este parte stabilă? În trei pași. Scrii forma generală a elementelor lui $H$ (de exemplu $x=2a$, sau $x>2$), calculezi $x\ast y$ și aduci rezultatul la aceeași formă, apoi enunți concluzia: elementul obținut aparține lui $H$, deci $H$ este parte stabilă. Demonstrația se face cu litere, nu pe exemple numerice.

Ce este legea de compoziție indusă? Legea indusă pe $H$ este restricția legii $\ast$ la perechile de elemente din $H$, adică aceeași regulă de calcul, aplicată numai pe submulțime. Se notează cu același semn. Ea este lege de compoziție pe $H$ exact atunci când $H$ este parte stabilă, pentru că altfel rezultatele ar ieși din $H$.

Cum se vede partea stabilă în tabla operației? Te uiți doar la căsuțele aflate simultan pe liniile și pe coloanele elementelor lui $H$. Dacă toate conțin elemente din $H$, submulțimea este parte stabilă, iar acele căsuțe formează chiar tabla legii induse. Dacă apare măcar un element străin, submulțimea nu este parte stabilă.

Cum arăți că o mulțime nu este parte stabilă? Cu un singur contraexemplu, scris complet: alegi două elemente din mulțime, calculezi compusul lor și constați că rezultatul nu aparține mulțimii. De exemplu, numerele impare nu formează o parte stabilă față de adunare, pentru că $3+5=8$, care este par.

De ce intervalele apar atât de des în problemele de Bacalaureat M1? Pentru că legile date prin formule de tipul $xy-ax-ay+b$ au un „prag" natural în jurul numărului $a$, iar forma factorizată $(x-a)(y-a)+a$ arată imediat că intervalul $(a,+\infty )$ este parte stabilă. Este cel mai economic mod de a construi o structură algebrică pornind de la numere reale.

Este reuniunea a două părți stabile tot parte stabilă? Nu, în general. Contraexemplul standard: în mulțimea numerelor întregi cu adunarea, multiplii lui $2$ și multiplii lui $3$ formează două părți stabile, dar $2+3=5$ nu aparține reuniunii lor. Intersecția, în schimb, este întotdeauna parte stabilă, iar demonstrația are două rânduri.

Legea indusă păstrează proprietățile legii inițiale? Asociativitatea și comutativitatea da, pentru că o egalitate adevărată pe toată mulțimea rămâne adevărată pe orice submulțime. Elementul neutru însă nu: mulțimea numerelor pare este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ față de înmulțire, dar nu îl conține pe $1$, iar legea indusă pe ea nu are element neutru.