Primitiva cu o condiție dată: pe scurt

Pe un interval $I$, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, așa că o singură condiție fixează primitiva: pentru orice $x_0\in I$ și orice număr real $y_0$ există exact o primitivă $F$ a lui $f$ cu $F(x_0)=y_0$. Unicitatea vine din Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, iar existența din faptul că mulțimea primitivelor este $G(x)+\mathcal{C}$.

Rețeta constantei are trei etape: Etapa 1 — scrii mulțimea primitivelor, $F(x)=G(x)+c$, cu constanta la vedere; Etapa 2 — impui condiția și determini numărul $c$; Etapa 3 — verifici prin derivare. Cerința „graficul lui $F$ trece prin $A(x_0,y_0)$” înseamnă exact $F(x_0)=y_0$, iar graficele primitivelor sunt translatate pe verticală unul față de altul.

Atenție la domeniu: pe o reuniune de intervale, cum este ${\mathbb{R}}^{\ast }$ pentru $f(x)=\frac{1}{x}$, o singură condiție nu ajunge — fiecare ramură are constanta ei, deci sunt necesare două condiții.

În modelări, primitiva reconstituie mărimea din rata ei de variație, iar constanta este întotdeauna valoarea inițială: din accelerație obții viteza, din viteză poziția, din debit volumul, din putere energia, din costul marginal costul total (constanta fiind costul fix). Rezultatul se scrie cu unitatea de măsură.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2-2x$, și $F$ primitiva ei cu $F(1)=4$. Atunci $F(2)$ este:

   • a) $12$
   • b) $15$
   • c) $16$
   • d) $21$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $15$

   Primitivele sunt $F(x)=2x^3-x^2+c$. Condiția dă $2-1+c=4$, deci $c=3$ și $F(x)=2x^3-x^2+3$, de unde $F(2)=16-4+3=15$. Varianta $12$ apare dacă uiți constanta la Etapa 1, varianta $16$ dacă iei drept constantă chiar valoarea impusă ($c=4$), iar $21$ dacă pierzi semnul minus și integrezi $6x^2+2x$.

2. Fie $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$. Care afirmație este adevărată?

   • a) condiția $F(1)=0$ determină o singură funcție derivabilă $F$ cu $F{}^{\prime }=f$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • b) orice două funcții $F$ și $G$ cu $F{}^{\prime }=G{}^{\prime }=f$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ diferă printr-o constantă
   • c) $f$ nu admite primitive pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • d) sunt necesare două condiții, câte una pe fiecare interval al domeniului
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) sunt necesare două condiții, câte una pe fiecare interval al domeniului

   Domeniul ${\mathbb{R}}^{\ast }$ este o reuniune de două intervale, iar pe fiecare constanta se alege independent: $F(x)=\ln |x|+c_1$ pe $(-\infty ,0)$ și $\ln |x|+c_2$ pe $(0,+\infty )$. Condiția $F(1)=0$ fixează doar $c_2$, deci rămâne o infinitate de funcții — de aceea afirmațiile de la a) și b) sunt false. Primitive există pe fiecare interval, deci nici c) nu se susține.

3. Un rezervor conține $8$ litri de lichid la momentul $t=0$, iar debitul de umplere este $Q(t)=3t^2+2$ litri pe minut. Volumul din rezervor după $3$ minute este:

   • a) $41$ litri
   • b) $33$ litri
   • c) $29$ litri
   • d) $35$ litri
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $41$ litri

   Volumul este primitiva debitului cu $V(0)=8$: $V(t)=t^3+2t+8$, deci $V(3)=27+6+8=41$ litri. Varianta $33$ uită volumul inițial (constanta), varianta $29$ dă chiar debitul $Q(3)$ — adică rata, nu mărimea —, iar $35$ pierde termenul $2t$.