Polinoame ireductibile și descompunerea: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Un polinom de grad cel puțin $1$ este ireductibil peste $K$ dacă nu se poate scrie ca produs de două polinoame din $K[X]$, amândouă de grad cel puțin $1$. Ireductibilitatea nu este o proprietate a polinomului singur, ci a perechii formate din polinom și corp: $X^2-2$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$ și reductibil peste $\mathbb{R}$, așa că enunțul trebuie să spună de fiecare dată peste ce corp se lucrează. Criteriile de ireductibilitate sunt trei. Primul: un polinom de gradul al doilea sau al treilea este reductibil peste $K$ dacă și numai dacă are o rădăcină în $K$ — și numai la aceste două grade. Al doilea: peste $\mathbb{C}$ ireductibile sunt exact polinoamele de gradul întâi, iar peste $\mathbb{R}$ cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu $\Delta <0$. Al treilea: peste $\mathbb{Q}$ și peste ${\mathbb{Z}}_p$ există polinoame ireductibile de orice grad. Capcana clasică este gradul al patrulea, unde lipsa rădăcinilor nu înseamnă nimic. Rețeta descompunerii peste ${\mathbb{Z}}_p$ are trei etape: se face polinomul monic, se verifică toate cele $p$ clase, iar la gradul $4$ fără rădăcini se încearcă toate produsele de două polinoame monice de gradul al doilea.

Exerciții din această mini-lecție

1. Polinomul $f=X^4+4$ nu are nicio rădăcină rațională. Rezultă că:

   • a) $f$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$
   • b) $f$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$
   • c) $f$ este reductibil peste $\mathbb{Q}$, pentru că $f=\left(X^2-2X+2\right)\left(X^2+2X+2\right)$
   • d) $f$ are o rădăcină reală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $f$ este reductibil peste $\mathbb{Q}$, pentru că $f=\left(X^2-2X+2\right)\left(X^2+2X+2\right)$

   Este capcana gradului al patrulea: criteriul rădăcinii se aplică numai la gradele $2$ și $3$. Aici $\left(X^2-2X+2\right)\left(X^2+2X+2\right)=X^4+4$, verificabil prin înmulțire directă, deci $f$ este reductibil peste $\mathbb{Q}$, deși nu are rădăcini raționale. Cei doi factori au $\Delta =-4<0$, deci sunt ireductibili chiar și peste $\mathbb{R}$, iar $f$ nu are rădăcini reale.

2. Polinomul $f=X^3+X+\hat{2}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ este:

   • a) ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_3$
   • b) reductibil peste ${\mathbb{Z}}_3$, pentru că $f(\hat{2})=\hat{0}$
   • c) reductibil, dar fără rădăcini în ${\mathbb{Z}}_3$
   • d) de grad prea mare pentru a putea decide
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) reductibil peste ${\mathbb{Z}}_3$, pentru că $f(\hat{2})=\hat{0}$

   La gradul al treilea criteriul rădăcinii este valabil: polinomul este reductibil dacă și numai dacă are o rădăcină în corp. Verificăm cele trei clase: $f(\hat{0})=\hat{2}$, $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{1}$, $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{2}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{0}$. Deci $X-\hat{2}$ divide $f$, iar varianta c este imposibilă la gradul $3$.

3. Descompunerea în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ a polinomului $X^4-9$ este:

   • a) $\left(X^2-3\right)\left(X^2+3\right)$
   • b) $\left(X-\sqrt{3}\right)\left(X+\sqrt{3}\right)\left(X-i\sqrt{3}\right)\left(X+i\sqrt{3}\right)$
   • c) $(X-3)(X+3)\left(X^2+3\right)$
   • d) $\left(X-\sqrt{3}\right)\left(X+\sqrt{3}\right)\left(X^2+3\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\left(X-\sqrt{3}\right)\left(X+\sqrt{3}\right)\left(X^2+3\right)$

   Scriem $X^4-9=\left(X^2-3\right)\left(X^2+3\right)$. Peste $\mathbb{R}$, primul factor se mai descompune, fiindcă $\Delta >0$: $X^2-3=\left(X-\sqrt{3}\right)\left(X+\sqrt{3}\right)$; al doilea are $\Delta =-12<0$, deci rămâne întreg. Varianta a nu este completă, varianta b este descompunerea peste $\mathbb{C}$, iar varianta c este pur și simplu falsă: $(X-3)(X+3)=X^2-9$.