Primitivele funcțiilor cu radicali și cu exponențiale

O creștere de populație, timpul de răcire al unei cești de ceai, descărcarea unui condensator — toate se descriu cu exponențiale, iar orice întrebare de tipul „cât s-a acumulat până acum?" cere o primitivă. La fel, mărimile care depind de o distanță aduc cu ele radicali, iar radicalul e obstacolul cel mai supărător într-un integrand: nu se derivează comod, nu se descompune, nu apare în tabel decât în câteva forme fixe. Lecția de clasa a 12-a despre primitivele funcțiilor cu radicali și cu exponențiale arată cum se scapă de el.

Ideea de bază e una singură și se numește raționalizare: dai un nume nou expresiei incomode — radicalul sau exponențiala — și rescrii toată integrala în funcție de acest nume, până când ce rămâne e o funcție rațională, adică una pe care o știi deja rezolva. Metoda folosește tot schimbarea de variabilă, dar în sens invers față de lecția precedentă: acolo recunoșteai derivata funcției dinăuntru, aici o fabrici, exprimându-l pe $x$ în funcție de noua variabilă. Vei vedea că această schimbare de sens modifică felul în care arată calculul pe hârtie.

Ce vei învăța

• Vei ști să raționalizezi o integrală cu $\sqrt{ax+b}$, exprimându-l pe $x$ în funcție de noua variabilă.
• Vei ști să tratezi radicali de indici diferiți, cu substituția dată de cel mai mic multiplu comun al indicilor.
• Vei ști să recunoști radicalii care nu se raționalizează și să trimiți fiecare la metoda lui.
• Vei ști să folosești substituția $t=e^x$, precum și varianta ei pentru baze oarecare.
• Vei ști să precizezi de fiecare dată intervalul pe care primitiva obținută are sens.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să raționalizezi o integrală?

Raționalizarea unei integrale este procedeul prin care notezi cu o literă nouă expresia irațională din integrand — de obicei un radical —, îl exprimi pe $x$ în funcție de acea literă, recalculezi $dx$ și obții o integrală de funcție rațională, adică una pe care o știi deja rezolva.

Comparația cu lecția despre schimbarea de variabilă și substituțiile tipice merită făcută frontal, pentru că e sursa celei mai mari confuzii de la acest capitol.

În exemplul din stânga radicalul are lângă el, până la un factor numeric, derivata lui $x^2+7$; în cel din dreapta nu are absolut nimic lângă el, deci trebuie schimbată complet variabila. Reține deosebirea: dacă derivata expresiei dinăuntru se vede în integrand, ești pe drumul din lecția precedentă; dacă nu se vede, raționalizezi.

Revenirea la $x$ rămâne obligatorie și aici, ca la orice integrală nedefinită: rezultatul e o funcție de $x$, nu de $t$.

2. Cum alegi substituția când apare $\sqrt{ax+b}$?

Regula este cea mai simplă cu putință: notezi cu $t$ chiar radicalul. Din $t=\sqrt{ax+b}$ rezultă $t^2=ax+b$, deci $x=\frac{t^2-b}{a}$ și $dx=\frac{2t}{a}dt$. După înlocuire, radicalul dispare complet: peste tot unde stătea $\sqrt{ax+b}$ stă acum $t$.

Primul exemplu, cel mai scurt. Pe $(0,+\infty )$:

$$\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}\stackrel{t=\sqrt{x}}{=}\int \frac{2t}{1+t}dt=2\int \left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt=2t-2\ln (1+t),$$

unde am folosit împărțirea de la funcțiile raționale, pentru că gradul numărătorului era egal cu al numitorului. Revenind, $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}=2\sqrt{x}-2\ln (1+\sqrt{x})+\mathcal{C}$, pentru $x>0$. Modulul nu apare, fiindcă $1+\sqrt{x}>0$.

Al doilea, cu un factor polinomial. Pe $\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$, cu $t=\sqrt{2x+1}$, deci $x=\frac{t^2-1}{2}$ și $dx=tdt$:

$$\int x\sqrt{2x+1}dx=\int \frac{t^2-1}{2}\cdot t\cdot tdt=\frac{1}{2}\int (t^4-t^2)dt=\frac{t^5}{10}-\frac{t^3}{6}.$$

În limbajul lui $x$: $\int x\sqrt{2x+1}dx=\frac{(2x+1{)}^2\sqrt{2x+1}}{10}-\frac{(2x+1)\sqrt{2x+1}}{6}+\mathcal{C}$.

Al treilea arată că substituția merge la fel când radicalul stă la numitor. Pe $(-3,+\infty )$, cu $t=\sqrt{x+3}$, deci $x=t^2-3$ și $dx=2tdt$, iar $2x+1=2t^2-5$:

$$\int \frac{2x+1}{\sqrt{x+3}}dx=\int \frac{(2t^2-5)2t}{t}dt=2\int (2t^2-5)dt=\frac{4(x+3)\sqrt{x+3}}{3}-10\sqrt{x+3}+\mathcal{C}.$$

Observă tiparul: după substituție rămâne întotdeauna un polinom sau o fracție rațională în $t$, pentru că fiecare apariție a lui $x$ a devenit un polinom în $t$, iar $dx$ a adus el însuși un factor $t$. Aceasta e toată magia metodei.

Forma generală pe care o acoperă secțiunea aceasta se descrie într-o propoziție: orice integrand obținut din $x$ și din $\sqrt[n]{ax+b}$ prin adunări, înmulțiri și împărțiri devine, după substituția $t=\sqrt[n]{ax+b}$, o funcție rațională de $t$. Motivul e mecanic: $x$ se scrie ca polinom în $t$, radicalul devine $t$, iar $dx$ aduce un factor polinomial. De aceea metoda nu are excepții — dacă radicalul e dintr-o expresie de gradul întâi, ea reușește întotdeauna.

Scurtătura de verificat înainte de a substitui. Uneori derivata expresiei de sub radical se află deja în integrand, iar atunci substituția completă e muncă în plus: la $\int \frac{dx}{\sqrt{2x+3}}$ se vede direct că $\sqrt{2x+3}$ are derivata $\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$, deci răspunsul e $\sqrt{2x+3}+\mathcal{C}$, fără niciun calcul. Uită-te întotdeauna după această scurtătură; abia dacă nu există, raționalizezi.

3. Ce faci când radicalii au indici diferiți?

Dacă în integrand apar $\sqrt{x}$ și $\sqrt[3]{x}$ în același timp, o substituție cu indicele $2$ lasă radicalul de ordinul $3$ pe loc, și invers. Soluția este să iei drept $t$ radicalul de ordin egal cu cel mai mic multiplu comun al indicilor: atunci toate radicalele devin puteri întregi ale lui $t$.

Pentru $\sqrt{x}$ și $\sqrt[3]{x}$, c.m.m.m.c.-ul indicilor este $[2,3]=6$, deci punem $t=\sqrt[6]{x}$, adică $x=t^6$ și $dx=6t^{5}dt$. Atunci $\sqrt{x}=t^3$ și $\sqrt[3]{x}=t^2$, iar pe $(0,+\infty )$:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=\int \frac{6t^5}{t^3+t^2}dt=6\int \frac{t^3}{t+1}dt.$$

Gradul numărătorului îl depășește pe al numitorului, deci împărțim întâi: $\frac{t^3}{t+1}=t^2-t+1-\frac{1}{t+1}$. Rezultă $6\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t-\ln |t+1|\right)$, adică

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln (1+\sqrt[6]{x})+\mathcal{C},x>0.$$

Scrierea radicalilor ca puteri cu exponent rațional, învățată la lecția despre puteri cu exponent rațional, face calculul transparent: $x=t^6$ înseamnă $x^{1/2}=t^3$ și $x^{1/3}=t^2$, iar orice alt radical al lui $x$ cu indice divizor al lui $6$ devine tot o putere întreagă a lui $t$.

Aceeași idee funcționează și când radicalii sunt dintr-o expresie de gradul întâi: la $\sqrt{x+1}$ și $\sqrt[3]{x+1}$ pui $t=\sqrt[6]{x+1}$, deci $x=t^6-1$ și $dx=6t^{5}dt$.

4. Ce faci când sub radical stă o expresie de gradul al doilea?

Aici substituția din secțiunea 2 nu mai ajută: dacă notezi $t=\sqrt{x^2+a^2}$, atunci $x=\sqrt{t^2-a^2}$, deci ai schimbat un radical cu altul. Aceste forme au metodele lor, deja studiate, și le citezi, nu le refaci.

• $\int \sqrt{x^2+a^2}dx$, $\int \sqrt{x^2-a^2}dx$ și $\int \sqrt{a^2-x^2}dx$ se calculează prin părți, cu factorul $1$ și cu trucul de rupere a numărătorului, la lecția despre integrarea prin părți cu aplicare repetată. Tiparul comun al celor trei rezultate, fixat acolo, merită repetat: jumătate din produsul $x$ cu radicalul, plus jumătate din $a^2$ înmulțită cu primitiva lui $\frac{1}{\text{radical}}$ — cu minus în cazul din mijloc.
• $\int \frac{mx+n}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$ și rudele lor, adică orice radical dintr-un trinom, se aduc mai întâi la forma canonică, după rețeta din lecția despre primitivele cu trinom de gradul al doilea, iar de acolo drumul e cel de mai sus.

Ordinea de lucru, când vezi un radical dintr-un trinom, este așadar: forma canonică → translația variabilei → una dintre cele trei formule cunoscute. De pildă, $x^2-6x+13=(x-3{)}^2+4$, deci $\int \sqrt{x^2-6x+13}dx$ se reduce, cu $u=x-3$, la $\int \sqrt{u^2+4}du$, adică la formula cu $a=2$. Nimic nou de învățat, doar ordinea corectă a pașilor.

Regula de triaj, pe care merită să o ții minte ca pe un reflex: te uiți la gradul expresiei de sub radical. Gradul întâi $\Rightarrow$ raționalizare. Gradul al doilea $\Rightarrow$ părți sau trinom. Nu există al treilea caz în programa clasei a 12-a.

Două integrale care se deosebesc printr-un singur caracter arată cât de mult atârnă acest triaj. La $\int \sqrt{2x+5}dx$ notezi $t=\sqrt{2x+5}$ și în două rânduri obții $\frac{(2x+5)\sqrt{2x+5}}{3}+\mathcal{C}$. La $\int \sqrt{x^2+5}dx$ aceeași substituție te lasă cu un radical nou; drumul e integrarea prin părți, iar rezultatul conține un logaritm. Ce le desparte nu e mărimea numerelor, ci gradul de sub radical — de aceea el se citește primul.

5. Radicalii din exponențiale

Când sub radical stă $e^x$ în loc de $x$, metoda din secțiunea 2 se aplică literă cu literă, cu o singură deosebire: din $t^2=e^x+k$ nu-l scoți pe $x$, ci pe $e^x$, iar $dx$ se obține derivând relația.

Pe $(0,+\infty )$, unde $e^x-1>0$, punem $t=\sqrt{e^x-1}$. Atunci $e^x=t^2+1$ și, derivând, $e^{x}dx=2tdt$, deci $dx=\frac{2t}{t^2+1}dt$:

$$\int \sqrt{e^x-1}dx=\int t\cdot \frac{2t}{t^2+1}dt=2\int \left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)dt=2t-2\mathrm{arctg}t,$$

adică $\int \sqrt{e^x-1}dx=2\sqrt{e^x-1}-2\mathrm{arctg}\sqrt{e^x-1}+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$.

Un al doilea caz, în care $e^x$ apare și în afara radicalului. Pe $\mathbb{R}$, cu $t=\sqrt{e^x+1}$, deci $e^x=t^2-1$ și $e^{x}dx=2tdt$; scriind $e^{2x}dx=e^x\cdot e^{x}dx=(t^2-1)\cdot 2tdt$:

$$\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}dx=\int \frac{(t^2-1)2t}{t}dt=2\left(\frac{t^3}{3}-t\right)=\frac{2(e^x+1)\sqrt{e^x+1}}{3}-2\sqrt{e^x+1}+\mathcal{C}.$$

Un al treilea caz arată ce se întâmplă când, după substituție, rămâne o fracție rațională adevărată. Pe $\mathbb{R}$, cu $t=\sqrt{e^x+1}$, deci $e^x=t^2-1$ și $dx=\frac{2t}{t^2-1}dt$:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{e^x+1}}=\int \frac{1}{t}\cdot \frac{2t}{t^2-1}dt=2\int \frac{dt}{t^2-1}=\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|,$$

adică $\int \frac{dx}{\sqrt{e^x+1}}=\ln \frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}+\mathcal{C}$, unde modulul a căzut pentru că $\sqrt{e^x+1}>1$. Am folosit rândul $11$ al tabelului, cu $a=1$.

Reține regula de prioritate: când radicalul și exponențiala apar împreună, se substituie radicalul, pentru că el e obstacolul mai mare, iar exponențiala îl urmează de la sine.

6. De ce funcționează întotdeauna substituția $t=e^x$?

Exponențiala are o proprietate pe care nicio altă funcție uzuală nu o are: derivata ei este ea însăși. De aceea, când notăm $t=e^x$, avem $dt=e^{x}dx=tdx$, deci $dx=\frac{dt}{t}$ — o expresie rațională în $t$. Prin urmare, orice integrand construit din $e^x$ prin adunări, înmulțiri și împărțiri devine, după substituție, o funcție rațională de $t$.

Cazul comod e cel în care $e^x$ apare deja ca factor. Pe $\mathbb{R}$:

$$\int \frac{e^x}{e^{2x}+1}dx\stackrel{t=e^x}{=}\int \frac{dt}{t^2+1}=\mathrm{arctg}\left(e^x\right)+\mathcal{C},$$

rândul $12$ din tabel, cu $a=1$. Aici derivata se vedea în integrand, deci era, de fapt, o simplă recunoaștere.

Cazul interesant e cel în care $e^x$ nu apare ca factor și trebuie fabricat prin $dx=\frac{dt}{t}$. Pe $\mathbb{R}$:

$$\int \frac{dx}{e^x+3}\stackrel{t=e^x}{=}\int \frac{1}{t+3}\cdot \frac{dt}{t}=\int \frac{dt}{t(t+3)}=\frac{1}{3}\int \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+3}\right)dt.$$

Am folosit descompunerea în fracții simple. Primitiva este $\frac{1}{3}(\ln |t|-\ln |t+3|)$, deci, cu $\ln e^x=x$:

$$\int \frac{dx}{e^x+3}=\frac{x}{3}-\frac{\ln (e^x+3)}{3}+\mathcal{C}.$$

Același drum, cu $\frac{t}{t+1}$ după simplificare, dă $\int \frac{e^{2x}}{e^x+1}dx=e^x-\ln (e^x+1)+\mathcal{C}$, iar cu $\frac{1}{(t+1)(t+2)}$ se obține $\int \frac{e^x}{(e^x+1)(e^x+2)}dx=\ln \frac{e^x+1}{e^x+2}+\mathcal{C}$.

⚠️ Nicio primitivă din această secțiune nu poartă modul: $e^x>0$, deci $e^x+k>0$ pentru orice $k\ge 0$. E bine să scrii de ce, nu doar să omiți barele — la examen justificarea se punctează.

7. Baze diferite de $e$

Pentru $a>0$, $a\ne 1$, substituția $t=a^x$ merge la fel, doar că $dt=a^x\ln adx$, deci $dx=\frac{dt}{t\ln a}$ și în răspuns apare un factor $\frac{1}{\ln a}$. Ideea e exact cea de la ecuațiile exponențiale rezolvate prin substituție, unde notai $t=a^x$ ca să transformi ecuația într-una algebrică.

Un amănunt care se punctează: puterile mai mari ale bazei trebuie scrise ca puteri ale lui $t$ înainte de substituție, altfel integrandul nu se raționalizează. În exemplul de mai jos, $4^x$ nu e „încă o exponențială", ci $(2^x{)}^2=t^2$; la fel, $9^x=(3^x{)}^2$ și $e^{3x}=(e^x{)}^3$. Fără această rescriere, substituția pare să nu funcționeze, deși de fapt nu a fost dusă până la capăt. Pe $\mathbb{R}$:

$$\int \frac{2^x}{1+4^x}dx\stackrel{t=2^x}{=}\frac{1}{\ln 2}\int \frac{dt}{1+t^2}=\frac{\mathrm{arctg}\left(2^x\right)}{\ln 2}+\mathcal{C}.$$

Observă unde a intervenit $\ln 2$: numărătorul $2^x$ a devenit $\frac{dt}{\ln 2}$, iar factorul rămas iese în fața integralei. La baza $e$, unde $\ln e=1$, factorul dispare — de aceea exponențiala naturală e cea preferată în toate formulele.

8. Tabelul de decizie pentru radicali și exponențiale

Ca și la funcțiile trigonometrice, merită strâns totul într-un tabel scurt. Îl vom numi tabelul de decizie pentru radicali și exponențiale; el completează tabelul de decizie trigonometric al lecției precedente, iar alegerea generală a metodei, între tabel, părți și substituție, rămâne subiectul unei lecții separate a unității.

Rândurile se citesc de sus în jos: te oprești la primul care se potrivește. Când integrandul conține în plus un polinom care nu dispare prin substituție, ai nevoie de metode aplicate una după alta, iar pentru integralele care depind de un exponent natural $n$ drumul cel mai scurt trece prin relații de recurență pentru integrale nedefinite, subiectul lecției următoare.

Domeniul se stabilește înainte de calcul, nu după. La $\sqrt{ax+b}$ ceri $ax+b>0$ (sau $\ge 0$, dacă radicalul nu e la numitor); la $\sqrt{e^x-1}$ ceri $x>0$; la $\sqrt{x^2-a^2}$ alegi una dintre cele două ramuri. Un răspuns scris fără interval e incomplet la Bacalaureat M1, oricât de corectă ar fi formula.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Radical simplu la numitor

Calculează $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$.

Rezolvare. Notăm $t=\sqrt{x}$, deci $x=t^2$ și $dx=2tdt$; pentru $x>0$ avem $t>0$. Integrala devine $\int \frac{2t}{1+t}dt$. Gradele fiind egale, împărțim: $\frac{2t}{1+t}=2-\frac{2}{1+t}$. Primitiva este $2t-2\ln (1+t)$, deci

$$\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}=2\sqrt{x}-2\ln (1+\sqrt{x})+\mathcal{C}.$$

Control prin derivare: $\frac{1}{\sqrt{x}}-2\cdot \frac{1}{1+\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1-\frac{1}{1+\sqrt{x}}\right)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}$. ✓

Exemplul 2 — Polinom înmulțit cu un radical

Calculează $\int x\sqrt{2x+1}dx$ pe $\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$.

Rezolvare. Cu $t=\sqrt{2x+1}>0$ avem $t^2=2x+1$, deci $x=\frac{t^2-1}{2}$ și, derivând, $dx=tdt$. Substituind tot:

$$\int x\sqrt{2x+1}dx=\int \frac{t^2-1}{2}\cdot t\cdot tdt=\frac{1}{2}\int (t^4-t^2)dt=\frac{t^5}{10}-\frac{t^3}{6}.$$

Revenim: $\frac{(2x+1{)}^2\sqrt{2x+1}}{10}-\frac{(2x+1)\sqrt{2x+1}}{6}+\mathcal{C}$. Se poate da și factor comun $\sqrt{2x+1}$, dar forma de mai sus e cea în care controlul prin derivare e mai ușor.

Exemplul 3 — Radical la numărător

Calculează $\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}dx$ pe $(0,+\infty )$.

Rezolvare. Punem $t=\sqrt{x}$, deci $x=t^2$, $dx=2tdt$, iar $1+x=1+t^2$:

$$\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}dx=\int \frac{t\cdot 2t}{1+t^2}dt=2\int \frac{t^2}{1+t^2}dt=2\int \left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt=2t-2\mathrm{arctg}t.$$

Prin urmare $\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}dx=2\sqrt{x}-2\mathrm{arctg}\sqrt{x}+\mathcal{C}$. Observă pasul-cheie: numărătorul de același grad cu numitorul se scade și se adaugă $1$, exact ca la funcțiile raționale.

Exemplul 4 — Radical de ordinul al treilea

Calculează $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}}dx$ pe $(-1,+\infty )$.

Rezolvare. Notăm $t=\sqrt[3]{x+1}$, deci $x=t^3-1$ și $dx=3t^{2}dt$:

$$\int \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}}dx=\int \frac{t^3-1}{t}\cdot 3t^{2}dt=3\int (t^4-t)dt=\frac{3t^5}{5}-\frac{3t^2}{2}.$$

Cum $t^5=(x+1)\sqrt[3]{(x+1{)}^2}$ și $t^2=\sqrt[3]{(x+1{)}^2}$, rezultatul este

$$\int \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}}dx=\frac{3(x+1)\sqrt[3]{(x+1{)}^2}}{5}-\frac{3\sqrt[3]{(x+1{)}^2}}{2}+\mathcal{C}.$$

Observă că la indicele $3$ nu apare niciun radical în plus: $dx=3t^{2}dt$ e polinomial, deci integrandul rămâne rațional în $t$.

Exemplul 5 — Radical și exponențială împreună

Calculează $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}dx$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Substituim radicalul: $t=\sqrt{e^x+1}$, deci $e^x=t^2-1$ și, prin derivare, $e^{x}dx=2tdt$. Cum $e^{2x}=e^x\cdot e^x$, avem $e^{2x}dx=(t^2-1)\cdot 2tdt$ și

$$\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}dx=\int \frac{(t^2-1)2t}{t}dt=2\left(\frac{t^3}{3}-t\right).$$

Revenind la $x$: $\frac{2(e^x+1)\sqrt{e^x+1}}{3}-2\sqrt{e^x+1}+\mathcal{C}$. Cum $e^x+1>1$, expresia are sens pe tot $\mathbb{R}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcțiile $f,g,h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+1}$, $g(x)=\frac{1}{e^x+3}$ și $h(x)=\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4}}$. (Problemă de tipul Subiectului al III-lea.)

a) Determină mulțimea primitivelor lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

b) Arată că $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)=\frac{x-\ln (e^x+3)}{3}$, este o primitivă a lui $g$.

c) Determină mulțimea primitivelor lui $h$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare.

a) Numărătorul $e^x$ este derivata lui $e^x$, iar $e^{2x}=(e^x{)}^2$; cu $t=e^x$ integrala devine $\int \frac{dt}{t^2+1}$, adică rândul $12$ al tabelului cu $a=1$. Deci $\int f(x)dx=\mathrm{arctg}\left(e^x\right)+\mathcal{C}$.

b) $G$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$, ca sumă de funcții derivabile ($e^x+3>0$ peste tot), și

$$G^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{e^x}{e^x+3}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{e^x+3-e^x}{e^x+3}=\frac{1}{e^x+3}=g(x),$$

pentru orice $x$ real. Deci $G$ este o primitivă a lui $g$ pe $\mathbb{R}$.

c) Cu $t=e^x$ avem $dt=e^{x}dx$ și $e^{2x}=t^2$, deci integrala devine $\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+4}}$ — rândul $13$ al tabelului, cu $a=2$. Rezultă

$$\int h(x)dx=\ln \left(e^x+\sqrt{e^{2x}+4}\right)+\mathcal{C}.■$$

Să exersăm

1. Calculează $\int \sqrt{3x+1}dx$ pe $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$.

2. Calculează $\int \frac{dx}{\sqrt{5x-2}}$ pe $\left(\frac{2}{5},+\infty \right)$.

3. Calculează $\int (x+1)\sqrt{x-1}dx$ pe $(1,+\infty )$.

4. Calculează $\int \frac{x}{\sqrt{4x+1}}dx$ pe $\left(-\frac{1}{4},+\infty \right)$.

5. Calculează $\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$ pe $(0,+\infty )$.

6. Calculează $\int \frac{dx}{1+\sqrt[3]{x}}$ pe $(0,+\infty )$.

7. Calculează $\int x\sqrt[3]{x+1}dx$ pe $(-1,+\infty )$.

8. Calculează $\int \frac{dx}{x+\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$.

9. Calculează $\int e^{3x}dx$ pe $\mathbb{R}$.

10. Calculează $\int \frac{e^x}{e^x+2}dx$ pe $\mathbb{R}$.

11. Calculează $\int \frac{e^{3x}}{e^x+1}dx$ pe $\mathbb{R}$.

12. Calculează $\int \frac{dx}{e^{2x}+1}$ pe $\mathbb{R}$.

13. Calculează $\int \frac{3^x}{1+9^x}dx$ pe $\mathbb{R}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculează $\int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx$ pe $(-\infty ,0)$.

15. Calculează $\int \frac{e^x}{(e^x+2{)}^2}dx$ pe $\mathbb{R}$.

16. (Problemă aplicată.) Intensitatea curentului printr-un circuit, în amperi, este $i(t)=\frac{3e^t}{e^t+2}$, unde $t$ e timpul în secunde. Determină sarcina electrică $Q$, cu $Q^{\prime }(t)=i(t)$ și $Q(0)=0$.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe $(0,+\infty )$ avem $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=\ln \sqrt{x}+\mathcal{C}$."

18. (Provocare.) Calculează $\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$ pe $(0,+\infty )$.

Răspunsuri și explicații

1. Cu $t=\sqrt{3x+1}$: $x=\frac{t^2-1}{3}$, $dx=\frac{2t}{3}dt$, integrala devine $\frac{2}{3}\int t^{2}dt=\frac{2t^3}{9}$, deci $\frac{2(3x+1)\sqrt{3x+1}}{9}+\mathcal{C}$.

2. Scurtătura din secțiunea 2: $(\sqrt{5x-2}{)}^{\prime }=\frac{5}{2\sqrt{5x-2}}$, deci rezultatul este $\frac{2\sqrt{5x-2}}{5}+\mathcal{C}$.

3. Cu $t=\sqrt{x-1}$: $x=t^2+1$, $x+1=t^2+2$, $dx=2tdt$; integrala devine $2\int (t^4+2t^2)dt$, deci $\frac{2(x-1{)}^2\sqrt{x-1}}{5}+\frac{4(x-1)\sqrt{x-1}}{3}+\mathcal{C}$.

4. Cu $t=\sqrt{4x+1}$: $x=\frac{t^2-1}{4}$, $dx=\frac{t}{2}dt$; integrala devine $\frac{1}{8}\int (t^2-1)dt$, deci $\frac{(4x+1)\sqrt{4x+1}}{24}-\frac{\sqrt{4x+1}}{8}+\mathcal{C}$.

5. Cu $t=\sqrt{x}$: $dx=2tdt$ și integrala devine $2\int \frac{dt}{1+t^2}$, deci $2\mathrm{arctg}\sqrt{x}+\mathcal{C}$.

6. Cu $t=\sqrt[3]{x}$: $x=t^3$, $dx=3t^{2}dt$, iar $\frac{t^2}{1+t}=t-1+\frac{1}{1+t}$. Rezultă $\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}-3\sqrt[3]{x}+3\ln (1+\sqrt[3]{x})+\mathcal{C}$.

7. Cu $t=\sqrt[3]{x+1}$: $x=t^3-1$, $dx=3t^{2}dt$, integrala devine $3\int (t^6-t^3)dt$, deci $\frac{3(x+1{)}^2\sqrt[3]{x+1}}{7}-\frac{3(x+1)\sqrt[3]{x+1}}{4}+\mathcal{C}$.

8. Cu $t=\sqrt{x}$, numitorul devine $t^2+t=t(t+1)$ și $dx=2tdt$, deci integrala este $\int \frac{2dt}{t+1}=2\ln (1+\sqrt{x})+\mathcal{C}$.

9. $\frac{e^{3x}}{3}+\mathcal{C}$ — compunerea cu $3x$ aduce împărțirea la $3$.

10. Numărătorul e derivata numitorului, deci $\ln (e^x+2)+\mathcal{C}$; fără modul, fiindcă $e^x+2>0$.

11. Cu $t=e^x$ și $dx=\frac{dt}{t}$: $\int \frac{t^2}{t+1}dt=\int \left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt$, deci $\frac{e^{2x}}{2}-e^x+\ln (e^x+1)+\mathcal{C}$.

12. Cu $t=e^x$: $\int \frac{dt}{t(t^2+1)}$, iar $\frac{1}{t\left(t^2+1\right)}=\frac{1}{t}-\frac{t}{t^2+1}$. Rezultă $x-\frac{\ln (e^{2x}+1)}{2}+\mathcal{C}$.

13. Cu $t=3^x$, $dt=3^x\ln 3dx$ și $9^x=t^2$: $\frac{1}{\ln 3}\int \frac{dt}{1+t^2}$, deci $\frac{\mathrm{arctg}\left(3^x\right)}{\ln 3}+\mathcal{C}$.

14. Cu $t=e^x$, $dt=e^{x}dx$ și $e^{2x}=t^2$, integrala devine $\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ — rândul $15$ cu $a=1$. Pe $(-\infty ,0)$ avem $0<e^x<1$, deci rezultatul $\arcsin \left(e^x\right)+\mathcal{C}$ are sens.

15. Numărătorul e derivata lui $e^x+2$, deci cu $t=e^x+2$ integrala devine $\int t^{-2}dt=-\frac{1}{t}$; rezultatul este $-\frac{1}{e^x+2}+\mathcal{C}$.

16. $\int \frac{3e^t}{e^t+2}dt=3\ln (e^t+2)+\mathcal{C}$, numărătorul fiind de trei ori derivata numitorului. Condiția $Q(0)=0$ dă $3\ln 3+\mathcal{C}=0$, deci $Q(t)=3\ln \frac{e^t+2}{3}$ (coulombi).

17. Fals. $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ intră la rândul $2$ al tabelului, nu la rândul $3$; primitiva este $2\sqrt{x}+\mathcal{C}$. Logaritmul apare doar pentru exponentul $-1$, adică pentru $\frac{1}{x}$.

18. C.m.m.m.c.-ul indicilor este $6$: punem $t=\sqrt[6]{x}$, deci $x=t^6$ și $dx=6t^{5}dt$. Numitorul devine $t^3+t^2=t^2(t+1)$, integrala devine $6\int \frac{t^3}{t+1}dt$, iar după împărțire se obține $2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln (1+\sqrt[6]{x})+\mathcal{C}$.

De reținut

• Raționalizarea înseamnă să notezi cu $t$ chiar radicalul, să-l exprimi pe $x$ în funcție de $t$ și să recalculezi $dx$ — în sens invers față de recunoașterea tiparului $f(u(x))u^{\prime }(x)$.
• Pentru $\sqrt[n]{ax+b}$ substituția este $t=\sqrt[n]{ax+b}$; când apar mai mulți radicali, indicele lui $t$ este cel mai mic multiplu comun al indicilor.
• Regula de triaj: radical dintr-o expresie de gradul întâi $\Rightarrow$ raționalizare; radical dintr-o expresie de gradul al doilea $\Rightarrow$ integrare prin părți sau forma canonică a trinomului.
• Substituția $t=e^x$ transformă orice expresie rațională în $e^x$ într-o funcție rațională de $t$, pentru că $dx=\frac{dt}{t}$; pentru baza $a$ apare în plus factorul $\frac{1}{\ln a}$.
• În primitivele cu $e^x$ logaritmul se scrie fără modul, pentru că $e^x+k$ este strict pozitiv; la radicali, în schimb, intervalul trebuie precizat de fiecare dată.

Greșeli frecvente

• Greșeala: după $t=\sqrt{x}$ se înlocuiește radicalul, dar se lasă $dx$ neschimbat. Corect: substituția schimbă și diferențiala; din $x=t^2$ rezultă $dx=2tdt$, iar acest factor lipsă strică tot calculul.
• Greșeala: răspunsul se lasă în variabila $t$, de exemplu „$2t-2\ln (1+t)$". Corect: la integrala nedefinită revenirea la $x$ e obligatorie; $t$ este doar o variabilă de lucru, iar rezultatul trebuie să fie o funcție de $x$.
• Greșeala: se încearcă $t=\sqrt{x^2+4}$ ca să se raționalizeze $\int \sqrt{x^2+4}dx$. Corect: din $t^2=x^2+4$ rezultă $x=\sqrt{t^2-4}$, deci radicalul a fost doar mutat; forma aceasta se rezolvă prin părți, nu prin substituție.
• Greșeala: la substituția $t=a^x$ se uită factorul $\frac{1}{\ln a}$, prin analogie cu baza $e$. Corect: $dt=a^x\ln adx$, deci fiecare $dx$ aduce un $\frac{1}{\ln a}$; la baza $e$ el valorează $1$ și de aceea nu se vede.
• Greșeala: $\int \frac{dx}{e^x+3}=\ln (e^x+3)+\mathcal{C}$, prin analogie cu „logaritmul numitorului". Corect: numărătorul nu e derivata numitorului; substituția $t=e^x$ duce la $\frac{1}{t(t+3)}$ și dă $\frac{x}{3}-\frac{\ln \left(e^x+3\right)}{3}+\mathcal{C}$.

Aplică acasă

1. Ia cinci integrale cu radicali din culegerea ta și, înainte de a le rezolva, scrie doar substituția și expresia lui $dx$. Compară apoi cu rezolvările: vei vedea că partea grea era tocmai primul rând.
2. Fă-ți un tabel cu două coloane, „gradul întâi sub radical" și „gradul al doilea sub radical", și repartizează în el cincisprezece integrale găsite la întâmplare. Exercițiul te învață triajul din secțiunea 4 mai bine decât orice regulă memorată.
3. Construiește-ți singur cinci exerciții cu exponențiale: pornește de la funcții pe care le poți deriva — $\mathrm{arctg}{e}^x$, $\ln (e^x+3)$, $\sqrt{e^x-1}$ —, derivează-le și citește rezultatele ca integrale. Ai obținut exerciții cu răspuns garantat corect, iar munca de verificare ți-a intrat deja în reflex.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă partea de primitive ale unor funcții iraționale și exponențiale din programa clasei a XII-a, mate-info, prin competențele XII.CS.3.5, XII.CS.4.5 și XII.CS.5.5. Nu introduce nicio metodă nouă: se folosesc schimbarea de variabilă și integrarea prin părți, deja demonstrate, plus tabelul canonic al primitivelor.

Este, în schimb, prima lecție în care schimbarea de variabilă apare „în sens invers" — nu ca recunoaștere a unui tipar, ci ca alegere impusă de forma integrandului, cu $x$ exprimat în funcție de noua variabilă. Deosebirea aceasta merită insistență: elevii care o ratează caută derivata radicalului în integrand și se blochează.

O a doua dificultate previzibilă este contabilitatea lui $dx$. La substituția directă, $dt=u^{\prime }(x)dx$ se citește dintr-o singură derivare; aici trebuie derivată relația $x=\phi (t)$, ceea ce inversează rolurile și produce factori suplimentari ($2t$, $3t^2$, $6t^5$) pe care elevii îi uită. Cel mai bun antidot este obligația de a scrie substituția și pe $dx$ pe un rând separat, înainte de orice înlocuire — un obicei care se punctează și la examen, în baremele care cer „scrierea substituției".

Întrebări de control: Ce notezi cu $t$ la $\int x\sqrt{2x+1}dx$ și cât iese $dx$? De ce nu merge aceeași substituție la $\sqrt{x^2+4}$? Ce indice alegi când în integrand apar și $\sqrt{x}$, și $\sqrt[3]{x}$? De ce primitivele cu $e^x$ nu poartă modul în logaritm?

Semne că elevul a înțeles: scrie substituția și $dx$ înainte de orice altceva; revine la $x$ fără să i se amintească; precizează intervalul din proprie inițiativă; face triajul după gradul expresiei de sub radical, nu după cum arată integrandul.

Legătura cu restul unității este dublă. Înapoi, lecția se sprijină pe tabelul primitivelor, pe schimbarea de variabilă și pe integrarea prin părți; înainte, ea furnizează materialul pentru lecțiile de metode combinate și de sinteză, unde același integrand poate cere o raționalizare urmată de o descompunere în fracții simple. Din clasele anterioare se reactivează două lucruri: puterile cu exponent rațional și proprietățile exponențialei — merită recitite înainte, pentru că fără ele substituțiile par arbitrare.

La BAC, formele acestea apar în Subiectul al III-lea, cel mai des ca punct a) sau b): „arătați că $F$ este o primitivă a lui $f$" (unde $F$ conține un radical sau un logaritm de exponențială) sau „calculați $\int f(x)dx$". Substituțiile $t=\sqrt{ax+b}$ și $t=e^x$ acoperă marea majoritate a cerințelor.

Întrebări frecvente

Cum se calculează o integrală cu radical din ax plus b?

Se notează cu $t$ chiar radicalul: $t=\sqrt{ax+b}$. De aici $t^2=ax+b$, deci $x=\frac{t^2-b}{a}$ și $dx=\frac{2t}{a}dt$. După înlocuire, integrandul devine o funcție rațională de $t$, pe care o rezolvi cu tabelul și cu împărțirea polinoamelor. La final revii obligatoriu la $x$ și precizezi intervalul pe care $ax+b$ e pozitiv.

Când raționalizez și când folosesc integrarea prin părți?

Te uiți la gradul expresiei de sub radical. Dacă e de gradul întâi, $ax+b$, substitui radicalul și integrala devine rațională. Dacă e de gradul al doilea, de forma $a^2-x^2$ sau $x^2\pm a^2$, substituția nu ajută — ea doar mută radicalul —, iar drumul e integrarea prin părți cu factorul $1$. Pentru un trinom oarecare se trece întâi la forma canonică.

Ce substituție aleg dacă în integrand apar radicali cu indici diferiți?

Iei $t=\sqrt[k]{x}$, unde $k$ este cel mai mic multiplu comun al indicilor care apar. Atunci fiecare radical devine o putere întreagă a lui $t$: pentru $\sqrt{x}$ și $\sqrt[3]{x}$ ai $k=6$, deci $x=t^6$, $\sqrt{x}=t^3$, $\sqrt[3]{x}=t^2$ și $dx=6t^{5}dt$. Integrandul devine o funcție rațională în $t$.

De ce nu apare modul în logaritm la primitivele cu exponențiale?

Pentru că $e^x>0$ pentru orice $x$ real, deci și $e^x+3>3$, iar logaritmul se aplică unei expresii sigur pozitive. Modulul din formula $\int \frac{dt}{t}=\ln |t|+\mathcal{C}$ dispare de îndată ce știi semnul argumentului. Este bine să scrii explicit motivul în rezolvare, nu doar să omiți barele.

Cum integrez unu supra e la x plus trei?

Substitui $t=e^x$, de unde $dx=\frac{dt}{t}$, și obții $\int \frac{dt}{t(t+3)}$. Descompui în fracții simple, $\frac{1}{t(t+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+3}\right)$, integrezi și revii: rezultatul este $\frac{x}{3}-\frac{\ln \left(e^x+3\right)}{3}+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$. Verificarea prin derivare durează un rând și merită făcută.

Ce fac dacă radicalul conține o exponențială?

Substitui tot radicalul: din $t=\sqrt{e^x+k}$ scoți $e^x=t^2-k$, apoi derivezi relația și obții $e^{x}dx=2tdt$, de unde $dx=\frac{2t}{t^2-k}dt$. Regula de prioritate e clară: când apar împreună, radicalul se substituie primul, iar exponențiala îl urmează. Domeniul se stabilește din condiția $e^x+k>0$.

De ce trebuie precizat intervalul la primitivele cu radicali?

Pentru că definiția primitivei se dă pe un interval, iar funcțiile cu radical nu sunt definite peste tot: $\sqrt{ax+b}$ cere $ax+b\ge 0$, $\sqrt{e^x-1}$ cere $x>0$, $\sqrt{x^2-a^2}$ are două ramuri separate. Pe două ramuri diferite constantele se aleg independent, deci scrierea „$+\mathcal{C}$" fără interval ar fi înșelătoare.

Se poate folosi substituția t egal e la x și când baza nu este e?

Da, cu o mică modificare: pentru $t=a^x$ ai $dt=a^x\ln adx$, deci $dx=\frac{dt}{t\ln a}$, iar în rezultat apare factorul $\frac{1}{\ln a}$. Ideea e aceeași ca la ecuațiile exponențiale rezolvate prin substituție din clasa a X-a. Nu uita să scrii puterile mai mari ca puteri ale lui $t$: $4^x=(2^x{)}^2$, $9^x=(3^x{)}^2$.