Primitive cu radicali și exponențiale: pe scurt

A raționaliza o integrală înseamnă a nota cu $t$ chiar radicalul, a-l exprima pe $x$ în funcție de $t$ și a recalcula $dx$ — mișcarea inversă față de recunoașterea tiparului $f(u(x))u^{\prime }(x)$. Pentru $\sqrt[n]{ax+b}$ substituția este $t=\sqrt[n]{ax+b}$; când apar mai mulți radicali, indicele lui $t$ este cel mai mic multiplu comun al indicilor.

Regula de triaj desparte cazurile: radical dintr-o expresie de gradul întâi $\Rightarrow$ raționalizare; radical dintr-o expresie de gradul al doilea $\Rightarrow$ integrare prin părți sau forma canonică a trinomului. Încercarea de a raționaliza $\sqrt{x^2+a^2}$ doar mută radicalul dintr-un loc în altul.

La exponențiale, substituția $t=e^x$ transformă orice expresie rațională în $e^x$ într-o funcție rațională de $t$, pentru că $dx=\frac{dt}{t}$; pentru baza $a$ apare în plus factorul $\frac{1}{\ln a}$, invizibil la baza $e$ doar pentru că $\ln e=1$.

Două capcane: substituția schimbă și diferențiala — din $x=t^2$ rezultă $dx=2tdt$ — iar răspunsul nu are voie să rămână în $t$. În primitivele cu $e^x$ logaritmul se scrie fără modul, pentru că $e^x+k$ este strict pozitiv; la radicali, intervalul se precizează de fiecare dată.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $\int \sqrt{x^2+9}dx$, metoda potrivită este:

   • a) aplicarea directă a unui rând din tabelul canonic
   • b) raționalizarea cu substituția $t=\sqrt{x^2+9}$
   • c) integrarea prin părți, cu factorul $1$
   • d) substituția $u=x^2+9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) integrarea prin părți, cu factorul $1$

   Regula de triaj: sub radical stă o expresie de gradul al doilea, deci raționalizarea nu ajută — din $t^2=x^2+9$ rezultă $x=\sqrt{t^2-9}$, adică radicalul a fost doar mutat. Se integrează prin părți cu factorul $1$ și rescrierea $x^2=\left(x^2+9\right)-9$. Substituția $u=x^2+9$ ar cere un $x$ liber în integrand.

2. Pe $\mathbb{R}$, $\int \frac{e^x}{e^{2x}+9}dx$ este egală cu:

   • a) $\frac{1}{9}\mathrm{arctg}\frac{e^x}{3}+\mathcal{C}$
   • b) $\ln \left(e^{2x}+9\right)+\mathcal{C}$
   • c) $\mathrm{arctg}\frac{e^x}{3}+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{e^x}{3}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{e^x}{3}+\mathcal{C}$

   Cu $t=e^x$ și $dt=e^{x}dx$ integrala devine $\int \frac{dt}{t^2+9}=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{t}{3}+\mathcal{C}$, apoi se revine la $x$. Factorul $\frac{1}{3}$ vine din rândul 12 al tabelului; logaritmul ar cere derivata numitorului la numărător.

3. La substituția $t=a^x$, față de cazul bazei $e$ apare în plus factorul:

   • a) $\ln a$
   • b) $\frac{1}{\ln a}$
   • c) $a$
   • d) $\frac{1}{a}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{1}{\ln a}$

   Din $t=a^x$ rezultă $dt=a^x\ln adx$, deci $dx=\frac{dt}{t\ln a}$: fiecare $dx$ aduce un $\frac{1}{\ln a}$. La baza $e$ acest factor valorează $1$ și de aceea nu se vede — greșeala tipică este să fie uitat prin analogie.