Polinoame ireductibile; descompunerea în factori ireductibili peste diferite corpuri

Întrebarea „se mai poate descompune?" nu are un răspuns absolut. Polinomul $X^2-2$ este ireductibil dacă lucrezi cu coeficienți raționali și se sparge în doi factori dacă treci la coeficienți reali — de aceea, la clasa a XII-a, polinoamele ireductibile se definesc întotdeauna peste un corp anume. Un polinom ireductibil peste un corp $K$ este un polinom de grad cel puțin $1$ care nu se poate scrie ca produs a două polinoame din $K[X]$, amândouă de grad cel puțin $1$; ireductibilitatea depinde astfel întotdeauna de corpul ales. Lecția aceasta pune ordine în cele patru corpuri cu care lucrăm: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Ea încheie partea teoretică a capitolului despre polinoame și pregătește tipurile de probleme din lecția despre polinoame în probleme de Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești un polinom ireductibil peste un corp și să explici de ce răspunsul depinde de corp.
• Vei ști să demonstrezi și să folosești criteriul „grad $2$ sau $3$ reductibil $⟺$ are rădăcină în $K$".
• Vei ști de ce acest criteriu nu se aplică la gradul al patrulea și vei recunoaște capcana.
• Vei ști care sunt polinoamele ireductibile peste $\mathbb{C}$ și peste $\mathbb{R}$ și de ce lista se oprește acolo.
• Vei ști să descompui un polinom peste ${\mathbb{Z}}_p$, căutând întâi rădăcinile și apoi factorii de gradul al doilea.
• Vei ști să scrii descompunerea în factori ireductibili a unui polinom, peste fiecare dintre cele patru corpuri.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că un polinom este ireductibil peste un corp?

Fie $K$ un corp comutativ. Un polinom ireductibil peste corpul $K$ este un polinom din $K[X]$, de grad cel puțin $1$, care nu se poate scrie ca produs de două polinoame din $K[X]$, amândouă de grad cel puțin $1$; polinoamele de grad cel puțin $1$ care nu sunt ireductibile se numesc reductibile peste $K$.

Trei precizări, toate necesare.

Prima: constantele nu contează. Orice polinom se scrie ca produs dintre o constantă nenulă și un alt polinom, de exemplu $X^2+1=2\left(\frac{1}{2}{X}^2+\frac{1}{2}\right)$. Astfel de scrieri nu sunt descompuneri, pentru că unul dintre factori are gradul $0$. De aceea definiția cere ca amândoi factorii să aibă gradul cel puțin $1$.

A doua: polinoamele de gradul întâi sunt întotdeauna ireductibile, peste orice corp. Într-adevăr, dacă $aX+b=gh$ cu $\mathrm{grad}g,\mathrm{grad}h\ge 1$, atunci gradul produsului ar fi cel puțin $2$, ceea ce este fals.

A treia: constantele și polinomul nul sunt în afara discuției. Ireductibilitatea se definește numai pentru polinoame de grad cel puțin $1$, exact cum, la numere întregi, $1$ nu este considerat număr prim.

Analogia cu numerele prime este bună și merită ținută minte: polinoamele ireductibile sunt, în $K[X]$, „numerele prime" ale înmulțirii. Ele sunt cărămizile din care se construiește orice polinom, iar secțiunea a opta spune exact în ce sens.

2. Ireductibilitatea depinde de corp: același polinom, trei răspunsuri

Cel mai bun exemplu are gradul $2$. Urmărește-l cu atenție, pentru că el conține toată ideea lecției.

Polinomul $X^2-2$. Peste $\mathbb{Q}$ este ireductibil: dacă s-ar descompune, ar avea doi factori de gradul întâi cu coeficienți raționali, deci ar avea o rădăcină rațională, iar $\sqrt{2}$ nu este rațional. Peste $\mathbb{R}$ este reductibil: $X^2-2=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$. Peste $\mathbb{C}$, cu atât mai mult.

Polinomul $X^2+1$. Peste $\mathbb{Q}$ și peste $\mathbb{R}$ este ireductibil, pentru că nu are rădăcini reale. Peste $\mathbb{C}$ este reductibil: $X^2+1=(X-i)(X+i)$.

Polinomul $X^2+X+\hat{1}$ peste ${\mathbb{Z}}_2$. Este ireductibil: valorile lui sunt $\hat{1}$ în $\hat{0}$ și $\hat{1}$ în $\hat{1}$, deci nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_2$.

Se vede tiparul: cu cât corpul are „mai multe" elemente, cu atât mai puține polinoame rămân ireductibile. Formularea „polinomul $f$ este ireductibil", fără să spui peste ce corp, este incompletă și, la Bacalaureat M1, se punctează ca atare.

3. Când este reductibil un polinom de gradul al doilea sau al treilea?

Exact atunci când are o rădăcină în corp. Enunțăm și demonstrăm, pentru că este criteriul cel mai folosit din toată unitatea.

Teoremă. Fie $K$ un corp comutativ și $f\in K[X]$ cu $\mathrm{grad}f\in \{2,3\}$. Atunci $f$ este reductibil peste $K$ dacă și numai dacă $f$ are cel puțin o rădăcină în $K$.

Demonstrație. Presupunem întâi că $f$ are rădăcina $a\in K$. Prin teorema lui Bézout, $f=(X-a)q$, iar $\mathrm{grad}q=\mathrm{grad}f-1$, adică $1$ sau $2$. Amândoi factorii au gradul cel puțin $1$, deci $f$ este reductibil.

Reciproc, presupunem $f=gh$ cu $\mathrm{grad}g\ge 1$ și $\mathrm{grad}h\ge 1$. Cum gradul produsului este suma gradelor, avem $\mathrm{grad}g+\mathrm{grad}h=\mathrm{grad}f\le 3$, iar ambii termeni sunt cel puțin $1$; prin urmare cel puțin unul dintre ei este egal cu $1$. Fie acesta $g=bX+c$, cu $b\ne 0$. Elementul $a=-b^{-1}c$ este rădăcină a lui $g$, pentru că $b(-b^{-1}c)+c=-c+c=0$; inversul $b^{-1}$ există, fiindcă $K$ este corp. Atunci $f(a)=g(a)h(a)=0$, deci $a$ este rădăcină a lui $f$ în $K$. $■$

Rețeta practică pentru gradele $2$ și $3$: caută rădăcini. Peste $\mathbb{R}$, la gradul $2$, verifici semnul discriminantului. Peste $\mathbb{Q}$, folosești teorema rădăcinilor raționale din lecția despre ecuațiile algebrice cu coeficienți întregi. Peste ${\mathbb{Z}}_p$, încerci pur și simplu toate cele $p$ clase.

4. De ce criteriul rădăcinii nu se aplică la gradul al patrulea?

Pentru că un polinom de gradul al patrulea se poate descompune în doi factori de gradul al doilea, fără ca vreunul dintre ei să aibă rădăcini în corp. Suma gradelor este $4$, iar $4=2+2$: raționamentul din demonstrația precedentă, care forța apariția unui factor de gradul întâi, nu mai funcționează.

Trei contraexemple, câte unul pentru fiecare corp important.

Peste $\mathbb{R}$: $(X^2+1{)}^2=X^4+2X^2+1$ nu are nicio rădăcină reală, dar este vizibil reductibil.

Peste $\mathbb{Q}$: $X^4+X^2+1$ nu are rădăcini raționale — nici măcar reale, fiindcă toți termenii sunt pozitivi — și totuși

$$X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2-X+1),$$

cum se verifică desfăcând parantezele. Descompunerea se obține scriind $X^4+X^2+1=(X^2+1{)}^2-X^2$ și folosind diferența de pătrate.

Peste ${\mathbb{Z}}_3$: polinomul $X^4+\hat{1}$ are valorile $\hat{1},\hat{2},\hat{2}$ în cele trei clase, deci nu are rădăcini; cu toate acestea

$$X^4+\hat{1}=(X^2+X+\hat{2})(X^2+\hat{2}X+\hat{2}),$$

produs pe care îl poți verifica înmulțind modulo $3$.

Concluzia, de reținut cuvânt cu cuvânt: lipsa rădăcinilor garantează ireductibilitatea numai la gradele $2$ și $3$. De la gradul $4$ în sus, ea trebuie completată cu verificarea factorizărilor în doi factori de gradul al doilea.

5. Polinoamele ireductibile peste $\mathbb{C}$ și peste $\mathbb{R}$

Aici răspunsul este complet, iar el a fost obținut la clasa a X-a, în lecția despre descompunerea în factori ireductibili. Îl reluăm ca listă, fără a-l redemonstra.

Peste $\mathbb{C}$, polinoamele ireductibile sunt exact cele de gradul întâi. Motivul este teorema fundamentală a algebrei: orice polinom de grad cel puțin $1$ are o rădăcină complexă, deci se divide cu un factor de gradul întâi; dacă gradul lui este cel puțin $2$, acea împărțire îl descompune.

Peste $\mathbb{R}$, polinoamele ireductibile sunt cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu $\Delta <0$. Explicația vine din faptul că rădăcinile nereale ale unui polinom cu coeficienți reali apar în perechi conjugate, iar fiecare pereche $z$, $\bar{z}$ dă un factor real de gradul al doilea, $X^2-(z+\bar{z})X+z\bar{z}$, cu discriminant negativ.

Așadar, peste $\mathbb{R}$ nu există polinoame ireductibile de gradul al treilea, al patrulea sau mai mare — afirmație care se folosește direct în probleme.

6. Peste $\mathbb{Q}$ și peste ${\mathbb{Z}}_p$ există ireductibile de orice grad

Cele două corpuri „mici" se comportă complet altfel: lista ireductibilelor nu se oprește la niciun grad.

Peste $\mathbb{Q}$, polinoamele $X^2-2$, $X^3-2$, $X^4-2$ și, în general, $X^n-2$ sunt ireductibile pentru orice $n\ge 1$. Demonstrația generală depășește programa clasei a XII-a; pentru gradele $2$ și $3$ ea este însă la îndemână, prin criteriul din secțiunea a treia: singurele rădăcini raționale posibile sunt $\pm 1$ și $\pm 2$, iar niciuna nu anulează polinomul.

Peste ${\mathbb{Z}}_2$, iată începutul listei, verificabilă exhaustiv: la gradul $2$, singurul ireductibil monic este $X^2+X+\hat{1}$; la gradul $3$ sunt două, $X^3+X+\hat{1}$ și $X^3+X^2+\hat{1}$; la gradul $4$ sunt trei, $X^4+X+\hat{1}$, $X^4+X^3+\hat{1}$ și $X^4+X^3+X^2+X+\hat{1}$.

Faptul că ${\mathbb{Z}}_2$ are doar două elemente, dar polinoame ireductibile de orice grad, este una dintre observațiile care surprind cel mai plăcut la această temă. Pe ea se sprijină, în afara școlii, codurile corectoare de erori și o bună parte din criptografia modernă.

7. Cum se descompune un polinom în factori ireductibili peste ${\mathbb{Z}}_p$?

Numim procedeul rețeta descompunerii peste ${\mathbb{Z}}_p$; el are trei etape și, pentru gradele cu care lucrăm — cel mult $4$ — și pentru $p\le 7$, este complet realizabil cu creionul.

Etapa 1. Fă polinomul monic. Împarte-l la coeficientul dominant, care este inversabil, și pune constanta deoparte; o vei reașeza la final.

Etapa 2. Caută rădăcinile, încercând toate cele $p$ clase. Pentru fiecare rădăcină $a$ găsită, împarte la $X-a$ cu schema lui Horner și reia căutarea pe cât, inclusiv cu aceeași clasă $a$ — o rădăcină poate fi multiplă.

Etapa 3. Tratează ce a rămas. Dacă restul are gradul $1$, ai terminat. Dacă are gradul $2$ sau $3$ și nu mai are rădăcini, este ireductibil, conform criteriului din secțiunea a treia. Dacă are gradul $4$ și nu mai are rădăcini, încearcă toate produsele de două polinoame monice de gradul al doilea — sunt $p^2$ candidate pentru primul factor, deci puține pentru $p$ mic.

Un exemplu complet, în ${\mathbb{Z}}_3[X]$: descompunem $f=X^4+\hat{2}$. Valorile sunt $f(\hat{0})=\hat{2}$, $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$ și $f(\hat{2})=\widehat{16}+\hat{2}=\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$. Avem deci rădăcinile $\hat{1}$ și $\hat{2}$. Împărțind succesiv la $X-\hat{1}=X+\hat{2}$ și la $X-\hat{2}=X+\hat{1}$, rămâne $X^2+\hat{1}$, care nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_3$ și, având gradul $2$, este ireductibil. Prin urmare

$$X^4+\hat{2}=(X+\hat{2})(X+\hat{1})(X^2+\hat{1}).$$

Verificarea, obligatorie: $(X+\hat{2})(X+\hat{1})=X^2+\hat{3}X+\hat{2}=X^2+\hat{2}$, iar $(X^2+\hat{2})(X^2+\hat{1})=X^4+\hat{3}{X}^2+\hat{2}=X^4+\hat{2}$. ✓

8. Teorema descompunerii în factori ireductibili

Toate exemplele de până acum se supun aceleiași reguli generale, care încheie capitolul.

Teoremă (se admite fără demonstrație). Fie $K$ un corp comutativ și $f\in K[X]$ un polinom de grad cel puțin $1$, cu coeficientul dominant $a$. Atunci $f$ se scrie

$$f=a\cdot p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r},$$

unde $p_1,\dots ,p_r$ sunt polinoame monice, ireductibile peste $K$ și distincte două câte două, iar $k_1,\dots ,k_r$ sunt numere naturale nenule. Scrierea este unică, abstracție făcând de ordinea factorilor.

Este exact teorema descompunerii în factori primi a numerelor naturale, mutată pe polinoame — cu polinoamele monice ireductibile în rolul numerelor prime și cu coeficientul dominant în rolul semnului. Exponenții $k_i$ nu sunt altceva decât ordinele de multiplicitate studiate în lecția despre rădăcinile multiple și derivata formală, atunci când factorul $p_i$ are gradul $1$.

Pentru un același polinom, descompunerea arată diferit peste corpuri diferite. Pentru $f=X^4-4$:

$$X^4-4=(X^2-2)(X^2+2)\text{ peste }\mathbb{Q};(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})(X^2+2)\text{ peste }\mathbb{R}.$$

Peste $\mathbb{C}$, în sfârșit, toți factorii au gradul $1$: $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})(X-i\sqrt{2})(X+i\sqrt{2})$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Același polinom, trei corpuri

Studiați ireductibilitatea polinomului $f=X^2-3$ peste $\mathbb{Q}$, peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Rezolvare. Gradul fiind $2$, aplicăm criteriul: $f$ este reductibil peste un corp exact când are o rădăcină acolo.

Peste $\mathbb{Q}$: eventualele rădăcini raționale sunt divizorii lui $3$, adică $\pm 1$ și $\pm 3$; valorile sunt $-2$, $-2$, $6$ și $6$, toate nenule. Deci $f$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$.

Peste $\mathbb{R}$: rădăcinile sunt $\pm \sqrt{3}$, deci $f=(X-\sqrt{3})(X+\sqrt{3})$ este reductibil.

Peste $\mathbb{C}$: cu atât mai mult reductibil, cu aceeași descompunere, pentru că factorii au deja coeficienți reali.

Exemplul 2 — Criteriul la gradul al treilea

Arătați că polinoamele $X^3-2$ și $X^3-3X+1$ sunt ireductibile peste $\mathbb{Q}$.

Rezolvare. Ambele au gradul $3$, deci criteriul se aplică: e destul să arătăm că nu au rădăcini raționale.

Pentru $X^3-2$, rădăcinile raționale posibile sunt $\pm 1$ și $\pm 2$. Valorile polinomului sunt, respectiv, $-1$, $-3$, $6$ și $-10$ — niciuna nulă. Deci polinomul este ireductibil peste $\mathbb{Q}$.

Pentru $X^3-3X+1$, candidații sunt doar $\pm 1$, iar valorile sunt $-1$ și $3$. Deci și acesta este ireductibil peste $\mathbb{Q}$. Observă că amândouă au rădăcini reale — sunt polinoame de grad impar — dar acele rădăcini sunt iraționale, iar peste $\mathbb{R}$ ambele polinoame devin reductibile.

Exemplul 3 — Capcana gradului al patrulea

Arătați că polinomul $f=X^4+X^2+1$ nu are rădăcini raționale, dar este reductibil peste $\mathbb{Q}$.

Rezolvare. Rădăcinile raționale posibile sunt $\pm 1$, iar $f(1)=f(-1)=3\ne 0$. Mai mult, $f$ nu are nici rădăcini reale: pentru orice $x$ real, $x^4+x^2+1\ge 1>0$.

Cu toate acestea, adunând și scăzând $X^2$:

$$f=X^4+2X^2+1-X^2=(X^2+1{)}^2-X^2=(X^2+X+1\left)\right(X^2-X+1).$$

Verificare prin desfacere: $(X^2+X+1)(X^2-X+1)=X^4-X^3+X^2+X^3-X^2+X+X^2-X+1=X^4+X^2+1$. ✓

Cei doi factori au discriminanții $-3$, deci sunt ireductibili peste $\mathbb{R}$ și cu atât mai mult peste $\mathbb{Q}$: descompunerea obținută este cea în factori ireductibili.

Exemplul 4 — Descompunerea peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$

Descompuneți $f=X^4+4X^2+3$ în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$, peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Rezolvare. Notăm $Y=X^2$ și rezolvăm $Y^2+4Y+3=0$, cu rădăcinile $-1$ și $-3$. Prin urmare

$$f=(X^2+1)(X^2+3).$$

Verificare: $(X^2+1)(X^2+3)=X^4+3X^2+X^2+3=X^4+4X^2+3$. ✓

Peste $\mathbb{Q}$ și peste $\mathbb{R}$ aceasta este descompunerea finală: ambii factori au gradul $2$ și discriminanții $-4$, respectiv $-12$, deci sunt ireductibili.

Peste $\mathbb{C}$ fiecare factor se sparge: $f=(X-i)(X+i)(X-i\sqrt{3})(X+i\sqrt{3})$.

Exemplul 5 — Descompunere în ${\mathbb{Z}}_5[X]$

Descompuneți în factori ireductibili, în ${\mathbb{Z}}_5[X]$, polinoamele $f=X^4+\hat{4}$ și $g=X^4+\hat{1}$.

Rezolvare. Pentru $f$ calculăm valorile: $f(\hat{0})=\hat{4}$, $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{4}=\hat{0}$, $f(\hat{2})=\widehat{16}+\hat{4}=\hat{1}+\hat{4}=\hat{0}$, $f(\hat{3})=\widehat{81}+\hat{4}=\hat{1}+\hat{4}=\hat{0}$, $f(\hat{4})=\widehat{256}+\hat{4}=\hat{1}+\hat{4}=\hat{0}$. Toate cele patru clase nenule sunt rădăcini, deci

$$X^4+\hat{4}=(X+\hat{4})(X+\hat{3})(X+\hat{2})(X+\hat{1}),$$

pentru că $X-\hat{1}=X+\hat{4}$ și așa mai departe.

Pentru $g=X^4+\hat{1}$ valorile sunt $\hat{1},\hat{2},\hat{2},\hat{2},\hat{2}$: nicio rădăcină. Fiind de gradul $4$, nu ne putem opri aici. Căutăm o factorizare în doi factori monici de gradul al doilea și găsim

$$X^4+\hat{1}=(X^2+\hat{2})(X^2+\hat{3}),$$

pentru că $(X^2+\hat{2})(X^2+\hat{3})=X^4+\hat{5}{X}^2+\hat{6}=X^4+\hat{1}$. ✓ Ambii factori sunt ireductibili: valorile lui $X^2+\hat{2}$ sunt $\hat{2},\hat{3},\hat{1},\hat{1},\hat{3}$, iar ale lui $X^2+\hat{3}$ sunt $\hat{3},\hat{4},\hat{2},\hat{2},\hat{4}$ — niciuna nulă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f=X^4-X^2-2$, cu coeficienți reali. a) Arătați că $f=(X^2-2)(X^2+1)$ și determinați rădăcinile reale ale lui $f$. b) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$ și peste $\mathbb{R}$. c) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{C}$.

Rezolvare. Este structura obișnuită a unei probleme de la Subiectul al II-lea: un calcul, o descompunere, o schimbare de corp.

a) Desfacem produsul: $(X^2-2)(X^2+1)=X^4+X^2-2X^2-2=X^4-X^2-2$. ✓ Rădăcinile reale se obțin din $X^2-2=0$, adică $x_{1,2}=\pm \sqrt{2}$; factorul $X^2+1$ nu are rădăcini reale.

b) Peste $\mathbb{Q}$: factorul $X^2-2$ este ireductibil, pentru că rădăcinile lui, $\pm \sqrt{2}$, nu sunt raționale; factorul $X^2+1$ este ireductibil, având discriminantul $-4$. Deci descompunerea peste $\mathbb{Q}$ este chiar $f=(X^2-2)(X^2+1)$.

Peste $\mathbb{R}$, primul factor se sparge, al doilea nu:

$$f=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})(X^2+1).$$

c) Peste $\mathbb{C}$, unde ireductibile sunt numai polinoamele de gradul întâi,

$$f=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})(X-i)(X+i).$$

Cele patru rădăcini sunt $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, $i$ și $-i$, iar numărul lor coincide cu gradul, așa cum cere teorema fundamentală a algebrei.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, spune întotdeauna peste ce corp lucrezi și verifică fiecare descompunere prin înmulțire.

1. Este $X^2+3$ ireductibil peste $\mathbb{Q}$? Dar peste $\mathbb{R}$? Dar peste $\mathbb{C}$? Justifică.

2. Arată că $X^2-3$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$, dar reductibil peste $\mathbb{R}$, și scrie descompunerea reală.

3. Decide dacă $X^3-2$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$, folosind criteriul din lecție.

4. Decide dacă $X^3-3X+1$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un polinom de gradul al patrulea care nu are rădăcini în $K$ este ireductibil peste $K$."

6. Arată că $X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2-X+1)$ și că polinomul nu are rădăcini raționale.

7. Descompune $X^4-4$ în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$, peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

8. În ${\mathbb{Z}}_2[X]$, scrie toate polinoamele monice de gradul al doilea și arată că unul singur este ireductibil.

9. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, decide dacă $X^2+\hat{1}$ este ireductibil.

10. (Problemă aplicată.) Polinomul caracteristic al unui circuit este $P=X^4+5X^2+4$. Descompune-l în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și apoi peste $\mathbb{C}$, precizând rădăcinile complexe.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Peste $\mathbb{C}$, un polinom de gradul $5$ se descompune în exact $5$ factori de gradul întâi, numărați cu multiplicitate."

12. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, descompune $X^4+\hat{4}$ în factori de gradul întâi.

13. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, arată că $X^2+\hat{2}$ este ireductibil, calculând valorile lui în toate clasele.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un polinom de gradul al treilea care nu are rădăcini în $K$ este ireductibil peste $K$."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f=X^4-3X^2-4$. a) Arătați că $f=(X^2-4)(X^2+1)$. b) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$. c) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{C}$.

16. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, arată că $X^4+\hat{1}$ nu are rădăcini și verifică totuși descompunerea $X^4+\hat{1}=(X^2+X+\hat{2})(X^2+\hat{2}X+\hat{2})$.

17. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, descompune $X^4+\hat{2}$ în factori ireductibili.

18. (Provocare.) Arată că $X^4+X+\hat{1}$ este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_2$: verifică întâi că nu are rădăcini, apoi că nu se poate scrie ca produs de două polinoame monice de gradul al doilea.

Răspunsuri și explicații

1. Peste $\mathbb{Q}$ da: rădăcinile posibile ar fi $\pm 1$, $\pm 3$, iar valorile sunt $4$, $4$, $12$, $12$. Peste $\mathbb{R}$ da: discriminantul este $-12<0$. Peste $\mathbb{C}$ nu: $X^2+3=(X-i\sqrt{3})(X+i\sqrt{3})$.

2. Candidatele raționale sunt $\pm 1$ și $\pm 3$, cu valorile $-2$, $-2$, $6$, $6$; niciuna nulă, deci polinomul este ireductibil peste $\mathbb{Q}$. Peste $\mathbb{R}$, $X^2-3=(X-\sqrt{3})(X+\sqrt{3})$.

3. Rădăcinile raționale posibile sunt divizorii lui $2$: $\pm 1$, $\pm 2$. Valorile polinomului în ele sunt $-1$, $-3$, $6$, $-10$, toate nenule. Gradul fiind $3$, criteriul se aplică și polinomul este ireductibil peste $\mathbb{Q}$.

4. Candidatele sunt $\pm 1$, cu valorile $1-3+1=-1$ și $-1+3+1=3$. Nicio rădăcină rațională, deci polinomul de gradul $3$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$.

5. Fals. Contraexemplu: $X^4+X^2+1$ nu are rădăcini raționale, dar se descompune ca $(X^2+X+1)(X^2-X+1)$. La gradul $4$ pot apărea doi factori de gradul al doilea, iar criteriul rădăcinii, valabil doar pentru gradele $2$ și $3$, nu-i vede.

6. Desfacem: $(X^2+X+1)(X^2-X+1)=X^4-X^3+X^2+X^3-X^2+X+X^2-X+1=X^4+X^2+1$. ✓ Rădăcinile raționale posibile sunt $\pm 1$, iar valoarea în ambele este $3\ne 0$.

7. $X^4-4=(X^2-2)(X^2+2)$; ambii factori sunt ireductibili peste $\mathbb{Q}$. Peste $\mathbb{R}$: $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})(X^2+2)$. Peste $\mathbb{C}$: $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})(X-i\sqrt{2})(X+i\sqrt{2})$.

8. Cele patru polinoame monice de gradul al doilea sunt $X^2$, $X^2+X$, $X^2+\hat{1}$ și $X^2+X+\hat{1}$. Primele trei au rădăcini: $\hat{0}$ pentru primele două și $\hat{1}$ pentru al treilea, căci $\hat{1}+\hat{1}=\hat{0}$. Ultimul are valorile $\hat{1}$ și $\hat{1}$, deci este singurul ireductibil.

9. Valorile sunt $f(\hat{0})=\hat{1}$, $f(\hat{1})=\hat{2}$, $f(\hat{2})=\hat{4}+\hat{1}=\hat{2}$. Nicio rădăcină, iar gradul fiind $2$, polinomul este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_3$.

10. Cu $Y=X^2$: $Y^2+5Y+4=(Y+1)(Y+4)$, deci $P=(X^2+1)(X^2+4)$. Ambii factori au discriminant negativ, deci aceasta este descompunerea peste $\mathbb{R}$. Peste $\mathbb{C}$: $P=(X-i)(X+i)(X-2i)(X+2i)$, cu rădăcinile $\pm i$ și $\pm 2i$.

11. Adevărat. Peste $\mathbb{C}$ ireductibile sunt exact polinoamele de gradul întâi, iar teorema descompunerii spune că orice polinom este produsul coeficientului dominant cu puteri de ireductibile. Suma exponenților trebuie să dea gradul, deci apar $5$ factori de gradul întâi, numărați cu multiplicitate.

12. Calculând puterile a patra modulo $5$ obținem ${\hat{1}}^4=\hat{1}$, ${\hat{2}}^4=\widehat{16}=\hat{1}$, ${\hat{3}}^4=\widehat{81}=\hat{1}$ și ${\hat{4}}^4=\widehat{256}=\hat{1}$, deci valorile lui $X^4+\hat{4}$ în cele patru clase nenule sunt toate $\hat{1}+\hat{4}=\hat{0}$. Deci $X^4+\hat{4}=(X+\hat{1})(X+\hat{2})(X+\hat{3})(X+\hat{4})$, cei patru factori fiind $X-\hat{4}$, $X-\hat{3}$, $X-\hat{2}$, $X-\hat{1}$.

13. Valorile sunt ${\hat{0}}^2+\hat{2}=\hat{2}$, $\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}$, $\hat{4}+\hat{2}=\hat{1}$, $\hat{9}+\hat{2}=\hat{1}$, $\widehat{16}+\hat{2}=\hat{3}$. Niciuna nu este $\hat{0}$, iar gradul fiind $2$, polinomul este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$.

14. Adevărat. Este exact criteriul demonstrat în lecție, valabil pentru gradele $2$ și $3$: dacă polinomul s-ar descompune, unul dintre factori ar avea gradul $1$, iar rădăcina lui ar fi rădăcină a polinomului în $K$.

15. a) $(X^2-4)(X^2+1)=X^4+X^2-4X^2-4=X^4-3X^2-4$. ✓ b) Peste $\mathbb{R}$: $f=(X-2)(X+2)(X^2+1)$, ultimul factor fiind ireductibil, cu $\Delta =-4$. c) Peste $\mathbb{C}$: $f=(X-2)(X+2)(X-i)(X+i)$.

16. Valorile sunt ${\hat{0}}^4+\hat{1}=\hat{1}$, $\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$ și $\widehat{16}+\hat{1}=\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$: nicio rădăcină. Înmulțind, $(X^2+X+\hat{2})(X^2+\hat{2}X+\hat{2})=X^4+\hat{3}{X}^3+\hat{6}{X}^2+\hat{6}X+\hat{4}=X^4+\hat{1}$. ✓ Este încă un caz în care lipsa rădăcinilor nu înseamnă ireductibilitate.

17. Valorile sunt $\hat{2}$, $\hat{0}$, $\hat{0}$, deci $\hat{1}$ și $\hat{2}$ sunt rădăcini. Împărțind succesiv la $X+\hat{2}$ și la $X+\hat{1}$, rămâne $X^2+\hat{1}$, ireductibil conform exercițiului $9$. Așadar $X^4+\hat{2}=(X+\hat{2})(X+\hat{1})(X^2+\hat{1})$.

18. Valorile în $\hat{0}$ și $\hat{1}$ sunt $\hat{1}$ și $\hat{1}+\hat{1}+\hat{1}=\hat{1}$, deci nu există rădăcini și niciun factor de gradul întâi. Rămâne posibilitatea a doi factori monici de gradul al doilea; cum niciunul nu poate avea rădăcini, amândoi ar trebui să fie $X^2+X+\hat{1}$, singurul ireductibil de gradul al doilea. Dar $(X^2+X+\hat{1}{)}^2=X^4+X^2+\hat{1}\ne X^4+X+\hat{1}$. Prin urmare polinomul este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_2$.

De reținut

• Un polinom de grad cel puțin $1$ este ireductibil peste $K$ dacă nu se poate scrie ca produs de două polinoame din $K[X]$, amândouă de grad cel puțin $1$.
• Ireductibilitatea depinde întotdeauna de corp, deci enunțul trebuie să spună explicit peste ce corp se lucrează.
• Un polinom de gradul al doilea sau al treilea este reductibil peste $K$ dacă și numai dacă are o rădăcină în $K$, iar acest criteriu se demonstrează în două rânduri.
• La gradul al patrulea criteriul rădăcinii nu mai funcționează, pentru că polinomul se poate rupe în doi factori de gradul al doilea fără rădăcini.
• Peste $\mathbb{C}$ ireductibile sunt exact polinoamele de gradul întâi, peste $\mathbb{R}$ cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu discriminant negativ, iar peste $\mathbb{Q}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ există ireductibile de orice grad.

Greșeli frecvente

• Spunerea „ireductibil", fără corp. Afirmația nu are sens singură: $X^2-2$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$ și reductibil peste $\mathbb{R}$. Scrie de fiecare dată „ireductibil peste $\mathbb{Q}$", „peste $\mathbb{R}$", „peste ${\mathbb{Z}}_3$".
• Aplicarea criteriului rădăcinii la gradul $4$. Este cea mai frecventă greșeală din lecție. Peste $\mathbb{R}$, $(X^2+1{)}^2$ nu are rădăcini și e reductibil; peste $\mathbb{Q}$, la fel $X^4+X^2+1$. Criteriul este valabil numai la gradele $2$ și $3$.
• Confuzia dintre „nu are rădăcini reale" și „este ireductibil peste $\mathbb{R}$". Ele coincid doar la gradul $2$. Un polinom real de gradul al patrulea fără rădăcini reale este întotdeauna produs de două trinoame cu discriminant negativ.
• Oprirea descompunerii prea devreme peste ${\mathbb{Z}}_p$. După ce ai scos toate rădăcinile, verifică dacă factorul rămas mai poate fi rupt: la gradul $4$ fără rădăcini, încearcă toate produsele de două polinoame monice de gradul al doilea.
• Uitarea coeficientului dominant. În descompunerea $f=a{p}_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$ factorii $p_i$ sunt monici, iar constanta $a$ se scrie separat. Pentru $2X^2-8$ răspunsul corect este $2(X-2)(X+2)$, nu $(2X-4)(X+2)$.

Aplică acasă

1. Tabla ireductibilelor din ${\mathbb{Z}}_2$. Scrie toate cele opt polinoame monice de gradul al treilea din ${\mathbb{Z}}_2[X]$ și verifică pentru fiecare dacă are rădăcini. Vei găsi exact două ireductibile. Repetă apoi pentru gradul al patrulea, unde trebuie eliminate și produsele de două polinoame de gradul al doilea.

2. Același polinom, patru corpuri. Ia $f=X^4-1$ și scrie-i descompunerea în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$, peste $\mathbb{R}$, peste $\mathbb{C}$ și peste ${\mathbb{Z}}_5$. Compară numărul de factori din fiecare caz și explică diferențele prin lista ireductibilelor fiecărui corp.

3. Vânătoarea de capcane. Construiește singur un polinom de gradul al patrulea, cu coeficienți întregi, fără rădăcini raționale, dar reductibil peste $\mathbb{Q}$: pornește de la produsul a două trinoame cu discriminant negativ și desfă parantezele. Dă-l unui coleg și cere-i să decidă dacă este ireductibil.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează o idee de care depinde toată algebra de liceu: proprietățile unui polinom nu-i aparțin numai lui, ci perechii formate din polinom și corpul coeficienților. Elevii care înțeleg asta nu mai scriu „$X^2+2$ nu se descompune" ca pe un adevăr absolut și încep să întrebe, corect, „peste ce corp?".

De verificat în caiet: (1) fiecare afirmație de ireductibilitate precizează corpul; (2) criteriul rădăcinii se aplică numai la gradele $2$ și $3$; (3) descompunerile sunt verificate prin înmulțire; (4) în descompunerea finală factorii sunt monici, iar coeficientul dominant e scris separat. Întrebări de control: „Ce înseamnă ireductibil?"; „De ce $X^2-2$ e ireductibil peste $\mathbb{Q}$ și nu peste $\mathbb{R}$?"; „Care e capcana gradului $4$?"; „Câți factori are peste $\mathbb{C}$ un polinom de gradul $6$?".

La profilul matematică-informatică (mate-info), legătura cu codurile corectoare de erori și cu criptografia face tema mai ușor de motivat decât pare la prima vedere. La BAC, ea apare la Subiectul al II-lea sub forma „descompuneți polinomul în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$, apoi peste $\mathbb{C}$" și, în varianta cu clase de resturi, „descompuneți în ${\mathbb{Z}}_3[X]$". Semn că elevul a înțeles: la un polinom de gradul al patrulea fără rădăcini nu conchide imediat că este ireductibil, ci caută factorizarea în două trinoame.

Întrebări frecvente

Ce este un polinom ireductibil? Este un polinom de grad cel puțin $1$ care nu se poate scrie ca produs de două polinoame cu coeficienți în același corp, amândouă de grad cel puțin $1$. Scrierile în care unul dintre factori este o constantă nu se pun la socoteală, pentru că orice polinom admite astfel de scrieri și ele nu descompun nimic.

Cum verific dacă un polinom este ireductibil? Depinde de grad. La gradul $1$ este întotdeauna ireductibil. La gradele $2$ și $3$ este destul să verifici dacă are rădăcini în corp: dacă nu are, este ireductibil. De la gradul $4$ în sus trebuie verificat, în plus, dacă nu cumva se descompune în doi factori de gradul al doilea.

De ce depinde ireductibilitatea de corp? Pentru că factorii admiși trebuie să aibă coeficienți în acel corp. Polinomul $X^2-2$ nu se poate rupe folosind numai numere raționale, dar se rupe imediat dacă ai voie să folosești $\sqrt{2}$. Cu cât corpul conține mai multe numere, cu atât mai multe descompuneri devin posibile, deci cu atât mai puține polinoame rămân ireductibile.

Care sunt polinoamele ireductibile peste $\mathbb{R}$? Exact cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu discriminant strict negativ. Nu există polinoame reale ireductibile de gradul al treilea sau mai mare, pentru că rădăcinile nereale ale unui polinom cu coeficienți reali apar în perechi conjugate, iar fiecare pereche produce un factor real de gradul al doilea.

De ce criteriul rădăcinii nu merge la gradul al patrulea? Pentru că un polinom de gradul $4$ se poate scrie ca produs de doi factori de gradul $2$, iar niciunul nu are neapărat rădăcini în corp. Exemplul standard peste $\mathbb{Q}$ este $X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2-X+1)$, polinom fără nicio rădăcină reală și totuși reductibil.

Cum descompun un polinom peste ${\mathbb{Z}}_p$? Îl faci întâi monic, apoi încerci toate cele $p$ clase ca rădăcini și scoți, cu schema lui Horner, câte un factor $X-a$ pentru fiecare rădăcină găsită, inclusiv repetat. La final, dacă ce a rămas are gradul $2$ sau $3$ fără rădăcini, este ireductibil; dacă are gradul $4$, mai verifici produsele de două trinoame monice.

Este descompunerea în factori ireductibili unică? Da, abstracție făcând de ordinea factorilor, dacă îi ceri fiecărui factor să fie monic și scrii coeficientul dominant separat. Este exact situația de la descompunerea numerelor naturale în factori primi, iar polinoamele ireductibile joacă în $K[X]$ rolul numerelor prime în mulțimea numerelor naturale.

Unde apare tema la Bacalaureat M1? La Subiectul al II-lea, în problemele cu polinoame: „descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$", „arătați că $f$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$", „descompuneți în ${\mathbb{Z}}_3[X]$". Redactarea corectă cere precizarea corpului și justificarea ireductibilității fiecărui factor rămas, nu doar scrierea produsului.