Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Primitiva care îndeplinește o condiție; modelări cu primitive

Primitiva care îndeplinește o condiție; modelări cu primitive

Q: Cum determin constanta de integrare?

Scrii mai întâi mulțimea tuturor primitivelor, sub forma F(x) = G(x) + c, apoi înlocuiești în condiția dată. Din egalitatea G(x₀) + c = y₀ obții c = y₀ - G(x₀). La final verifici prin derivare că F' = f și că valoarea impusă se regăsește. Sunt cele trei etape ale rețetei constantei.

Q: Câte primitive trec prin același punct?

Pe un interval, exact una. Motivul este că două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă; dacă iau aceeași valoare într-un punct, constanta este nulă, deci funcțiile coincid. Geometric, graficele primitivelor sunt curbe translatate pe verticală, iar prin fiecare punct al benzii trece una singură.

Q: Ce înseamnă că graficul primitivei trece prin punctul A(x₀, y₀)?

Înseamnă exact F(x₀) = y₀. Este aceeași condiție, formulată geometric în loc de algebric. O întâlnești des la Bacalaureat M1, tocmai pentru că verifică dacă elevul face traducerea corect; odată tradusă, rezolvarea continuă identic, cu rețeta constantei.

Q: De ce viteza este o primitivă a accelerației?

Pentru că accelerația este, prin definiție, derivata vitezei: a(t) = v'(t). Citită invers, egalitatea spune că v este o funcție a cărei derivată este a, adică o primitivă a lui a. Constanta care apare este viteza la momentul inițial, v(0) = v₀, și se determină din datele problemei.

Q: Cum aflu costul total dacă știu costul marginal?

Costul marginal este derivata costului total, deci costul total este o primitivă a costului marginal. Constanta este costul fix, adică suma plătită chiar și pentru zero unități produse: C(0). Odată scris C(q), costul mediu se obține împărțind la q: C(q) = C(q)/q.

Q: De ce nu ajunge o condiție pentru funcții definite pe două intervale?

Pentru că teorema de unicitate se demonstrează pe un interval: acolo o derivată nulă înseamnă funcție constantă. Pe o reuniune de intervale, o funcție cu derivata nulă poate avea valori diferite pe ramuri diferite. Prin urmare fiecare ramură are constanta ei și cere propria condiție.

Q: Ce greșeală se face cel mai des la acest tip de exercițiu?

Uitarea constantei la primul pas. Fără ea nu mai există nimic de determinat, iar condiția din enunț pare fără sens. Pe locul al doilea sunt greșelile de semn la primitivele funcțiilor trigonometrice și rezultatele scrise fără unități de măsură la problemele de modelare.

Un GPS măsoară, din secundă în secundă, viteza mașinii. Din viteză, telefonul îți arată apoi poziția pe hartă — dar numai pentru că știe de unde ai plecat. Fără punctul de plecare, toate traseele posibile ar fi la fel de bune: aceeași formă, aceeași lungime, dar așezate oriunde pe hartă. Aceasta este, în două propoziții, toată lecția de față din programa de clasa a XII-a: viteza determină forma mișcării, iar o singură informație suplimentară — poziția la un moment dat — alege una singură dintre infinitatea de primitive.

Matematic, situația e cea din integrala nedefinită: mulțimea primitivelor lui $f$ pe un interval este $F (x) + C$ , adică o familie întreagă de funcții. O condiție de tipul $F (x_{0}) = y_{0}$ taie din familie exact una. Programa cere explicit, la competența XII.CS.6.5, „modelarea unor situații concrete care conduc la noțiunea de integrală nedefinită", iar la Bacalaureat M1 cerința apare aproape la fiecare sesiune, în formularea „fie $F$ primitiva lui $f$ cu $F (0) = \dots$ ".

Ce vei învăța

Vei ști de ce o singură condiție determină o singură primitivă pe un interval și vei ști să demonstrezi acest lucru.
Vei ști să aplici rețeta constantei pentru a găsi primitiva cu $F (x_{0}) = y_{0}$ sau al cărei grafic trece printr-un punct dat.
Vei ști de ce, pe o reuniune de intervale, o condiție nu mai ajunge.
Vei ști să treci de la viteză la poziție și de la accelerație la viteză, deducând formulele din cinematică.
Vei ști să treci de la o rată de variație la mărimea care variază: debit și volum, putere și energie, cost marginal și cost total.
Vei ști să redactezi complet o problemă de tip Bacalaureat M1 cu primitivă și condiție.

Hai să descoperim împreună

1. De ce o singură condiție fixează primitiva?

Primitiva care îndeplinește o condiție este acea funcție $F$ , dintre toate primitivele lui $f$ pe intervalul $I$ , care ia o valoare impusă într-un punct dat: $F (x_{0}) = y_{0}$ . Existența ei și, mai ales, unicitatea ei se sprijină pe faptul că două primitive ale aceleiași funcții, pe un interval, diferă printr-o constantă.

Teoremă. Fie $f$ o funcție care admite primitive pe intervalul $I$ , fie $x_{0} \in I$ și $y_{0} \in R$ . Atunci există exact o primitivă $F$ a lui $f$ pe $I$ cu proprietatea $F (x_{0}) = y_{0}$ .

Demonstrație. Existența. Fie $G$ o primitivă oarecare a lui $f$ pe $I$ și fie $F (x) = G (x) - G (x_{0}) + y_{0}$ . Funcția $F$ e derivabilă pe $I$ (diferă de $G$ printr-o constantă) și $F^{'} (x) = G^{'} (x) = f (x)$ , deci $F$ e primitivă a lui $f$ ; în plus $F (x_{0}) = G (x_{0}) - G (x_{0}) + y_{0} = y_{0}$ .

Unicitatea. Fie $F_{1}$ și $F_{2}$ două primitive ale lui $f$ pe $I$ cu $F_{1} (x_{0}) = F_{2} (x_{0}) = y_{0}$ . Funcția $h = F_{1} - F_{2}$ e derivabilă pe $I$ și $h^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0$ pentru orice $x \in I$ ; prin Consecința 1 a teoremei lui Lagrange (vezi consecințele teoremei lui Lagrange), $h$ e constantă pe $I$ . Cum $h (x_{0}) = 0$ , constanta e nulă, deci $F_{1} = F_{2}$ . $■$

⚠️ Ipoteza „ $I$ este interval" e esențială în ambele locuri; secțiunea 4 arată ce se strică fără ea.

2. Cum determini constanta de integrare?

Mecanismul l-ai văzut deja pe un exemplu, la lecția despre noțiunea de primitivă; aici îl fixăm ca procedură. Se numește, de aici încolo, rețeta constantei și are trei etape. O scriem o dată și o citează toate rezolvările următoare.

Etapa 1. Determini mulțimea tuturor primitivelor: $\int f (x) d x = G (x) + C$ , folosind tabelul primitivelor funcțiilor uzuale și liniaritatea. Scrii $F (x) = G (x) + c$ , cu $c \in R$ necunoscut.
Etapa 2. Impui condiția: $G (x_{0}) + c = y_{0}$ , de unde $c = y_{0} - G (x_{0})$ .
Etapa 3. Scrii răspunsul, $F (x) = G (x) + y_{0} - G (x_{0})$ , și verifici prin derivare că $F^{'} = f$ și că $F (x_{0}) = y_{0}$ .

Exemplu de lucru. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ , și cerem primitiva cu $F (1) = 5$ .

Etapa 1: $\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x = x^{3} - x^{2} + x + C$ , deci $F (x) = x^{3} - x^{2} + x + c$ . Etapa 2: $F (1) = 1 - 1 + 1 + c = 1 + c = 5$ , deci $c = 4$ . Etapa 3: $F (x) = x^{3} - x^{2} + x + 4$ . Verificare: $F^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1 = f (x)$ ✓ și $F (1) = 5$ ✓.

Reține deosebirea de notație: în mulțimea primitivelor scriem $C$ (mulțimea funcțiilor constante), iar când fixăm o primitivă anume scriem un număr $c$ . Sunt lucruri diferite: $C$ e o mulțime, $c$ e un număr.

Al doilea exemplu, cu o rescriere înainte de integrare. Fie $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x}$ , și cerem primitiva care se anulează în $x = 1$ .

Etapa 1 începe cu o transformare algebrică, nu cu o metodă de integrare: desfacem pătratul și împărțim termen cu termen, $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x} = x + 2 + \frac{1}{x}$ . Abia acum se vede că integrandul e o sumă de funcții din tabel, deci

$\int f (x) d x = \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + ln x + C, x > 0.$

Etapa 2: $F (1) = \frac{1}{2} + 2 + 0 + c = 0$ dă $c = - \frac{5}{2}$ . Etapa 3: $F (x) = \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + ln x - \frac{5}{2}$ , cu verificarea $F^{'} (x) = x + 2 + \frac{1}{x} = f (x)$ ✓. Regula pe care o reții: înainte de a căuta o metodă, uită-te dacă integrandul nu se rescrie mai simplu.

3. Ce înseamnă geometric „primitiva al cărei grafic trece prin punctul $A$ "?

Graficele tuturor primitivelor lui $f$ pe un interval se obțin unul din altul prin translație pe verticală. Ele formează o familie de curbe „paralele": în fiecare punct de aceeași abscisă, toate au aceeași pantă, $f (x)$ . Cerința „graficul lui $F$ trece prin $A (x_{0}, y_{0})$ " înseamnă exact $F (x_{0}) = y_{0}$ , deci teorema din secțiunea 1 spune că prin fiecare punct al benzii verticale de deasupra lui $I$ trece graficul unei singure primitive.

Din această imagine se citesc două lucruri utile la examen. Primul: dacă știi o primitivă, le știi pe toate. Al doilea: proprietățile de formă — monotonia, extremele, convexitatea, studiate în lecția despre proprietățile unei primitive deduse din funcție — sunt aceleași pentru toată familia; condiția $F (x_{0}) = y_{0}$ nu schimbă forma, ci doar înălțimea.

4. Atenție la domeniu: condiția fixează o singură ramură

Pe o reuniune de intervale, teorema nu mai e adevărată. Fie $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ . Pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului, primitivele sunt $ln ∣ x ∣$ plus o constantă — dar constantele pot fi diferite:

$F (x) = ln ∣ x ∣ + c_{1} pentru x < 0, F (x) = ln ∣ x ∣ + c_{2} pentru x > 0.$

Condiția $F (1) = 0$ dă $c_{2} = 0$ și nu spune nimic despre $c_{1}$ : rămâne o infinitate de funcții care satisfac cerința. Ca să fixezi complet o astfel de funcție îți trebuie câte o condiție pe fiecare interval. Situațiile de acest tip, împreună cu lipirea ramurilor în punctele de racord, sunt tratate în lecția despre primitivele funcțiilor definite pe ramuri.

Regula practică, de scris pe fișă: numeri intervalele domeniului și ceri tot atâtea condiții.

5. Modelul din cinematică: de la accelerație la viteză și la poziție

Aici se vede de ce noțiunea de primitivă a apărut, istoric, din fizică. Dacă un mobil se deplasează pe o dreaptă și notăm cu $x (t)$ poziția lui la momentul $t$ , atunci — cu definițiile de la clasa a XI-a din aplicațiile derivatelor în fizică — viteza este $v (t) = x^{'} (t)$ , iar accelerația este $a (t) = v^{'} (t)$ . Citite invers, cele două egalități spun:

poziția este o primitivă a vitezei; viteza este o primitivă a accelerației.

Constantele care apar au, de fiecare dată, sens fizic: constanta de la viteză este viteza inițială, constanta de la poziție este poziția inițială.

Deducerea formulelor mișcării uniform accelerate. Fie accelerația constantă, $a (t) = a$ . Atunci $v$ e o primitivă a funcției constante $a$ , deci $v (t) = a t + c$ ; punând $t = 0$ obținem $c = v (0) = v_{0}$ , adică

$v (t) = a t + v_{0} .$

Mai departe, $x$ e o primitivă a lui $v$ , deci $x (t) = \frac{a t ^{2}}{2} + v_{0} t + c^{'}$ ; punând $t = 0$ obținem $c^{'} = x (0) = x_{0}$ , adică

$x (t) = \frac{a t ^{2}}{2} + v_{0} t + x_{0} .$

Formulele pe care le știai din fizică nu sunt așadar reguli de memorat, ci rezultatul a două integrări succesive, cu două condiții inițiale.

Ce se întâmplă când viteza își schimbă semnul. Fie un mobil care pornește din origine cu viteza $v (t) = 10 - 2 t$ (m/s). Poziția e primitiva vitezei cu $x (0) = 0$ , deci $x (t) = 10 t - t^{2}$ . Viteza se anulează la $t = 5$ s, trecând de la $+$ la $-$ : prin lecția precedentă, $t = 5$ e punct de maxim al poziției, iar mobilul ajunge cel mai departe la $x (5) = 25$ m, după care se întoarce. Semnul vitezei spune, așadar, în ce sens merge mobilul, iar zeroul ei cu schimbare de semn spune când se întoarce.

6. Cum treci de la o rată de variație la mărimea care variază?

Schema se repetă identic în afara fizicii. Ori de câte ori o mărime $M$ depinde de timp și cunoști viteza ei de variație $M^{'} (t) = r (t)$ , funcția $M$ este o primitivă a lui $r$ , iar constanta este valoarea inițială $M (0)$ .

Rata cunoscută	Mărimea căutată	Constanta înseamnă
debitul $Q (t)$ (litri pe minut)	volumul $V (t)$ din rezervor	volumul inițial $V (0)$
puterea instantanee $P (t)$ (wați)	energia consumată $E (t)$	energia la momentul de start
viteza de creștere $r (t)$ (indivizi pe zi)	populația $P (t)$	populația inițială
costul marginal $C^{'} (q)$ (lei pe unitate)	costul total $C (q)$	costul fix $C (0)$

Exemplu. O aplicație câștigă abonați cu o rată care scade în timp: $r (t) = 300 - 12 t$ abonați pe lună, pentru $t \in [0, 25]$ , iar la momentul lansării avea $2000$ de abonați. Atunci $P$ e o primitivă a lui $r$ :

$P (t) = 300 t - 6 t^{2} + c, P (0) = 2000 \Rightarrow c = 2000.$

Deci $P (t) = 2000 + 300 t - 6 t^{2}$ . Numărul de abonați e maxim când $P^{'} (t) = r (t) = 0$ , adică la $t = 25$ de luni, cu $P (25) = 2000 + 7500 - 3750 = 5750$ de abonați — aici se vede și legătura cu lecția precedentă: maximul mărimii se află în zeroul cu schimbare de semn al ratei.

Al doilea exemplu, din electricitate. Un aparat consumă putere instantanee $P (t) = 5 sin t$ (wați), iar energia consumată se măsoară de la momentul de start, deci $E (0) = 0$ . Cum $E^{'} (t) = P (t)$ , funcția $E$ e primitiva lui $5 sin t$ cu $E (0) = 0$ :

$E (t) = - 5 cos t + c, E (0) = - 5 + c = 0 \Rightarrow c = 5, E (t) = 5 - 5 cos t (jouli) .$

Modelul e cel dat de programă și arată bine ce înseamnă constanta: fără ea, formula $- 5 cos t$ ar da la momentul $0$ o energie negativă, adică ceva fără sens fizic. Constanta e „reglarea la zero" a aparatului de măsură.

7. Costul marginal și costul total

Notațiile sunt cele fixate la clasa a XI-a, în optimizarea costului și a profitului: $C (q)$ = costul total pentru $q$ unități produse, $C^{'} (q)$ = costul marginal (costul aproximativ al unității suplimentare), $\overline{C} (q) = \frac{C ( q )}{q}$ = costul mediu. Bara de deasupra lui $C$ e cea din convenția de acolo, nu conjugatul.

În practică, o firmă își cunoaște costul marginal (îl măsoară) și costul fix (îl plătește oricum), iar din ele reconstituie costul total prin integrare.

Exemplu. Costul marginal al unei firme este $C^{'} (q) = 2 q + 4$ lei pe unitate, iar costul fix este de $100$ de lei. Atunci $C$ e primitiva lui $2 q + 4$ cu $C (0) = 100$ :

$C (q) = q^{2} + 4 q + 100.$

Costul mediu este $\overline{C} (q) = q + 4 + \frac{100}{q}$ , cu $q > 0$ . Derivând, $(\overline{C})^{'} (q) = 1 - \frac{100}{q ^{2}}$ , care se anulează în $q = 10$ și schimbă semnul din $-$ în $+$ ; deci costul mediu e minim pentru $q = 10$ unități, cu $\overline{C} (10) = 24$ de lei pe unitate. Observă că $C^{'} (10) = 24$ — regăsim Regula costului mediu de la clasa a XI-a: la producția care minimizează costul mediu, costul marginal este egal cu costul mediu.

8. Cum arată cerința la Bacalaureat M1?

Formularea tipică din Subiectul al III-lea este: „Se consideră funcția $f : D \to R$ , $f (x) = \dots$ . a) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F (x_{0}) = y_{0}$ .", urmată de un subpunct de studiu (monotonie, extreme, convexitate) și de unul de rezolvare a unei ecuații cu $F$ .

Redactarea completă are patru elemente, în această ordine: (i) precizezi intervalul pe care lucrezi; (ii) calculezi mulțimea primitivelor și scrii $F (x) = G (x) + c$ ; (iii) determini $c$ din condiție; (iv) verifici prin derivare. Elementul (iv) durează cinci secunde și salvează, statistic, cele mai multe puncte pierdute din neatenție la semne.

Există și o variantă „de-a-ndoaselea", la fel de frecventă în subiecte: ți se dă o formulă și ți se cere să arăți că e primitiva cerută. Atunci nu integrezi nimic — derivezi funcția dată, verifici că obții $f$ , verifici valoarea în punctul impus și spui, în încheiere, că prin teorema de unicitate ea este singura cu aceste două proprietăți. Rezolvarea are trei rânduri și nu riscă nicio greșeală de calcul.

O a treia formulare, mai rară dar tot din familia aceasta, cere primitiva care are o proprietate geometrică: „primitiva al cărei grafic este tangent axei $O x$ " înseamnă că $F$ se anulează în punctul ei de extrem, adică $F (x_{0}) = 0$ unde $f (x_{0}) = 0$ — deci tot o condiție de tipul studiat, doar că punctul $x_{0}$ trebuie aflat mai întâi.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rețeta constantei, pas cu pas

Determinați primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x^{3} + 2 x$ , pentru care $F (1) = 7$ .

Rezolvare. Etapa 1: $\int (4 x^{3} + 2 x) d x = x^{4} + x^{2} + C$ , deci $F (x) = x^{4} + x^{2} + c$ . Etapa 2: $F (1) = 1 + 1 + c = 7$ , deci $c = 5$ . Etapa 3: $F (x) = x^{4} + x^{2} + 5$ . Verificare: $F^{'} (x) = 4 x^{3} + 2 x = f (x)$ ✓, $F (1) = 7$ ✓.

Exemplul 2 — Graficul trece printr-un punct dat

Determinați primitiva funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , al cărei grafic trece prin punctul $A (4, 1)$ .

Rezolvare. Condiția „graficul trece prin $A (4, 1)$ " înseamnă $F (4) = 1$ . Din rândul $10$ al tabelului canonic, $\int \frac{1}{x} d x = 2 x + C$ , deci $F (x) = 2 x + c$ . Din $F (4) = 2 \cdot 2 + c = 4 + c = 1$ obținem $c = - 3$ , deci

$F (x) = 2 x - 3, x > 0.$

Verificare: $F^{'} (x) = \frac{2}{2 x} = \frac{1}{x}$ ✓ și $F (4) = 1$ ✓.

Exemplul 3 — O condiție trigonometrică

Determinați primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = sin x + cos x$ , cu $F (0) = 2$ .

Rezolvare. Din rândurile $6$ și $7$ ale tabelului canonic, $\int (sin x + cos x) d x = - cos x + sin x + C$ , deci $F (x) = sin x - cos x + c$ . Din $F (0) = 0 - 1 + c = 2$ rezultă $c = 3$ , deci

$F (x) = sin x - cos x + 3.$

Atenție la semnul din primitiva lui $sin$ : primitiva este $- cos x$ , nu $cos x$ . Este cea mai frecventă greșeală de semn la acest tip de exercițiu.

Exemplul 4 — Din accelerație în poziție

Un mobil pornește din origine cu viteza de $2$ m/s și are accelerația $a (t) = 6 t$ (m/s²). Determinați viteza și poziția la momentul $t$ , apoi valorile lor la $t = 3$ s.

Rezolvare. Viteza e primitiva accelerației: $v (t) = 3 t^{2} + c$ , iar din $v (0) = 2$ obținem $c = 2$ , deci $v (t) = 3 t^{2} + 2$ (m/s).

Poziția e primitiva vitezei: $x (t) = t^{3} + 2 t + c^{'}$ , iar din $x (0) = 0$ obținem $c^{'} = 0$ , deci $x (t) = t^{3} + 2 t$ (m).

La $t = 3$ s: $v (3) = 27 + 2 = 29$ m/s și $x (3) = 27 + 6 = 33$ m. Unitățile de măsură se scriu la rezultat, nu doar la enunț.

Exemplul 5 — Debit și volum

Într-un rezervor care conține deja $10$ litri se toarnă apă cu debitul $Q (t) = 2 t + 3$ litri pe minut. Ce volum are rezervorul după $4$ minute?

Rezolvare. Volumul $V$ satisface $V^{'} (t) = Q (t)$ , deci $V$ e o primitivă a lui $Q$ : $V (t) = t^{2} + 3 t + c$ . Condiția inițială $V (0) = 10$ dă $c = 10$ , deci

$V (t) = t^{2} + 3 t + 10 (litri) .$

După $4$ minute: $V (4) = 16 + 12 + 10 = 38$ de litri. Modelul e valabil cât timp debitul rămâne dat de formula din enunț și rezervorul nu se umple — o precizare pe care o problemă bine pusă o face.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 1}{x}$ . a) Arătați că mulțimea primitivelor lui $f$ este $x^{2} + ln x + C$ . b) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu $F (1) = 3$ . c) Arătați că $F$ este strict crescătoare pe $(0, + \infty)$ și rezolvați ecuația $F (x) = 3$ .

Rezolvare. a) Pentru $x > 0$ scriem $f (x) = \frac{2 x ^{2}}{x} + \frac{1}{x} = 2 x + \frac{1}{x}$ . Prin liniaritate și cu rândurile $1$ și $3$ ale tabelului canonic,

$\int (2 x + \frac{1}{x}) d x = x^{2} + ln ∣ x ∣ + C = x^{2} + ln x + C,$

ultima egalitate fiind valabilă pentru că lucrăm pe $(0, + \infty)$ , unde $∣ x ∣ = x$ .

b) $F (x) = x^{2} + ln x + c$ ; din $F (1) = 1 + 0 + c = 3$ rezultă $c = 2$ , deci $F (x) = x^{2} + ln x + 2$ .

c) $F^{'} (x) = f (x) = 2 x + \frac{1}{x} > 0$ pentru orice $x > 0$ (sumă de termeni strict pozitivi), deci $F$ e strict crescătoare pe $(0, + \infty)$ , prin urmare injectivă. Cum $F (1) = 3$ , ecuația $F (x) = 3$ are soluția unică $x = 1$ .

Observă cum subpunctul c) folosește exact instrumentul lecției precedente: monotonia lui $F$ se citește din semnul lui $f$ , fără niciun calcul suplimentar.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată intervalul pe care lucrezi și verifică rezultatul prin derivare.

1. Determină primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x^{3}$ , cu $F (1) = 2$ .

2. Determină primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 3$ , cu $F (0) = - 1$ .

3. Determină primitiva funcției $f : (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \to R$ , $f (x) = \frac{1}{cos ^{2} x}$ , al cărei grafic trece prin punctul $A (0, 2)$ .

4. Determină primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x}$ , cu $F (0) = 0$ .

5. Determină primitiva $F$ a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , cu $F (e) = 5$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există o infinitate de primitive ale funcției $f (x) = 2 x$ pe $R$ al căror grafic trece prin punctul $A (1, 2)$ ."

7. Determină primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} + 1$ , cu $F (2) = 0$ .

8. Determină primitiva $F$ a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , care se anulează în $x = 1$ .

9. (Problemă aplicată.) Un rezervor conține $10$ litri de apă, iar debitul cu care se umple este $Q (t) = 2 t + 3$ litri pe minut. Determină volumul după $t$ minute și după $6$ minute.

10. Un mobil se mișcă pe o dreaptă cu viteza $v (t) = 4 t - 6$ (m/s), pornind din punctul de abscisă $5$ m. Determină poziția $x (t)$ și momentul în care mobilul își schimbă sensul de mers.

11. Un corp are accelerația $a (t) = 12 t^{2}$ (m/s²) și viteza inițială $1$ m/s. Determină $v (t)$ și $v (2)$ .

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două primitive ale aceleiași funcții pe intervalul $I$ iau aceeași valoare într-un punct din $I$ , atunci ele sunt egale pe tot $I$ ."

13. Costul marginal al unei firme este $C^{'} (q) = 3 q^{2} + 2$ lei pe unitate, iar costul fix este de $400$ de lei. Determină costul total $C (q)$ , costul pentru $10$ unități și costul mediu $\overline{C} (10)$ .

14. (Problemă aplicată.) Puterea consumată de un aparat este $P (t) = 5 sin t$ (wați), iar energia consumată la momentul $t = 0$ este nulă. Determină energia $E (t)$ și valoarea ei la $t = π$ secunde.

15. Determină primitiva funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 2 x + \frac{1}{x}$ , al cărei grafic trece prin punctul $B (1, 0)$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 5$ . a) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu $F (1) = 3$ . b) Arătați că $F$ este strict crescătoare pe $R$ . c) Rezolvați ecuația $F (x) = - 1$ .

17. Fie $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ . Determină o funcție $F$ derivabilă pe $R^{*}$ cu $F^{'} = f$ , $F (1) = 0$ și $F (- 1) = 5$ . Câte astfel de funcții există?

18. (Provocare.) Fie $f : R \to R$ continuă, cu $f (x) > 0$ pentru orice $x$ real, și fie $F$ primitiva lui $f$ cu $F (0) = 0$ . Arată că $F (x) > 0$ pentru $x > 0$ și $F (x) < 0$ pentru $x < 0$ , apoi deduce că ecuația $F (x) = 0$ are soluția unică $x = 0$ .

Răspunsuri și explicații

1. $F (x) = x^{4} + c$ ; din $F (1) = 1 + c = 2$ rezultă $c = 1$ , deci $F (x) = x^{4} + 1$ .

2. $F (x) = x^{2} + 3 x + c$ ; din $F (0) = c = - 1$ rezultă $F (x) = x^{2} + 3 x - 1$ .

3. Condiția e $F (0) = 2$ . Din rândul $8$ al tabelului canonic, $F (x) = tg x + c$ ; cum $F (0) = 0 + c = 2$ , obținem $F (x) = tg x + 2$ .

4. $F (x) = e^{x} + c$ ; din $F (0) = 1 + c = 0$ rezultă $c = - 1$ , deci $F (x) = e^{x} - 1$ .

5. Pe $(0, + \infty)$ avem $F (x) = ln x + c$ ; din $F (e) = 1 + c = 5$ rezultă $c = 4$ , deci $F (x) = ln x + 4$ .

6. Fals. Pe intervalul $R$ , teorema din secțiunea 1 spune că există exact una: din $F (x) = x^{2} + c$ și $F (1) = 1 + c = 2$ rezultă $c = 1$ , deci unica primitivă cu această proprietate este $F (x) = x^{2} + 1$ .

7. $F (x) = x^{3} + x + c$ ; din $F (2) = 8 + 2 + c = 0$ rezultă $c = - 10$ , deci $F (x) = x^{3} + x - 10$ .

8. „Se anulează în $x = 1$ " înseamnă $F (1) = 0$ . Din $F (x) = 2 x + c$ și $F (1) = 2 + c = 0$ rezultă $c = - 2$ , deci $F (x) = 2 x - 2$ .

9. $V (t) = t^{2} + 3 t + c$ și $V (0) = 10$ dau $V (t) = t^{2} + 3 t + 10$ litri. După $6$ minute: $V (6) = 36 + 18 + 10 = 64$ de litri.

10. $x (t) = 2 t^{2} - 6 t + c$ ; din $x (0) = 5$ rezultă $x (t) = 2 t^{2} - 6 t + 5$ (metri). Mobilul își schimbă sensul acolo unde viteza se anulează schimbând semnul: $4 t - 6 = 0$ dă $t = \frac{3}{2}$ secunde (până atunci merge înapoi, apoi înainte).

11. $v (t) = 4 t^{3} + c$ ; din $v (0) = 1$ rezultă $v (t) = 4 t^{3} + 1$ (m/s), deci $v (2) = 32 + 1 = 33$ m/s.

12. Adevărat. Diferența lor are derivata nulă pe intervalul $I$ , deci e constantă (Consecința 1 a teoremei lui Lagrange); cum se anulează în punctul dat, constanta e $0$ . Este exact partea de unicitate din teoremă.

13. $C (q) = q^{3} + 2 q + c$ ; din $C (0) = 400$ rezultă $C (q) = q^{3} + 2 q + 400$ lei. Apoi $C (10) = 1000 + 20 + 400 = 1420$ de lei, iar $\overline{C} (10) = \frac{1420}{10} = 142$ de lei pe unitate.

14. $E (t) = - 5 cos t + c$ ; din $E (0) = - 5 + c = 0$ rezultă $c = 5$ , deci $E (t) = 5 - 5 cos t$ (jouli). La $t = π$ : $E (π) = 5 + 5 = 10$ J.

15. Condiția e $F (1) = 0$ . Din $F (x) = x^{2} + ln x + c$ și $F (1) = 1 + 0 + c = 0$ rezultă $c = - 1$ , deci $F (x) = x^{2} + ln x - 1$ pe $(0, + \infty)$ .

16. a) $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + c$ ; din $F (1) = 1 - 2 + 5 + c = 4 + c = 3$ rezultă $c = - 1$ , deci $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 1$ . b) $F^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 5$ are $Δ = 16 - 60 = - 44 < 0$ și coeficient dominant pozitiv, deci $F^{'} (x) > 0$ pe $R$ : $F$ e strict crescătoare. c) $F (x) = - 1$ devine $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x = 0$ , adică $x (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ ; cum al doilea factor are $Δ = - 16 < 0$ , singura soluție reală este $x = 0$ (rezultat confirmat și de injectivitatea lui $F$ ).

17. Pe $(0, + \infty)$ : $F (x) = ln x + c_{2}$ , iar $F (1) = c_{2} = 0$ . Pe $(- \infty, 0)$ : $F (x) = ln (- x) + c_{1}$ , iar $F (- 1) = c_{1} = 5$ . Deci $F (x) = ln ∣ x ∣$ pentru $x > 0$ și $F (x) = ln ∣ x ∣ + 5$ pentru $x < 0$ . Există o singură astfel de funcție, pentru că am dat câte o condiție pe fiecare interval al domeniului — cu o singură condiție ar fi existat o infinitate.

18. $F$ există și e unică prin teoremă ( $f$ e continuă, deci admite primitive). Cum $F^{'} = f > 0$ pe $R$ , $F$ e strict crescătoare pe $R$ . Atunci, pentru $x > 0$ , $F (x) > F (0) = 0$ , iar pentru $x < 0$ , $F (x) < F (0) = 0$ . Prin urmare $F$ se anulează doar în $0$ , deci ecuația $F (x) = 0$ are soluția unică $x = 0$ .

De reținut

Pe un interval, pentru orice punct $x_{0}$ și orice valoare $y_{0}$ există exact o primitivă $F$ a lui $f$ cu $F (x_{0}) = y_{0}$ ; unicitatea vine din Consecința 1 a teoremei lui Lagrange.
Rețeta constantei are trei etape: scrii mulțimea primitivelor, impui condiția, verifici prin derivare.
„Graficul lui $F$ trece prin $A (x_{0}, y_{0})$ " este exact același lucru cu „ $F (x_{0}) = y_{0}$ "; graficele primitivelor sunt translatate pe verticală unul față de altul.
Pe o reuniune de intervale ai nevoie de câte o condiție pe fiecare interval, pentru că fiecare ramură are propria constantă.
În modelări, primitiva reconstituie mărimea din rata ei de variație, iar constanta este întotdeauna valoarea inițială: poziția inițială, volumul inițial, costul fix.

Greșeli frecvente

Constanta uitată la Etapa 1. Dacă scrii $F (x) = G (x)$ fără $c$ , nu mai ai ce determina din condiție; condiția va părea contradictorie și rezolvarea se blochează.
Confuzia dintre $C$ și $c$ . Mulțimea primitivelor este $G (x) + C$ , cu $C$ mulțimea funcțiilor constante; o primitivă anume este $G (x) + c$ , cu $c$ un număr real determinat de condiție.
O singură condiție pe un domeniu cu două intervale. Pentru $f (x) = \frac{1}{x}$ pe $R^{*}$ , condiția $F (1) = 0$ nu determină ramura negativă; problema trebuie să dea două condiții.
Semnele din primitivele trigonometrice. Primitiva lui $sin x$ este $- cos x$ , iar a lui $cos x$ este $sin x$ ; inversarea lor schimbă și valoarea constantei, deci strică tot răspunsul.
Rezultatul fizic scris fără unități. La problemele de modelare, răspunsul „poziția este $33$ " nu e complet: se scriu metri, litri, lei sau jouli, după caz.

Aplică acasă

Familia de curbe. Desenează pe aceeași foaie graficele funcțiilor $y = x^{2} + c$ pentru $c \in {- 2, 0, 2, 4}$ . Alege un punct oarecare și verifică vizual că prin el trece exact o curbă din familie; apoi calculează, cu rețeta constantei, care este.
Reconstituie mișcarea. Notează timp de un minut, din zece în zece secunde, indicația vitezometrului dintr-o mașină (ca pasager) sau viteza afișată de o aplicație de alergare. Modelează viteza printr-o funcție simplă și reconstituie poziția, luând poziția inițială zero.
Costul fix al unei limonade. Presupune că vinzi limonadă și că fiecare pahar în plus te costă $C^{'} (q) = 2 q + 1$ lei, iar chiria standului este de $50$ de lei. Scrie costul total, calculează costul mediu pentru $5$ și pentru $10$ pahare și spune care producție e mai eficientă.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la calculul primitivelor la folosirea lor. Partea teoretică e scurtă și riguroasă: teorema de existență și unicitate a primitivei cu o condiție dată, demonstrată cu Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, plus atenționarea că totul se petrece pe un interval. Partea a doua răspunde cerinței din programă (competența XII.CS.6.5) de a modela situații concrete care conduc la noțiunea de integrală nedefinită: cinematică, debite, putere și energie, cost marginal și cost total.

Valoarea formativă a lecției este că formulele mișcării uniform accelerate, memorate de obicei la fizică, apar aici ca rezultat al a două integrări succesive. Elevii care înțeleg această deducere nu mai confundă niciodată viteza inițială cu poziția inițială.

De verificat în caiet: (1) constanta apare de la primul rând; (2) condiția e scrisă explicit înainte de a fi folosită; (3) verificarea prin derivare există; (4) rezultatele problemelor de modelare au unități de măsură; (5) pe domenii cu două intervale, se discută ambele constante. Întrebări de control: „Câte primitive trec printr-un punct dat?"; „Ce înseamnă fizic constanta de la viteză?"; „De ce nu ajunge o condiție pentru $\frac{1}{x}$ pe $R^{*}$ ?".

La BAC M1, cerința „determinați primitiva $F$ cu $F (x_{0}) = y_{0}$ " e cel mai des primul subpunct al problemei de analiză din Subiectul al III-lea, valorând 5 puncte, iar subpunctele următoare se sprijină pe rezultatul ei — o greșeală de constantă costă, în practică, toată problema. Semn că elevul a înțeles: după ce află constanta, verifică singur, fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Cum determin constanta de integrare? Scrii mai întâi mulțimea tuturor primitivelor, sub forma $F (x) = G (x) + c$ , apoi înlocuiești în condiția dată. Din egalitatea $G (x_{0}) + c = y_{0}$ obții $c = y_{0} - G (x_{0})$ . La final verifici prin derivare că $F^{'} = f$ și că valoarea impusă se regăsește. Sunt cele trei etape ale rețetei constantei.

Câte primitive trec prin același punct? Pe un interval, exact una. Motivul este că două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă; dacă iau aceeași valoare într-un punct, constanta este nulă, deci funcțiile coincid. Geometric, graficele primitivelor sunt curbe translatate pe verticală, iar prin fiecare punct al benzii trece una singură.

Ce înseamnă că graficul primitivei trece prin punctul $A (x_{0}, y_{0})$ ? Înseamnă exact $F (x_{0}) = y_{0}$ . Este aceeași condiție, formulată geometric în loc de algebric. O întâlnești des la Bacalaureat M1, tocmai pentru că verifică dacă elevul face traducerea corect; odată tradusă, rezolvarea continuă identic, cu rețeta constantei.

De ce viteza este o primitivă a accelerației? Pentru că accelerația este, prin definiție, derivata vitezei: $a (t) = v^{'} (t)$ . Citită invers, egalitatea spune că $v$ este o funcție a cărei derivată este $a$ , adică o primitivă a lui $a$ . Constanta care apare este viteza la momentul inițial, $v (0) = v_{0}$ , și se determină din datele problemei.

Cum aflu costul total dacă știu costul marginal? Costul marginal este derivata costului total, deci costul total este o primitivă a costului marginal. Constanta este costul fix, adică suma plătită chiar și pentru zero unități produse: $C (0)$ . Odată scris $C (q)$ , costul mediu se obține împărțind la $q$ : $\overline{C} (q) = \frac{C ( q )}{q}$ .

De ce nu ajunge o condiție pentru funcții definite pe două intervale? Pentru că teorema de unicitate se demonstrează pe un interval: acolo o derivată nulă înseamnă funcție constantă. Pe o reuniune de intervale, o funcție cu derivata nulă poate avea valori diferite pe ramuri diferite. Prin urmare fiecare ramură are constanta ei și cere propria condiție.

Ce greșeală se face cel mai des la acest tip de exercițiu? Uitarea constantei la primul pas. Fără ea nu mai există nimic de determinat, iar condiția din enunț pare fără sens. Pe locul al doilea sunt greșelile de semn la primitivele funcțiilor trigonometrice și rezultatele scrise fără unități de măsură la problemele de modelare.