Poziția relativă a două drepte în plan

Pe planul de situație al unui șantier sunt trasate două conducte, fiecare descrisă printr-o ecuație de forma $ax+by+c=0$. Înainte de a săpa, proiectantul are nevoie de un singur răspuns: se intersectează undeva, și atunci trebuie prevăzut un cămin de vizitare, sau merg alături fără să se atingă niciodată? Ochiul liber nu e o dovadă — două drepte cu pante $0,249$ și $0,250$ par paralele pe orice desen, dar se taie undeva, la câțiva kilometri.

Răspunsul se dă cu creionul, nu cu ochiul, și vine dintr-o observație simplă: un punct comun al celor două drepte este exact o pereche $(x,y)$ care verifică ambele ecuații, adică o soluție a sistemului format din ele. Poziția relativă a două drepte nu este, prin urmare, o temă nouă, ci o citire geometrică a unui lucru pe care îl știi deja face: rezolvarea unui sistem liniar de două ecuații cu două necunoscute. Toate uneltele capitolului de sisteme — determinantul, regula lui Cramer, rangul, compatibilitatea — se transformă aici în afirmații despre desen.

Ce vei învăța

• Vei ști să traduci poziția relativă a două drepte în numărul de soluții ale unui sistem liniar.
• Vei ști să decizi concurența cu determinantul sistemului, $\Delta =a_1{b}_2-a_2{b}_1$, și să afli punctul comun cu regula lui Cramer.
• Vei ști să separi, în cazul $\Delta =0$, paralelele distincte de dreptele confundate, folosind ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$ sau rangul matricei extinse.
• Vei ști să tratezi corect dreptele verticale, care nu au pantă și pentru care criteriul cu pante nu se poate scrie.
• Vei ști să faci discuția după un parametru: pentru ce valori dreptele se taie, sunt paralele sau coincid.
• Vei ști să scrii condiția ca trei drepte să fie concurente, cu un determinant de ordinul al treilea.

Hai să descoperim împreună

1. Două ecuații, un sistem, trei răspunsuri

Fie dreptele scrise sub forma generală

$$d_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0,d_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0,$$

unde $(a_1,b_1)\ne (0,0)$ și $(a_2,b_2)\ne (0,0)$ — altfel ecuațiile nu descriu drepte. Un punct $M(x,y)$ aparține ambelor drepte dacă și numai dacă perechea $(x,y)$ este soluție a sistemului

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=-c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=-c_2\end{array}$$

Aici intervine geometria, cu o singură observație: prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Prin urmare, dacă două drepte ar avea două puncte comune, ele ar coincide; două drepte distincte au deci cel mult un punct comun. Algebra spune același lucru în alt limbaj: un sistem liniar de două ecuații cu două necunoscute nu poate avea „două soluții" — ori are una, ori niciuna, ori o infinitate. Cele două afirmații se sprijină reciproc și lasă exact trei situații:

• sistemul e compatibil determinat (o soluție): dreptele sunt concurente și se taie în punctul dat de soluție;
• sistemul e incompatibil (nicio soluție): dreptele sunt paralele distincte;
• sistemul e compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții): dreptele sunt confundate, adică sunt una și aceeași dreaptă scrisă în două feluri.

Reține corespondența, pentru că ea este miezul lecției: soluție unică — concurente; incompatibil — paralele distincte; nedeterminat — confundate. Restul lecției nu face decât să dea criterii de calcul pentru fiecare caz.

2. Determinantul sistemului decide concurența

Matricea sistemului și matricea lui extinsă sunt

$$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right),\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& -c_1\\ a_2& b_2& -c_2\end{array}\right),$$

iar determinantul sistemului este $\Delta =\det A=a_1{b}_2-a_2{b}_1$.

⚠️ O precizare de notație, ca să nu se amestece două lucruri diferite. Aici $\Delta$ este determinantul sistemului, cel de ordinul al doilea de la regula lui Cramer — nu determinantul de ordinul al treilea cu care se verifică coliniaritatea a trei puncte, notat tot $\Delta$ în lecția precedentă. Litera e aceeași, pentru că ambele sunt notațiile consacrate; obiectele sunt însă distincte, iar din context se vede întotdeauna care este care: la coliniaritate se pornește de la trei puncte, aici de la două ecuații.

Teoremă. Dreptele $d_1$ și $d_2$ sunt concurente dacă și numai dacă $\Delta \ne 0$.

Justificarea e imediată: pentru $\Delta \ne 0$ sistemul este de tip Cramer, deci are soluție unică, iar aceasta se scrie

$$x=\frac{{\Delta }_1}{\Delta },y=\frac{{\Delta }_2}{\Delta },{\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-c_1& b_1\\ -c_2& b_2\end{array}\right|,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& -c_1\\ a_2& -c_2\end{array}\right|.$$

Reciproc, dacă $\Delta =0$, sistemul nu poate avea soluție unică (vezi secțiunea următoare), deci dreptele nu sunt concurente. Notațiile $\Delta$, ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ sunt cele fixate la sisteme și se păstrează întocmai.

În practică nu vei memora formulele lui $x$ și $y$: calculezi $\Delta$, iar dacă e nenul rezolvi sistemul cum îți vine mai comod — prin reducere, prin substituție sau chiar cu Cramer. Ce trebuie reținut este rolul lui $\Delta$: el este numărul care spune, dintr-o privire, dacă dreptele se taie.

Legătura cu pantele este și ea directă. Dacă niciuna dintre drepte nu este verticală, atunci $b_1\ne 0$, $b_2\ne 0$, iar pantele se citesc din coeficienți cu formula $m=-\frac{a}{b}$, stabilită la ecuația generală a dreptei: $m_1=-\frac{a_1}{b_1}$ și $m_2=-\frac{a_2}{b_2}$. Atunci

$$m_1-m_2=-\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_2{b}_1-a_1{b}_2}{b_1{b}_2}=-\frac{\Delta }{b_1{b}_2},$$

deci $\Delta \ne 0⟺m_1\ne m_2$: dreptele neverticale se taie exact când au pante diferite. Criteriul cu $\Delta$ este însă mai bun, pentru că funcționează și când una dintre drepte e verticală, caz în care panta nici nu există.

3. Când $\Delta =0$: paralele distincte sau confundate

Dacă $\Delta =0$, sistemul nu are soluție unică, dar mai sunt două posibilități. Le separăm privind ceilalți doi determinanți, ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$.

Teoremă. Fie $\Delta =0$. Atunci:

• dacă cel puțin unul dintre ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ este nenul, dreptele sunt paralele distincte;
• dacă ${\Delta }_1={\Delta }_2=0$, dreptele sunt confundate.

Demonstrație. Cum $(a_1,b_1)\ne (0,0)$, condiția $\Delta =0$ spune că a doua linie a matricei $A$ este proporțională cu prima: există $t$ cu $a_2=t{a}_1$ și $b_2=t{b}_1$ (iar $t\ne 0$, altfel a doua ecuație nu ar mai fi de dreaptă). Atunci

$${\Delta }_1=b_1{c}_2-b_2{c}_1=b_1(c_2-t{c}_1),{\Delta }_2=c_1{a}_2-c_2{a}_1=a_1(t{c}_1-c_2).$$

Dacă $c_2=t{c}_1$, ambii determinanți se anulează, iar a doua ecuație este prima înmulțită cu $t$ — aceeași dreaptă. Dacă $c_2\ne t{c}_1$, cel puțin unul dintre $a_1$, $b_1$ fiind nenul, cel puțin unul dintre ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ este nenul; în acest caz sistemul cere simultan $a_{1}x+b_{1}y=-c_1$ și $t(a_{1}x+b_{1}y)=-c_2$, adică $-t{c}_1=-c_2$, fals. Sistemul e incompatibil, deci dreptele n-au niciun punct comun, dar au aceeași direcție: sunt paralele distincte. $■$

Aceeași concluzie, în limbajul rangului. Cele două matrice, $A$ și $\overline{A}$, spun tot, prin teorema Kronecker-Capelli:

Minorii de ordinul al doilea ai matricei extinse sunt, până la semn, chiar $\Delta$, ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$ — de aceea cele două citiri, cea cu determinanți și cea cu ranguri, dau întotdeauna același verdict. Alege-o pe care o preferi, dar scrie-o până la capăt.

4. Tabloul complet al celor trei cazuri

Un mod echivalent de a citi cazurile II și III, pe care îl întâlnești des în manuale, este cel cu rapoarte: dreptele sunt paralele distincte când $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$ și confundate când toate trei rapoartele sunt egale. Scrierea e comodă, dar are un defect serios: cere ca $a_2$, $b_2$, $c_2$ să fie toate nenule, ceea ce nu se întâmplă niciodată la o dreaptă verticală, orizontală sau care trece prin origine. Determinanții nu au această slăbiciune, așa că ei rămân forma de lucru.

5. Cazul verticalelor — de tratat separat, de fiecare dată

O dreaptă verticală are ecuația $x=k$, adică $1\cdot x+0\cdot y-k=0$: coeficientul lui $y$ este $b=0$ și panta nu este definită, pentru că $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Prin urmare, orice raționament care începe cu „fie $m_1$ și $m_2$ pantele celor două drepte" exclude tacit verticalele și trebuie completat.

Cele trei situații se rezolvă totuși ușor, tot cu $\Delta$:

• două verticale, $x=k_1$ și $x=k_2$: $\Delta =1\cdot 0-1\cdot 0=0$, iar ${\Delta }_2=k_2-k_1$. Sunt confundate pentru $k_1=k_2$ și paralele distincte în rest — răspuns firesc, dar obținut prin calcul, nu prin desen;
• o verticală și o dreaptă cu pantă, $x=k$ și $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ cu $b_2\ne 0$: $\Delta =1\cdot b_2-a_2\cdot 0=b_2\ne 0$, deci sunt întotdeauna concurente. Punctul comun se află înlocuind $x=k$ în a doua ecuație;
• o verticală și o orizontală, $x=k$ și $y=h$: se taie în punctul $(k,h)$.

Reține concluzia scurtă: o verticală taie orice dreaptă care nu este verticală.

Rețeta de lucru, când în enunț apare o ecuație fără $y$, este așadar simplă și merită scrisă o dată pentru totdeauna. Nu încerci să afli panta, pentru că nu există; scrii dreapta sub forma generală, cu coeficientul lui $y$ egal cu zero, și lași determinantul să hotărască. Dacă ai de-a face cu o verticală și o dreaptă oarecare, poți chiar sări peste calcul: verdictul e „concurente", iar punctul comun se obține înlocuind valoarea lui $x$ în cealaltă ecuație. Singurul caz în care mai ai ceva de gândit este cel al două verticale, unde compari pur și simplu cele două valori ale abscisei.

Aceeași grijă se cere și la orizontale, chiar dacă acolo panta există și este $0$: dreapta $y=h$ are coeficientul lui $x$ egal cu zero, deci rapoartele de coeficienți amintite în secțiunea precedentă nu se pot scrie nici pentru ea.

6. Discuția după un parametru

Când coeficienții depind de un parametru, poziția relativă se schimbă odată cu el. Metoda are trei pași, mereu aceiași: calculezi $\Delta$ ca funcție de parametru, rezolvi ecuația $\Delta =0$, apoi iei pe rând valorile găsite și, în fiecare, calculezi ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$ ca să separi cazul II de cazul III. Pentru celelalte valori, $\Delta \ne 0$ și dreptele sunt concurente.

Greșeala tipică este oprirea după primul pas: „$\Delta =0$, deci dreptele sunt paralele". Nu — $\Delta =0$ înseamnă doar că nu sunt concurente; ele pot fi la fel de bine confundate, ceea ce e cu totul altceva.

O a doua capcană, mai discretă, ține de ordinea în care scrii răspunsul. Cazul general — cel cu infinit de multe valori ale parametrului — se enunță o singură dată, la început, spunând clar din ce mulțime se ia parametrul; abia apoi se iau, pe rând, valorile excepționale. Dacă discuția începe cu ele, e ușor să uiți să mai spui ce se întâmplă în rest, iar un răspuns care acoperă doar două valori dintr-o infinitate nu este o discuție, ci o observație.

7. Trei drepte concurente

Fie trei drepte, $d_i:a_{i}x+b_{i}y+c_i=0$, $i\in \{1,2,3\}$. A cere ca ele să treacă prin același punct înseamnă a cere ca sistemul de trei ecuații cu două necunoscute să fie compatibil. Dacă cele trei drepte au un punct comun $(x_0,y_0)$, atunci sistemul liniar omogen

$$a_i{x}_0+b_i{y}_0+c_i\cdot 1=0,i\in \{1,2,3\},$$

privit ca sistem în necunoscutele $(x_0,y_0,1)$, are o soluție cu ultima componentă egală cu $1$, deci nebanală. Un sistem omogen de trei ecuații cu trei necunoscute are soluții nebanale numai când determinantul lui este nul, așa că obținem condiția

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|=0.$$

⚠️ Condiția este necesară, dar nu suficientă: determinantul se anulează și când cele trei drepte sunt paralele, sau când două dintre ele sunt confundate. Convinge-te pe un exemplu: pentru dreptele $x+y=0$, $x+y-1=0$ și $x+y-2=0$, care sunt paralele două câte două și nu au niciun punct comun, determinantul are primele două coloane egale (toate elementele lor sunt $1$), deci este nul. Anularea lui spune, corect, că sistemul de trei ecuații nu este „prea încărcat"; ea nu garantează însă că cele trei condiții pot fi îndeplinite simultan de un punct al planului. De aceea, la un exercițiu, calculul determinantului dă valorile candidat ale parametrului, iar concluzia se scrie numai după ce verifici că dreptele chiar au un punct comun. Cel mai sigur traseu în practică rămâne celălalt: afli punctul de intersecție al primelor două drepte și îl impui pe a treia.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Drepte concurente, cu regula lui Cramer

Stabiliți poziția relativă a dreptelor $d_1:3x-2y+1=0$ și $d_2:x+4y-9=0$ și, dacă e cazul, determinați punctul lor comun.

Rezolvare. Sistemul este $3x-2y=-1$, $x+4y=9$, cu

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 4\end{array}\right|=12+2=14\ne 0,$$

deci dreptele sunt concurente. Apoi

$${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ 9& 4\end{array}\right|=-4+18=14,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 9\end{array}\right|=27+1=28,$$

deci $x=\frac{14}{14}=1$ și $y=\frac{28}{14}=2$. Punctul comun este $P(1,2)$.

Verificare (obligatorie, în ambele ecuații): $3\cdot 1-2\cdot 2+1=0$ ✓ și $1+4\cdot 2-9=0$ ✓. Control prin pante: $m_1=\frac{3}{2}$, $m_2=-\frac{1}{4}$, diferite — și ele confirmă concurența.

Exemplul 2 — Paralele distincte

Stabiliți poziția relativă a dreptelor $d_1:2x-3y+5=0$ și $d_2:4x-6y-7=0$.

Rezolvare. Sistemul este $2x-3y=-5$, $4x-6y=7$. Avem

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& -6\end{array}\right|=-12+12=0,{\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-5& -3\\ 7& -6\end{array}\right|=30+21=51\ne 0.$$

Suntem în cazul II: dreptele sunt paralele distincte. În limbajul rangului: $\mathrm{rang}A=1$ (liniile lui $A$ sunt proporționale, dar $A$ nu e nulă), iar minorul lui $\overline{A}$ format din coloanele întâi și a treia este $2\cdot 7-4\cdot (-5)=34\ne 0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2$ și sistemul e incompatibil.

Control prin pante: $m_1=\frac{2}{3}$ și $m_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ — egale, deci dreptele au aceeași direcție.

Exemplul 3 — Drepte confundate

Stabiliți poziția relativă a dreptelor $d_1:2x-3y+5=0$ și $d_2:-6x+9y-15=0$.

Rezolvare. Sistemul este $2x-3y=-5$, $-6x+9y=15$, iar

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ -6& 9\end{array}\right|=18-18=0,{\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-5& -3\\ 15& 9\end{array}\right|=-45+45=0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}2& -5\\ -6& 15\end{array}\right|=30-30=0.$$

Toți trei sunt nuli, deci dreptele sunt confundate. Se vede și direct: a doua ecuație este prima înmulțită cu $-3$. Mulțimea punctelor comune este dreapta însăși, adică o infinitate de puncte.

Exemplul 4 — O dreaptă verticală

Stabiliți poziția relativă a dreptelor $d_1:x=3$ și $d_2:2x+y-8=0$. Ce se întâmplă dacă înlocuim $d_2$ cu $d_3:x=5$?

Rezolvare. Scriem $d_1$ sub forma generală: $1\cdot x+0\cdot y-3=0$. Sistemul cu $d_2$ are

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=1\ne 0,$$

deci dreptele sunt concurente; înlocuind $x=3$ în a doua ecuație obținem $y=8-6=2$, adică punctul $P(3,2)$.

Cu $d_3:x=5$ avem $\Delta =1\cdot 0-1\cdot 0=0$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 5\end{array}\right|=2\ne 0$, deci paralele distincte.

Observă că, în ambele situații, criteriul cu pante nu se poate nici măcar formula: dreapta $x=3$ nu are pantă. Determinantul, în schimb, funcționează fără nicio precauție.

Exemplul 5 — Discuție după un parametru

Discutați, în funcție de $m\in \mathbb{R}$, poziția relativă a dreptelor $d_1:mx+y-3=0$ și $d_2:4x+my-6=0$.

Rezolvare. Sistemul este $mx+y=3$, $4x+my=6$, cu

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 4& m\end{array}\right|=m^2-4,{\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& m\end{array}\right|=3m-6,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}m& 3\\ 4& 6\end{array}\right|=6m-12.$$

Cazul $m\notin \{-2,2\}$: $\Delta \ne 0$, dreptele sunt concurente, iar $$x=\frac{3(m-2)}{(m-2)(m+2)}=\frac{3}{m+2},y=\frac{6(m-2)}{(m-2)(m+2)}=\frac{6}{m+2}.$$

Cazul $m=2$: $\Delta ={\Delta }_1={\Delta }_2=0$, deci dreptele sunt confundate — într-adevăr, ele devin $2x+y-3=0$ și $4x+2y-6=0$, a doua fiind dublul primei.

Cazul $m=-2$: $\Delta =0$, dar ${\Delta }_1=-12\ne 0$, deci paralele distincte — ele devin $-2x+y-3=0$ și $4x-2y-6=0$, adică $y=2x+3$ și $y=2x-3$.

Verificare pe o valoare oarecare: pentru $m=0$ formulele dau $x=\frac{3}{2}$, $y=3$; înlocuind în $y=3$ și $4x=6$ obținem exact aceste valori ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră dreptele $d_1:x-y+1=0$, $d_2:2x+y-7=0$ și $d_3:x+2y+m=0$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Arătați că $d_1$ și $d_2$ sunt concurente și determinați punctul lor comun. b) Determinați $m$ pentru care cele trei drepte sunt concurente. c) Verificați rezultatul de la punctul b) cu ajutorul unui determinant de ordinul al treilea.

Rezolvare. a) $\Delta =\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=1+2=3\ne 0$, deci sunt concurente. Din prima ecuație $y=x+1$; înlocuind în a doua, $2x+x+1-7=0$, deci $x=2$ și $y=3$. Punctul comun este $P(2,3)$; verificare: $2-3+1=0$ ✓ și $4+3-7=0$ ✓.

b) Cele trei drepte sunt concurente exact când $P\in d_3$: $2+2\cdot 3+m=0$, deci $m=-8$.

c) Condiția necesară este anularea determinantului format cu coeficienții celor trei drepte:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& -7\\ 1& 2& m\end{array}\right|=1(m+14)+1(2m+7)+1(4-1)=3m+24.$$

Din $3m+24=0$ obținem $m=-8$, aceeași valoare. Pentru ea, $d_3:x+2y-8=0$ trece într-adevăr prin $P(2,3)$, deci concluzia e confirmată.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi cele două ecuații sub forma generală, apoi calculează $\Delta$ și, dacă e nul, pe ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$.

1. Stabilește poziția relativă a dreptelor $x+y-5=0$ și $2x-y-1=0$ și află punctul lor comun.

2. Stabilește poziția relativă a dreptelor $3x-y+2=0$ și $6x-2y-5=0$.

3. Stabilește poziția relativă a dreptelor $x-2y+3=0$ și $-2x+4y-6=0$.

4. Determină punctul comun al dreptelor $y=4x-7$ și $y=-x+3$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două drepte au pante egale, atunci ele nu au niciun punct comun."

6. Stabilește poziția relativă a dreptelor $x=-2$ și $3x-y+4=0$, apoi află punctul lor comun.

7. Stabilește poziția relativă a dreptelor $x=7$ și $2x-14=0$.

8. Calculează $\Delta$, ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$ pentru dreptele $5x+2y-1=0$ și $3x-y+4=0$, apoi scrie punctul lor comun.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\Delta =0$, atunci dreptele sunt paralele distincte."

10. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care dreptele $mx-y+2=0$ și $9x-my-3=0$ nu sunt concurente, apoi precizează, pentru fiecare valoare găsită, poziția lor exactă.

11. Arată că dreptele $2x+3y-12=0$ și $4x+6y-24=0$ sunt confundate și scrie trei puncte care le aparțin.

12. (Problemă aplicată.) Pe un plan de situație, o alee are ecuația $x-3y+6=0$, iar un gard are ecuația $2x-6y+5=0$ (unitatea este metrul). Se intersectează? Justifică prin calcul.

13. Determină $a\in \mathbb{R}$ pentru care dreptele $ax+2y-1=0$ și $3x+y+4=0$ sunt paralele distincte.

14. Arată că dreptele $x+y-4=0$, $x-y=0$ și $3x-y-4=0$ sunt concurente.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră dreptele $d_1:2x-y-3=0$, $d_2:x+y-6=0$ și $d_3:x-2y+m=0$. a) Determină punctul comun al dreptelor $d_1$ și $d_2$. b) Determină $m$ pentru care cele trei drepte sunt concurente. c) Scrie determinantul de ordinul al treilea format cu coeficienții celor trei drepte și verifică valoarea găsită.

16. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul format din ecuațiile dreptelor $2x+my-1=0$ și $mx+8y+3=0$ este incompatibil.

17. Scrie ecuația unei drepte care trece prin $A(0,5)$ și este confundată cu dreapta $2x-y+5=0$. Câte astfel de ecuații există?

18. (Provocare.) Fie $d_1:x+y-2=0$, $d_2:x-y=0$ și $d_3:mx+y-m-1=0$. Arată că, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$, dreapta $d_3$ trece prin punctul comun al dreptelor $d_1$ și $d_2$.

Răspunsuri și explicații

1. $\Delta =\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$, deci concurente. Adunând ecuațiile scrise ca $x+y=5$ și $2x-y=1$: $3x=6$, $x=2$, $y=3$. Punctul este $P(2,3)$; verificare: $2+3-5=0$ ✓, $4-3-1=0$ ✓.

2. $\Delta =3\cdot (-2)-6\cdot (-1)=0$, iar ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-2& -1\\ 5& -2\end{array}\right|=4+5=9\ne 0$: paralele distincte. Control prin pante: ambele au $m=3$.

3. $\Delta =1\cdot 4-(-2)(-2)=0$, ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-3& -2\\ 6& 4\end{array}\right|=-12+12=0$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 6\end{array}\right|=6-6=0$: confundate (a doua ecuație este prima înmulțită cu $-2$).

4. Egalăm: $4x-7=-x+3$, deci $5x=10$, $x=2$ și $y=1$. Punctul este $P(2,1)$; verificare: $4\cdot 2-7=1$ ✓, $-2+3=1$ ✓.

5. Fals. Pante egale înseamnă doar că dreptele nu sunt concurente; ele pot fi paralele distincte, dar pot fi și confundate, caz în care au o infinitate de puncte comune. Exemplu: $y=2x+1$ și $2y=4x+2$.

6. $x=-2$ se scrie $1\cdot x+0\cdot y+2=0$, deci $\Delta =1\cdot (-1)-3\cdot 0=-1\ne 0$: concurente. Înlocuind $x=-2$: $y=3\cdot (-2)+4=-2$. Punctul este $P(-2,-2)$.

7. A doua ecuație este prima înmulțită cu $2$, deci $\Delta ={\Delta }_1={\Delta }_2=0$: dreptele sunt confundate (aceeași verticală $x=7$).

8. $\Delta =5\cdot (-1)-3\cdot 2=-11$, ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -4& -1\end{array}\right|=-1+8=7$, ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ 3& -4\end{array}\right|=-20-3=-23$. Punctul comun este $\left(-\frac{7}{11},\frac{23}{11}\right)$; verificare în prima ecuație: $-\frac{35}{11}+\frac{46}{11}-1=0$ ✓.

9. Fals. $\Delta =0$ înseamnă doar că dreptele nu sunt concurente. Ele sunt paralele distincte dacă cel puțin unul dintre ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ e nenul și confundate dacă amândoi sunt nuli.

10. $\Delta =m\cdot (-m)-9\cdot (-1)=9-m^2$, care se anulează pentru $m\in \{-3,3\}$. Pentru $m=3$: ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-2& -1\\ 3& -3\end{array}\right|=6+3=9\ne 0$, deci paralele distincte. Pentru $m=-3$: dreptele devin $-3x-y+2=0$ și $9x+3y-3=0$, iar ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-2& -1\\ 3& 3\end{array}\right|=-6+3=-3\ne 0$, deci tot paralele distincte.

11. A doua ecuație este prima înmulțită cu $2$, deci $\Delta ={\Delta }_1={\Delta }_2=0$ și dreptele sunt confundate. Puncte: $(0,4)$, $(6,0)$, $(3,2)$ — fiecare verifică ambele ecuații.

12. $\Delta =1\cdot (-6)-2\cdot (-3)=0$, iar ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-6& -3\\ -5& -6\end{array}\right|=36-15=21\ne 0$: dreptele sunt paralele distincte, deci aleea și gardul nu se intersectează.

13. Paralelismul (fără coincidență) cere $\Delta =a\cdot 1-3\cdot 2=0$, deci $a=6$. Verificăm că nu sunt confundate: ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -4& 1\end{array}\right|=1+8=9\ne 0$ ✓. Deci $a=6$.

14. Primele două: $x+y=4$ și $x=y$ dau $x=y=2$, deci $P(2,2)$. Înlocuim în a treia: $3\cdot 2-2-4=0$ ✓. Cele trei drepte sunt concurente în $P(2,2)$.

15. a) $\Delta =2\cdot 1-1\cdot (-1)=3\ne 0$; din $y=2x-3$ și $x+y=6$ obținem $3x=9$, $x=3$, $y=3$, deci $P(3,3)$. b) $3-6+m=0$, deci $m=3$. c) $\left|\begin{array}{ccc}2& -1& -3\\ 1& 1& -6\\ 1& -2& m\end{array}\right|=2(m-12)+1(m+6)-3(-2-1)=3m-9$, care se anulează pentru $m=3$ ✓.

16. Sistemul e incompatibil când dreptele sunt paralele distincte. $\Delta =16-m^2=0$ dă $m\in \{-4,4\}$. Pentru $m=4$: ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ -3& 8\end{array}\right|=8+12=20\ne 0$ ✓; pentru $m=-4$: ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}1& -4\\ -3& 8\end{array}\right|=8-12=-4\ne 0$ ✓. Deci $m\in \{-4,4\}$.

17. Dreapta $2x-y+5=0$ trece prin $A(0,5)$, pentru că $0-5+5=0$. Orice ecuație obținută înmulțind-o cu un număr nenul descrie aceeași dreaptă: $4x-2y+10=0$, $-2x+y-5=0$ și așa mai departe. Există deci o infinitate de astfel de ecuații, dar o singură dreaptă.

18. Primele două drepte se taie în $P(1,1)$ (din $x=y$ și $x+y=2$). Înlocuind în a treia: $m\cdot 1+1-m-1=0$, adevărat pentru orice $m$. Deci $d_3$ trece prin $P$ indiferent de valoarea parametrului — este un „fascicul" de drepte prin punctul $P$.

De reținut

• Punctele comune a două drepte = soluțiile sistemului format din ecuațiile lor. De aici cele trei cazuri: soluție unică — concurente; incompatibil — paralele distincte; nedeterminat — confundate.
• $\Delta =a_1{b}_2-a_2{b}_1$ decide concurența: dreptele se taie dacă și numai dacă $\Delta \ne 0$, iar atunci punctul comun se află cu $x=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }$.
• Când $\Delta =0$, discuția nu s-a terminat: dacă ${\Delta }_1$ sau ${\Delta }_2$ e nenul, dreptele sunt paralele distincte; dacă amândoi sunt nuli, sunt confundate.
• Traducerea în ranguri: $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$ — concurente; $\mathrm{rang}A=1<\mathrm{rang}\overline{A}$ — paralele distincte; $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=1$ — confundate.
• Verticalele se tratează cu determinantul, nu cu panta: dreapta $x=k$ nu are pantă, dar are coeficienți, iar o verticală taie orice dreaptă neverticală.

Greșeli frecvente

• Oprirea la $\Delta =0$ cu concluzia „paralele". Determinantul nul exclude doar concurența. Fără ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$ nu poți ști dacă dreptele sunt paralele distincte sau confundate.
• Folosirea rapoartelor $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ fără grijă la numitori. Dacă $a_2=0$ sau $b_2=0$, raportul nu are sens. Determinanții nu au această problemă.
• Uitarea verticalelor. O soluție care începe cu „pantele sunt $m_1$ și $m_2$" e incompletă dacă în enunț poate apărea o dreaptă de forma $x=k$; ea trebuie tratată separat, în cuvinte.
• Concluzia „trei drepte concurente" doar din determinantul nul. Condiția e necesară, nu suficientă: el se anulează și când cele trei drepte sunt paralele. Verifică întotdeauna punctul.
• Necitirea soluției în limbaj geometric. Un sistem nedeterminat nu înseamnă „exercițiu greșit", ci că cele două ecuații descriu aceeași dreaptă.

Aplică acasă

1. Harta cartierului. Alege pe o hartă două străzi drepte și citește coordonatele a câte două puncte de pe fiecare (folosește o grilă desenată de tine). Scrie ecuațiile celor două drepte, calculează $\Delta$ și verifică dacă răspunsul tău („se intersectează / sunt paralele") corespunde cu ce se vede pe hartă.

2. Fasciculul prin punct. Pe caiet, alege un punct $P$ și scrie cinci ecuații de drepte care trec prin el. Verifică apoi, pentru trei dintre ele, că determinantul de ordinul al treilea format cu coeficienții este nul.

3. Fabrica de exemple. Scrie o dreaptă oarecare, apoi construiește-i o pereche paralelă distinctă (schimbi doar termenul liber) și una confundată (înmulțești toată ecuația cu $-5$). Calculează pentru fiecare pereche $\Delta$, ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ și compară cu tabloul celor trei cazuri.

Pentru părinți și profesori

Lecția este puntea dintre două capitole care par fără legătură: sistemele de ecuații liniare și geometria analitică. Ideea centrală — poziția relativă a două drepte se citește din numărul de soluții al unui sistem — este ceea ce trebuie să rămână; formulele cu ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$ sunt doar unelte de calcul.

De verificat în caiet: (1) ecuațiile sunt aduse la forma generală înainte de orice calcul; (2) după $\Delta =0$ elevul continuă discuția, nu sare direct la „paralele"; (3) punctul găsit e verificat în ambele ecuații; (4) la exercițiile cu parametru, fiecare valoare care anulează pe $\Delta$ e analizată separat.

Întrebări de control: „Ce înseamnă geometric un sistem incompatibil?", „Poate o dreaptă verticală să fie paralelă cu una oblică?", „Dacă $\Delta =0$, ce mai ai de calculat?". Semn că a înțeles: privind două ecuații proporționale, spune imediat „aceeași dreaptă", fără să calculeze nimic.

La BAC M1, tema apare mai ales în subiectul al III-lea sau ca subpunct într-o problemă de geometrie analitică: se cere punctul de intersecție a două drepte, apoi o condiție de concurență a trei drepte, cu un parametru. Numerele sunt mereu mici, alese ca să se lucreze fără calculator.

Întrebări frecvente

Cum stabilesc dacă două drepte sunt concurente? Calculezi determinantul $\Delta =a_1{b}_2-a_2{b}_1$ format cu coeficienții lui $x$ și $y$ din ecuațiile generale. Dacă $\Delta \ne 0$, dreptele sunt concurente și au exact un punct comun; dacă $\Delta =0$, ele sunt paralele distincte sau confundate.

Care e diferența dintre drepte paralele și drepte confundate? Paralele distincte înseamnă aceeași direcție, dar niciun punct comun (sistemul e incompatibil). Confundate înseamnă că cele două ecuații descriu una și aceeași dreaptă, deci au o infinitate de puncte comune (sistemul e nedeterminat).

Ce fac dacă una dintre drepte este verticală? Nu folosești pantele — dreapta $x=k$ nu are pantă. O scrii sub forma generală, $1\cdot x+0\cdot y-k=0$, și aplici criteriul cu determinanți. O verticală se taie cu orice dreaptă neverticală și e paralelă doar cu alte verticale.

Cum aflu punctul de intersecție a două drepte? Rezolvi sistemul format din cele două ecuații, prin reducere, prin substituție sau cu regula lui Cramer, apoi verifici perechea găsită în ambele ecuații. Verificarea nu e opțională: la Bacalaureat M1 ea aduce puncte în barem.

Când sunt trei drepte concurente? Când au un punct comun. Practic, afli punctul de intersecție a două dintre ele și impui ca el să verifice și a treia ecuație. Determinantul de ordinul al treilea format cu coeficienții trebuie să fie nul, dar condiția aceasta este doar necesară.

Ce legătură are poziția relativă cu rangul matricelor? Rangul matricei sistemului și cel al matricei extinse decid compatibilitatea: egale și valoarea $2$ — concurente; $1$ și $2$ — paralele distincte; ambele $1$ — confundate. Este teorema Kronecker-Capelli, citită pe desen.

Ce înseamnă, geometric, un sistem incompatibil? Înseamnă că cele două condiții nu pot fi îndeplinite deodată de niciun punct, adică dreptele nu se întâlnesc nicăieri: sunt paralele distincte. La fel, un sistem nedeterminat înseamnă că orice punct al unei drepte îl satisface și pe celălalt, deci dreptele coincid.

De ce se preferă determinanții în locul rapoartelor de coeficienți? Pentru că rapoartele cer numitori nenuli, iar dreptele verticale, orizontale sau care trec prin origine au coeficienți nuli. Criteriul cu determinanți funcționează în toate cazurile, fără excepții de memorat.