Poziția relativă a două drepte: pe scurt

Un punct comun a două drepte este exact o pereche $(x,y)$ care verifică ambele ecuații, adică o soluție a sistemului format din ele. De aici corespondența care este miezul lecției: sistem compatibil determinat — drepte concurente; sistem incompatibil — paralele distincte; sistem compatibil nedeterminat — confundate.

O precizare de notație, ca să nu se amestece două lucruri diferite: aici $\Delta =a_1{b}_2-a_2{b}_1$ este determinantul sistemului, cel de ordinul al doilea de la regula lui Cramer — nu determinantul de ordinul al treilea cu care se verifică coliniaritatea a trei puncte, notat tot $\Delta$. Litera e aceeași, obiectele sunt distincte, iar contextul le separă: la coliniaritate se pornește de la trei puncte, aici de la două ecuații.

Criteriul: dreptele sunt concurente dacă și numai dacă $\Delta \ne 0$, iar atunci punctul comun se află cu $x=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$ și $y=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }$. Când $\Delta =0$ discuția nu s-a terminat: dacă măcar unul dintre ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ este nenul, dreptele sunt paralele distincte; dacă amândoi se anulează, sunt confundate. În limbajul rangului: $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$ — concurente; $\mathrm{rang}A=1<\mathrm{rang}\overline{A}$ — paralele distincte; ambele egale cu $1$ — confundate.

Verticalele se tratează cu determinantul, nu cu panta: dreapta $x=k$ nu are pantă, dar are coeficienți, iar o verticală taie orice dreaptă neverticală.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dreptele $d_1:3x-2y+4=0$ și $d_2:6x-4y-5=0$ sunt:

   • a) paralele distincte
   • b) concurente într-un punct
   • c) confundate, adică aceeași dreaptă
   • d) perpendiculare
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) paralele distincte

   Determinantul sistemului este $\Delta =3\cdot (-4)-6\cdot (-2)=0$, deci dreptele nu sunt concurente. Discuția continuă: ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-4& -2\\ 5& -4\end{array}\right|=26\ne 0$, deci sistemul este incompatibil și dreptele sunt paralele distincte. Control prin pante: ambele au $m=\frac{3}{2}$.

2. Dreptele $d_1:x=4$ și $d_2:3x+y-10=0$:

   • a) sunt paralele distincte, pentru că $d_1$ nu are pantă
   • b) sunt concurente, în punctul $(4,-2)$
   • c) sunt confundate, pentru că ambele trec prin $(4,-2)$
   • d) nu se pot compara, pentru că $d_1$ nu are pantă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) sunt concurente, în punctul $(4,-2)$

   Scriem $d_1$ sub forma generală, $1\cdot x+0\cdot y-4=0$. Atunci $\Delta =1\cdot 1-3\cdot 0=1\ne 0$, deci dreptele sunt concurente; înlocuind $x=4$ în a doua ecuație obținem $y=-2$. O verticală taie orice dreaptă neverticală — criteriul cu pante nu se poate nici măcar formula aici.

3. Despre dreptele $d_1:5x+2y-3=0$ și $d_2:-15x-6y+9=0$ se poate afirma că:

   • a) sunt paralele distincte, pentru că $\Delta =0$
   • b) sunt concurente, pentru că ${\Delta }_1={\Delta }_2=0$
   • c) nu au niciun punct comun
   • d) sunt confundate, pentru că $\Delta ={\Delta }_1={\Delta }_2=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) sunt confundate, pentru că $\Delta ={\Delta }_1={\Delta }_2=0$

   A doua ecuație este prima înmulțită cu $-3$, deci descrie aceeași dreaptă. Prin calcul: $\Delta =5\cdot (-6)-(-15)\cdot 2=0$, ${\Delta }_1=0$ și ${\Delta }_2=0$, deci sistemul este compatibil nedeterminat — o infinitate de puncte comune. Oprirea la $\Delta =0$ cu concluzia „paralele” este greșeala tipică.