Primitivele funcțiilor pe ramuri: pe scurt

O funcție definită pe ramuri admite primitive pe un interval dacă și numai dacă este continuă în punctul de racord — verificare care se face înaintea oricărui calcul. Apoi se aplică cei patru pași ai racordării: (1) continuitatea în punctul de racord; (2) câte o primitivă pe fiecare ramură, cu constante distincte; (3) legarea constantelor prin continuitatea lui $F$; (4) verificarea derivabilității lui $F$ în punctul de racord.

Constantele nu sunt independente: ele diferă exact cu decalajul $F_1(x_0)-F_2(x_0)$, iar familia primitivelor rămâne cu o singură constantă liberă. Pasul 4 nu este decorativ — continuitatea lui $F$ se poate obține și pentru funcții care nu admit primitive — și se justifică fie din definiție, cu cele două rapoarte incrementale, fie cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange, care este calea scurtă de examen.

Funcțiile cu modul se rescriu întâi pe ramuri, după semnul expresiei dinăuntru: egalitatea $\int |g(x)|dx=\left|\int g(x)dx\right|$ este falsă. Și o distincție de care atârnă tot capitolul: la o funcție pe ramuri punctul de racord aparține domeniului, iar constantele se leagă; pe o reuniune de intervale, cum este domeniul lui $\frac{1}{x}$, ele rămân independente pe fiecare bucată.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care este primul pas în determinarea primitivelor unei funcții definite pe ramuri?

   • a) calcularea unei primitive pe fiecare ramură
   • b) verificarea continuității în punctul de racord
   • c) legarea constantelor prin continuitatea lui $F$
   • d) verificarea derivabilității lui $F$ în punctul de racord
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) verificarea continuității în punctul de racord

   Dacă funcția nu este continuă în punctul de racord, ea are acolo o discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, nu admite primitive: orice calcul de după ar fi inutil. Celelalte trei variante sunt pașii 2, 3 și 4, în această ordine.

2. Primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-3|$, care verifică $F(3)=0$, este:

   • a) $F(x)=\frac{|x-3{|}^2}{2}+3$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$
   • b) $F(x)=\frac{(x-3{)}^2}{2}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$
   • c) $F(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{(x-3{)}^2}{2},& x\le 3\\ \frac{(x-3{)}^2}{2},& x>3\end{array}$
   • d) $F(x)=\left|\frac{(x-3{)}^2}{2}\right|$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $F(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{(x-3{)}^2}{2},& x\le 3\\ \frac{(x-3{)}^2}{2},& x>3\end{array}$

   Se rescrie $f$ pe ramuri: $f(x)=3-x$ pentru $x\le 3$ și $f(x)=x-3$ pentru $x>3$. O primitivă pe prima ramură este $-\frac{(x-3{)}^2}{2}$, pe a doua $\frac{(x-3{)}^2}{2}$; ambele se anulează în $3$, deci decalajul este nul și $F$ este continuă. Varianta scrisă cu o singură formulă pe tot $\mathbb{R}$ are derivata $x-3$, negativă în stânga lui $3$, deci nu este $|x-3|$.

3. Care afirmație despre integrarea funcțiilor cu modul este corectă?

   • a) modulul se poate scoate în față ca o constantă
   • b) o funcție cu modul nu admite primitive
   • c) $\int |g(x)|dx=\left|\int g(x)dx\right|$
   • d) modulul se elimină înainte de integrare, pe ramuri, după semnul expresiei
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) modulul se elimină înainte de integrare, pe ramuri, după semnul expresiei

   Modulul nu comută cu integrarea: pentru $g(x)=x$ pe $[-1,1]$, membrul stâng crește, iar cel drept nu. Se rezolvă inecuația $g(x)\ge 0$, se scrie $f$ pe ramuri și se aplică cei patru pași. Funcțiile cu modul de acest tip sunt continue, deci admit primitive.